資源簡介

第一章 整式的乘除
1.5 整式的乘法
第2課時 平方差公式的運用
學習目標：
1.掌握平方差公式的結構特征，能運用公式進行簡便運算；
2.會用幾何圖形說明公式的意義，體會數(shù)形結合的思想方法.
一、情境導入
1.問：平方差公式是怎樣的？
2.利用平方差公式計算：
(1) (2x + 7b)(2x – 7b)；
(2) (－m + 3n)(m + 3n).
要點探究
知識點一：平方差公式的幾何驗證
如圖 1，邊長為 a 的大正方形中有一個邊長為 b 的小正方形.
(1) 請表示圖 1 中陰影部分的面積.
(2) 小穎將陰影部分拼成了一個長方形 (如圖 2 )，這個長方形的長和寬分別是多少 你能表示出它的面積嗎
(3) 比較 (1) (2) 的結果，你能驗證平方差公式嗎
還有其他的幾何方法解釋嗎？
知識點二：平方差公式的運用
自主探究
想一想：(1) 計算下列各式，并觀察他們的共同特點：
7×9 = 11×13 = 79×81 =
8×8 = 12×12 = 80×80 =
(2) 從以上的過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
(3) 請用字母表示這一規(guī)律，你能說明它的正確性嗎？
典例精析
例1 用平方差公式進行計算：
(1) 103×97； (2) 118×122.
例2 計算：
(1) a2(a + b)(a－b) + a2b2；
(2) (2x－5)(2x + 5)－2x(2x－3).
例3 王大伯家把一塊邊長為 a 米的正方形土地租給了鄰居李大媽．今年王大伯對李大媽說：“我把這塊地一邊減少 4 米，另外一邊增加 4 米，繼續(xù)原價租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應了．你認為李大媽吃虧了嗎？為什么？
二、課堂小結
1. 已知 a = 7202，b = 721×719，則 ( )
A. a = b B. a＞b
C. a＜b D. a≤b
2.97×103 = ( )×( ) = ( ).
3. 方程 (x + 6)(x－6)－x(x－9) = 0 的解是______.
4. 利用平方差公式計算：
(1) 51×49； (2) 13.2×12.8；
(3) (3x + 4)(3x－4)－(2x + 3)(3x－2).
5. 計算：
(1) 20232 －2024×2022；
(2) (y + 2) (y－2)－(y－1) (y + 5) .
能力拓展：
1. 計算：(x－y)(x + y)(x2 + y2).
若 A＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)，則 A 的值是____．
參考答案
創(chuàng)設情境，導入新知
1.問：平方差公式是怎樣的？
(a + b)(a b) = a2 b2.
2.利用平方差公式計算：
(1) (2x + 7b)(2x – 7b)；
(2) (－m + 3n)(m + 3n).
答案：(1) 4x2－49b2 ； (2) 9n2－m2 .
要點探究
知識點一：平方差公式的幾何驗證
如圖 1，邊長為 a 的大正方形中有一個邊長為 b 的小正方形.
(1) 請表示圖 1 中陰影部分的面積.
(2) 小穎將陰影部分拼成了一個長方形 (如圖 2 )，這個長方形的長和寬分別是多少 你能表示出它的面積嗎
(3) 比較 (1) (2) 的結果，你能驗證平方差公式嗎
合作探究
(1) 圖 1 中陰影部分的面積：a2 b2.
(2) 圖 2 中長：a + b，寬：a b，面積：(a + b)(a b).
(3) 由于(1) (2)表示的面積相同，所以可以驗證平方差公式.
還有其他的幾何方法解釋嗎？
知識點二：平方差公式的運用
自主探究
想一想：(1) 計算下列各式，并觀察他們的共同特點：
7×9 = 63 11×13 = 143 79×81 =6399
8×8 = 64 12×12 = 144 80×80 = 6400
(2) 從以上的過程中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
(3) 請用字母表示這一規(guī)律，你能說明它的正確性嗎？
(a + 1)(a 1) = a2 1
典例精析
例1 用平方差公式進行計算：
(1) 103×97； (2) 118×122.
解：(1) 103×97= (100＋3)(100－3)= 1002－32= 10000－9= 9991.
(2) 118×122= (120－2)(120＋2)= 1202－22= 14400－4= 14396.
例2 計算：
(1) a2(a + b)(a－b) + a2b2；
(2) (2x－5)(2x + 5)－2x(2x－3).
解：(1) 原式 = a2(a2－b2) + a2b2 = a4－a2b2 + a2b2 = a4.
(2) 原式 = (2x)2－25－(4x2－6x) = 4x2－25－4x2+6x = 6x－25.
例3 王大伯家把一塊邊長為 a 米的正方形土地租給了鄰居李大媽．今年王大伯對李大媽說：“我把這塊地一邊減少 4 米，另外一邊增加 4 米，繼續(xù)原價租給你，你看如何？”李大媽一聽，就答應了．你認為李大媽吃虧了嗎？為什么？
解：李大媽吃虧了．理由如下：原正方形的面積為 a2，
改變邊長后面積為 (a＋4)(a－4)＝a2－16.
∵ a2＞a2－16，
∴ 李大媽吃虧了.
當堂小結
當堂檢測
1. 已知 a = 7202，b = 721×719，則 ( B )
A. a = b B. a＞b
C. a＜b D. a≤b
2. 97×103 = ( 100－3 )×( 100 + 3 ) = ( 1002－32 ).
3. 方程 (x + 6)(x－6)－x(x－9) = 0 的解是__x = 4_.
4. 利用平方差公式計算：
(1) 51×49； (2) 13.2×12.8；
(3) (3x + 4)(3x－4)－(2x + 3)(3x－2).
解：(1) 原式＝(50 + 1)(50－1)＝502－12
＝2500－1＝2499.
(2) 原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)＝132－0.22
＝169－0.04＝168.96.
(3) 原式＝(9x2－16)－(6x2 + 5x－6)
＝3x2－5x－10.
5. 計算：
(1) 20232 －2024×2022；
解：20232－2024×2022
= 20232－(2023＋1)(2023－1)
= 20232－(20232－1)
= 20232－20232＋1
= 1.
(2) (y + 2) (y－2)－(y－1) (y + 5) .
解：(y + 2)(y－2)－(y－1)(y + 5)
= y2－22－(y2 + 4y－5)
= y2－4－y2－4y + 5
= －4y + 1.
能力拓展：
1. 計算：(x－y)(x + y)(x2 + y2).
解：原式＝(x2－y2)(x2 + y2)＝x4－y4.
若 A＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)，則 A 的值是__255__．
解析：A＝(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)
＝(2－1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)
＝(22－1)(22 + 1)(24 + 1)
＝(24－1)(24 + 1)
＝28－1＝255．

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