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第一章 三角形的證明
1.3 線段的垂直平分線
第1課時 線段的垂直平分線的性質與判定
學習目標：
1.理解線段垂直平分線的概念；
2.掌握線段垂直平分線的性質定理及逆定理；
3.能運用線段的垂直平分線的有關知識進行證明或計算.
一、情境導入
如圖，畫一條線段 AB ，然后對折 AB，使 A， B 兩點重合，設折痕與 AB 的交點為 O. 你發現了什么
要點探究
知識點一：線段垂直平分線的性質
如圖，點 P 是線段 AB 垂直平分線上的一點，AB 和 PC 相等嗎 改變點 P 的位置，結論還成立嗎
猜想：
已知：
求證：
總結：
典例精析
例1 如圖，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足為 E，交 AC 于 D，若△DBC 的周長為 35 cm，則 BC 的長為 (　　)
A．5 cm
B．10 cm
C．15 cm
D．17.5 cm
練一練：
1.如圖①所示，直線 CD 是線段 AB 的垂直平分線，點 P 為直線 CD 上的一點，
且 PA = 5，則線段 PB 的長為 ( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2. 如圖②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，邊 AB 的垂直平分線交 AB 于點 D，交邊 AC 于點 E，△BCE 的周長等于 18 cm，則 AC 的長是 .
知識點二：線段垂直平分線的判定
你能寫出上面這個定理的逆命題嗎 它是真命題嗎
想一想：如果 PA = PB，那么點 P 是否在線段 AB 的垂直平分線上呢？
總結：
例2 已知：如圖，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 內一點，且 OB = OC.
求證：直線 AO 垂直平分線段 BC.
試一試：已知：如圖，點 E 是∠AOB 的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為 C，D，連接 CD. 求證：OE 是 CD 的垂直平分線.
二、課堂小結
1. 如圖所示，AC = AD，BC = BD，則下列說法正確的是 (　　)
A. AB 垂直平分 CD
B. CD 垂直平分 AB
C. AB 與 CD 互相垂直平分
D. CD 平分∠ACB
2. 已知線段 AB，在平面上找到三個點 D、E、F，使 DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，這樣的點的組合共有　 種.
3. 如圖，△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分線交 AC于 E，連接 BE，AB + BC = 16 cm，則△BCE 的周長是 cm.
4. 已知：如圖，點 C，D 是線段 AB 外的兩點，且 AC = BC，AD = BD，AB 與 CD 相交于點 O.
求證：AO = BO.
參考答案
知識點一：線段垂直平分線的性質
如圖，點 P 是線段 AB 垂直平分線上的一點，AB 和 PC 相等嗎 改變點 P 的位置，結論還成立嗎
已知：如圖，直線 l⊥AB，垂足為 C，AC = CB，點 P 在 l 上.
求證：PA = PB．
證明：∵ l⊥AB，
∴∠PCA =∠PCB．
又 AC = CB，PC = PC，
∴△PCA≌△PCB (SAS)．
∴ PA = PB．
線段垂直平分線的性質定理：
線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.
典例精析
例1 如圖，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足為 E，交 AC 于 D，若
△DBC 的周長為 35 cm，則 BC 的長為 (　　)
A．5 cm
B．10 cm
C．15 cm
D．17.5 cm
解析：∵△DBC 的周長為 BC＋BD＋CD＝35 cm，又 DE 垂直平分 AB，
∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm.
∵ AC＝AD＋DC＝20 cm，
∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故選 C.
方法歸納：利用線段垂直平分線的性質，實現線段之間的相互轉化，從而求出未知線段的長．
練一練：
1.如圖①所示，直線 CD 是線段 AB 的垂直平分線，點 P 為直線 CD 上的一點，
且 PA = 5，則線段 PB 的長為 ( B )
6 B. 5 C. 4 D. 3
2. 如圖②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，邊 AB 的垂直平分線交 AB 于點 D，交邊 AC 于點 E，△BCE 的周長等于 18 cm，則 AC 的長是 10 cm .
知識點二：線段垂直平分線的判定
逆命題：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.
想一想：如果 PA = PB，那么點 P 是否在線段 AB 的垂直平分線上呢？
總結：
線段垂直平分線的性質定理的逆定理：
到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.
應用格式：
∵ PA = PB，
∴ 點 P 在 AB 的垂直平分線上．
例2 已知：如圖，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 內一點，且 OB = OC.
求證：直線 AO 垂直平分線段 BC.
證明：∵ AB = AC，
∴ A 在線段 BC 的垂直平分線上
(到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上).
同理，點 O 在線段 BC 的垂直平分線.
∴ 直線 AO 是線段 BC 的垂直平分線(兩點確定一條直線).
方法二：
證明：延長 AO 交 BC 于點 D.
∵ AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC，
∴△ABO≌△ACO (SSS).
∴∠BAO ＝∠CAO.
∵ AB＝AC，
∴ AO⊥BC.
∵ OB＝OC，OD＝OD，
∴ Rt△DBO≌Rt△DCO (HL).
∴ BD＝CD.
∴ 直線 AO 垂直平分線段 BC.
試一試：已知：如圖，點 E 是∠AOB 的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為 C，D，連接 CD.
求證：OE 是 CD 的垂直平分線.
證明：∵ OE 平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，
∴ DE = CE (角平分線上的點到角的兩邊的距離相等).
∴ OE 是 CD 的垂直平分線.
當堂檢測
1.A
2.無數
3.16
4.證明：∵ AC = BC，AD = BD，
∴點 C 和點 D 在線段 AB 的垂直平分線上.
∴ CD 為線段 AB 的垂直平分線.
又 ∵ AB 與 CD 相交于點 O，
∴AO = BO.

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