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第一章 三角形的證明
1.2 直角三角形
第1課時(shí) 直角三角形的性質(zhì)與判定
學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．
2．會(huì)用直角三角形全等的判定方法“HL”判定兩個(gè)直角三角形全等．
一、情境導(dǎo)入
問(wèn)題1 ：我們學(xué)過(guò)哪些判定三角形全等的方法？
問(wèn)題2 ：兩邊分別相等且其中一組等邊的對(duì)角相等的兩個(gè)三角形全等嗎 如果其中一組等邊所對(duì)的角是直角呢
要點(diǎn)探究
知識(shí)點(diǎn)一：全等三角形的判定和性質(zhì)
問(wèn)題：如果這兩個(gè)三角形都是直角三角形，即∠B =∠E = 90°，
且 AC = DF，BC = EF，現(xiàn)在能判定△ABC≌△DEF 嗎？
做一做：
已知一條直角邊和斜邊，求作一個(gè)直角三角形.
已知：如圖，線段 a，c (a＜c)，直角 α.
求作：Rt△ABC，使∠C = ∠α，BC = a，AB = c.
驗(yàn)證結(jié)論：
已知：如圖，在△ABC 與△A′B′C′ 中，∠C′ =∠C = 90°，
AB = A′B′，AC = A′C′.
求證：△ABC≌△A′B′C′
歸納總結(jié)：
典例精析
例1 如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為 C，D，AC = BD. 求證 BC = AD.
變式1：如圖，∠ACB＝∠ADB＝90°，要證明△ABC ≌△BAD，還需一個(gè)什么條件？把這些條件都寫(xiě)出來(lái)，并在相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)填寫(xiě)出判定它們?nèi)鹊睦碛?
(1) ( )
(2) ( )
(3) ( )
(4) ( )
例2 如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯，左邊滑梯的高度 AC 與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度 DF 相等，兩個(gè)滑梯的傾斜角∠B 和∠F 的大小有什么關(guān)系？
練一練
1. 如圖，已知 AD，AF 分別是兩個(gè)鈍角△ABC 和△ABE 的高，若 AD＝AF，AC＝AE，求證：BC＝BE.
二、課堂小結(jié)
1. 判斷兩個(gè)直角三角形全等的方法不正確的有 ( )
A. 兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等
B. 斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等
C. 斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等
D. 兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等
如圖，△ABC 中，AB = AC，AD 是高，
則 △ADB 與△ADC (填“全等”或“不全等”)，
依據(jù)是 (用簡(jiǎn)寫(xiě)法).
3.如圖，在 △ABC 中，已知 BD⊥AC，CE⊥AB，BD = CE. 求證：△EBC≌△DCB.
能力拓展
4. 如圖，有一直角三角形 ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一條線段 PQ＝AB，P、Q 兩點(diǎn)分別在 AC 上和過(guò) A 點(diǎn)且垂直于 AC 的射線 AQ 上運(yùn)動(dòng)，問(wèn) P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 AC 上什么位置時(shí) △ABC 才能和△APQ 全等？
參考答案
小組合作，探究概念和性質(zhì)
知識(shí)點(diǎn)一：全等三角形的判定和性質(zhì)
問(wèn)題：如果這兩個(gè)三角形都是直角三角形，即∠B =∠E = 90°，
且 AC = DF，BC = EF，現(xiàn)在能判定△ABC≌△DEF 嗎？
做一做：
已知一條直角邊和斜邊，求作一個(gè)直角三角形.
已知：如圖，線段 a，c (a＜c)，直角 α.
求作：Rt△ABC，使∠C = ∠α，BC = a，AB = c.
(1) 先畫(huà) ∠MCN＝∠α＝90°.
(2) 在射線 CM 上截取 CB＝a.
(3) 以點(diǎn) B 為圓心，線段 c 的長(zhǎng)為半徑作弧，
交射線 CN 于點(diǎn) A.
(4) 連接 AB，得到Rt△ABC.
驗(yàn)證結(jié)論：
已知：如圖，在△ABC 與△A′B′C′ 中，∠C′ =∠C = 90°，
AB = A′B′，AC = A′C′.
求證：△ABC≌△A′B′C′
證明：在△ABC中，
∵∠C＝90°，
∴ BC2＝AB2－AC2 (勾股定理).
同理，B'C' 2＝A'B' 2－A'C' 2.
∵AB＝A'B'，AC＝A'C'，
∴ BC＝B'C'.
∴ △ABC≌△A'B'C'( SSS ) .
歸納總結(jié)；
“斜邊、直角邊”判定方法
文字語(yǔ)言：斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等 (簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”).
幾何語(yǔ)言：
典例精析
例1 如圖，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別為 C，D，AC = BD. 求證 BC = AD.
證明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C 與∠D 都是直角.
在 Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
AB = BA，
AC = BD.
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC = AD.
變式1：如圖，∠ACB＝∠ADB＝90°，要證明△ABC ≌△BAD，還需一個(gè)什么條件？把這些條件都寫(xiě)出來(lái)，并在相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)填寫(xiě)出判定它們?nèi)鹊睦碛?
(1) AD＝BC ( HL )
(2) BD＝AC ( HL )
(3) ∠DAB＝∠CBA ( AAS )
(4) ∠DBA＝∠CAB ( AAS )
例2 如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯，左邊滑梯的高度 AC 與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度 DF 相等，兩個(gè)滑梯的傾斜角∠B 和∠F 的大小有什么關(guān)系？
解：根據(jù)題意，可知
∠ABC = ∠DEF = 90°，BC = EF，AC = DF，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴∠B = ∠DEF (全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).
∵∠DEF +∠F = 90°(直角三角形的兩銳角互余)，
∴∠B +∠F = 90°.
練一練
1. 如圖，已知 AD，AF 分別是兩個(gè)鈍角△ABC 和△ABE 的高，若 AD＝AF，AC＝AE，求證：BC＝BE.
證明：∵ AD，AF 分別是兩個(gè)鈍角△ABC 和△ABE 的高，
且 AD＝AF，AC＝AE，
∴ Rt△ADC ≌ Rt△AFE (HL).
∴ CD ＝ EF.
∵ AD ＝ AF，AB ＝ AB，
∴ Rt△ABD≌Rt△ABF (HL).
∴ BD＝BF.
∴ BD－CD＝BF－EF，即 BC＝BE.
方法總結(jié)：
當(dāng)堂檢測(cè)
1. 判斷兩個(gè)直角三角形全等的方法不正確的有 ( D )
A. 兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等
B. 斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等
C. 斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等
D. 兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等
如圖，△ABC 中，AB = AC，AD 是高，
則 △ADB 與△ADC 全等 (填“全等”或“不全等”)，
依據(jù)是 HL (用簡(jiǎn)寫(xiě)法).
3.如圖，在 △ABC 中，已知 BD⊥AC，CE⊥AB，BD = CE. 求證：△EBC≌△DCB.
證明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC =∠BDC = 90°.
在 Rt△EBC 和 Rt△DCB 中，
CE = BD，BC = CB，
∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL).
能力拓展
4. 如圖，有一直角三角形 ABC，∠C＝90°，AC＝10 cm，BC＝5 cm，一條線段 PQ＝AB，P、Q 兩點(diǎn)分別在 AC 上和過(guò) A 點(diǎn)且垂直于 AC 的射線 AQ 上運(yùn)動(dòng)，問(wèn) P 點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到 AC 上什么位置時(shí) △ABC 才能和△APQ 全等？
解：(1)當(dāng) P 運(yùn)動(dòng)到 AP＝BC 時(shí)，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在 Rt△ABC 與 Rt△QPA 中，
∵ PQ＝AB，AP＝BC，
∴ Rt△ABC ≌ Rt△QPA (HL). ∴ AP＝BC＝5 cm.
(2) 當(dāng) P 運(yùn)動(dòng)到與 C 點(diǎn)重合時(shí)，AP＝AC.
在 Rt△ABC 與 Rt△QPA 中，
∵ PQ＝AB，AP＝AC，
∴ Rt△QAP≌Rt△BCA (HL)，
∴ AP＝AC＝10 cm.
∴ 當(dāng) AP＝5 cm 或 10 cm 時(shí)，△ABC 才能和△APQ 全等.
【方法總結(jié)】判定三角形全等的關(guān)鍵是找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，由于本題沒(méi)有說(shuō)明全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，因此要分類(lèi)討論，以免漏解．

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