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第一章 三角形的證明
1.1 等腰三角形
第3課時 等腰三角形的判定與反證法
學習目標：
1.掌握等腰三角形的判定定理及其運用；
2.理解并掌握反證法的思想，能夠運用反證法進行證明；
一、情境導入
如圖，位于海上 B、C 兩處的兩艘救生船接到 A 處遇險船只的報警，當時測得 ∠B =∠C. 如果這兩艘救生船以同樣的速度同時出發，能不能同時趕到出事地點(不考慮風浪因素)？
復習回答：
問題1：等腰三角形有哪些性質定理及推論？
要點探究
知識點一：等腰三角形的判定
前面已經證明了等腰三角形的兩底角相等.反過來，有兩個角相等的三角形是等腰三角形嗎
建立數學模型：
如圖，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它們所對的邊 AB 和 AC 有什么數量關系
等腰三角形的判定定理：
應用格式：
辨一辨：如圖，下列推理正確嗎
∵∠1 = ∠2 ，
∴ BD = DC(等角對等邊).
∵∠1 =∠2 ，
∴ DC = BC(等角對等邊).
典例精析
例1 已知：如圖，AB = DC，BD = CA，BD 與 CA 相交于點 E.
求證：△AED 是等腰三角形.
知識點二：反證法
想一想：小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等．你認為這個結論成立嗎 如果成立，你能證明它嗎
總結：
例2 用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角.
已知：△ABC．
求證：∠A，∠B，∠C 中不能有兩個角是直角．
二、課堂小結
1. 已知：如圖，∠A = 36°，∠DBC = 36°，∠C = 72°，
①∠1 = °， ∠2 = °；
② 圖中有 個等腰三角形；
③ 若 AD = 4 cm，則BC = cm；
④ 若過點 D 作 DE∥BC ，交 AB 于點 E ，則圖中有 個等腰三角形.
2. 已知：等腰三角形 ABC 的底角平分線 BD，CE 相交于點 O.
求證：△OBC 為等腰三角形.
3.求證：在同一平面內，如果一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么和另一條也相交.
已知：直線 l1，l2，l3 在同一平面內，且 l1∥ l2 ，l3 與l1相交于點 P.
求證：l3 與 l2 相交.
證明：假設______________，那么 .
因為已知 ，
所以過直線 l2 外一點 P，有兩條直線和 l2 平行，
這與 “_________________________________________” 矛盾.
所以___________，即求證的命題正確.
參考答案
建立數學模型：
如圖，在△ABC 中，∠B =∠C，那么它們所對的邊 AB 和 AC 有什么數量關系
證明：過 A 作 AD 平分∠BAC 交 BC 于點 D.
在 △ABD 與 △ACD 中，
∴△ABD≌△ACD (AAS).
∴ AB = AC.
等腰三角形的判定定理：
有兩個角相等的三角形是等腰三角形.
(簡稱“等角對等邊”).
應用格式：
在△ABC 中，∵∠B =∠C，
∴ AB = AC (等角對等邊).
辨一辨：如圖，下列推理正確嗎
∵∠1 = ∠2 ，
∴ BD = DC(等角對等邊).
∵∠1 =∠2 ，
∴ DC = BC(等角對等邊).
錯，因為都不是在同一個三角形中.
典例精析
例1 已知：如圖，AB = DC，BD = CA，BD 與 CA 相交于點 E.
求證：△AED 是等腰三角形.
證明：∵ AB = DC，BD = CA，AD = DA，
∴△ABD≌△DCA (SSS).
∴∠ADB =∠DAC (全等三角形的對應角相等).
∴ AE = DE (等角對等邊).
∴△AED 是等腰三角形.
知識點二：反證法
想一想：小明說，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等．你認為這個結論成立嗎 如果成立，你能證明它嗎
在△ABC 中， 如果∠B ≠∠C，
那么 AB ≠ AC.
小明是這樣想的：
如圖，在△ABC 中，已知∠B≠∠C，
此時，AB 與 AC 要么相等，要么不相等.
假設 AB = AC，那么根據“等角對等邊”定理可得∠B =∠C，但已知條件是∠B ≠∠C.
“∠B =∠C ”與“∠B≠∠C ”相矛盾，
因此 AB ≠ AC.
反證法概念： 在證明時，先假設命題的結論不成立，然后由此推導出與已知條件或基本事實或已證明過的定理相矛盾，從而證明命題的結論一定成立，這種證明方法稱為反證法．
用反證法證題的一般步驟：
1. 假設：先假設命題的結論不成立；
2. 歸謬：從這個假設出發，應用正確的推論方法，得出 與定義、公理、已證定理或已知條件相矛盾的結果；
3. 結論：由矛盾的結果判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確.
例2 用反證法證明：一個三角形中不能有兩個角是直角.
已知：△ABC．
求證：∠A，∠B，∠C 中不能有兩個角是直角．
【分析】按反證法證明命題的步驟，首先要假定結論“∠A，∠B，∠C 中不能有兩個角是直角”不成立，即它的反面“∠A，∠B，∠C 中有兩個角是直角”成立，然后，從這個假定出發推下去，找出矛盾．
證明：假設 ∠A，∠B，∠C 中有兩個角是直角，
不妨設 ∠A＝∠B＝90°，則
∠A＋∠B＋∠C＝90°＋ 90°＋∠C ＞180°．
這與三角形的內角和定理矛盾，故假設不成立．
所以一個三角形中不能有兩個角是直角．
當堂檢測
72，36；3；4；5
證明：∵∠ABC 和∠ACB 的平分線相交于點 O，
∴∠ABD＝∠DBC＝ ∠ABC，∠ACE＝∠ECB＝∠ACB.
又∵△ABC 是等腰三角形，
∴∠ABC =∠ACB.
∴∠DBC =∠ECB.
∴△OBC 是等腰三角形.
l3 與 l2 不相交；l3∥l2 ；l1∥l2 ；
經過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行；
假設不成立.

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