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第一章 三角形的證明
1.1 等腰三角形
第4課時(shí) 等邊三角形的判定及含 30°角的直角三角形的性質(zhì)
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1.能用所學(xué)的知識(shí)證明等邊三角形的判定定理.
2.掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)并解決有關(guān)問題.
一、情境導(dǎo)入
如圖，在一個(gè)池塘兩旁有一條筆直小路 (BC 為小路端點(diǎn)) 和一棵小樹 (A為小樹位置). 測(cè)得的相關(guān)數(shù)據(jù)為：∠ABC = 60°，∠ACB = 60°，BC = 48 米，則 AC 長(zhǎng)多少米？
要點(diǎn)探究
知識(shí)點(diǎn)一：等邊三角形的判定
探究：一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形 一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形 請(qǐng)證明自已的結(jié)論，并與同伴交流.
猜想：
證明：
歸納總結(jié)：
典例精析
例1 如圖，在等邊三角形 ABC 中，DE∥BC，
求證：△ADE 是等邊三角形.
變式：上題中，若將條件 DE∥BC 改為 AD＝AE， △ADE 還是等邊三角形嗎 試說明理由.
已知：如圖，在等邊三角形 ABC 中，AD＝AE.
求證：△ADE 是等邊三角形.
知識(shí)點(diǎn)二：等邊三角形的判定
操作：用兩個(gè)含有 30° 角的三角板，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形？
想一想：在直角三角形中，30° 角所對(duì)的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？
猜想：
已知：
求證：
總結(jié)：
例2 求證：如果等腰三角形的底角為15°，那么腰上的高是腰長(zhǎng)的一半.
已知：如圖，在△ABC 中，AB ＝ AC ，∠B ＝15°， CD 是腰 AB 上的高，
求證：CD ＝ AB.
例3 已知：如圖，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD ⊥ AB 于 D．
求證：BD＝
二、課堂小結(jié)
1. 已知△ABC 中，∠A = ∠B = 60°，AB = 3 cm，則 △ABC 的周長(zhǎng)為_____cm.
2. 在△ABC 中，∠B = 90°，∠C = 30°，AB = 3，則 AC =_____，BC =______．
3. 已知：如圖，AB = BC ，∠CDE = 120°， DF∥ BA，且 DF 平分∠CDE.
求證：△ABC 是等邊三角形.
參考答案
探究：一個(gè)三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形
一個(gè)等腰三角形滿足什么條件時(shí)是等邊三角形
請(qǐng)證明自已的結(jié)論，并與同伴交流.
定理1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.
已知：如圖，∠A =∠B =∠C.
求證：△ABC 是等邊三角形．
證明：∵∠A =∠ B，∴ AC = BC.
∵∠B =∠C，
∴ AB = AC.
∴ AB = AC = BC.
∴ △ABC 是等邊三角形.
定理2：有一個(gè)角是 60° 的等腰三角形是等邊三角形.
已知：若 AB＝AC，∠A＝60°.
求證：△ABC 是等邊三角形．
證明：∵ AB = AC，∠A = 60°，
∴∠B =∠C = (180°－∠A) = 60°.
∴∠A =∠B =∠C.
∴ AB = AC = BC.
∴ △ABC 是等邊三角形.
【驗(yàn)證】第二種情況：有一個(gè)底角是 60°.
已知：如圖，在△ABC 中，AB = AC，∠B = 60°．
求證：△ABC 是等邊三角形．
證明：∵ AB = AC，∠B = 60° (已知)，
∴∠C =∠B = 60° (等邊對(duì)等角).
∴∠A = 60° (三角形內(nèi)角和定理).
∴∠A =∠B =∠C = 60°.
∴△ABC 是等邊三角形 (三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形).
歸納總結(jié)：
典例精析
例1 如圖，在等邊三角形 ABC 中，DE∥BC，
求證：△ADE 是等邊三角形.
證明：∵△ABC 是等邊三角形，
∴∠A =∠B =∠C.
∵ DE∥BC，
∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
∴∠A =∠ADE =∠AED.
∴△ADE 是等邊三角形.
變式：上題中，若將條件 DE∥BC 改為 AD＝AE， △ADE 還是等邊三角形嗎 試說明理由.
已知：如圖，在等邊三角形 ABC 中，AD＝AE.
求證：△ADE 是等邊三角形.
證明：∵△ABC 是等邊三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.
∵ AD＝AE，
∴△ADE 是等腰三角形.
又∵∠A＝60°.
∴△ADE 是等邊三角形.
知識(shí)點(diǎn)二：等邊三角形的判定
操作：用兩個(gè)含有 30° 角的三角板，你能拼成一個(gè)怎樣的三角形？
想一想：在直角三角形中，30° 角所對(duì)的直角邊與斜邊有怎樣的大小關(guān)系？
猜想：在直角三角形中，30° 角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.
已知：如圖，在 △ABC 中，∠ACB = 90°，∠A = 30°.
求證： BC = AB.
證明：延長(zhǎng) BC 至點(diǎn) D，
使 CD＝BC，連接 AD.
∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴∠ACD＝90°，∠B＝60°.
∵ AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC (SAS).
∴ AB＝AD ( 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).
∴ △ABD 是等邊三角形
( 有一個(gè)角是 60° 的等腰三角形是等邊三角形).
∴ BC＝ BD＝ AB.
定理：在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于 30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．
幾何語(yǔ)言：在△ABC 中，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°．
∴ BC ＝ AB．(在直角三角形中，30° 角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)
拓展推論：BC∶AC∶AB ＝
例2 求證：如果等腰三角形的底角為15°，那么腰上的高是腰長(zhǎng)的一半.
已知：如圖，在△ABC 中，AB ＝ AC ，∠B ＝15°， CD 是腰 AB 上的高，
求證：CD ＝ AB.
證明：在△ABC 中，
∵AB＝AC，∠B＝15°，
∴∠ACB＝∠B＝15°(等邊對(duì)等角).
∴∠DAC＝∠B + ∠ACB ＝15° + 15°＝30°.
∵ CD 是腰 AB 上的高，∴∠ADC＝90°.
∴ CD＝ AC (在直角三角形中，如果有一個(gè)銳角等于 30°， 那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).
∴ CD＝ AB.
例3 已知：如圖，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD ⊥ AB 于 D．
求證：BD＝ .
證明：∵∠A = 30°，CD⊥AB ，∠ACB = 90°，
∴ BC = ，∠B = 60°．
∴∠BCD = 30°．
∴ BD = .
∴ BD =.
當(dāng)堂檢測(cè)
1.9
2.6，
3.證明：∵ AB＝BC，∴△ABC 是等腰三角形，
又∵∠CDE＝120°，DF 平分∠CDE，
∴∠EDF＝∠FDC＝60°.
又∵ DF∥ BA，∴∠FDC＝∠ABC＝ 60°.
∴△ABC 是等邊三角形.

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