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第一章 三角形的證明
1.2 直角三角形
第1課時 直角三角形的性質與判定
學習目標：
1．復習直角三角形的相關知識，歸納并掌握直角三角形的性質和判定；
2．學習并掌握勾股定理及其逆定理，能夠運用其解決問題．(重點，難點)
一、情境導入
問題：前面我們探究過直角三角形的哪些性質？
要點探究
知識點一：直角三角形的性質與判定
問題1：直角三角形的兩個銳角有怎樣的關系？為什么？
問題2：如果一個三角形有兩個角互余，那么這個三角形是直角三角形嗎 為什么
總結：
定理1
定理2
上面兩個定理的條件和結論有什么關系？
知識點二：勾股定理及其逆定理
勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方. 即 a2 + b2 = c2. 勾股定理在西方文獻中又稱為畢達哥拉斯定理.
證明欣賞
證法1 畢達哥拉斯證法
證法2 趙爽弦圖
大正方形的面積可以表示為 ；
也可以表示為　　 　　 ．
勾股定理反過來，怎么敘述呢？
這個命題是真命題嗎？為什么？
例1 證明此命題：
已知：
求證：
歸納總結：
勾股定理：
定理：
知識點三：互逆命題與互逆定理
合作探究：
觀察上面第一個定理和第二個定理，它們的條件和結論之間有怎樣的關系？
第三個定理和第四個定理呢？與同伴交流.
說出下列命題的條件和結論：
如果兩個角是對頂角，那么它們相等；
如果兩個角相等，那么它們是對頂角.
如果小明患了肺炎，那么他一定會發燒；
如果小明發燒，那么他一定患了肺炎.
一個三角形中相等的邊所對的角相等；
一個三角形中相等的角所對的邊相等.
觀察上面三組命題，你發現了什么
歸納總結：
想一想： 你能寫出命題“如果兩個有理數相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎 它們都是真命題嗎？
練一練：
1. 說出下列命題的逆命題，這些逆命題成立嗎？
(1) 兩條直線平行，內錯角相等；
(2) 如果兩個實數相等，那么它們的絕對值相等.
歸納總結：
二、課堂小結
1. 如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊 AC ＝ 6 cm，BC＝8 cm，現將 △ABC 折疊，使點 B 與點 A 重合，折痕為 DE，則 BE 的長為 ( )
A. 4 cm B. 5 cm
C. 6 cm D. 10 cm
2. 在你學過的定理中，有哪些定理的逆命題是真命題？試舉出幾個例子說明.
(1) 同旁內角互補，兩直線平行.
(2) 有兩個角相等的三角形是等腰三角形.
參考答案
二、要點探究
知識點一：直角三角形的性質與判定
問題1：直角三角形的兩個銳角有怎樣的關系？為什么？
證明：△ABC 是直角三角形，
∵∠A +∠B +∠C = 180°，
又∵∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 90°.
問題2：如果一個三角形有兩個角互余，那么這個三角形是直角三角形嗎 為什么
∵∠A +∠B +∠C = 180°，
又∵∠A +∠B = 90°，
∴∠C = 90°.
∴△ABC 是直角三角形.
總結：
定理1 直角三角形的兩個銳角互余.
定理2 有兩個角互余的三角形是直角三角形.
知識點二：勾股定理及其逆定理
證法1 畢達哥拉斯證法
證明：∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形
= 4× ab + c2
= c2 + 2ab，
∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab.
∴ a2 +b2 = c2.
證法2 趙爽弦圖
大正方形的面積可以表示為 c2 ；
也可以表示為 4 × ab + ( b - a )2．
∵ c2 = 4 × ab + ( b - a )2
c2 = 2ab + b2 - 2ab + a2 ，
c2 = a2 + b2，
∴ a2 + b2 = c2.
勾股定理反過來，怎么敘述呢？
如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．
這個命題是真命題嗎？為什么？
例1 證明此命題：
已知：如圖，在 △ABC 中，AC 2 + BC2 = AB 2.
求證：△ABC 是直角三角形．
分析：構造一個直角三角形與 △ABC 全等，你能自己寫出證明過程嗎？
證明：作 Rt△DEF，使∠E = 90°，
DE = AC，FE = BC，
則 DE 2 + EF 2 = DF 2 (勾股定理).
∵ AC 2 + BC 2 = AB 2 (已知)，DE = AC，FE = BC (作圖)，
∴ AB2 = DF2.
∴ AB = DF.
∴△ABC≌△DFE (SSS).
∴∠C =∠E = 90°.
∴△ABC 是直角三角形．
歸納總結：
勾股定理：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．(定理3)
定理：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．(定理4)
知識點三：互逆命題與互逆定理
想一想： 你能寫出命題“如果兩個有理數相等，那么它們的平方相等”的逆命題嗎 它們都是真命題嗎
逆命題：如果兩個有理數的平方相等，那么這兩個有理數相等.
舉特例：
原命題：2 = 2，22 = 22；
逆命題：(2)2 = (-2)2，2≠-2.
此原命題是真命題；逆命題是假命題.
練一練：
1. 說出下列命題的逆命題，這些逆命題成立嗎？
(1) 兩條直線平行，內錯角相等；
(2) 如果兩個實數相等，那么它們的絕對值相等；
內錯角相等，兩條直線平行. 成立
如果兩個實數的絕對值相等，那么它們相等. 不成立
歸納總結：
如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理. 如：“定理1與定理2”“定理3與定理4”都為互逆定理.
注意：
(1) 命題有真有假，而定理都是真命題；
(2) 每個命題都有逆命題，但不是所有的定理都有逆定理；
(3) 原命題的真假與其逆命題的真假沒有關系.
當堂檢測
1. 如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊 AC ＝ 6 cm，BC＝8 cm，現將 △ABC 折疊，使點 B 與點 A 重合，折痕為 DE，則 BE 的長為 ( B )
A. 4 cm B. 5 cm
C. 6 cm D. 10 cm
2. 在你學過的定理中，有哪些定理的逆命題是真命題？試舉出幾個例子說明.
(1) 同旁內角互補，兩直線平行.
(2) 有兩個角相等的三角形是等腰三角形.
答案：逆命題：兩直線平行，同旁內角互補. 真命題
逆命題：如果一個三角形是等腰三角形，那么它有兩個角相等. 真命題

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