資源簡介

第一章 三角形的證明
1.1 等腰三角形
第2課時 等邊三角形的性質
學習目標：
1.進一步學習等腰三角形的相關性質，了解等腰三角形兩底角的角平分線（兩腰上的高，中線）的性質；
2.學習等邊三角形的性質，并能夠運用其解決問題.
一、情境導入
思考：在上一節課我們證明了等腰三角形的兩底角相等，那等邊三角形的各角之間有什么關系呢？
要點探究
知識點一：等腰三角形的重要線段的性質
在等腰三角形中畫出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發現其中一些相等的線段嗎 能證明你的結論嗎
猜想：
例1 證明：等腰三角形兩底角的平分線相等．
已知：
求證：
例2 證明：等腰三角形兩腰上的中線相等．
已知：
求證：
例3 證明：等腰三角形兩腰上的高相等．
已知：
求證：
議一議：
已知：如圖，在 △ABC 中，AB = AC，點 DE 分別在邊 AC 和 AB 上.
如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE =∠ACB， 那么 BD = CE 嗎？
如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE = ∠ACB 呢？
(3) 如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE = ∠ACB ， 那么 BD = CE 嗎
由此你能得到一個什么結論
結論：
已知：如圖，在△ABC 中，AB = AC，點 DE 分別在邊 AC 和 AB 上.
如果 AD = AC，AE = AB， 那么 BD = CE 嗎？ 為什么？
(2) 如果 AD = AC，AE = AB，那么 BD = CE 嗎？ 為什么？
(3) 如果 AD = AC，AE = AB，那么 BD = CE 嗎？ 為什么？
由此你能得到一個什么結論
結論：
知識點二：等邊三角形的性質
想一想：等邊三角形是特殊的等腰三角形，那么等邊三角形的內角有什么特征呢？
提問1：怎樣證明這一定理呢？
已知：
求證：
典例精析
例4 如圖，等邊三角形 ABC 中，BD 是 AC 邊上的中線，BD = BE，求∠EDA 的度數.
二、課堂小結
如圖，△ABC 和△ADE 都是等邊三角形，若△ABC的周長為 18 cm，EC = 2 cm，則△ADE 的周長是 cm.
2. 如圖所示，△ACM 和 △BCN 都為等邊三角形，連接 AN、BM，求證：AN = BM.
3. 如圖，A、O、D 三點共線，△OAB 和△OCD 是兩個全等的等邊三角形，求∠AEB 的大小.
變式：如圖，若把“兩個全等的等邊三角形”換成“不全等的兩個等邊三角形”，其余條件不變，你還能求出∠AEB 的大小嗎？
參考答案
小組合作，探究概念和性質
在等腰三角形中畫出一些線段(如角平分線、中線、高等)，你能發現其中一些相等的線段嗎 能證明你的結論嗎
猜想1：底角的兩條平分線相等
猜想2：兩條腰上的中線相等
猜想3：兩條腰上的高線相等
例1 證明：等腰三角形兩底角的平分線相等．
已知：如圖，在△ABC 中，AB = AC，BD 和 CE 是角平分線．
求證：BD = CE.
證明：∵ AB = AC，
∴∠ABC =∠ACB
(等邊對等角).
又∵∠1 = ∠ABC，∠2 = ∠ACB (已知)，
∴∠1 =∠2 (等式性質)．
在 △BDC 與 △CEB 中，
∵∠DCB =∠ EBC ，BC = CB，∠1 =∠2，
∴△BDC≌△CEB (ASA)．
∴BD = CE (全等三角形的對應邊相等)．
例2 證明：等腰三角形兩腰上的中線相等．
已知：如圖，在△ABC 中，AB = AC，BM，CN 兩腰上的中線．
求證：BM = CN．
證明：∵ AB = AC (已知)，
∴∠ABC =∠ACB.
又∵ CM = AC，BN = AB，
∴ CM = BN.
在△BMC 與△CNB 中，
∵ BC = CB，∠MCB =∠NBC，CM = BN，
∴△BMC≌△CNB (SAS)．
∴ BM = CN.
例3 證明：等腰三角形兩腰上的高相等．
已知：如圖，在 △ABC 中，AB = AC，BP，CQ 是△ABC 兩腰上的高．
求證：BP = CQ．
證明：∵ AB = AC (已知)，
∴∠QBC =∠PCB.
在△BQC 與△CPB 中，
∵∠BQC =∠CPB，∠QBC =∠PCB，BC = CB，
∴△BQC≌△CPB (AAS).
∴ BP = CQ.
議一議：
已知：如圖，在 △ABC 中，AB = AC，點 DE 分別在邊 AC 和 AB 上.
（1）如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE =∠ACB， 那么 BD = CE 嗎？
BD = CE
(2) 如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE = ∠ACB 呢？
BD = CE
(3) 如果∠ABD = ∠ABC，∠ACE = ∠ACB ， 那么 BD = CE 嗎
BD = CE
由此你能得到一個什么結論
結論：如圖，在△ABC 中，如果 AB = AC，∠ABD = ∠ACE，那么 BD = CE.
師生活動：以上證明都由特殊結論猜想出了一般結論.請同學們把一般結論的證明過程完整地書寫出來. (教師可巡視指導)下面我們來討論第(2)問，請小組代表發言.
已知：如圖，在△ABC 中，AB = AC，點 DE 分別在邊 AC 和 AB 上.
如果 AD = AC，AE = AB，那么 BD = CE 嗎？
為什么？
BD = CE
如果 AD = AC，AE = AB， 那么 BD = CE 嗎？
為什么？
BD = CE
(3) 如果 AD = AC，AE = AB， 那么 BD = CE 嗎？ 為什么？
BD = CE
由此你能得到一個什么結論
結論：如圖，在△ABC 中，如果 AB = AC，AD = AE，那么 BD = CE.
知識點二：等邊三角形的性質
想一想：等邊三角形是特殊的等腰三角形，那么等邊三角形的內角有什么特征呢？
定理：等邊三角形的三個內角都相等，并且每個角都等于 60°.
提問1：怎樣證明這一定理呢？
預設：可以利用等腰三角形的性質進行證明.
已知：如圖，在△ABC 中，AB = AC = BC.
求證：∠A =∠B =∠C = 60°.
證明：在△ABC中，
∵AB=AC(已知)，
∴∠B=∠C(等邊對等角).
同理∠A=∠B．
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
(三角形的內角和等于180°)，
∴∠A=∠B=∠C=60°．
典例精析
例4 如圖，等邊三角形 ABC 中，BD 是 AC 邊上的中線，BD = BE，求∠EDA 的度數.
解：∵△ABC 是等邊三角形，
∴∠CBA = 60°.
∵ BD 是 AC 邊上的中線，
∴∠BDA = 90°，∠DBA = 30°.
∵ BD = BE，
∴∠BDE = (180°－∠DBA)÷2
= (180°－30°)÷2 = 75°.
∴∠EDA = 90°－∠BDE = 90°－75° = 15°.
當堂檢測
1.12
2.證明：∵△ACM 和△BCN 都為等邊三角形，
∴∠1＝∠3＝60°.
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2，
即∠ACN＝∠MCB.
∵ CA＝CM，CB＝CN，
∴△CAN≌△CMB (SAS).
∴ AN＝BM.
3.解：∵△OAB 和△OCD 是兩個全等的等邊三角形，
∴ AO = BO，CO = DO，∠AOB =∠COD = 60°.
∵ A、O、D 三點共線，
∴∠DOB =∠COA = 120°.
∴△COA≌△DOB (SAS).
∴∠DBO =∠CAO.
設 OB 與 EA 相交于點 F.
∵∠EFB =∠AFO，
∴∠AEB =∠AOB = 60°.
變式：方法與前面相同，∠AEB = 60°.

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