資源簡介

第一章 整式的乘除
1.5 平方差公式
第1課時 平方差公式的認識
學習目標：
1.理解并掌握平方差公式的推導和應用.（重點）
2.理解平方差公式的結構特征，并能運用公式進行簡單的運算.（難點）
一、情境導入
繪畫課上，靈靈向新新借了一張邊長為 a cm 的正方形彩紙. 幾天后還了一張寬為 (a - 4) cm，長為 (a + 4) cm 的長方形彩紙. 兩張彩紙面積相等嗎？
要點探究
知識點一：平方差公式
合作探究
探究：計算下列多項式的積，你能發現什么規律？
① (x＋2)( x－2)；
② (1＋3a)(1－3a)；
③ (x＋5y)(x－5y)；
④ (2y＋z)(2y－z).
猜想：
驗證：對于任意數字，探究上述結果是否仍成立？
知識要點
平方差公式：
公式變形：
填一填
典例精析
例1 利用平方差公式計算：
(1) (5＋6x)(5－6x)； (2) (x－2y)(x＋2y)；
(3) (－m＋n)(－m－n).
例2 利用平方差公式計算：
練一練
1. 利用平方差公式計算：
(1) (－7m＋8n)(－8n－7m)；
(2) (x－2)(x＋2)(x2＋4)．
例3 先化簡，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝1，y＝2.
想一想
回答下列各題：
(l) (－a + b)(a + b) = .
(2) (a－b)(b + a) = .
(3) (－a－b)(－a + b) = .
(4) (a－b)(－a－b) = .
二、課堂小結
1.下列式子能用平方差公式計算嗎 為什么 如果能夠，怎樣計算
(1) (a + b)( a b) ；
(2) (a b)(b a)；
(3) (a + 2b)(2b + a)；
(4) (a b)(a + b) ；
(5) ( 2x + y)(y 2x).
2. 下面各式的計算對不對？如果不對，應當怎樣改正？
(1) (x + 2)(x－2) = x2－2；
(2) (－3a－2)(3a－2) = 9a2－4.
3. 利用平方差公式計算：
(1) (a + 3b)(a - 3b)；
(2) (3 + 2a)(－3 + 2a)；
(3) (－2x2－y)(－2x2 + y)；
(4) (－5 + 6x)(－6x－5).
參考答案
創設情境，導入新知
繪畫課上，靈靈向新新借了一張邊長為 a cm 的正方形彩紙.幾天后還了一張寬為 (a - 4) cm，長為 (a + 4) cm 的長方形彩紙. 兩張彩紙面積相等嗎？
解：原正方形彩紙面積 a2
還的彩紙面積： (a + 4)(a 4)= a2 4a + 4a 42= a2 42＜a2
要點探究
知識點一：平方差公式
合作探究
探究：計算下列多項式的積，你能發現什么規律？
① (x＋2)( x－2)； x2－4＝x2－ 22
② (1＋3a)(1－3a)； 1－9a2＝12－(3a)2
③ (x＋5y)(x－5y)； x2－25y2＝x2－(5y)2
④ (2y＋z)(2y－z). 4y2－z2＝(2y)2－z2
猜想：兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差.
驗證：對于任意數字，探究上述結果是否仍成立？
對于任意數字 a、b 都有
(a + b)(a b) = a2 ab + ab b2= a2 b2.
知識要點
平方差公式：(a + b)(a b) = a2 b2
兩數和與這兩數差的積，等于它們的平方差.
公式變形：(a – b)(a + b) = a2 b2
(b + a)( b + a) = a2 b2
填一填
典例精析
例1 利用平方差公式計算：
(1) (5＋6x)(5－6x)； (2) (x－2y)(x＋2y)；
(3) (－m＋n)(－m－n).
解：(1) (5＋6x)(5－6x)＝52－(6x)2＝25－36x2.
(2) 原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2. (3) 原式＝(－m)2－n2＝m2－n2.
例2 利用平方差公式計算：
練一練
1. 利用平方差公式計算：
(1) (－7m＋8n)(－8n－7m)；
(2) (x－2)(x＋2)(x2＋4)．
解：(1) 原式＝(－7m)2－(8n)2 ＝49m2－64n2.
(2) 原式＝(x2－4)(x2＋4)＝x4－16.
例3 先化簡，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中 x＝1，y＝2.
解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)
＝4x2－y2－(4y2－x2)
＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2.
當 x＝1，y＝2 時，原式＝5×12－5×22＝－15.
想一想
回答下列各題：
(l) (－a + b)(a + b) =_b2－a2__.
(2) (a－b)(b + a) = __a2－b2___.
(3) (－a－b)(－a + b) = _a2－b2__.
(4) (a－b)(－a－b) = ___b2－a2___.
課堂小結
當堂檢測
1.下列式子能用平方差公式計算嗎 為什么 如果能夠，怎樣計算
(1) (a + b)( a b) ；
(2) (a b)(b a)；
(3) (a + 2b)(2b + a)；
(4) (a b)(a + b) ；
(5) ( 2x + y)(y 2x).
答案；(1)不能；(2)不能；(3)不能；
(4)能， (a2 b2) = a2 + b2；(5)不能.
2. 下面各式的計算對不對？如果不對，應當怎樣改正？
(1) (x + 2)(x－2) = x2－2；
(2) (－3a－2)(3a－2) = 9a2－4.
(1) 不對.改正：x2－4.
(2) 不對.改正方法1：
原式 =－[(3a + 2)(3a－2)] =－(9a2－4)=－9a2 + 4.
改正方法2：原式 = (－2－3a)(－2 + 3a)= (－2)2－(3a)2= 4－9a2.
3. 利用平方差公式計算：
(1) (a + 3b)(a - 3b)；
(2) (3 + 2a)(－3 + 2a)；
(3) (－2x2－y)(－2x2 + y)；
(4) (－5 + 6x)(－6x－5).
解：(1) 原式 = a2－(3b)2 = a2－9b2.
(2) 原式 = (2a + 3)(2a－3) = (2a)2－32= 4a2－9.
(3) 原式 = (－2x2 )2－y2= 4x4－y2.
(4) 原式 = (－5 + 6x)(－5－6x) = (－5)2－(6x)2= 25－36x2.

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