資源簡介

（10）概率統計與計數原理—2024屆高考數學二輪復習攻克典型題型之選擇題
方法技巧
1.離散型隨機變量分布列的常見類型及解題策略
（1）與排列組合有關的分布列的求法.可由排列組合、概率知識求出概率，再求出分布列.
（2）與頻率分布直方圖有關的分布列的求法.可由頻率估計概率，再求出分布列.
（3）與互斥事件有關的分布列的求法.弄清互斥事件的關系，利用概率公式求出概率，再列出分布列.
（4）與獨立事件（或獨立重復試驗）有關的分布列的求法.先弄清獨立事件的關系，求出各個概率，再列出分布列.
2.頻率分布直方圖與眾數、中位數及平均數的關系
（1）最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數.
（2）中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的.
（3）平均數是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.
3.獨立性檢驗的一般步驟
（1）獨立性檢驗原理只能解決兩個對象，且每個對象有兩類屬性的問題，所以對于一個實際問題，我們首先要確定能否用獨立性檢驗的思想加以解決.
（2）如果確實屬于這類問題，要科學地抽取樣本，樣本容量要適當，不可太小；
（3）根據數據列出2×2列聯表；
（4）提出假設：所研究的兩類對象無關；
（5）根據公式計算的值；
（6）比較觀測值k與臨界值表中相應的檢驗水平，根據小概率原理肯定或者否定假設，即判斷X，Y是否相關.
4.利用兩個基本計數原理解決問題的步驟
（1）審清題意，弄清要完成的事件是怎樣的；
（2）分析完成這件事應采用分類、分步、先分類后分步、先分步后分類這四種方法中的哪一種；
（3）弄清在每一類或每一步中的方法種數；
（4）根據兩個基本計數原理計算出完成這件事的方法種數.
1.秋冬季節是某呼吸道疾病的高發期，為了解該疾病的發病情況，疾控部門對該地區居民進行普查化驗，化驗結果陽性率為1.97%，但統計分析結果顯示患病率為1%.醫學研究表明化驗結果是有可能存在誤差的，沒有患該疾病的居民其化驗結果呈陽性的概率為0.01，則該地區患有該疾病的居民化驗結果呈陽性的概率為( )
A.0.96 B.0.97 C.0.98 D.0.99
2.甲 乙兩所學校各有3名志愿者參加一次公益活動,活動結束后,站成前后兩排合影留念,每排3人,若每排同一個學校的兩名志愿者不相鄰,則不同的站法種數有( )
A.36 B.72 C.144 D.288
3.流行性感冒,簡稱流感,是流感病毒引起的一種急性呼吸道疾病.已知A,B,C三個地區分別有2%,6.5%,8.5%的人患了流感,且這三個地區的人口數之比是,現從這三個地區中任意選取1人,若選取的這人患了流感,則這人來自B地區的概率是( )
A.0.65 B.0.45 C.0.35 D.0.2
4.的展開式中的系數為( )
A.50 B.100 C.150 D.300
5.在張獎券中有一等獎2張,二,三等獎各1張,其余4張無獎,將這8張獎券分配給4個人,每人2張,則不同的獲獎情況數為( )
A.120 B.96 C.148 D.216
6.已知王大爺養了5只雞和3只兔子,晚上關在同一間房子里,清晨打開房門,這些雞和兔子隨機逐一向外走,則恰有2只兔子相鄰走出房子的概率為( )
A. B. C. D.
7.2022年2月17日，呼圖壁縣第一屆“美麗冰雪，北奧探夢”中小學速滑運動會在昌吉州呼圖壁縣青少年示范性綜合實踐基地管理中心舉行.為了保證比賽的安全，志愿者小王、小李、小方需要清理六條一樣的短道速滑跑道，每人至少清理一條跑道，則小王至少清理三條的概率是( )
A. B. C. D.
8.若的展開式中含項的系數為,則實數a的值為( )
A.-1 B.-2 C.-3 D.-4
9.對于事件A與事件B，下列說法錯誤的是( )
A.若事件A與事件B互為對立事件，則
B.若事件A與事件B相互獨立，則
C.若，則事件A與事件B互為對立事件
D.若，則事件A與事件B相互獨立
10.（多選）用分層隨機抽樣從某校高一年級學生的數學期末成績(滿分為100分,成績都是整數)中抽取一個樣本量為100的樣本,其中男生成績數據40個,女生成績數據60個,再將40個男生成績樣本數據分為6組:,,,,,,繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖(同一組的數據用該組的中間值代表)則下列說法中正確的是 ( )
A.男生成績樣本數據的平均數為71
B.估計有90%的男生數學成績在84分以內
C.在和內的兩組男生成績中,隨機抽取兩個進行調查,則調查對象來自不同分組的概率為
D.若男生成績樣本數據的方差為187.75,女生成績樣本數據的平均數和方差分別為73.5和119,則總樣本的方差為146
11.（多選）現有來自兩個社區的核酸檢驗報告表,分裝2袋,第一袋有5名男士和5名女士的報告表,第二袋有6名男士和4名女士的報告表.隨機選一袋,然后從中隨機抽取2份,則( )
A.在選第一袋的條件下,兩份報告表都是男士的概率為
B.兩份報告表都是男士的概率為
C.在選第二袋的條件下,兩份報告表恰好男士和女士各1份的概率為
D.兩份報告表恰好男士和女士各1份的概率為
12.（多選）統計學是源自對國家的資料進行分析,也就是“研究國家的科學”.一般認為其學理研究始于希臘的亞里士多德時代,迄今已有兩千三百多年的歷史.在兩千多年的發展過程中,將社會經濟現象量化的方法是近代統計學的重要特征.為此,統計學有了自己研究問題的參數,比如:均值,中位數,眾數,標準差.一組數據:,,…,()記其均值為m,中位數為k,方差為,則( )
A.
B.
C.新數據:,,,…,的均值為
D.新數據:,,,…,的方差為
答案以及解析
1.答案：C
解析：設“患有該疾病”，“化驗結果呈陽性”.由題意可知，，.，，解得.
患有該疾病的居民化驗結果呈陽性的概率為0.98，故正確選項為C.
2.答案：B
解析：第一排有2人來自甲校,1人來自乙校:
第一步,從甲校選出2人,有種選擇方式;
第二步,2人站在兩邊的站法種數有;
第三步,從乙校選出1人,有種選擇方式;
第四步,第二排甲校剩余的1人站中間,乙校剩余的2人站在兩邊的站法種數有.
根據分步乘法計數原理可知,不同的站法種數有.
同理可得,第一排有2人來自乙校,1人來自甲校,不同的站法種數有36.
根據分類加法計數原理可知,不同的站法種數有.
故選:B.
3.答案：C
解析:根據題意,設任意選取1人來自A地區為事件,任意選取1人來自B地區為事件,任意選取1人來自C地區為事件,
選取的這人患了流感為事件N,
則,,
,,,
,
則,
若選取的這人患了流感,則這人來自B地區的概率,
故選:C.
4.答案：D
解析：的展開式通項為，
因為，
在中，令可得，
在中，令可得，
因此，展開式中的系數為.
故選：D.
5.答案：A
解析:若中獎人數為四人,則不同的獲獎情況有種;
若中獎人數為三人,則必有一人的2張獎券(設為M,N)均中獎,可得:
①若M,N均為一等獎,不同的獲獎情況有種;
②若M,N為二,三等獎,不同的獲獎情況有種;
③若M,N為一,二或一,三等獎,不同的獲獎情況有種;
故中獎人數為三人,則不同的獲獎情況有種;
若中獎人數為兩人,則有:
①若2張一等獎的獎券為同一人獲得,不同的獲獎情況有種;
②若2張一等獎的獎券為不同人獲得,不同的獲獎情況有種;
故中獎人數為兩人,則不同的獲獎情況有種;
綜上所述:不同的獲獎情況數為.
故選:A.
6.答案：D
解析:5只雞,3只兔子走出房門,共有種不同的方案,
其中恰有2只兔子相鄰走出房子的方案為:先排5只雞,會產生6個空隙,再從3只兔子中選2只捆綁排列,最后與剩下的兔子排列到6個空隙中共有:種方案,
故恰有2只兔子相鄰走出房子的概率為:.
故選:D.
7.答案：A
解析：六條一樣的短道速滑跑道分三組有1，1，4或1，2，3或2，2，2種情況，
再分給小王、小李、小方共有種分法，
其中小王至少清理三條的情況有種，
則小王至少清理三條的概率是.
故選：A.
8.答案：A
解析：因為,
其中的展開式的通項公式為,
令,解得,又令,解得.此時含x的項的系數為,解得.
故選：A.
9.答案：C
解析：對于A，事件A和事件B為對立事件，則A，B中必然有一個發生，，正確；
對于B，根據獨立事件的性質知，正確；
對于C，由，并不能得出A與B是對立事件，舉例說有a，b，c，d4個小球，
選中每個小球的概率是相同的，事件A表示選中a，b兩球，則，事件B表示選中b，c兩球，則，
，但A，B不是對立事件，錯誤；
對于D，由獨立事件的性質知：正確；
故選：C.
10.答案：AC
解析:對于選項A,根據頻率分布直方圖有,男生成績樣本數據的平均數,故A正確;
對于選項B,根據頻率分布直方圖有,男生數學成績在84分以內的人數的頻率為,所以估計有80%的男生數學成績在84分以內,故B錯誤;
對于選項C,根據頻率分布直方圖有,在和內的男生人數分別為6人,2人,隨機抽取兩個進行調查,則調查對象來自不同分組的概率為,故C正確;
對于選項D,設女生成績樣本數據的平均數為,則總樣本的平均數,
所以總樣本的方差為,故D錯誤.
故選:AC.
11.答案：AC
解析:對于A,在選第一袋的條件下,兩份報告表都是男士的概率為,A正確;
對于B,若選第一袋,兩份報告表都是男士的概率為;若選第二袋,兩份報告表都是男士的概率為;
則兩份報告表都是男士的概率為,B錯誤;
對于C,在選第二袋的條件下,兩份報告表恰好男士和女士各1份的概率為,C正確;
對于D,若選第一袋,兩份報告表恰好男士和女士各1份的概率為;
若選第二袋,兩份報告表恰好男士和女士各1份的概率為;
則兩份報告表恰好男士和女士各1份的概率為,D錯誤.
故選:AC.
12.答案：CD
解析:對于A選項,因
樣本數據最中間的項為和,
由中位數的定義可知,,A錯;
對于B,不妨令,
故不成立,故B錯誤;對于C,數據,,,的均值為:
,C正確;
對于D,數據,,,…,的均值為:
其方差為,D對.
故選:CD.

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