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第一章 三角形的證明
1.1 等腰三角形
第1課時 等腰三角形的性質(zhì)
學習目標：
1.會敘述角平分線的性質(zhì)及判定;
2.能利用三角形全等，證明角平分線的性質(zhì)定理，理解和掌握角平分線性質(zhì)定理和它的逆定理，能應(yīng)用這兩個性質(zhì)解決一些簡單的實際問題.
一、情境導(dǎo)入
如圖，某地有兩所大學和兩條交叉的公路．圖中點 M，N 表示大學，OA，OB 表示公路，現(xiàn)計劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫 P 應(yīng)該建在什么位置嗎？請在圖中畫出你的設(shè)計．(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)
要點探究
知識點一：角平分線的性質(zhì)
合作探究：
在∠AOB 的角平分線上任意取一點 C，分別折出過點 C 且與∠AOB 的兩邊垂直的直線，垂足分別為D， E，將∠AOB 再次對折，線段 CD 與 CE 能重合嗎
改變點 C 的位置，線段 CD 和 CE 還相等嗎
已知：如圖，OC 是∠AOB 的平分線，點 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為 D，E.
求證：PD = PE.
總結(jié)：
典例精析
例1 如圖，AM 是∠BAC 的平分線，點 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是 D、E，PD = 4 cm，則 PE = ______cm.
知識點二：角平分線的判定
你能寫出上面這個定理的逆命題嗎 它是真命題嗎
已知：如圖，點 P 為是∠AOB 內(nèi)一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為 D、E，且 PD = PE.
求證：點 P 在∠AOB 的平分線上.
總結(jié)：
例2 如圖，在△ABC中，∠BAC= 60°，點 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為 E，F(xiàn)，且DE = DF，求 DE 的長.
例3 如圖，已知∠CBD 和∠BCE 的平分線相交于點 F.
求證：點 F 在∠DAE 的平分線上．
歸納總結(jié)：
二、課堂小結(jié)
1. 如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是 E，F(xiàn)，DE = DF，∠EDB = 60°，則∠EBF = °，BE = .
題1 題2
2. △ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠CAB，且 BC = 8，BD = 5，則點D 到 AB 的距離是 .
3. (西安期中)如圖，若∠ABC 的平分線與△ABC 的外角∠ACD 的平分線相交于點 P，若∠BAC = 62°，∠PAC 等于_______°.
參考答案
在∠AOB 的角平分線上任意取一點 C，分別折出過點 C 且與∠AOB 的兩邊垂直的直線，垂足分別為D， E，將∠AOB 再次對折，線段 CD 與 CE 能重合嗎
改變點 C 的位置，線段 CD 和 CE 還相等嗎
結(jié)論：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
已知：如圖，OC 是∠AOB 的平分線，點 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為 D，E.
求證：PD = PE.
證明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為 D，E，
∴∠PDO =∠PEO = 90°.
∵OC 是∠AOB 的平分線，
∴∠1 =∠2.
∵OP = OP，
∴△PDO≌△PEO (AAS).
∴ PD = PE(全等三角形的對應(yīng)邊相等).
性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.
應(yīng)用所具備的條件：
(1) 角的平分線；
(2) 點在該平分線上；
(3) 垂直距離.
定理的作用：證明線段相等.
應(yīng)用格式：∵ OP 是∠AOB 的平分線，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ PD = PE(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等).
典例精析
例1 如圖，AM 是∠BAC 的平分線，點 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是 D、E，PD = 4 cm，則 PE = __4____cm.
知識點二：角平分線的判定
你能寫出上面這個定理的逆命題嗎 它是真命題嗎
預(yù)設(shè)1：
已知：如圖，點 P 為是∠AOB 內(nèi)一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為 D、E，且 PD = PE.
求證：點 P 在∠AOB 的平分線上.
證明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為 D，E，
∴∠ODP =∠OEP = 90°.
∵PD = PE ，OP = OP ，
∴ Rt△DOP≌Rt△EOP (HL).
∴∠1 =∠2 (全等三角形的對應(yīng)角相等).
∴ OP 平分∠AOB.
角的平分線判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.
幾何語言：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，
∴ 點 P 在∠AOB 的平分線上.
例2 如圖，在△ABC中，∠BAC= 60°，點 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為 E，F(xiàn)，且DE = DF，求 DE 的長.
例3 如圖，已知∠CBD 和∠BCE 的平分線相交于點 F.
求證：點 F 在∠DAE 的平分線上．
回顧導(dǎo)入：根據(jù)以上的知識，則可解決導(dǎo)入中的問題.
方法總結(jié)：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上，到兩點距離相等的點在兩點連線的垂直平分線上.
歸納總結(jié)：
當堂檢測
1.60；BF
2.3
3.59

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