資源簡介

第一章 整式的乘除
1.6 完全平方公式
第2課時 完全平方公式的運用
學習目標：
1.進一步掌握完全平方公式；
2.靈活運用完全平方公式進行計算．(重點，難點)
一、復習回顧
1.完全平方公式：
2. 想一想：
（1）兩個公式中的字母都能表示什么
（2）完全平方公式在計算化簡中有些什么作用
（3）根據兩數和或差的完全平方公式，能夠計算多個數的和或差的平方嗎
要點探究
知識點一：完全平方公式的運用
思考：怎樣計算 1022，1972 更簡便呢？
(1) 1022； (2) 1972.
典例精析
例1 運用乘法公式計算：
(1) (x + 2y – 3)(x – 2y + 3)；
(2) ( a + b + c )2.
例2 計算：
(1) (x + 3)2 – x2；
(2) ( a + b + 3 )( a + b – 3 )；
(3) (x + 5)2 – (x – 2)(x – 3)；
練一練
1. 化簡：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y).
2. 已知 a＋b＝7，ab＝10，求 a2＋b2，(a－b)2 的值.
做一做
一位老人非常喜歡孩子，每當有孩子到他家做客時，老人都要拿出糖果招待他們. 如果來 1 個孩子，老人就給這個孩子 1 塊糖果；如果來 2 個孩子，老人就給每個孩子 2 塊糖果；如果來 3 個孩子，老人就給每個孩子 3 塊糖果……
假如第一天有 a 個孩子一起去看老人，第二天有 b 個孩子一起去看老人，第三天有 (a + b) 個孩子一起去看老人，那么第三天老人給出去的糖果和前兩天給出去的糖果總數一樣多嗎
請你用所學的公式解釋自己的結論.
二、課堂小結
1.運用完全平方公式計算：
(1) 962 ； (2) 2032 .
2. 若 a + b = 5，ab = －6，求 a2 + b2，a2－ab + b2.
3.已知 x2 + y2 = 8，x + y = 4，求 x－y.
4. 有這樣一道題，計算：2(x＋y)(x－y)＋[(x＋y)2－xy]＋[(x－y)2 ＋xy]的值，其中 x = 2023，y = 2024；某同學把“y = 2024”錯抄成“y = 2042”，但他的計算結果是正確的，請回答這是怎么回事？試說明理由.
參考答案
要點探究
知識點一：完全平方公式的運用
思考：怎樣計算 1022，1972 更簡便呢？
(1) 1022； (2) 1972.
解：(1) 原式 = (100 + 2)2
= 1002－2×100×2 + 22
= 10 000 + 400 + 4
= 10 404.
(2) 原式 = (200－3)2
= 2002－2×200×3 + 32
= 40 000－1200 + 9
= 38 809.
典例精析
例1 運用乘法公式計算：
(1) (x + 2y – 3)(x – 2y + 3)；
解：(1)原式 = [x + (2y – 3)][x – (2y – 3)]
= x2 – (2y – 3)2
= x2 – (4y2 – 12y + 9)
= x2 – 4y2 + 12y – 9.
(2) ( a + b + c )2.
解：(2)原式 = [(a + b) + c]2
= (a + b)2 + 2(a + b)c + c2
= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2
= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac.
例2 計算：
(1) (x + 3)2 – x2；
(2) ( a + b + 3 )( a + b – 3 )；
(3) (x + 5)2 – (x – 2)(x – 3)；
解：(1) 原式 = x2 + 6x + 9 – x2
= 6x + 9；
或原式 = (x + 3 + x) (x + 3 – x)
= (2x + 3)×3
= 6x + 9；
(2) 原式 = [(a + b) + 3][(a + b) – 3]
= (a + b)2 – 32
= a2 + 2ab + b2 – 9；
(3) 原式 = x2 + 10x + 25 – (x2 – 5x + 6)
= x2 + 10x + 25 – x2 + 5x – 6
= 15x + 19.
練一練
1. 化簡：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y).
解：原式 = (x－2y)(x＋2y)(x2－4y2)
= (x2－4y2)2
= x4－8x2y2＋16y4.
2. 已知 a＋b＝7，ab＝10，求 a2＋b2，(a－b)2 的值.
解：因為 a＋b＝7，
所以 (a＋b)2＝49.
所以 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝49－2×10＝29，
(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝29－2×10＝9.
做一做
一位老人非常喜歡孩子，每當有孩子到他家做客時，老人都要拿出糖果招待他們. 如果來 1 個孩子，老人就給這個孩子 1 塊糖果；如果來 2 個孩子，老人就給每個孩子 2 塊糖果；如果來 3 個孩子，老人就給每個孩子 3 塊糖果……
假如第一天有 a 個孩子一起去看老人，第二天有 b 個孩子一起去看老人，第三天有 (a + b) 個孩子一起去看老人，那么第三天老人給出去的糖果和前兩天給出去的糖果總數一樣多嗎
請你用所學的公式解釋自己的結論.
第一天老人給出去的糖果數：a2；
第二天老人給出去的糖果數：b2；
則前第二天老人給出去的糖果總數：a2 + b2；
第三天老人給出去的糖果總數：(a + b)2；
(a + b)2 - (a2 + b2) = a2 + 2ab + b2 - a2 - b2 = 2ab
所以第三天老人給出去的糖果和前兩天給出去的糖果總數不一樣多.
當堂小結
當堂檢測
1.運用完全平方公式計算：
(1) 962 ； (2) 2032 .
解：(1)原式= (100－4)2
= 1002－2×100×4 + 42
= 10000 －800 + 16
= 9216.
(2)原式= (200 + 3)2
= 2002 + 2×200×3 + 32
= 40000 + 1200 + 9
= 41209.
2. 若 a + b = 5，ab = －6，求 a2 + b2，a2－ab + b2.
解：a2 + b2 = (a+b)2－2ab = 52－2×(－6) = 37，
a2－ab + b2 = a2 + b2－ab = 37－(－6) = 43.
3.已知 x2 + y2 = 8，x + y = 4，求 x－y.
解：∵x + y = 4，
∴(x + y)2 = 16，即 x2 + y2 + 2xy = 16 ①.
又 x2 + y2 = 8 ②，
由 ①－② 得 2xy = 8 ③.
②－③ 得 x2 + y2－2xy = 0，即 (x－y)2 = 0. 故 x－y = 0.
4.有這樣一道題，計算：2(x＋y)(x－y)＋[(x＋y)2－xy]＋[(x－y)2 ＋xy]的值，其中 x = 2023，y = 2024；某同學把“y = 2024”錯抄成“y = 2042”，但他的計算結果是正確的，請回答這是怎么回事？試說明理由.
解：原式＝2x2－2y2＋(x2＋y2＋xy)＋(x2＋y2－xy)
＝2x2－2y2＋x2＋y2＋xy＋x2＋y2－xy
＝2x2－2y2＋2x2＋2y2
＝4x2.
故算式的結果與 y 的值無關.

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