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第一章 三角形的證明
1.1 等腰三角形
第1課時 等腰三角形的性質
學習目標：
1.回顧全等三角形的判定和性質;
2.理解并掌握等腰三角形的性質及其推論，能運用其解決基本的幾何問題.
一、情境導入
圖中有你熟悉的圖形嗎 它們有什么共同特點
問題1 在八上的“平行線的證明”這一章中，我們學了哪 8 條基本事實？
要點探究
知識點一：全等三角形的判定和性質
定理　兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等 (AAS).
問題2：你能用基本事實及已經學過的定理證明上面的推論嗎？
已知：
求證：
總結：
知識點二：等腰三角形的性質及其推論
問題3：你還記得我們探索過的等腰三角形的性質嗎
問題4：你能利用基本事實或已知的定理證明這些結論嗎
議一議：在七下學習軸對稱時，我們利用折疊的方法說明了等腰三角形是軸對稱圖形，且兩個底角相等，如下圖，實際上，折痕將等腰三角形分成了兩個全等的三角形. 由此，你得到了解題什么的啟發？
已知： 如圖，在 △ABC 中，AB = AC.
求證： ∠B = ∠C.
還有其他的證法嗎？
想一想：由△BAD≌△CAD，圖中線段 AD 還具有怎樣的性質？為什么？由此你能得到什么論？
總結：
練一練
1. 已知，如圖，△ABC≌△ADE，∠BED = 20°，則∠AED 的度數為( )
A.60° B.90°
C. 80° D. 20°
典例精析
例1 已知點 D、E 在△ABC 的邊 BC 上，AB＝AC.
(1) 如圖①，若 AD＝AE，求證：BD＝CE；
(2) 如圖②，若 BD＝CE，F 為 DE 的中點，求證： AF⊥BC.
二、課堂小結
1. 如圖，已知 AB＝AE，∠BAD ＝∠CAE，要使△ABC≌△AED，還需添加一個條件，這個條件可以是________________________．
2. (1) 等腰三角形一個底角為 75°，它的另外兩個角為 __________；
(2) 等腰三角形一個角為 36°，它的另外兩個角為
_____________；
(3) 等腰三角形一個角為120°,它的另外兩個角為________.
參考答案
創設情境，導入新知
問題1 在八上的“平行線的證明”這一章中，我們學了哪 8 條基本事實？
1.兩點確定一條直線.
2. 兩點之間線段最短..
3. 同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.
4. 同位角相等，兩直線平行.
5. 過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行.
6. 兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等.
7. 兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等.
8. 三邊分別相等的兩個三角形全等.
小組合作，探究概念和性質
知識點一：全等三角形的判定和性質
問題2：你能用基本事實及已經學過的定理證明上面的推論嗎？
已知：如圖，∠A =∠D，∠B =∠E，BC = EF.
求證：△ABC≌△DEF.
證明：∵∠A +∠B +∠C = 180°，
∠D +∠E +∠F = 180° (三角形的內角和等于 180°)，
∴∠C = 180°－(∠A +∠B)，∠F = 180°－(∠D +∠E).
∵∠A =∠D，∠B =∠E (已知)，
∴∠C =∠F (等量代換).
∵ BC = EF (已知)，
∴△ABC≌△DEF (ASA).
根據全等三角形的定義，我們可以得到：
全等三角形的對應邊相等，對應角相等.
知識點二：等腰三角形的性質及其推論
問題3：你還記得我們探索過的等腰三角形的性質嗎
定理：等腰三角形的兩個底角相等.
推論：等腰三角形頂角的平分線，底邊上的中線， 底邊上的高互相重合(三線合一).
問題4：你能利用基本事實或已知的定理證明這些結論嗎
議一議：在七下學習軸對稱時，我們利用折疊的方法說明了等腰三角形是軸對稱圖形，且兩個底角相等，如下圖，實際上，折痕將等腰三角形分成了兩個全等的三角形. 由此，你得到了解題什么的啟發？
已知： 如圖，在 △ABC 中，AB = AC.
求證： ∠B = ∠C.
方法一：作底邊上的中線
證明：如圖，取 BC 的中點 D，連接 AD.
∵AB = AC，BD = CD，AD = AD
∴△ABD≌△ACD (SSS).
∴∠B =∠C
(全等三角形的對應角相等).
方法二：作頂角的平分線
證明：
作頂角的平分線 AD，則∠BAD =∠CAD.
∵AB = AC，∠BAD = ∠CAD，AD = AD，
∴△BAD ≌ △CAD (SAS).
∴∠B =∠C (全等三角形的對應角相等).
想一想：由△BAD≌△CAD，圖中線段 AD 還具有怎樣的性質？為什么？由此你能得到什么論？
由△BAD≌△CAD，
可得 BD = CD，∠ADB =∠ADC，
∠BAD =∠CAD.
又∵∠ADB +∠ADC = 180°，
∴∠ADB =∠ADC = 90°，即 AD⊥BC.
故 AD 是等腰△ABC 底邊 BC 上的中線、頂角∠BAC 的平分線、底邊 BC 上的高線.
定理：等腰三角形的兩個底角相等(等邊對等角).
幾何語言：
如圖，在 △ABC 中，
∵ AB = AC (已知)，
∴∠B =∠C (等邊對等角).
推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合(三線合一）.
練一練
1. 已知，如圖，△ABC≌△ADE，∠BED = 20°，則∠AED 的度數為( C )
A.60° B.90°
C. 80° D. 20°
典例精析
例1 已知點 D、E 在△ABC 的邊 BC 上，AB＝AC.
(1) 如圖①，若 AD＝AE，求證：BD＝CE；
(2) 如圖②，若 BD＝CE，F 為 DE 的中點，求證： AF⊥BC.
證明：(1) 如圖①，過 A 作 AG⊥BC 于 G.
∵ AB＝AC，AD＝AE，
∴ BG＝CG，DG＝EG.
∴ BG－DG＝CG－EG，即 BD＝CE.
∵ BD＝CE，F 為 DE 的中點，
∴ BD＋DF＝CE＋EF，
∴ BF＝CF.
∵ AB＝AC，
∴ AF⊥BC.
當堂檢測
∠C ＝∠D (答案不唯一)
（1）75°，30° ；（2）72°，72°，或 36°，108°（3）30°，30°

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