資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第三章 函數
第一節 函數初步
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 平面直角坐標系 ☆☆☆ 平面直角坐標系作為數與形的橋梁、函數入門工具重要性不言而喻，平面直角坐標系和函數初步幾乎年年都會考查，分值為10分左右，主要考查坐標的相關概念與坐標變換、函數的相關概念和實際應用等。預計2024年各地中考還將出現，難度不高，在選擇、填空題中出現的可能性較大．
考點2 點的坐標特征與變換 ☆☆
考點3 坐標方法的簡單應用 ☆☆
考點4 函數 ☆☆☆
■考點一　平面直角坐標系
1．有序數對：有順序的兩個數a與b組成的數對，叫做有序數對，記作（a ，b）．
2．平面直角坐標系
平面直角坐標系 定義 在平面內畫兩條互相垂直并且原點重合的數軸，這樣就建立了平面直角坐標系。
兩軸 水平的數軸叫做x軸或橫軸，通常取向右方向為正方向；豎直的數軸叫做y軸或縱軸，通常取向上方向為正方向。（見圖1）
原點 兩坐標軸交點為平面直角坐標系原點。
坐標平面 坐標系所在的平面叫做坐標平面。
象限 x軸和y軸把平面直角坐標系分成四部分，每個部分稱為象限。按逆時針順序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。（見圖1）
點的坐標 對于坐標平面內任意一點A，過點A分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上的對應的數a、b分別叫做點A的橫坐標和縱坐標，有序數對A(a，b)叫做點A的坐標，記作A(a，b). （見圖2）。
圖1 圖2
■考點二　點的坐標特征與變換
1．點的坐標特征：已知點P（a，b）
第一象限：a>0，b>0； 第二象限：a<0，b>0； 第三象限：a<0，b<0； 第四象限：a>0，b<0；
原點：a=0，b=0； x軸上：b=0； y軸上：a=0；
2．軸對稱與中心對稱：已知點P（x，y）
（1）點P關于x軸對稱的點的坐標（x，-y）；（2）點P關于y軸對稱的點的坐標（-x，y）．
（3）點P關于原點的對稱點為（-x，-y）．
3．圖形（點）在坐標系中的平移：已知點P（x，y）
1）點P向右平移a個單位，坐標變為（x+a，y）；2）點P向左平移a個單位，坐標變為（x-a，y）；
3）點P向上平移b個單位，坐標變為（x，y+b）；4）點P向下平移b個單位，坐標變為（x，y-b）．
4.兩個公式
（1）中點公式：若、，則AB中點C坐標為： ；
（2）兩點距離公式：已知兩點：、，則 ．
■考點三　坐標方法的簡單應用
確定一個物體的位置的方法：1）有序實數對確定點的位置--行列定位法；2）方位角+距離確定點的位置--極坐標定位法；3）用“經緯度”確定點的位置--經緯定位法；4）區域定位法。
■考點四　函數
1、函數的相關概念：
變量：在一個變化過程中，數值發生變化的量稱為變量.
常量：在一個變化過程中，數值始終不變的量稱為常量.
函數的定義：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數.
函數的取值范圍：使函數有意義的自變量的全體取值，叫做自變量的取值范圍.
確定函數取值范圍的方法： 1）函數解析式為整式時，字母取值范圍為全體實數； 2）函數解析式含有分式時，分式的分母不能為零；3）函數解析式含有二次根式時，被開方數大于等于零；4）函數解析式中含有指數為零的式子時，底數不能為零；5）實際問題中函數取值范圍要和實際情況相符合，使之有意義.
函數值概念：如果在自變量取值范圍內給定一個值a，函數對應的值為b，那么b叫做當自變量取值為a時的函數值.
函數解析式：用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式.
函數圖像上點的坐標與解析式之間的關系：1）將點的坐標代入到解析式中，如解析式兩邊成立，則點在解析式上，反之，不在。2）兩個函數圖形交點的坐標就是這兩個解析式所組成的方程組的解。
2、函數的三種表示法的優缺點
優點 缺點
解析法 準確反映整個變化過程中自變量與函數的關系 求對應值是要經過比較復雜的計算，而且實際問題中有的函數值不一定能用解析式表示
列表法 自變量和與它對應的函數值數據一目了然 所列對應數值個數有限，不容易看出自變量與函數值的對應關系，有局限性
圖像法 形象的把自變量和函數值的關系表示出來 圖像中只能得到近似的數量關系
■易錯提示
1.有序數對（a，b）與（b，a）順序不同，含義也不同，坐標軸上的點不屬于任何象限。
2.到x 軸的距離與縱坐標有關，到y軸的距離與橫坐標有關；距離都是非負數，而坐標可以是負數。
3.因為橫軸向右為正，所以點向右平移時橫坐標變大，向左平移時橫坐標變小，同理向上平移時縱坐標變大，向下平移縱坐標變小，注意和函數平移的區別。
■考點一　平面直角坐標系
◇典例1：（2023·吉林·統考一模）在學習有序數對時，老師和同學們用如圖所示的密碼表玩聽聲音猜動物的游戲．當聽到“叮叮-叮，叮叮叮-叮叮，叮-?！睍r，分別對應的字母是“C，A，T”，表示的動物是貓．當聽到“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-叮”時，表示的動物是（ ）
A．牛 B．魚 C．狗 D．豬
【答案】C
【分析】根據題意，聲音的前一部分表示列數，后一部分表示行數，舉出即可求解．
【詳解】解：依題意，“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-?！保瑢淖帜阜重悶镈，O，G，故選：C．
【點睛】本題考查了用有序實數對表示位置，理解題意是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·湖北宜昌·統考一模）圖中顯示了10名學生平均每周用于閱讀課外書的時間和用于看電視的時間（單位：h），下列說法中錯誤的是（ ）
A．只有一個同學的閱讀和看電視的時間相同 B．只有兩個同學的看電視時間是相同的
C．只有兩個同學的閱讀時間是相同的 D．閱讀時間大于看電視時間的同學較多
【答案】B
【分析】先用有序實數對表示圖中各點為 ，進而根據各點分析各選項即可得解．
【詳解】解：名學生平均每周用于閱讀課外書的時間和用于看電視的時間在圖中表示的點用有序實數對表示，
∵只有的橫縱坐標相同，
∴只有一個同學的閱讀和看電視的時間相同，故A說法正確，不符合題意；
∵和的橫坐標相同，和的橫坐標相同，
∴有名同學看電視時間是小時，另有名同學看電視的時間為小時，故B說法錯誤，符合題意；
∵只有與的縱坐標相同，
∴只有兩個同學的閱讀時間是相同的，故C說法正確，不符合題意；
∵共人的橫坐標小于縱坐標，共人的橫坐標大于縱坐標，∴閱讀時間大于看電視時間的同學較多正確，故D說法正確，不符合題意；故選B．
【點睛】本題考查有序數對，解題的關鍵是利用有序對來表示點的位置以及理解有序數對表示的意義．
◇典例2：（2023·北京海淀·?？家荒＃┬〗芘c同學去游樂城游玩，他們準備根據游樂城平面示意圖安排游玩順序，如果用表示入口處的位置，表示高空纜車的位置，那么攀巖的位置可以表示為 ， 的位置離入口最近．
【答案】 天文館
【分析】先根據入口和高空纜車的位置，確定原點，并建立平面直角坐標系，即可進行解答．
【詳解】解：∵表示入口處的位置，表示高空纜車的位置，
∴可建立如圖所示平面直角坐標系：
由圖可知：攀巖的位置可以表示為，天文館的位置離入口最近．故答案為：，天文館．
【點睛】本題主要考查了根據題意建立平面直角坐標系，解題的關鍵是根據表示入口處的位置，表示高空纜車的位置，確定原點位置．
◆變式訓練
1.（2023·山西晉城·統考一模）全世界大約有14000余種蝴蝶，大部分分布在美洲，尤其在亞馬孫河流域品種最多，在世界其他地區除了南北極寒冷地帶以外都有分布．如圖是一只蝴蝶標本，將其放在適當的平面直角坐標系中，若翅膀兩端B，C兩點的坐標分別為，，則蝴蝶“尾部”點A的坐標為 ．
【答案】
【分析】根據翅膀兩端B，C兩點的坐標分別為，建立平面直角坐標系求解即可．
【詳解】解：由題意得 蝴蝶“尾部”點A的坐標為．故答案為：．
【點睛】本題考查了平面直角坐標系的應用，根據題意建立坐標系是解答本題的關鍵．
■考點二　點的坐標特征與變換
◇典例3：（2023年黑龍江省大慶市中考數學真題）已知，，則在如圖所示的平面直角坐標系中，小手蓋住的點的坐標可能是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，，得出，再逐項分析即可得到答案．
【詳解】解：，同號，，，
A.在第一象限，因為小手蓋住的點在第四象限，故此選項不符合題意；
B.在第二象限，因為小手蓋住的點在第四象限，故此選項不符合題意；
C.在第三象限，因為小手蓋住的點在第四象限，故此選項不符合題意；
D.在第四象限，因為小手蓋住的點在第四象限，故此選項符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查了點的象限的判斷，熟練判斷的正負是解題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023年浙江省麗水市中考數學真題）在平面直角坐標系中，點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根據點坐標分別判斷出橫坐標和縱坐標的符號，從而就可以判斷該點所在的象限．
【詳解】解：，，，滿足第二象限的條件．故選：B．
【點睛】本題考查的是平面直角坐標系中點的坐標以及象限知識，解題的關鍵在于熟練掌握各個象限的橫縱坐標點的符號特點．
2.（2023·河南駐馬店·統考三模）點在第二象限內，則m的值可以是 ．（寫出一個即可）
【答案】0（答案不唯一，滿足均可）
【分析】根據第二象限內的點的橫坐標小于0求出的取值范圍，由此即可得．
【詳解】解：∵點在第二象限內，，解得，則的值可以是0，
故答案為：0．
【點睛】本題考查了點坐標，熟練掌握第二象限內的點的橫坐標小于0是解題關鍵．
◇典例4：（2023·廣東湛江·統考二模）已知點在x軸上，則a的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了x軸上的點的坐標特征，熟記x軸上點的縱坐標為0是解題的關鍵．根據x軸上點的縱坐標為0列方程求出a即可．
【詳解】解：在x軸上，，解得，故答案為：．
◆變式訓練
1.（2023·廣東香洲·二模）在平面直角坐標系中，點在軸上，則的值是____．
【答案】1
【分析】根據y軸上的點的橫坐標為0列出方程求解得到a的值，即可得解．
【詳解】解：∵點在y軸上，∴a-1=0，解得：a=1，故答案為：1．
【點睛】本題考查了點的坐標，熟記x軸上的點縱坐標為0是解題的關鍵．
2.（2023·廣東湛江·統考一模）已知點，當時，點在第 象限，當點在軸上時， ．
【答案】 四
【分析】本題主要考查了各象限內點的坐標符號特征以及坐標軸上的點的特征，解題的關鍵是熟記各象限內點的坐標符號．時，橫坐標大于零，縱坐標小于零，即可得出答案，再根據軸上的點的縱坐標為，即可求解得．
【詳解】解：時，，，由第四象限，可知點在第四象限；當點在軸上時，由軸上的點的縱坐標為可得，解得．故答案為：四；．
◇典例5：（2023·江蘇鹽城·校考模擬預測）若點關于原點對稱的點在第二象限，則m的取值范圍為（　?。?br/>A． B． C． D． 或
【答案】C
【分析】直接利用關于原點對稱點的性質得出對應點，進而利用第二象限點的坐標特點得出答案．
【詳解】解：點關于原點的對稱點為，
∵在第二象限，∴，解得，故選：C．
【點睛】此題主要考查了關于原點對稱的點的坐標以及解一元一次不等式組，兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反．
◆變式訓練
1. （2023·四川眉山·校考三模）平面直角坐標系內有一點，已知x，y滿足，則點M關于軸對稱的點N在第 象限．
【答案】一
【分析】根據得到，確定M的位置，后確定對稱點的坐標，解答即可．
【詳解】∵，∴，∴，
∴，故點N在第一象限，故答案為：一．
【點睛】本題考查了實數的非負性，關于y軸對稱縱坐標不變，橫坐標變相反數，熟練掌握對稱點的確定是解題的關鍵．
2.（2023年山東省聊城市中考數學真題）如圖，在直角坐標系中，各點坐標分別為，，．先作關于x軸成軸對稱的，再把平移后得到．若，則點坐標為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】三點，，的對稱點坐標為，，，結合，得到平移規律為向右平移3個單位，向上平移4個單位，計算即可．
【詳解】∵三點，，的對稱點坐標為，，，結合，∴得到平移規律為向右平移3個單位，向上平移4個單位，故坐標為．故選B．
【點睛】本題考查了關于x軸對稱，平移規律，熟練掌握軸對稱的特點和平移規律是解題的關鍵．
◇典例6：（2022·遼寧大連·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是，將線段向右平移4個單位長度，得到線段，點A的對應點C的坐標是_______．
【答案】
【分析】由將線段向右平移4個單位長度，可得點A向右邊平移了4個單位與C對應，再利用“右移加”即可得到答案．
【詳解】解：∵將線段向右平移4個單位長度，∴點A向右邊平移了4個單位與C對應，
∴ 即 故答案為：
【點睛】本題考查的是平移的坐標變化規律，熟記“右移加，左移減，上移加，下移減”是解本題關鍵．
◆變式訓練
1.（2023·遼寧·模擬預測）如圖，頂點，的坐標分別為，，將平移后，點A的對應點的坐標是，則點的對應點的坐標是 ．
【答案】
【分析】根據點A和點D的是平移后的對應點，計算出平移的方向和單位長度，由于圖形平移所有點的平移方向和單位長度一致，即可計算出點E的坐標．
【詳解】解：由題可知平移后得到點；
∴是先向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度；
∴點先向右平移個單位長度，再向上平移個單位長度；∴點；故答案為．
2．（2022·貴州畢節·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，把一個點從原點開始向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到點；把點向上平移2個單位，再向左平移2個單位，得到點；把點向下平移3個單位，再向左平移3個單位，得到點；把點向下平移4個單位，再向右平移4個單位，得到點；…；按此做法進行下去，則點的坐標為_________．
【答案】
【分析】先根據平移規律得到第n次變換時，相當于把點的坐標向右或向左平移n個單位長度，再向右或向上平移n個單位長度得到下一個點，然后推出每四次坐標變換為一個循環，每一個循環里面橫坐標不發生變化，縱坐標向下平移4個單位長度，從而求出點A8的坐標為（0，-8），由此求解即可．
【詳解】解：∵把一個點從原點開始向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到點；把點向上平移2個單位，再向左平移2個單位，得到點；把點向下平移3個單位，再向左平移3個單位，得到點；把點向下平移4個單位，再向右平移4個單位，得到點，
∴第n次變換時，相當于把點的坐標向右或向左平移n個單位長度，再向右或向上平移n個單位長度得到下一個點，∵O到A1是向右平移1個單位長度，向上平移1個單位長度，A1到A2是向左2個單位長度，向上平移2個單位長度，A2到A3是向左平移3個單位長度，向下平移3個單位長度，A3到A4是向右平移4個單位長度，向下平移4個單位長度，A4到A5是向右平移5個單位長度，向上平移5個單位長度，∴可以看作每四次坐標變換為一個循環，每一個循環里面橫坐標不發生變化，縱坐標向下平移4個單位長度，∴點A8的坐標為（0，-8），∴點A8到A9的平移方式與O到A1的方式相同（只指平移方向）即A8到A9向右平移9個單位，向上平移9個單位，∴A9的坐標為（9，1），
同理A9到A10的平移方式與A1到A2的平移方式相同（只指平移方向），即A9到A10向左平移10個單位，向上平移10個單位，∴A10的坐標為（-1，11），故答案為：（-1，11）．
【點睛】本題主要考查了點的坐標規律探索，正確找到規律是解題的關鍵．
◇典例7：（2023·海南·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B的坐標為，將繞著點B順時針旋轉，得到，則點C的坐標是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】過點作，由題意可得：，，再利用含30度直角三角形的性質，求解即可．
【詳解】解：過點作，如下圖：

則 由題意可得：，，∴，
∴，∴，，
∴點的坐標為，故選：B
【點睛】此題考查了旋轉的性質，坐標與圖形，含30度直角三角形的性質，以及勾股定理，解題的關鍵是作輔助線，構造出直角三角形，熟練掌握相關基礎性質．
◆變式訓練
1.（2023·黑龍江綏化·統考模擬預測）如圖，將線段先向右平移5個單位，再將所得線段繞原點按順時針方向旋轉，則點B的對應點的坐標是（　?。?br/>
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在平面直角坐標系內，把一個圖形各個點的橫坐標都加上（或減去）一個整數a，相應的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加（或減去）一個整數a，相應的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度；圖形或點旋轉之后要結合旋轉的角度和圖形的特殊性質來求出旋轉后的點的坐標．常見的是旋轉特殊角度如：，，，，．
【詳解】解：如圖，將線段先向右平移5個單位，得到點，連接，將繞原點順時針旋轉，則對應坐標為，故選：D．

【點睛】本題考查了圖形的平移與旋轉，熟練運用平移與旋轉的性質是解題的關鍵．
2.（2023·河南周口·校聯考三模）風力發電是一種常見的綠色環保發電形式，它能夠使大自然的資源得到更好地利用．如圖1，風力發電機有三個底端重合、兩兩成角的葉片，以三個葉片的重合點為原點，水平方向為軸建立平面直角坐標系（如圖2所示），已知開始時其中一個葉片的外端點的坐標為，在一段時間內，葉片每秒繞原點順時針轉動，則第時，點的對應點的坐標為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據旋轉的性質分別求出第1、2、3、4s時，點A的對應點、、、的坐標，找到規律，進而得出第時，點A的對應點的坐標．
【詳解】解：∵，∴A在第一象限的角平分線上，
∵葉片每秒繞原點順時針轉動，∴，，，，
∴點A的坐標以每4秒為一個周期依次循環，
∵，∴第時，點A的對應點的坐標與相同，為．故選：B．

【點睛】本題考查了旋轉的性質，點的坐標，找到點A的坐標循環的規律是解題的關鍵．
◇典例8：（2023·江蘇江都·二模）如果點P（x，y）的坐標滿足x+y=xy，那么稱點P為“和諧點”，若某個“和諧點“P到x軸的距離為2，則P點的坐標為______．
【答案】（2，2）或（，-2）
【分析】設P點的坐標為（x，y），由“和諧點“P到x軸的距離為2得出|y|=2，將y=2或-2分別代入x+y=xy，求出x的值即可．
【詳解】設P點的坐標為（x，y），∵“和諧點“P到x軸的距離為2，∴|y|=2，∴y=±2．
將y=2代入x+y=xy，得x+2=2x，解得x=2，∴P點的坐標為（2，2）；
將y=-2代入x+y=xy，得x-2=-2x，解得x=，∴P點的坐標為（，-2）．
綜上所述，所求P點的坐標為（2，2）或（，-2）．故答案為（2，2）或（，-2）．
【點睛】本題考查了點的坐標，新定義，得出P點的縱坐標為2或-2是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·浙江·校聯考三模）在平面直角坐標系中，給出如下定義：點A到x軸、y軸距離的較大值，稱為點A的“長距”，當點P的“長距”等于點Q的“長距”時，稱P，Q兩點為“等距點”，若，兩點為“等距點”，則k的值為 ．
【答案】或
【分析】根據等距點的定義求出不同情況下的的值即可；
【詳解】當時，，解得：或（舍去）；
當時，，解得：（舍去）或；
∴或；故答案是：或．
【點睛】本題考查平面直角坐標系的知識點，屬于閱讀理解類題目，關鍵是要讀懂題目里定義的“等距點”．
◇典例9：（2023·河北石家莊·校聯考模擬預測）平面直角坐標系中，點，，，若軸，則線段的最小值及此時點C的坐標分別為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由軸，，根據坐標的定義可求得y值，根據線段最小，確定，垂足為點C，進一步求得的最小值和點C的坐標．
【詳解】解：如圖，
軸，∴C點的縱坐標為與A點的縱坐標相同，即，
∵當時，線段最短，此時軸，
∴此時C點的橫坐標與B點的橫坐標相同，即，
即，此時．故選：A．
【點睛】本題考查了坐標與圖形的性質，熟記點到坐標軸的距離與這個點坐標的區別及點到直線垂線段最短是解題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023·河南信陽·?？既＃┤鐖D，平面直角坐標系中，對折矩形使得與重合，得到折痕，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點A的對應點落在上，折痕是，連接，，已知點，則點C的坐標是（ ）

A． B． C．（8，6） D．
【答案】A
【分析】由矩形折疊可知，，，可求出，，再根據點A的坐標求出，，根據特殊角三角函數求出，然后求出，最后根據得出答案．
【詳解】由矩形折疊可知，，．
∴．在中，，
∴．∴由折疊可知，．
∵，∴.根據矩形的性質，可知，
由折疊的性質，得.在中，，
∴，即．
∵，∴，∴．
又∵，∴．
在中，，∴，即，
∴．故點．故選：A．
【點睛】這是一道關于矩形的折疊問題，考查了矩形的性質，折疊的性質，特殊角的三角函數值等，根據折疊的性質和矩形的性質得出相應線段的長是解題的關鍵．
2．（2023·江蘇南通·校考三模）如圖，在平面直角坐標系中，點，，在坐標軸上，，，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，任意長為半徑作弧，分別交，于點，；②再分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，作射線，交于點，則點的坐標為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】過點作于，如圖所示，由尺規作圖得到平分，由三角形全等的判定得到，從而求出線段長，設，則，由勾股定理得到方程求解得到，再根據等面積法求出，則，求出，即可得到答案．
【詳解】解：過點作于，如圖所示：

由作圖得：平分，，
，，，，，
，，，，，
設，則，，即，解得，
，即，解得，，
，，故選：C．
【點睛】本題考查圖形與坐標，涉及角平分線、全等三角形的判定與性質、勾股定理及等面積法求線段長等知識，讀懂題意，數形結合，熟練掌握相關幾何判定與性質是解決問題的關鍵．
■考點三　坐標方法的簡單應用
◇典例10．（2023·廣東佛山·統考二模）下列選項中，能確定物體位置的是（ ）
A．距離學校500米 B．季華路 C．東經，北緯 D．北偏西
【答案】C
【分析】根據坐標的定義，確定位置需要兩個數據對各選項分析判斷即可．
【詳解】解：A、距學校500米，不能確定具體位置，故本選項錯誤；
B、季華路，不能確定具體位置，故本選項錯誤；
C、東經，北緯，能確定具體位置，故本選項正確；
D、北偏西，不能確定具體位置，故本選項錯誤；故選：C．
【點睛】本題考查了坐標確定位置．理解確定坐標的兩個數是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023春·河北保定·八年級校聯考期中）下列四種描述中，能確定具體位置的是（ ）
A．東經，北緯 B．某電影院5號廳2排 C．北京長安大街 D．一架飛機距離地面10千米
【答案】A
【分析】根據在平面內，確定一個點的位置需要兩個有序數對逐項判定即可．
【詳解】解：A、東經，北緯，可以確定位置，符合題意；
B、某電影院5號廳2排，無法確定位置，故不符合題意；
C、北京長安大街，無法確定位置，故不符合題意；
D、一架飛機距離地面10千米，無法確定位置，故不符合題意；故選：A．
【點睛】本題考查坐標位置的確定，明確題意，確定一個點的位置需要兩個條件是解答此題的關鍵．
◇典例11：（2023·山東濱州·九年級統考期末）閱讀理解：如圖1，在平面內選一定點O，引一條有方向的射線，再選定一個單位長度，那么平面上任一點M的位置可由的度數與的長度m確定，有序數對稱為M點的“極坐標”，這樣建立的坐標系稱為“極坐標系”．
應用：在圖2的極坐標系下，如果正六邊形的邊長為4，有一邊在射線上，則正六邊形的頂點C的極坐標應記為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設正六邊形的中心為D，連接AD，判斷出△AOD是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得OD=OA，∠AOD=60°，再求出OC，然后根據“極坐標”的定義寫出即可．
【詳解】解：如圖，設正六邊形的中心為D，連接AD，
∵∠ADO=360°÷6=60°，OD=AD，∴△AOD是等邊三角形，
∴OD=OA=4，∠AOD=60°，∴OC=2OD=2×4=8，
∴正六邊形的頂點C的極坐標應記為．故選A．
【點睛】本題考查了正多邊形和圓，坐標確定位置，主要利用了正六邊形的性質，讀懂題目信息，理解“極坐標”的定義是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023年江蘇省連云港市中考數學真題）畫一條水平數軸，以原點為圓心，過數軸上的每一刻度點畫同心圓，過原點按逆時針方向依次畫出與正半軸的角度分別為的射線，這樣就建立了“圓”坐標系．如圖，在建立的“圓”坐標系內，我們可以將點的坐標分別表示為，則點的坐標可以表示為 ．

【答案】
【分析】根據題意，可得在第三個圓上，與正半軸的角度，進而即可求解．
【詳解】解：根據圖形可得在第三個圓上，與正半軸的角度，
∴點的坐標可以表示為,故答案為：．
【點睛】本題考查了有序實數對表示位置，數形結合，理解題意是解題的關鍵．
■考點四　函數
◇典例12：（2023·安徽滁州·八年級?？茧A段練習）球的體積是，球的半徑為，則，其中變量和常量分別是（ ）
A．變量是，；常量是， B．變量是，；常量是
C．變量是，，；常量是 D．變量是，；常量是
【答案】A
【分析】根據常量和變量的概念解答即可．
【詳解】解：球的體積是，球的半徑為，則，
其中變量是，；常量是， 故選：．
【點睛】本題考查了常量和變量，掌握概念是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·湖北恩施·統考一模）函數中，自變量x的取值范圍是（　?。?br/>A．且 B． C．或 D．
【答案】A
【分析】據二次根式的性質和分式的意義，被開方數大于等于0，分母不等于0，可以求出x的范圍．
【詳解】解：根據題意得：，解得：且，故選：A．
【點睛】本題考查的函數的自變量的取值范圍，分式有意義，分母不為0；二次根式的被開方數是非負數，求解不等式組的解集，熟練的根據代數式有意義的條件求解函數的自變量的取值范圍是解本題的關鍵．
2．（2023·廣東湛江·校聯考一模）當時，函數的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將代入函數解析式進行求解即可．
【詳解】解：當，；故選A．
【點睛】本題考查求函數值，解題的關鍵是正確的計算．
◇典例13：（2023·廣西·統考一模）下列各曲線中哪個不能表示y是x的函數的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【分析】在坐標系中，對于x的取值范圍內的任意一點，通過這點作x軸的垂線，則垂線與圖形只有一個交點．根據定義即可判斷．
【詳解】解：顯然A、B、C三選項中，對于自變量x的任何值，y都有唯一的值與之相對應，y是x的函數；D、對于x＞0的部分值，y都有兩個或三個值與之相對應，則y不是x的函數；故選D．
【點睛】本題主要考查了函數的定義，在定義中特別要注意，對于x的每一個值，y都有唯一的值與其對應．
◆變式訓練
1.（2023·北京海淀·八年級統考期末）如圖，有一個球形容器，小海在往容器里注水的過程中發現，水面的高度h、水面的面積S及注水量V是三個變量．下列有四種說法：①S是V的函數；②V是S的函數；③h是S的函數；④S是h的函數．其中所有正確結論的序號是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】B
【分析】由函數的概念求解即可．
【詳解】①：由題意可知，對于注水量的每一個數值，水面的面積S都有唯一值與之對應，所以V是自變量，S是因變量，所以S是V的函數，符合題意；
②：由題意可知，對于水面的面積S的每一個數值，注水量V的值不一定唯一，所以V不是S的函數，不符合題意；③：由題意可知，對于水面的面積S的每一個數值，水面的高度h的值不一定唯一，所以h不是S的函數，不符合題意；
④：由題意可知，對于水面的高度h的每一個數值，水面的面積S都有唯一值與之對應，h是自變量，S是因變量，所以S是h的函數，符合題意；所以正確的序號有①④，故選：B．
【點睛】此題考查了函數的概念，解題的關鍵是熟記函數的概念．
2．（2023·河北滄州·九年級統考開學考試）下列各式，不能表示是的函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據函數的定義對每個選項一一判斷即可．
【詳解】A、，對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值，符合函數的定義．
B、，對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值，符合函數的定義．
C、，對于x的每一個取值，y都有兩個確定的值，不符合函數的定義．
D、，對于x的每一個取值，y都有唯一確定的值，符合函數的定義．故選：C．
【點睛】本題主要考查函數的定義，熟記函數的定義是解題關鍵．
3．（2023·山東德州·二模）下列關于兩個變量關系的四種表述中，正確的是 ．（填序號即可）
①圓的周長C是半徑r的函數；②表達式中，y是x的函數；③如表中，n是m的函數；
m 1 2 3
n 6 3 2
④如圖中，曲線表示y是x的函數．

【答案】①②③
【分析】根據函數的定義與函數的表示方法逐一分析即可得到答案．
【詳解】解：①圓的周長C是半徑r的函數；表述正確，故①符合題意；
②表達式中，y是x的函數；表述正確，故②符合題意；
③由表格信息可得：對應m的每一個值，n都有唯一的值與之對應，故③符合題意；
在④中的曲線，當時的每一個值，y都有兩個值與之對應，故④不符合題意；故答案為：①②③
【點睛】本題考查的是函數的定義，函數的表示方法，理解函數定義與表示方法是解本題的關鍵．
◇典例14：（2023·廣西南寧·統考二模）南湖隧道是南寧市建成的首條水底隧道．一輛小汽車勻速通過南湖隧道，小汽車車身在隧道內的長度記為y米，小汽車進入隧道的時間記為t秒，則y與t之間的關系用圖象描述大致是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】火車通過隧道分為3個過程：逐漸進入隧道，完全進入隧道并在其中行駛，逐漸出隧道，進而求解即可．
【詳解】火車在逐漸進入隧道的過程中，火車在隧道內的長度逐漸增加；
火車完全進入隧道后，還在隧道內行駛一段時間，因此在隧道內的長度是火車長，且保持一段時間不變；火車在逐漸出隧道的過程中，火車在隧道內的長度逐漸減少；符合上述分析過程的：D．選：D．
【點睛】本題考查函數圖像在生活中的應用，解題關鍵是分析事件變化的過程，并能夠匹配對應函數圖像變化
◆變式訓練
1.（2023·湖南永州·校考二模）2023年1月22日，電影《流浪地球2》在萬達廣場上映，小趙一家開車去觀看．最初以某一速度勻速行駛，中途停車加油耽誤了幾分鐘，為了按時到達劇場，小趙在不違反交通規則的前提下加快了速度，仍保持勻速行駛．在此行駛過程中，汽車離家的距離y（千米）與行駛時間t（小時）的函數關系的大致圖象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】理解橫軸和縱軸表示的實際量，然后根據實際情況：汽車離家的距離y(千米)與行駛時間的函數關系，來判斷函數的變化對應的實際情況，再進行逐一判斷，即可求解．
【詳解】解：隨著時間的增加，汽車離家的距離在增加，由此判斷排除C、D錯誤；由于途中停車加油耽誤了幾分鐘，此時時間的增加，但車離家的距離沒有變化，后來加快了速度，仍保持勻速行進，所以后來的函數圖象的走勢應比前面勻速前進的走勢要陡．故選：B．
【點睛】本題考查了函數圖象的實際應用，理解橫縱坐標表示是實際意義，會根據意義判斷函數的變化對應的實際情況是解題的關鍵．
◇典例15：（2023·江西南昌·統考一模）一個鋼球由靜止開始從足夠長的斜面頂端沿斜面勻變速下，速度變化規律如下表：
時間 0 1 2 3 4 …
速度 0 1.5 3 4.5 6 …
則時，這個鋼球的速度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據表格可得速度與時間的比值為定值，繼而求解即可．
【詳解】由表得，速度與時間的比值為，
∴當時，這個鋼球的速度是，故選：A．
【點睛】本題考查了用表格表示變量之間的關系，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·北京西城·?？寄M預測）如圖，購買一種蘋果所付款金額y（元）與購買量x（千克）之間的函數圖象由線段和射線組成，則一次購買3千克這種蘋果比分三次每次購買1千克這種蘋果可節?。ā　。?br/>A．4元 B．3元 C．2元 D．1元
【答案】C
【分析】根據圖象可求得當，時蘋果的單價，從而計算出一次購買3千克蘋果和分三次每次購買1千克蘋果的付款金額，從而可解答．
【詳解】根據圖象可得，當時，每千克蘋果的單價是（元），
當時，每千克蘋果的單價是（元），
故一次購買3千克這種蘋果需要花費：（元），
分三次每次購買1千克這種蘋果需要花費：（元），（元），
即一次購買3千克這種蘋果比分三次每次購買1千克這種蘋果可節省2元．故選：C
【點睛】本題考查了一次函數圖象的應用，首先仔細觀察函數圖象，從中找到信息進行求解．
2．（2023·廣東湛江·統考一模）在我國川西高原某山脈間有一河流，當河流中的水位上升到一定高度時因河堤承壓有潰堤的危險．于是水利工程師在此河段的某處河堤上修了一個排水的預警水庫連通另一支流．當河流的水位超過警戒位時就有河水流入預警的水庫中，當水庫有一定量的積水后，就會自動打開水庫的排水系統流入另一支流．當河流的水位低于警戒位時水庫的排水系統的排水速度則變慢．假設預警水庫的積水時間為分鐘，水庫中積水量為噸，圖中的折線表示某天與的函數關系，下列說法中：①這天預警水庫排水時間持續了分鐘；
②河流的水位超過警戒位時預警水庫的排水速度比進水速度少噸分；
③預警水庫最高積水量為噸；④河流的水位低于警戒位時預警水庫的排水速度為噸分．
其中正確的信息判斷是　　

A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】本題考查函數圖象；根據題意和函數圖象中的數據，可以判斷各個小題中的結論是否成立，從而可以解答本題．
【詳解】解：由圖象得：～分，水庫開始積水，
～分，水庫有一定量的積水，水庫的排水系統打開，～分時，水庫停止進水，只排水，
這天預警水庫排水時間持續了分鐘，故①錯誤；
噸分，也就是水位超過警戒位時預警水庫的排水速度比進水速度少噸分，②正確；從圖象看出預警水庫積水量為噸時停止進水，并不能反映出預警水庫的最高積水量，③錯誤；從圖象看出河流的水位低于警戒位時預警水庫的排水速度為噸分，④正確．故選：D．
1．（2023年浙江省臺州市中考數學真題）如圖是中國象棋棋盤的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，已知“車”所在位置的坐標為，則“炮”所在位置的坐標為（ ）．

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據已知條件，確定平面直角坐標系原點，最后即可求出答案．
【詳解】解：“車”所在位置的坐標為，
確定點即是平面直角坐標系的原點，且每一格的單位長度是1，
“炮”所在位置的坐標為．故選：A．
【點睛】本題考查了平面直角坐標系，解題的關鍵在于根據已知條件確定原點．
2．（2022·廣東·中考真題）在平面直角坐標系中，將點向右平移2個單位后，得到的點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】把點的橫坐標加2，縱坐標不變，得到，就是平移后的對應點的坐標．
【詳解】解：點向右平移2個單位長度后得到的點的坐標為．故選A．
【點睛】本題考查了坐標與圖形變化﹣平移．掌握平移的規律是解答本題的關鍵．
3．（2023年四川省自貢市中考數學真題）如圖，邊長為的正方形兩邊與坐標軸正半軸重合，點的坐標是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據正方形的性質，結合坐標的意義即可求解．
【詳解】解：∵邊長為的正方形兩邊與坐標軸正半軸重合，
∴∴,故選：C．
【點睛】本題考查了坐標與圖形，熟練掌握正方形的性質，數形結合是解題的關鍵．
4．（2023年四川省攀枝花市中考數學真題）如圖，正方形的邊長為4，動點從點出發沿折線做勻速運動，設點運動的路程為，的面積為，下列圖象能表示與之間函數關系的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分段求出函數關系式，再觀察圖象可得答案．
【詳解】解：當在上，即時，，當時，；
當在上，即時，，
當在上，即時，；
觀察4個選項，符合題意的為D；故選D
【點睛】本題考查動點問題的函數圖象，解題的關鍵是分段求出函數關系式．
5．（2023年內蒙古中考數學真題）將矩形紙板剪掉一個小矩形后剩余部分如圖1所示，動點P從點A出發，沿路徑勻速運動，速度為，點P到達終點F后停止運動，的面積與點P運動的時間的關系如圖2所示，根據圖象獲取了以下的信息：
①；②；③點從點運動到點需要；
④矩形紙板裁剪前后周長均為．其中正確信息的個數有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】C
【分析】利用圖表信息結合面積及逐個運動階段得到計算數據，逐個判斷正誤即可．
【詳解】由矩形及點P運動過程可知：時，點P位于點B處，，
則，，，①正確；
時，點P位于點D處，，，，
，故運動時間為10s，所以③正確；
，，時，點P位于點C處， ，所以②錯誤；
周長，所以④錯誤；故①③正確，正確得有2個，故選C．
【點睛】本題考查動點面積計算問題，能夠在不同位置清晰計算面積及結合圖表確認拐點位置是解題的關鍵．
6．（2023年山東省棗莊市中考數學真題）銀杏是著名的活化石植物，其葉有細長的葉柄，呈扇形．如圖是一片銀杏葉標本，葉片上兩點B，C的坐標分別為，將銀杏葉繞原點順時針旋轉后，葉柄上點A對應點的坐標為 ．

【答案】
【分析】根據點的坐標，確定坐標系的位置，再根據旋轉的性質，進行求解即可．
【詳解】解：∵B，C的坐標分別為，∴坐標系的位置如圖所示：

∴點的坐標為：，連接，將繞點順時針旋轉后，如圖，葉柄上點A對應點的坐標為；故答案為：
【點睛】本題考查坐標與旋轉．解題的關鍵是確定原點的位置，熟練掌握旋轉的性質．
7．（2023湖南省衡陽市中考數學真題）在平面直角坐標系中，點所在象限是第 象限．
【答案】三
【分析】根據各象限內點的坐標特征解答．
【詳解】解：的橫坐標為負數，縱坐標為負數，在第三象限，故答案為：三．
【點睛】本題考查了各象限內點的坐標的符號特征，記住各象限內點的坐標的符號是解題的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．
8．（2023年黑龍江省齊齊哈爾市中考數學真題）在函數中，自變量x的取值范圍是 ．
【答案】且
【分析】根據分式有意義的條件，二次根式有意義的條件得出，即可求解．
【詳解】解：依題意，∴且，故答案為：且．
【點睛】本題考查了求函數自變量的取值范圍，熟練掌握分式有意義的條件，二次根式有意義的條件是解題的關鍵．
9．（2023年山東省東營市中考數學真題）如圖，一束光線從點出發，經過y軸上的點反射后經過點，則的值是 ．

【答案】－1
【分析】如圖，過點A作，點C作，垂足分別為G，F，可證，得比例線段，由，得線段長度，，代入比例線段求解．
【詳解】如圖，過點A作，點C作，垂足分別為G，F

由題意知，，∴∴
∵，∴，∴∴
∴故答案為：
【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質，直角坐標系內點坐標的含義，添加輔助線構建相似三角形是解題的關鍵．
10．（2023年遼寧省阜新市中考數學真題）德力格爾草原位于彰武縣境內，以草場資源豐富，景色優美著稱．今年5月在此舉辦的“漠上草原歡樂跑”首屆馬拉松比賽，吸引了千余名國內外選手參加．甲、乙兩名選手同時參加了往返（單程）的業余組比賽，如果全程保持勻速，甲、乙之間的距離s（）與甲所用的時間（h）之間的函數關系如圖所示，那么當甲到達終點時，乙距離終點 ．

【答案】4
【分析】先根據圖象得甲乙的速度差為4，再根據相遇時用了小時，列方程求解．
【詳解】解：設甲的速度為x千米/小時，則乙的速度為千米/小時，
則：，解得：，∴，∴，故答案為：4．
【點睛】本題考查了從函數圖象中獲取信息，正確提取圖象中的信息是解題的關鍵．
1.（2023·山西太原·統考一模）法國數學家笛卡爾發明了平面直角坐標系，使平面內的點與有序實數對建立了一一對應關系，將幾何問題通過代數方法來研究．這種解決問題的方法是（ ）
A．數形結合 B．類比 C．一般到特殊 D．分類討論
【答案】A
【分析】根據題意，平面內的點與有序實數對建立了一一對應關系，將幾何問題通過代數方法來研究，即可求解．
【詳解】解：法國數學家笛卡爾發明了平面直角坐標系，使平面內的點與有序實數對建立了一一對應關系，將幾何問題通過代數方法來研究．這種解決問題的方法是數形結合，故選：A．
【點睛】本題考查了平面直角坐標系，數學思想，理解題意是解題的關鍵．
2．（2023·河北石家莊·校聯考二模）一艘海上搜救船在巡邏過程中發現點A處有一艘船發出求救信號，如圖是搜救船上顯示的雷達示意圖，圖上標注了以搜救船為中心的等距線（圖中所示的同心圓，單位：海里）及角度，要讓搜救船在第一時間抵達故障船所在的位置，應該將搜救船的航行方案調整為（　?。?br/>
A．向北偏西150°方向航行4海里 B．向南偏西120°方向航行3海里
C．向北偏西60°方向航行4海里 D．向東偏北150°方向航行3海里
【答案】C
【分析】據方向角的定義：以正南或正北為基準，到目標所在線形成的小于的角，進行判斷即可．
【詳解】根據方向角的定義可知，搜救船的航行方案調整為向北偏西60°方向航行4海里，故選：C．
【點睛】本題考查利用方向角確定位置．熟練掌握方向角的定義，是解題的關鍵．
3．（2023年江蘇中考模擬）折返跑是一種跑步的形式．如圖，在一定距離的兩個標志物①、②之間，從①開始，沿直線跑至②處，用手碰到②后立即轉身沿直線跑至①處，用手碰到①后繼續轉身跑至②處，循環進行，全程無需繞過標志物．小華練習了一次的折返跑，用時在整個過程中，他的速度大小v（）隨時間t（）變化的圖像可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據速度與時間的關系即可得出答案．
【詳解】解：剛開始速度隨時間的增大而增大，勻速跑一段時間后減速到②，然后再加速再勻速到①，
由于體力原因，應該第一個50米速度快，用的時間少，第二個50米速度慢，用的時間多，
故他的速度大小v（）隨時間t（）變化的圖像可能是D．故選：D．
【點睛】本題主要考查函數的圖象，要根據函數圖象的性質和圖象上的數據分析得出函數的類型和所需要的條件，結合實際意義得出正確的結論．
4．（2023·湖南長沙·中考模擬）在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據關于原點對稱的兩個點，橫坐標、縱坐標分別互為相反數，即可求解．
【詳解】解：點關于原點對稱的點的坐標是．故選D．
【點睛】本題考查了關于原點對稱的點的坐標特征，掌握關于原點對稱的兩個點，橫坐標、縱坐標分別互為相反數是解題的關鍵．
5．（2023·湖北荊州市·中考模擬）若點關于軸的對稱點在第四象限，則的取值范圍在數軸上表示為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先根據題意求出點關于軸的對稱點坐標，根據點在第四象限列方程組，求解即可.
【詳解】∵∴點 關于軸的對稱點坐標為
∵在第四象限∴ 解得： 故選：C
【點睛】本題考查點關于坐標軸對稱點求法，以及根據象限點去判斷參數的取值范圍，能根據題意找見相關的關系是解題關鍵．
6．（2023·內蒙古包頭·?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校瑢Ⅻc向右平移4個單位后得到點所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】向右平移，橫坐標加，縱坐標不變；另，故在第一象限．
【詳解】向右平移4個單位后得到點坐標為，
∵∴新點在第一象限．故選：A
【點睛】本題考查點平移的坐標變化，直角坐標系各象限點的坐標符號，掌握點平移與坐標的聯系是解題的關鍵．
7．（2023·廣東佛山·?？既＃┮阎c在第四象限，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用第四象限點的坐標的特點得出一元一次不等式組，解出后得到答案．
【詳解】解：點在第四象限，
解得．故答案選：B．
【點睛】本題考查象限內點的特點，一元一次不等式組，其中對象限內點的特點的理解是解題的關鍵．
8．（2023·北京海淀·校考模擬預測）將含有角的直角三角板如圖放置在平面直角坐標系中，在軸上，將三角板繞原點順時針旋轉，若，則點的對應點的坐標為 ．

【答案】
【分析】根據旋轉的性質畫出圖形，求出，解直角三角形求出即可．
【詳解】解：如圖所示，將繞原點順時針旋轉得到，過作軸于，

則，，∴，
∵點在第四象限，∴點的對應點的坐標為．故答案為：．
【點睛】本題考查了旋轉的性質、坐標與圖形性質以及解直角三角形等知識，求出是解題的關鍵．
9．（2023·浙江紹興·校考一模）如圖，在平面直角坐標系中，每個最小方格的邊長均為1個單位長，，，，…，均在格點上，其順序按圖中“→”方向排列，如：，，，，，…根據這個規律，點的坐標為 ．

【答案】
【分析】根據各個點的位置關系，可得出從開始，下標為4的倍數的點在第四象限的角平分線上，被4除余1的點在第三象限的角平分線上，被4除余2的點在第二象限的角平分線上，被4除余3的點在第一象限的角平分線上，所以點的在第四象限的角平分線上，且橫縱坐標的絕對值，再根據第四項象限內點的符號得出答案即可．
【詳解】解：由圖知，令（n為整數），
從開始，在第4象限，在第3象限，在第2象限，在第1象限，由規律可得，，
∴點的在第四象限的角平分線上，坐標為故答案為：．
【點睛】本題考查規律型：點的坐標，根據前幾個點的坐標，總結出４個一循環的規律是解題的關鍵.
10．（2023·安徽宿州·統考三模）在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標分別是，，．(1)將關于y軸對稱得到，畫出．
(2)將（1）中的繞點O順時針旋轉得到，畫出，并寫出點的坐標．

【答案】(1)見解析；(2)見解析，點的坐標為．
【分析】（1）根據軸對稱的性質分別作出點A、B、C關于y軸的對稱點，然后順次連接即可得到；
（2）根據旋轉的性質分別作出點、、繞點O順時針旋轉的對應點，順次連接即可得到，然后根據所作圖形可得點的坐標．
【詳解】（1）解：如圖：

（2）解：如圖：

由圖可得：點的坐標為．
【點睛】本題考查了作圖—軸對稱和旋轉，熟練掌握軸對稱和旋轉的性質是解題的關鍵．
11．（2023·北京海淀·?？寄M預測）如圖1，長度為6千米的國道兩側有M，N兩個城鎮，從城鎮到公路分別有鄉鎮公路連接，連接點為C和D，其中A、C之間的距離為2千米，C、D之間的距離為1千米，N、C之間的鄉鎮公路長度為2.3千米，M、D之間的鄉鎮公路長度為3.2千米．為了發展鄉鎮經濟，方便兩個城鎮的物資輸送，現需要在國道上修建一個物流基地T．設A、T之間的距離為x千米，物流基地T沿公路到M、N兩個城鎮的距離之和為y千米．以下是對函數y隨自變量x的變化規律進行的探究，請補充完整

(1)通過取點、畫圖、測量，得到x與y的幾組值，如下表：
x/千米 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
y/千米 10.5 6.5 8.5 10.5 12.5
(2)如圖2，建立平面直角坐標系，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數的圖象；
(3)結合畫出的函數圖象，解決問題：①若要使物流基地T沿公路到M、N兩個城鎮的距離之和最小，則物流基地T應該修建在何處？②如圖3，有四個城鎮M、N、P、Q分別位于國道兩側，從城鎮到公路分別有鄉鎮公路連接，若要在國道上修建一個物流基地S，使得S沿公路到M、N、P、Q的距離之和最小，則物流基地T應該修建在何處？
【答案】(1)8.5，6.5(2)見解析(3)①、之間（含、兩點）；②點處
【分析】（1）時，；時，，將相關線段的長代入即可得答案；（2）據表格數據畫出函數圖象即可；（3）①由圖形可知，若物流基地修建在、兩點之外，則距離會大于，從而可得答案；②結合①的結論及圖③分析可得答案．
【詳解】（1）、之間的距離為2千米，、之間的距離為1千米，、之間的距離為千米，沿公路到、兩個城鎮的距離之和為千米，當時，位于中點處，
此時（千米）；
當時，位于D處，（千米）故答案為：8.5，6.5．
（2）函數的圖象如下：
（3）①由圖形可知，若物流基地修建在、兩點之外，則距離會大于，
故若要使物流基地沿公路到、兩個城鎮的距離之和最小，物流基地應該修建在、之間（含、兩點）．故答案為：、之間（含、兩點）．
②由①可知，若要使物流基地沿公路到、兩個城鎮的距離之和最小，物流基地應該修建在、之間（含、兩點），
由圖3可知，、段上離點、的距離相等，再往點以下距離之和一定變大；再往點以上，到、的距離之和會變大，故答案為：點處．
【點睛】本題考查了函數圖象在解決實際問題中的應用，數形結合進行分析，是解答本題的關鍵．
1．（2023·河南新鄉·校聯考二模）在直角坐標系中，對于點和給出如下定義：若，則稱點Q為點P的“縱變點”．例如：點的“縱變點”為，點的“縱變點”為．若點A在直線上，點A的“縱變點”在第三象限，則m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據“縱變點”的定義可知且在第二象限，代入上得，然后根據列出關于m的不等式求解即可．
【詳解】∵在第三象限，∴，，∴且在第二象限，
∵點A在直線上，∴，
∵，∴，解得，，∴．故選D．
【點睛】本題考查了新定義，平面直角坐標系點的坐標特征，一次函數圖象上點的坐標特征，解一元一次不等式，求出且在第二象限是解答本題的關鍵．
2．（2023·四川德陽·統考二模）如圖，在平面直角坐標系中，將正方形繞點逆時針旋轉后得到正方形，依此方式，繞點連續旋轉2023次得到正方形，如果點的坐標為，那么點的坐標為（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由點的坐標可得，由正方形的性質可得，，從而得到，連接，由勾股定理可得，由旋轉的性質可得，由將正方形繞點逆時針旋轉后得到正方形，得到相當于線段繞點逆時針旋轉，依次得到，由可得點的坐標每8次一個循環，再由可得點和重合，從而得解．
【詳解】解：點的坐標為，，
四邊形是正方形，，，，如圖，連接，

由勾股定理得：，由旋轉的性質得：，
將正方形繞點逆時針旋轉后得到正方形，相當于線段繞點逆時針旋轉，依次得到，，點的坐標每8次一個循環，
，點和重合，由圖可得：，點的坐標為，故選：C．
【點睛】本題主要考查了旋轉的性質、正方形的性質、勾股定理、點的坐標規律的探索，熟練掌握以上知識點，得到點的坐標每8次一個循環是解題的關鍵．
3．（2023·河南駐馬店·?？级＃┤鐖D①，在矩形中，，對角線相交于點，動點由點出發，沿向點運動．設點的運動路程為，的面積為，與的函數關系圖象，如圖②所示，則邊的長為（ ）．

A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】當點在上運動時，面積逐漸增大，當點到達點時，結合圖象可得面積最大為3，得到與的積為12；當點在上運動時，面積逐漸減小，當點到達點時，面積為0，此時結合圖象可知點運動路徑長為7，得到與的和為7，構造關于的一元二方程可求解．
【詳解】解：當點在上運動時，面積逐漸增大，當點到達點時，面積最大為3．
，即．當點在上運動時，面積逐漸減小，當點到達點時，面積為0，此時結合圖象可知點運動路徑長為7，．
則，代入，得，解得或3，
∵，即，∴，．故選：A．
【點睛】本題主要考查動點問題的函數圖象，掌握三角形面積隨動點運動的變化過程，找到分界點極值，結合圖象得到相關線段的具體數值是解題的關鍵．
4．（2024上·福建莆田·九年級?？茧A段練習）已知在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，點為第一象限上一點，，且，則點的坐標為 ．
【答案】
【分析】本題考查了勾股定理，坐標與圖形性質，相似三角形的判定和性質；
過點作延長線于點，交軸于點，作軸于點，證明是等腰直角三角形，求出和，證明，設，，利用相似三角形的性質求出，，再證，設，，利用相似三角形的性質求出，，計算出和即可．
【詳解】解：根據題意畫出圖形：
過點作延長線于點，交軸于點，作軸于點，
點的坐標為，點的坐標為，，，
，，
，，是等腰直角三角形，
，，
，，，，
設，，，
，，，
，，，，設，，
，，，
，，
點的坐標為．故答案為：．
5．（2023·云南紅河·統考一模）在平面直角坐標系中，四邊形是矩形，點，點，點，以點A為中心，順時針旋轉矩形，得到矩形，點O，B，C的對應點分別為D，E，F，記旋轉角為α（）．(1)如圖①，當時，求點D的坐標；(2)如圖②，當點E落在的延長線上時，求點D的坐標；(3)當點D落在線段上時，求點E的坐標（直接寫出結果即可）．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）過點作軸，根據旋轉得到，利用含30度角的直角三角形的性質，求出的長，即可；（2）過點D作軸于G，于H，則，由勾股定理得出的長，等面積法求出，進而求出，勾股定理求出，即可； （3）連接，作軸于G，由旋轉的性質得出，由等腰三角形的性質得出，得出，證出，由平行線的性質的，證出，證明，得出，得出，即可得出答案．
【詳解】（1）解：四邊形是矩形，點，點，∴，
過點作軸，則：，
∵旋轉，∴，∴，，
∴，∴點坐標為；
（2）過點D作軸于G，于H，如圖所示：
∵，∴四邊形為矩形，∴，
∵矩形，，∴，，
∵旋轉，∴，∴，
∵， 即：，∴，
∴，，
∴點D的坐標為；
（3）連接，作軸于G，如圖所示：
由旋轉的性質得：，∴，
∴，∴，∴，∴，
在和中，，∴，
∴，，∴，∴點E的坐標為．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質、坐標與圖形性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質、旋轉變換的性質、含30°角的直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，正確作出輔助線，屬于中考壓軸題．
備考指南
知識導圖
知識清單
考點梳理
真題在線
專項練習
培優拓展
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第三章 函數
第一節 函數初步
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 平面直角坐標系 ☆☆☆ 平面直角坐標系作為數與形的橋梁、函數入門工具重要性不言而喻，平面直角坐標系和函數初步幾乎年年都會考查，分值為10分左右，主要考查坐標的相關概念與坐標變換、函數的相關概念和實際應用等。預計2024年各地中考還將出現，難度不高，在選擇、填空題中出現的可能性較大．
考點2 點的坐標特征與變換 ☆☆
考點3 坐標方法的簡單應用 ☆☆
考點4 函數 ☆☆☆
■考點一　平面直角坐標系
1．有序數對：有順序的兩個數a與b組成的數對，叫做 ，記作（a ，b）．
2．平面直角坐標系
平面直角坐標系 定義 在平面內畫兩條互相 并且原點重合的數軸，這樣就建立了平面直角坐標系。
兩軸 水平的數軸叫做x軸或橫軸，通常取 方向為正方向；豎直的數軸叫做y軸或縱軸，通常取 方向為正方向。（見圖1）
原點 兩坐標軸交點為平面直角坐標系 。
坐標平面 坐標系所在的平面叫做 。
象限 x軸和y軸把平面直角坐標系分成四部分，每個部分稱為 。按逆時針順序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。（見圖1）
點的坐標 對于坐標平面內任意一點A，過點A分別向x軸、y軸作垂線，垂足在x軸、y軸上的對應的數a、b分別叫做點A的 坐標和 坐標，有序數對A(a，b)叫做點A的坐標，記作 （見圖2）。
圖1 圖2
■考點二　點的坐標特征與變換
1．點的坐標特征：已知點P（a，b）
第一象限： ； 第二象限： ； 第三象限： ； 第四象限： ；
原點： ； x軸上： ； y軸上： ；
2．軸對稱與中心對稱：已知點P（x，y）
（1）點P關于x軸對稱的點的坐標 ；（2）點P關于y軸對稱的點的坐標 ．
（3）點P關于原點的對稱點為 ．
3．圖形（點）在坐標系中的平移：已知點P（x，y）
1）點P向右平移a個單位，坐標變為 ；2）點P向左平移a個單位，坐標變為 ；
3）點P向上平移b個單位，坐標變為 ；4）點P向下平移b個單位，坐標變為 ．
4.兩個公式
（1）中點公式：若、，則AB中點C坐標為： ；
（2）兩點距離公式：已知兩點：、，則 ．
■考點三　坐標方法的簡單應用
確定一個物體的位置的方法：1）有序實數對確定點的位置--行列定位法；2）方位角+距離確定點的位置--極坐標定位法；3）用“經緯度”確定點的位置--經緯定位法；4）區域定位法。
■考點四　函數
1、函數的相關概念：
變量：在一個變化過程中， 的量稱為變量.
常量：在一個變化過程中， 的量稱為常量.
函數的定義：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有 ，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數.
函數的取值范圍：使函數有意義的自變量的全體取值，叫做自變量的取值范圍.
確定函數取值范圍的方法： 1）函數解析式為整式時，字母取值范圍為 ； 2）函數解析式含有分式時，分式的分母 ；3）函數解析式含有二次根式時，被開方數 ；4）函數解析式中含有指數為零的式子時，底數 ；5）實際問題中函數取值范圍要和實際情況相符合，使之有意義.
函數值概念：如果在自變量取值范圍內給定一個值a，函數對應的值為b，那么b叫做當自變量取值為a時的 .
函數解析式：用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式.
函數圖像上點的坐標與解析式之間的關系：1）將點的坐標代入到解析式中，如解析式兩邊成立，則點在解析式上，反之，不在。2）兩個函數圖形交點的坐標就是這兩個解析式所組成的方程組的 。
2、函數的三種表示法的優缺點
優點 缺點
解析法 準確反映整個變化過程中自變量與函數的關系 求對應值是要經過比較復雜的計算，而且實際問題中有的函數值不一定能用解析式表示
列表法 自變量和與它對應的函數值數據一目了然 所列對應數值個數有限，不容易看出自變量與函數值的對應關系，有局限性
圖像法 形象的把自變量和函數值的關系表示出來 圖像中只能得到近似的數量關系
■易錯提示
1.有序數對（a，b）與（b，a）順序不同，含義也不同，坐標軸上的點不屬于任何象限。
2.到x 軸的距離與縱坐標有關，到y軸的距離與橫坐標有關；距離都是非負數，而坐標可以是負數。
3.因為橫軸向右為正，所以點向右平移時橫坐標變大，向左平移時橫坐標變小，同理向上平移時縱坐標變大，向下平移縱坐標變小，注意和函數平移的區別。
■考點一　平面直角坐標系
◇典例1：（2023·吉林·統考一模）在學習有序數對時，老師和同學們用如圖所示的密碼表玩聽聲音猜動物的游戲．當聽到“叮叮-叮，叮叮叮-叮叮，叮-?！睍r，分別對應的字母是“C，A，T”，表示的動物是貓．當聽到“叮叮-叮叮，叮-叮叮叮，叮叮叮-?！睍r，表示的動物是（ ）
A．牛 B．魚 C．狗 D．豬
◆變式訓練
1．（2023·湖北宜昌·統考一模）圖中顯示了10名學生平均每周用于閱讀課外書的時間和用于看電視的時間（單位：h），下列說法中錯誤的是（ ）
A．只有一個同學的閱讀和看電視的時間相同 B．只有兩個同學的看電視時間是相同的
C．只有兩個同學的閱讀時間是相同的 D．閱讀時間大于看電視時間的同學較多
◇典例2：（2023·北京海淀·?？家荒＃┬〗芘c同學去游樂城游玩，他們準備根據游樂城平面示意圖安排游玩順序，如果用表示入口處的位置，表示高空纜車的位置，那么攀巖的位置可以表示為 ， 的位置離入口最近．
◆變式訓練
1.（2023·山西晉城·統考一模）全世界大約有14000余種蝴蝶，大部分分布在美洲，尤其在亞馬孫河流域品種最多，在世界其他地區除了南北極寒冷地帶以外都有分布．如圖是一只蝴蝶標本，將其放在適當的平面直角坐標系中，若翅膀兩端B，C兩點的坐標分別為，，則蝴蝶“尾部”點A的坐標為 ．
■考點二　點的坐標特征與變換
◇典例3：（2023年黑龍江省大慶市中考數學真題）已知，，則在如圖所示的平面直角坐標系中，小手蓋住的點的坐標可能是（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023年浙江省麗水市中考數學真題）在平面直角坐標系中，點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.（2023·河南駐馬店·統考三模）點在第二象限內，則m的值可以是 ．（寫出一個即可）
◇典例4：（2023·廣東湛江·統考二模）已知點在x軸上，則a的值為 ．
◆變式訓練
1.（2023·廣東香洲·二模）在平面直角坐標系中，點在軸上，則的值是____．
2.（2023·廣東湛江·統考一模）已知點，當時，點在第 象限，當點在軸上時， ．
◇典例5：（2023·江蘇鹽城·校考模擬預測）若點關于原點對稱的點在第二象限，則m的取值范圍為（　　）
A． B． C． D． 或
◆變式訓練
1. （2023·四川眉山·?？既＃┢矫嬷苯亲鴺讼祪扔幸稽c，已知x，y滿足，則點M關于軸對稱的點N在第 象限．
2.（2023年山東省聊城市中考數學真題）如圖，在直角坐標系中，各點坐標分別為，，．先作關于x軸成軸對稱的，再把平移后得到．若，則點坐標為（ ）

A． B． C． D．
◇典例6：（2022·遼寧大連·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是，將線段向右平移4個單位長度，得到線段，點A的對應點C的坐標是_______．
◆變式訓練
1.（2023·遼寧·模擬預測）如圖，頂點，的坐標分別為，，將平移后，點A的對應點的坐標是，則點的對應點的坐標是 ．
2．（2022·貴州畢節·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，把一個點從原點開始向上平移1個單位，再向右平移1個單位，得到點；把點向上平移2個單位，再向左平移2個單位，得到點；把點向下平移3個單位，再向左平移3個單位，得到點；把點向下平移4個單位，再向右平移4個單位，得到點；…；按此做法進行下去，則點的坐標為_________．
◇典例7：（2023·海南·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A在y軸上，點B的坐標為，將繞著點B順時針旋轉，得到，則點C的坐標是（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023·黑龍江綏化·統考模擬預測）如圖，將線段先向右平移5個單位，再將所得線段繞原點按順時針方向旋轉，則點B的對應點的坐標是（　?。?br/>
A． B． C． D．
2.（2023·河南周口·校聯考三模）風力發電是一種常見的綠色環保發電形式，它能夠使大自然的資源得到更好地利用．如圖1，風力發電機有三個底端重合、兩兩成角的葉片，以三個葉片的重合點為原點，水平方向為軸建立平面直角坐標系（如圖2所示），已知開始時其中一個葉片的外端點的坐標為，在一段時間內，葉片每秒繞原點順時針轉動，則第時，點的對應點的坐標為（ ）

A． B． C． D．
◇典例8：（2023·江蘇江都·二模）如果點P（x，y）的坐標滿足x+y=xy，那么稱點P為“和諧點”，若某個“和諧點“P到x軸的距離為2，則P點的坐標為______．
◆變式訓練
1．（2023·浙江·校聯考三模）在平面直角坐標系中，給出如下定義：點A到x軸、y軸距離的較大值，稱為點A的“長距”，當點P的“長距”等于點Q的“長距”時，稱P，Q兩點為“等距點”，若，兩點為“等距點”，則k的值為 ．
◇典例9：（2023·河北石家莊·校聯考模擬預測）平面直角坐標系中，點，，，若軸，則線段的最小值及此時點C的坐標分別為（　?。?br/>A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023·河南信陽·校考三模）如圖，平面直角坐標系中，對折矩形使得與重合，得到折痕，把紙片展平，再一次折疊紙片，使點A的對應點落在上，折痕是，連接，，已知點，則點C的坐標是（ ）

A． B． C．（8，6） D．
2．（2023·江蘇南通·校考三模）如圖，在平面直角坐標系中，點，，在坐標軸上，，，，按以下步驟作圖：①以點為圓心，任意長為半徑作弧，分別交，于點，；②再分別以點，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點，作射線，交于點，則點的坐標為（ ）

A． B． C． D．
■考點三　坐標方法的簡單應用
◇典例10．（2023·廣東佛山·統考二模）下列選項中，能確定物體位置的是（ ）
A．距離學校500米 B．季華路 C．東經，北緯 D．北偏西
◆變式訓練
1．（2023春·河北保定·八年級校聯考期中）下列四種描述中，能確定具體位置的是（ ）
A．東經，北緯 B．某電影院5號廳2排 C．北京長安大街 D．一架飛機距離地面10千米
◇典例11：（2023·山東濱州·九年級統考期末）閱讀理解：如圖1，在平面內選一定點O，引一條有方向的射線，再選定一個單位長度，那么平面上任一點M的位置可由的度數與的長度m確定，有序數對稱為M點的“極坐標”，這樣建立的坐標系稱為“極坐標系”．
應用：在圖2的極坐標系下，如果正六邊形的邊長為4，有一邊在射線上，則正六邊形的頂點C的極坐標應記為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023年江蘇省連云港市中考數學真題）畫一條水平數軸，以原點為圓心，過數軸上的每一刻度點畫同心圓，過原點按逆時針方向依次畫出與正半軸的角度分別為的射線，這樣就建立了“圓”坐標系．如圖，在建立的“圓”坐標系內，我們可以將點的坐標分別表示為，則點的坐標可以表示為 ．

■考點四　函數
◇典例12：（2023·安徽滁州·八年級?？茧A段練習）球的體積是，球的半徑為，則，其中變量和常量分別是（ ）
A．變量是，；常量是， B．變量是，；常量是
C．變量是，，；常量是 D．變量是，；常量是
◆變式訓練
1．（2023·湖北恩施·統考一模）函數中，自變量x的取值范圍是（　?。?br/>A．且 B． C．或 D．
2．（2023·廣東湛江·校聯考一模）當時，函數的值是（ ）
A． B． C． D．
◇典例13：（2023·廣西·統考一模）下列各曲線中哪個不能表示y是x的函數的是（　?。?br/>A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023·北京海淀·八年級統考期末）如圖，有一個球形容器，小海在往容器里注水的過程中發現，水面的高度h、水面的面積S及注水量V是三個變量．下列有四種說法：①S是V的函數；②V是S的函數；③h是S的函數；④S是h的函數．其中所有正確結論的序號是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
2．（2023·河北滄州·九年級統考開學考試）下列各式，不能表示是的函數的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山東德州·二模）下列關于兩個變量關系的四種表述中，正確的是 ．（填序號即可）
①圓的周長C是半徑r的函數；②表達式中，y是x的函數；③如表中，n是m的函數；
m 1 2 3
n 6 3 2
④如圖中，曲線表示y是x的函數．

◇典例14：（2023·廣西南寧·統考二模）南湖隧道是南寧市建成的首條水底隧道．一輛小汽車勻速通過南湖隧道，小汽車車身在隧道內的長度記為y米，小汽車進入隧道的時間記為t秒，則y與t之間的關系用圖象描述大致是（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023·湖南永州·校考二模）2023年1月22日，電影《流浪地球2》在萬達廣場上映，小趙一家開車去觀看．最初以某一速度勻速行駛，中途停車加油耽誤了幾分鐘，為了按時到達劇場，小趙在不違反交通規則的前提下加快了速度，仍保持勻速行駛．在此行駛過程中，汽車離家的距離y（千米）與行駛時間t（小時）的函數關系的大致圖象是（ ）
A． B． C． D．
◇典例15：（2023·江西南昌·統考一模）一個鋼球由靜止開始從足夠長的斜面頂端沿斜面勻變速下，速度變化規律如下表：
時間 0 1 2 3 4 …
速度 0 1.5 3 4.5 6 …
則時，這個鋼球的速度是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023·北京西城·?？寄M預測）如圖，購買一種蘋果所付款金額y（元）與購買量x（千克）之間的函數圖象由線段和射線組成，則一次購買3千克這種蘋果比分三次每次購買1千克這種蘋果可節?。ā　。?br/>A．4元 B．3元 C．2元 D．1元
2．（2023·廣東湛江·統考一模）在我國川西高原某山脈間有一河流，當河流中的水位上升到一定高度時因河堤承壓有潰堤的危險．于是水利工程師在此河段的某處河堤上修了一個排水的預警水庫連通另一支流．當河流的水位超過警戒位時就有河水流入預警的水庫中，當水庫有一定量的積水后，就會自動打開水庫的排水系統流入另一支流．當河流的水位低于警戒位時水庫的排水系統的排水速度則變慢．假設預警水庫的積水時間為分鐘，水庫中積水量為噸，圖中的折線表示某天與的函數關系，下列說法中：①這天預警水庫排水時間持續了分鐘；
②河流的水位超過警戒位時預警水庫的排水速度比進水速度少噸分；
③預警水庫最高積水量為噸；④河流的水位低于警戒位時預警水庫的排水速度為噸分．
其中正確的信息判斷是　　

A．①④ B．①③ C．②③ D．②④
1．（2023年浙江省臺州市中考數學真題）如圖是中國象棋棋盤的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，已知“車”所在位置的坐標為，則“炮”所在位置的坐標為（ ）．

A． B． C． D．
2．（2022·廣東·中考真題）在平面直角坐標系中，將點向右平移2個單位后，得到的點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年四川省自貢市中考數學真題）如圖，邊長為的正方形兩邊與坐標軸正半軸重合，點的坐標是（ ）

A． B． C． D．
4．（2023年四川省攀枝花市中考數學真題）如圖，正方形的邊長為4，動點從點出發沿折線做勻速運動，設點運動的路程為，的面積為，下列圖象能表示與之間函數關系的是（ ）

A． B． C． D．
5．（2023年內蒙古中考數學真題）將矩形紙板剪掉一個小矩形后剩余部分如圖1所示，動點P從點A出發，沿路徑勻速運動，速度為，點P到達終點F后停止運動，的面積與點P運動的時間的關系如圖2所示，根據圖象獲取了以下的信息：
①；②；③點從點運動到點需要；
④矩形紙板裁剪前后周長均為．其中正確信息的個數有（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
6．（2023年山東省棗莊市中考數學真題）銀杏是著名的活化石植物，其葉有細長的葉柄，呈扇形．如圖是一片銀杏葉標本，葉片上兩點B，C的坐標分別為，將銀杏葉繞原點順時針旋轉后，葉柄上點A對應點的坐標為 ．

7．（2023湖南省衡陽市中考數學真題）在平面直角坐標系中，點所在象限是第 象限．
8．（2023年黑龍江省齊齊哈爾市中考數學真題）在函數中，自變量x的取值范圍是 ．
9．（2023年山東省東營市中考數學真題）如圖，一束光線從點出發，經過y軸上的點反射后經過點，則的值是 ．

10．（2023年遼寧省阜新市中考數學真題）德力格爾草原位于彰武縣境內，以草場資源豐富，景色優美著稱．今年5月在此舉辦的“漠上草原歡樂跑”首屆馬拉松比賽，吸引了千余名國內外選手參加．甲、乙兩名選手同時參加了往返（單程）的業余組比賽，如果全程保持勻速，甲、乙之間的距離s（）與甲所用的時間（h）之間的函數關系如圖所示，那么當甲到達終點時，乙距離終點 ．

1.（2023·山西太原·統考一模）法國數學家笛卡爾發明了平面直角坐標系，使平面內的點與有序實數對建立了一一對應關系，將幾何問題通過代數方法來研究．這種解決問題的方法是（ ）
A．數形結合 B．類比 C．一般到特殊 D．分類討論
2．（2023·河北石家莊·校聯考二模）一艘海上搜救船在巡邏過程中發現點A處有一艘船發出求救信號，如圖是搜救船上顯示的雷達示意圖，圖上標注了以搜救船為中心的等距線（圖中所示的同心圓，單位：海里）及角度，要讓搜救船在第一時間抵達故障船所在的位置，應該將搜救船的航行方案調整為（　?。?br/>
A．向北偏西150°方向航行4海里 B．向南偏西120°方向航行3海里
C．向北偏西60°方向航行4海里 D．向東偏北150°方向航行3海里
3．（2023年江蘇中考模擬）折返跑是一種跑步的形式．如圖，在一定距離的兩個標志物①、②之間，從①開始，沿直線跑至②處，用手碰到②后立即轉身沿直線跑至①處，用手碰到①后繼續轉身跑至②處，循環進行，全程無需繞過標志物．小華練習了一次的折返跑，用時在整個過程中，他的速度大小v（）隨時間t（）變化的圖像可能是（ ）

A． B．
C． D．
4．（2023·湖南長沙·中考模擬）在平面直角坐標系中，點關于原點對稱的點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖北荊州市·中考模擬）若點關于軸的對稱點在第四象限，則的取值范圍在數軸上表示為（ ）
A．B．
C．D．
6．（2023·內蒙古包頭·?？既＃┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵?，將點向右平移4個單位后得到點所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2023·廣東佛山·?？既＃┮阎c在第四象限，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·北京海淀·?？寄M預測）將含有角的直角三角板如圖放置在平面直角坐標系中，在軸上，將三角板繞原點順時針旋轉，若，則點的對應點的坐標為 ．

9．（2023·浙江紹興·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，每個最小方格的邊長均為1個單位長，，，，…，均在格點上，其順序按圖中“→”方向排列，如：，，，，，…根據這個規律，點的坐標為 ．

10．（2023·安徽宿州·統考三模）在平面直角坐標系中，三個頂點的坐標分別是，，．(1)將關于y軸對稱得到，畫出．
(2)將（1）中的繞點O順時針旋轉得到，畫出，并寫出點的坐標．

11．（2023·北京海淀·?？寄M預測）如圖1，長度為6千米的國道兩側有M，N兩個城鎮，從城鎮到公路分別有鄉鎮公路連接，連接點為C和D，其中A、C之間的距離為2千米，C、D之間的距離為1千米，N、C之間的鄉鎮公路長度為2.3千米，M、D之間的鄉鎮公路長度為3.2千米．為了發展鄉鎮經濟，方便兩個城鎮的物資輸送，現需要在國道上修建一個物流基地T．設A、T之間的距離為x千米，物流基地T沿公路到M、N兩個城鎮的距離之和為y千米．以下是對函數y隨自變量x的變化規律進行的探究，請補充完整

(1)通過取點、畫圖、測量，得到x與y的幾組值，如下表：
x/千米 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
y/千米 10.5 6.5 8.5 10.5 12.5
(2)如圖2，建立平面直角坐標系，描出以補全后的表中各對對應值為坐標的點，畫出該函數的圖象；
(3)結合畫出的函數圖象，解決問題：①若要使物流基地T沿公路到M、N兩個城鎮的距離之和最小，則物流基地T應該修建在何處？②如圖3，有四個城鎮M、N、P、Q分別位于國道兩側，從城鎮到公路分別有鄉鎮公路連接，若要在國道上修建一個物流基地S，使得S沿公路到M、N、P、Q的距離之和最小，則物流基地T應該修建在何處？
1．（2023·河南新鄉·校聯考二模）在直角坐標系中，對于點和給出如下定義：若，則稱點Q為點P的“縱變點”．例如：點的“縱變點”為，點的“縱變點”為．若點A在直線上，點A的“縱變點”在第三象限，則m的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川德陽·統考二模）如圖，在平面直角坐標系中，將正方形繞點逆時針旋轉后得到正方形，依此方式，繞點連續旋轉2023次得到正方形，如果點的坐標為，那么點的坐標為（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·河南駐馬店·校考二模）如圖①，在矩形中，，對角線相交于點，動點由點出發，沿向點運動．設點的運動路程為，的面積為，與的函數關系圖象，如圖②所示，則邊的長為（ ）．

A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2024上·福建莆田·九年級?？茧A段練習）已知在平面直角坐標系中，點的坐標為，點的坐標為，點為第一象限上一點，，且，則點的坐標為 ．
5．（2023·云南紅河·統考一模）在平面直角坐標系中，四邊形是矩形，點，點，點，以點A為中心，順時針旋轉矩形，得到矩形，點O，B，C的對應點分別為D，E，F，記旋轉角為α（）．(1)如圖①，當時，求點D的坐標；(2)如圖②，當點E落在的延長線上時，求點D的坐標；(3)當點D落在線段上時，求點E的坐標（直接寫出結果即可）．
備考指南
知識導圖
知識清單
考點梳理
真題在線
專項練習
培優拓展
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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