資源簡介

第一章 三角形的證明
1.3 線段的垂直平分線
第2課時 三角形三邊的垂直平分線與作圖
學習目標：
理解并掌握三角形三邊的垂直平分線的性質，能夠運用其解決實際問題.
2.能夠利用尺規作出三角形的垂直平分線.
一、情境導入
某學校為了方便學生生活，計劃在三個宿舍樓A、B、C之間修建一個食堂，試問該食堂應建于何處，才能使得它到宿舍樓的距離相等？
小組合作，探究概念和性質
知識點一：三角形三邊的垂直平分線的性質
合作探究：
求證三角形三邊的垂直平分線交于一點，并且這一點到三角形三個頂點的距離相等
已知：
求證：
總結：
試一試：
1.分別作出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三邊的垂直平分線，說明交點分別在什么位置.
知識點二：尺規作圖
做一做： (1) 已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎 如果能，能作幾個 所作出的三角形都全等嗎
已知等腰三角形的底及底邊上的高，你能用尺規作出等腰三角形嗎？能作幾個？
想一想：如何作出一個已知底及底邊上的高的等腰三角形呢？
例 已知：線段 a，h.
求作：△ABC，使 AB = AC，BC = a，
高 AD = h.
2. 已知直線 l 和線外一點 P，利用尺規作 l 的垂線，使它經過點 P.
回顧導入：食堂應建在三個宿舍樓 A、B、C的垂直平分線上，才能使得它到宿舍樓的距離相等.請畫出這個位置.
二、課堂小結
1. 如圖，等腰△ABC 中，AB = AC，∠A = 20°．線段 AB 的垂直平分線交 AB 于 D，交 AC 于 E，連接 BE，則∠CBE 等于 ( )
A．80° 　　
B．70°
C．60°
D．50°
2. 如圖所示，在△ABC 中，∠B＝22.5°，AB 的垂直平分線交 BC 于點 D，DF⊥AC 于點 F， 并與 BC 邊上的高 AE 交于 G.
求證：EG＝EC.
3. 已知：線段 a.
求作：△ABC，使∠ACB = 90°，AC = BC = a.
參考答案
知識點一：三角形三邊的垂直平分線的性質
合作探究：
已知：如圖，在△ABC 中，邊 AB 的垂直平分線與邊 BC 的垂直平分線相交于點 P.
求證：邊 AC 的垂直平分線經過點 P，且 PA = PB = PC.
證明：連接 PA，PB，PC.
∵點 P 在 AB，AC 的垂直平分線上，
∴PA = PB，PA = PC
( 線段垂直平分線上 的點到線段兩端距離相等 ).
∴ PB = PC.
∴點 P 在 BC 的垂直平分線上
(到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上).
定理：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等.
應用格式：
∵ 點 P 為 △ABC 三邊垂直平分線的交點，
∴ PA = PB = PC．
試一試：
1.分別作出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三邊的垂直平分線，說明交點分別在什么位置.
銳角三角形三邊的垂直平分線交點在三角形內；
直角三角形三邊的垂直平分線交點在斜邊中點處；
鈍角三角形三邊的垂直平分線交點在三角形外.
知識點二：尺規作圖
做一做： (1) 已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作出三角形嗎 如果能，能作幾個 所作出的三角形都全等嗎
已知：三角形的一條邊 a 和這邊上的高 h.
求作：△ABC，使 BC = a，BC 邊上的高為 h.
提示：能作出無數個這樣的三角形，它們并不全等.
已知等腰三角形的底及底邊上的高，你能用尺規作出等腰三角形嗎？能作幾個？
這樣的等腰三角形只有兩個，
并且它們是全等的，
分別位于已知底邊的兩側．
想一想：如何作出一個已知底及底邊上的高的等腰三角形呢？
例 已知：線段 a，h.
求作：△ABC，使 AB = AC，BC = a，
高 AD = h.
作法：1. 作線段 BC = a；
2. 作線段 BC 的垂直平分線 l 交 BC 于點 D；
3. 在 l 上作線段 DA，使 DA＝h .
4. 連接 AB，AC.
則△ABC為所求的等腰三角形.
2. 已知直線 l 和線外一點 P，利用尺規作 l 的垂線，使它經過點 P.
作法：
先以 P 為圓心，大于點 P 到直線 l 的
垂直距離 R 為半徑作圓，交直線 l 于A，B.
分別以 A、B 為圓心，大于 R 的長為半徑作圓，
相交于 C、D 兩點.
(3) 過兩交點作直線 l' ，此直線為 l 過 P 的垂線.
回顧導入：食堂應建在三個宿舍樓 A、B、C的垂直平分線上，才能使得它到宿舍樓的距離相等.請畫出這個位置.
如圖所示，連接AB、BC、AC，分別作三條線段的垂直平分線，即點P為所求.并完成作圖
當堂檢測
1.C
2.
3.

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