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第一章 三角形的證明
1.4 角平分線
第2課時 三角形三條內角的平分線
學習目標：
會證明和運用“三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等”.
2.角平分線的性質定理和判定定理的靈活運用.
一、情境導入
活動1 分別畫出下列三角形三個內角的平分線，你發現了什么？
活動2 分別過交點作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量每組垂線段，你發現了什么？
要點探究
知識點一： 三角形的內角平分線
已知：如圖，在△ABC 中，角平分線 BM 與角平分線 CN 相交于點 P，過點 P 分別作 AB，BC，AC 的垂線，垂足分別為 D，E，F.
求證：∠A 的平分線經過點 P，且 PD = PE = PF.
總結：
典例精析
例1 如圖，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分線，DE⊥AB，垂足為 E.
如果 CD = 4 cm，求 AC 的長；
求證：AB＝AC＋CD.
例2 如圖，在直角△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于點 O，過點 O 作 OM⊥AC，若 OM＝4，
(1) 點 O 到△ABC 三邊的距離和為 .
(2) 若 △ABC 的周長為 32，求 △ABC 的面積.
例3 如圖，在△ABC 中，點 O 是△ABC 內一點，且點 O 到△ABC 三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC 的度數為 (　　)
A．110° B．120°
C．130° D．140°
二、課堂小結
1. 如圖，已知 △ABC，求作一點 P，使 P 到∠A 的兩邊的距離相等，且 PA＝PB．下列確定 P 點的方法正確的是 ( )
A. P 為∠A，∠B 兩角平分線的交點
B. P 為∠A 的平分線與 AB 的垂直平分線的交點
C. P 為 AC，AB 兩邊上的高的交點
D. P 為 AC，AB 兩邊的垂直平分線的交點
2. 如圖，在△ABC 中，∠C = 90°，DE⊥AB， ∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm，
那么 AE + DE = cm.
3. 如圖所示，是一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在 ( )
A. △ABC 的三條中線的交點
B. △ABC 三邊的垂直平分線的交點
C. △ABC 三條角平分線的交點
D. △ABC 三條高所在直線的交點
4. 已知：如圖，△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分線，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD = DF.
求證：CF = EB.
5. 如圖，直線 l1、l2、l3 表示三條互相交叉的公路，現要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，可選擇的地址有幾處 畫出它的位置.
參考答案
創設情境，導入新知
活動1 分別畫出下列三角形三個內角的平分線，你發現了什么？
猜想結論：三角形的三條角平分線相交于一點.
活動2 分別過交點作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量每組垂線段，你發現了什么？
猜想結論：過交點作三角形三邊的垂線段相等.
小組合作，探究概念和性質
知識點一： 三角形的內角平分線
已知：如圖，在△ABC 中，角平分線 BM 與角平分線 CN 相交于點 P，過點 P 分別作 AB，BC，AC 的垂線，垂足分別為 D，E，F.
求證：∠A 的平分線經過點 P，且 PD = PE = PF.
結論：三角形的三條角平分線相交于一點,并且這一點到三條邊的距離相等.
典例精析
例1 如圖，在△ABC 中，已知 AC = BC，∠C = 90°， AD 是△ABC 的角平分線，DE⊥AB，垂足為 E.
如果 CD = 4 cm，求 AC 的長；
求證：AB＝AC＋CD.
證明：由 (1) 的求解過程易知，
Rt△ACD≌Rt△AED (HL).
∴ AC＝AE.
∵ BE＝DE＝CD，
∴ AB＝AE＋BE＝AC＋CD.
例2 如圖，在直角△ABC 中，AC = BC，∠C = 90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于點 O，過點 O 作 OM⊥AC，若 OM＝4，
(1) 點 O 到△ABC 三邊的距離和
為 12 .
(2) 若 △ABC 的周長為 32，求 △ABC 的面積.
解：如圖，過點 O 作 OE⊥AB 于點 E，ON⊥BC 于點 N，連接 OC.
例3 如圖，在△ABC 中，點 O 是△ABC 內一點，且點 O 到△ABC 三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC 的度數為 (　A　)
A．110° B．120°
C．130° D．140°
當堂檢測
1. 如圖，已知 △ABC，求作一點 P，使 P 到∠A 的兩邊的距離相等，且 PA＝PB．下列確定 P 點的方法正確的是 ( B )
A. P 為∠A，∠B 兩角平分線的交點
B. P 為∠A 的平分線與 AB 的垂直平分線的交點
C. P 為 AC，AB 兩邊上的高的交點
D. P 為 AC，AB 兩邊的垂直平分線的交點
2. 如圖，在△ABC 中，∠C = 90°，DE⊥AB， ∠CBE =∠ABE，且 AC = 6 cm，
那么 AE + DE = 6 cm.
3. 如圖所示，是一塊三角形的草坪，現要在草坪上建一涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三條邊的距離相等，涼亭的位置應選在 ( C )
A. △ABC 的三條中線的交點
B. △ABC 三邊的垂直平分線的交點
C. △ABC 三條角平分線的交點
D. △ABC 三條高所在直線的交點
4. 已知：如圖，△ABC 中，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分線，DE⊥AB 于 E，F 在 AC 上，BD = DF.
求證：CF = EB.
證明：∵ AD 平分∠CAB，
DE⊥AB，∠C = 90° (已知)，
∴CD＝DE (角平分線的性質).
在 Rt△CDF 和 Rt△EDB 中，
　　 CD = ED (已證)，
DF = DB (已知)，
∴ Rt△CDF≌Rt△EDB (HL).
∴ CF = EB (全等三角形的對應邊相等).
5. 如圖，直線 l1、l2、l3 表示三條互相交叉的公路，現要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，可選擇的地址有幾處 畫出它的位置.

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