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第三章 函數(shù)
第二節(jié) 一次函數(shù)
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 一次函數(shù)的相關(guān)概念 ☆☆ 一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是中考數(shù)學(xué)中比較重要的一個(gè)考點(diǎn)，也是知識(shí)點(diǎn)牽涉比較多的考點(diǎn).各地對(duì)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考察也主要集中在一次函數(shù)表達(dá)式與平移、圖象的性質(zhì)、圖象與方程不等式的關(guān)系以及一次函數(shù)圖象與幾何圖形面積等五個(gè)方面，年年考查，總分值為10分左右，也因?yàn)橐淮魏瘮?shù)是一個(gè)結(jié)合型比較強(qiáng)的知識(shí)點(diǎn)，所以其圖象和性質(zhì)也是后續(xù)函數(shù)問題學(xué)習(xí)的一個(gè)基礎(chǔ).故考生在復(fù)習(xí)這塊知識(shí)點(diǎn)時(shí)，需要特別熟記對(duì)應(yīng)考點(diǎn)的方法規(guī)律。
考點(diǎn)2 一次函數(shù)的圖象與性質(zhì) ☆☆☆
考點(diǎn)3 一次函數(shù)與方程（組）、一次函數(shù)與不等式 ☆☆☆
■考點(diǎn)一　一次函數(shù)的相關(guān)概念
1.正比例函數(shù)的概念：一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫 函數(shù)，其中k叫正比例系數(shù)。
2.一次函數(shù)的定義：一般地，形如y=kx+b(k，b為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做x的 函數(shù)。
特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中的b=0時(shí)，y=kx，所以說 函數(shù)是一種特殊的 函數(shù).。
■考點(diǎn)二　一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.一次函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)
函數(shù) 字母取值 圖象 經(jīng)過的象限 函數(shù)性質(zhì)
y=kx+b(k≠0) k>0，b>0 . y隨x的增大而 .
k>0，b<0 .
k>0，b=0 .
y=kx+b(k≠0) k<0，b>0 . y隨x的增大而 .
k<0，b<0 .
k<0，b=0 .
2.k，b的符號(hào)與直線y=kx+b（k≠0）的關(guān)系
在直線y=kx+b（k≠0）中，令y=0，則x=- ，即直線y=kx+b與x軸交于（ ，0）．
①當(dāng)–>0時(shí)，即k，b異號(hào)時(shí)，直線與x軸交于 ．
②當(dāng)–=0，即b=0時(shí)，直線經(jīng)過 ．③當(dāng)–<0，即k，b同號(hào)時(shí)，直線與x軸交于 ．
3.兩直線y=k1x+b1（k1≠0）與y=k2x+b2（k2≠0）的位置關(guān)系：
①當(dāng) ，兩直線平行； ②當(dāng) ，兩直線重合；
③當(dāng) ，兩直線交于y軸上一點(diǎn)；④當(dāng) 時(shí)，兩直線垂直．
4.一次函數(shù)的平移法則： 。
■考點(diǎn)三　一次函數(shù)與方程（組）、不等式
1.一次函數(shù)與一元一次方程
任何一個(gè)一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為kx+b=0(k，b為常數(shù)，且k≠0)的形式．
從函數(shù)的角度來看，解這個(gè)方程就是尋求自變量為何值時(shí)函數(shù)值為 ；
從函數(shù)圖象的角度考慮，解這個(gè)方程就是確定直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn)的 坐標(biāo)．
2.一次函數(shù)與一元一次不等式
任何一個(gè)一元一次不等式都能寫成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b為常數(shù)，且a≠0）的形式．
從函數(shù)的角度看，解一元一次不等式就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的值 的自變量x的取值范圍；
從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=ax+b在x軸 的點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足的條件．
3.一次函數(shù)與二元一次方程組
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常數(shù)，且m≠0，n≠0）都能寫成y=ax+b（a，b為常數(shù)，且a≠0）的形式．因此，一個(gè)二元一次方程對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)，又因?yàn)橐粋€(gè)一次函數(shù)對(duì)應(yīng)一條直線，所以一個(gè)二元一次方程也對(duì)應(yīng)一條直線．
從函數(shù)的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的 ，以及這兩個(gè)函數(shù)值是何值；
從函數(shù)圖象的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于確定兩條直線的 ，一般地，如果一個(gè)二元一次方程組有唯一解，那么這個(gè)解就是方程組對(duì)應(yīng)的兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．
■易錯(cuò)提示
1. 判斷一次函數(shù)的增減性，只看k的符號(hào)，與b無關(guān).
2. 一次函數(shù)y= kx+b（k≠0）的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)而且圖像是一條直線，因此沒有最大值與最小值.但實(shí)際問題得到第一次函數(shù)解析式，自變量的取值范圍一般受到限，學(xué)生做題時(shí)要注意具體問題具體分析。
■考點(diǎn)一　一次函數(shù)的相關(guān)概念
◇典例1：（2023下·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列式子中，表示y是x的正比例函數(shù)的是（　　）
A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x2 D．y
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·四川成都·二模）下列函數(shù)關(guān)系式：（1）；（2）；（3）；（4），其中一次函數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考二模）若，y是x的正比例函數(shù)，則b的值是（ ）
A．0 B． C． D．
◇典例2：（2022·廣東湛江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，則代數(shù)式的值等于 ．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·湖南長沙·校考一模）函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則k的值為（　　）
A．1 B． C． D．
2．（2023·江蘇南京·一模）定義：點(diǎn)A（x，y）為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)，若滿足x＝y(tǒng)，則把點(diǎn)A叫做“平衡點(diǎn)”，例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡點(diǎn)”，當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，直線y＝2x+m上有“平衡點(diǎn)”，則m的取值范圍是_____．
3．（2022·廣西梧州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)寫出直線上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)________．
■考點(diǎn)二　一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
◇典例3：（2023·安徽六安·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
◆變式訓(xùn)練
1. （2023·上海虹口·校聯(lián)考二模）已知正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、四象限，那么a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）一次函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象不經(jīng)過第四象限，則k的值可能為（ ）
A． B．0 C．1 D．3
3．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）若直線經(jīng)過第一、三、四象限，則的值可以是 （請(qǐng)?zhí)钜粋€(gè)具體的數(shù)）．
◇典例4：（2023·安徽六安·統(tǒng)考一模）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)M，且y的值隨x增大而增大，則點(diǎn)M的坐標(biāo)可能是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)是正比例函數(shù)，且隨的增大而增大，那么的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·天津河西·校考三模）若一次函數(shù)的函數(shù)值y隨著自變量x值的增大而減小，則 （寫出一個(gè)滿足條件的值）．
◇典例5：（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若是一次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則（　　）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1. （2022·陜西西安·統(tǒng)考二模）若正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)、，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例6：（2023·安徽滁州·校聯(lián)考一模）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，其中，，則關(guān)于的一次函數(shù)和的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·江蘇鹽城·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知一次函數(shù)，隨著的增大而減小，且，則在直角坐標(biāo)系內(nèi)它的大致圖象是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·安徽合肥·校考模擬預(yù)測(cè)）已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，則k的取值范圍是（　　）

A． B． C． D．
◇典例7：（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）把直線沿著軸平移后得到直線，直線經(jīng)過點(diǎn)，且，則直線的函數(shù)表達(dá)式是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·陜西咸陽·校考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，將直線向右平移2個(gè)單位長度后所得的直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．1
2.（2023·陜西西安·校考一模）將直線向左平移3個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位后得到的直線是（ ）
A． B． C． D．
◇典例8：（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）將一次函數(shù)的圖象向下平移2個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（　　）
A．函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 B．函數(shù)的圖象一定過點(diǎn)
C．函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限 D．若兩點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，則
◆變式訓(xùn)練
1. （2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（k是常數(shù)，）的圖像經(jīng)過第一、三象限，下列說法中正確的是（ ）
A． B．圖像一定經(jīng)過點(diǎn) C．圖像是雙曲線 D．的值隨的值增大而減小
2.（2023下·河南南陽·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖是y關(guān)于x的一個(gè)函數(shù)圖象，根據(jù)圖象，下列說法正確的是（ ）

A．該函數(shù)的最小值為 B．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大
C．當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 D．當(dāng)和時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等
◇典例9：（2023·遼寧阜新·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：與兩坐標(biāo)軸交于、兩點(diǎn)，以為邊作等邊，將等邊沿射線方向作連續(xù)無滑動(dòng)地翻滾．第一次翻滾：將等邊三角形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在直線上，第二次翻滾：將等邊三角形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在直線l上……當(dāng)?shù)冗吶切畏瓭L次后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·遼寧阜新·校聯(lián)考一模）如圖，過直線上的點(diǎn)長作，交x軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交直線l于點(diǎn)；過點(diǎn)作交x軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交直線l于點(diǎn)；…按照此方法繼續(xù)作下去，若，則線段的長度為（ ）．

A． B． C． D．
■考點(diǎn)三　一次函數(shù)與方程（組）、不等式
◇典例10：（2023·河南平頂山·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，直線與相交于點(diǎn)，則關(guān)于的方程的解是（ ）

A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，直線與直線交于點(diǎn)，則關(guān)于的方程的解為 ；

◇典例11：（2023·陜西榆林·校考三模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和的圖象相交于點(diǎn)，則關(guān)于的方程組的解為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·廣東廣州·校考一模）如圖，一次函數(shù)與的圖像相交于點(diǎn)，則方程組的解為 ．
2．（2023·廣東深圳·校考一模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與的圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）

A．隨x的增大而減小 B．
C．當(dāng)時(shí)， D．關(guān)于x，y的方程組的解為
◇典例12：（2023·陜西·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則x的取值范圍為（　　）

A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·廣西欽州·統(tǒng)考一模）如圖，一次函數(shù)（k，b為常數(shù)，且）的圖象與直線都經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
2.（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
◇典例13：（2023上·貴州畢節(jié)·九年級(jí)校考期中）如圖是一次函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·河南南陽·統(tǒng)考一模）已知一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y的最大值等于 ．
2.（2021·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）若，且，則的取值范圍為 ．
◇典例14：（2023·湖北武漢·校考模擬預(yù)測(cè)）某個(gè)體戶購進(jìn)一批時(shí)令水果，20天銷售完畢，他將本次銷售情況進(jìn)行了跟蹤記錄，根據(jù)所記錄的數(shù)據(jù)繪制如下的函數(shù)圖象，其中日銷售量y（千克）與銷售時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法不正確的是（ ）

A．第10天銷售20千克 B．第7天和第16天的日銷售量相同
C．一天最多銷售30千克 D．第16天比第1天多銷售22千克
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·湖北武漢·校考三模）某移動(dòng)通信公司提供了A，B兩種方案的通信費(fèi)用y（元）與通話時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系，如圖所示，則以下說法錯(cuò)誤的是（ ）

A．若通話時(shí)間少于120分鐘，則A方案比B方案便宜20元
B．若通話時(shí)間超過200分鐘，則B方案比A方案便宜
C．若通信費(fèi)用為60元，則B方案比A方案的通話時(shí)間多
D．若兩種方案通信費(fèi)用相差10元，則通話時(shí)間是145分鐘或185分鐘
1．（2023年湖南省益陽市中考數(shù)學(xué)真題）關(guān)于一次函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．圖象經(jīng)過第一、三、四象限 B．圖象與y軸交于點(diǎn)
C．函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小 D．當(dāng)時(shí)，
2．（2023年湖南婁底中考數(shù)學(xué)真題）將直線向右平移2個(gè)單位所得直線的表達(dá)式為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年四川省雅安市中考數(shù)學(xué)真題）在平面直角坐標(biāo)系中．將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向上平移1個(gè)單位長度，所得直線的函數(shù)表達(dá)式為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年甘肅省蘭州市中考數(shù)學(xué)真題）一次函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
5．（2023年山東省聊城市中考數(shù)學(xué)真題）甲乙兩地相距a千米，小亮8:00乘慢車從甲地去乙地，10分鐘后小瑩乘快車從乙地趕往甲地．兩人分別距甲地的距離y（千米）與兩人行駛時(shí)刻t（×?xí)r×分）的函數(shù)圖象如圖所示，則小亮與小瑩相遇的時(shí)刻為（ ）

A．8:28 B．8:30 C．8:32 D．8:35
6．（2023年江蘇省南通市中考數(shù)學(xué)真題）已知一次函數(shù)，若對(duì)于范圍內(nèi)任意自變量的值，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都小于，則的取值范圍是 ．
7．（2023年江蘇省蘇州市中考數(shù)學(xué)真題）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，則 ．
8．（2023年山東省濟(jì)寧市中考數(shù)學(xué)真題）一個(gè)函數(shù)過點(diǎn)，且隨增大而增大，請(qǐng)寫出一個(gè)符合上述條件的函數(shù)解析式 ．
9．（2023年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)真題）在“ “探索一次函數(shù)的系數(shù)與圖像的關(guān)系”活動(dòng)中，老師給出了直角坐標(biāo)系中的三個(gè)點(diǎn)：．同學(xué)們畫出了經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)中每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)的一次函數(shù)的圖像，并得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．分別計(jì)算，的值，其中最大的值等于 ．

10．（2023年四川省南充市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，直線（k為常數(shù)，）與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B，則的值是 ．

11．（2023年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)真題）1號(hào)探測(cè)氣球從海拔處出發(fā)，以的速度豎直上升．與此同時(shí)，2號(hào)探測(cè)氣球從海拔20m處出發(fā)，以的速度豎直上升．兩個(gè)氣球都上升了．1號(hào)、2號(hào)氣球所在位置的海拔，（單位：m）與上升時(shí)間x（單位：）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．請(qǐng)根據(jù)圖象回答下列問題：(1)___________，___________；(2)請(qǐng)分別求出，與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)上升多長時(shí)間時(shí)，兩個(gè)氣球的海拔豎直高度差為？

1．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）若直線和直線平行，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，將直線向右平移個(gè)單位后為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）對(duì)于點(diǎn)和直線：，下列說法正確的是( )
A．若，則經(jīng)過點(diǎn) B．若，則不經(jīng)過點(diǎn)
C．若，，則點(diǎn)在上方 D．若，，則點(diǎn)在下方
3．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖表示光從空氣進(jìn)入水中前、后的光路圖，若按如圖建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)入水前與入水后光線所在直線的表達(dá)式分別為，則關(guān)于與的關(guān)系，正確的是（ ）

A． B． C． D．
4．（2023·湖南衡陽·校考模擬預(yù)測(cè)）正比例函數(shù)的圖象過兩點(diǎn)，假設(shè)，那么的值為（　　）
A．3 B． C．6 D．
5．（2023·陜西咸陽·校考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，將直線向右平移m個(gè)單位長度后得到的直線與直線的交點(diǎn)在第一象限，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·浙江杭州·校考二模）若分別在一次函數(shù)圖像上兩個(gè)不相同的點(diǎn)，記，則P為（　　）
A．0 B．正數(shù) C．負(fù)數(shù) 1 D．非負(fù)數(shù)
7．（2023·陜西商洛·校考三模）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
8．（2023·河南南陽·校聯(lián)考一模）已知正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的函數(shù)表達(dá)式： ．
9．（2023·廣東陽江·統(tǒng)考二模）在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
10．（2022·北京海淀·人大附中校考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象平行于直線，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求和的值；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，一次函數(shù)的值大于函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍．
11．（2023·廣東河源·統(tǒng)考三模）春天來了，我校計(jì)劃組織師生共1600人坐A、B兩種型號(hào)的大巴車外出春游，且A型車每輛租金為580元，B型車每輛租金為700元，為了保證安全，校方要求必須保證人人都有座位．學(xué)生南南發(fā)現(xiàn)若租2輛A型與3輛B型大巴車恰好能坐下195人，若租3輛A型與2輛B型大巴車恰好能坐下180人．(1)請(qǐng)問1輛A型與1輛B型大巴車各有幾座？
(2)現(xiàn)學(xué)校決定租兩種型號(hào)的大巴車共50輛作為出行交通工具，但政教主任蔣老師發(fā)現(xiàn)租車總經(jīng)費(fèi)不能超過32000元．他想運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行分析，為學(xué)校尋找最節(jié)省的租車方案．現(xiàn)蔣老師設(shè)學(xué)校租了A型大巴車x輛，租車總費(fèi)用為w元．請(qǐng)你幫蔣老師完成分析過程，確定共有幾種租車方案？哪種租車方案最省錢？并求出最低費(fèi)用．
1．（2023·安徽阜陽·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)，，當(dāng)直線與線段有交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是( )
A． B． C．或 D．
2．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與軸、軸交于點(diǎn)，，在中從左向右依次作正方形，，…，，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在直線上；再將每個(gè)正方形分割成四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形，其中每個(gè)小正方形的邊都與坐標(biāo)軸平行，從左至右的小正方形(陰影部分)的面積分別記為，則可表示為(　　)

A． B． C． D．
3．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，如圖所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得點(diǎn)，，，……，在直線l上，點(diǎn)，，，…，在y軸正半軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．

4．（2023·湖北襄陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）為了響應(yīng)襄陽市人民政府“改善市區(qū)河流水質(zhì)，進(jìn)一步凈化居民生活環(huán)境”的號(hào)召，襄陽市富春紫光污水處理有限公司（以下簡(jiǎn)稱：富春紫光）
A型 型
價(jià)格萬元臺(tái)
處理污水量噸月
決定：今年新采購臺(tái)污水處理設(shè)備用以增強(qiáng)公司的污水處理能力經(jīng)過市場(chǎng)考查，誠信機(jī)械設(shè)備公司（以下簡(jiǎn)稱：誠信公司）推薦了A、兩種型號(hào)的設(shè)備供選擇，其中每臺(tái)的報(bào)價(jià)與月處理污水量如表：經(jīng)核算，若按誠信公司的報(bào)價(jià)：購買一臺(tái)A型設(shè)備將比購買一臺(tái)型設(shè)備多萬元，購買臺(tái)A型設(shè)備會(huì)比購買臺(tái)型設(shè)備少萬元．(1)求，的值；(2)誠信公司最初給出的銷售條件是：購買型設(shè)備原則上不予優(yōu)惠；購買A型設(shè)備不超過臺(tái)時(shí)無優(yōu)惠；購買臺(tái)以上時(shí)，超過臺(tái)的部分每臺(tái)可按報(bào)價(jià)的折銷售．并且由于受庫存和產(chǎn)能等因素限制，在規(guī)定的交貨期限內(nèi)，誠信公司最多只能提供臺(tái)A型設(shè)備，而富春紫光需要這批新購進(jìn)的臺(tái)設(shè)備月處理污水總能力不能低于噸，①富春紫光買下這批設(shè)備最少需要支付多少購買資金？②經(jīng)過反復(fù)談判協(xié)商，誠信公司最終同意：在富春紫光按照最初的銷售條件全部買下誠信公司庫存的臺(tái)A型設(shè)備的前提下，再給予型設(shè)備如下的優(yōu)惠措施：購買型設(shè)備不超過臺(tái)時(shí)無優(yōu)惠；購買臺(tái)以上時(shí)，超過臺(tái)的部分每臺(tái)可按報(bào)價(jià)的折銷售．如果富春紫光想要用不超過萬元的資金買下這批污水處理設(shè)備，試求的最大值？
5．（2023年遼寧省阜新市中考數(shù)學(xué)真題）某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們，對(duì)函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的性質(zhì)進(jìn)行了初步探究，部分過程如下，請(qǐng)你將其補(bǔ)充完整．
(1)當(dāng)，時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，函數(shù)化簡(jiǎn)為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)化簡(jiǎn)為______．
(2)當(dāng)，，時(shí)，即．
①該函數(shù)自變量x和函數(shù)值y的若干組對(duì)應(yīng)值如下表：
… 0 1 2 3 4 …
… 6 2 0 2 4 6 …
其中______．②在圖1所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象．

(3)當(dāng)時(shí)，即．①當(dāng)時(shí)，函數(shù)化簡(jiǎn)為______．
②在圖2所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象．
(4)請(qǐng)寫出函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的一條性質(zhì)：______．（若所列性質(zhì)多于一條，則僅以第一條為準(zhǔn)）
備考指南
知識(shí)導(dǎo)圖
知識(shí)清單
考點(diǎn)梳理
真題在線
專項(xiàng)練習(xí)
培優(yōu)拓展
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第三章 函數(shù)
第二節(jié) 一次函數(shù)
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 一次函數(shù)的相關(guān)概念 ☆☆ 一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是中考數(shù)學(xué)中比較重要的一個(gè)考點(diǎn)，也是知識(shí)點(diǎn)牽涉比較多的考點(diǎn).各地對(duì)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考察也主要集中在一次函數(shù)表達(dá)式與平移、圖象的性質(zhì)、圖象與方程不等式的關(guān)系以及一次函數(shù)圖象與幾何圖形面積等五個(gè)方面，年年考查，總分值為10分左右，也因?yàn)橐淮魏瘮?shù)是一個(gè)結(jié)合型比較強(qiáng)的知識(shí)點(diǎn)，所以其圖象和性質(zhì)也是后續(xù)函數(shù)問題學(xué)習(xí)的一個(gè)基礎(chǔ).故考生在復(fù)習(xí)這塊知識(shí)點(diǎn)時(shí)，需要特別熟記對(duì)應(yīng)考點(diǎn)的方法規(guī)律。
考點(diǎn)2 一次函數(shù)的圖象與性質(zhì) ☆☆☆
考點(diǎn)3 一次函數(shù)與方程（組）、一次函數(shù)與不等式 ☆☆☆
■考點(diǎn)一　一次函數(shù)的相關(guān)概念
1.正比例函數(shù)的概念：一般地，形如y=kx（k是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)，叫正比例函數(shù)，其中k叫正比例系數(shù)。
2.一次函數(shù)的定義：一般地，形如y=kx+b(k，b為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做x的一次函數(shù)。
特別地，當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b中的b=0時(shí)，y=kx，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).。
■考點(diǎn)二　一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.一次函數(shù)的圖象特征與性質(zhì)
函數(shù) 字母取值 圖象 經(jīng)過的象限 函數(shù)性質(zhì)
y=kx+b(k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y隨x的增大而增大
k>0，b<0 一、三、四
k>0，b=0 一、三
y=kx+b(k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y隨x的增大而減小
k<0，b<0 二、三、四
k<0，b=0 二、四
2.k，b的符號(hào)與直線y=kx+b（k≠0）的關(guān)系
在直線y=kx+b（k≠0）中，令y=0，則x=- ，即直線y=kx+b與x軸交于（– ，0）．
①當(dāng)–>0時(shí)，即k，b異號(hào)時(shí)，直線與x軸交于正半軸．
②當(dāng)–=0，即b=0時(shí)，直線經(jīng)過原點(diǎn)．③當(dāng)–<0，即k，b同號(hào)時(shí)，直線與x軸交于負(fù)半軸．
3.兩直線y=k1x+b1（k1≠0）與y=k2x+b2（k2≠0）的位置關(guān)系：
①當(dāng)k1=k2，b1≠b2，兩直線平行； ②當(dāng)k1=k2，b1=b2，兩直線重合；
③當(dāng)k1≠k2，b1=b2，兩直線交于y軸上一點(diǎn)；④當(dāng)k1·k2=–1時(shí)，兩直線垂直．
4.一次函數(shù)的平移法則：左加右減，上加下減。
■考點(diǎn)三　一次函數(shù)與方程（組）、不等式
1.一次函數(shù)與一元一次方程
任何一個(gè)一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為kx+b=0(k，b為常數(shù)，且k≠0)的形式．
從函數(shù)的角度來看，解這個(gè)方程就是尋求自變量為何值時(shí)函數(shù)值為0；
從函數(shù)圖象的角度考慮，解這個(gè)方程就是確定直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
2.一次函數(shù)與一元一次不等式
任何一個(gè)一元一次不等式都能寫成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b為常數(shù)，且a≠0）的形式．
從函數(shù)的角度看，解一元一次不等式就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；
從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=ax+b在x軸上（或下）方部分的點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足的條件．
3.一次函數(shù)與二元一次方程組
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常數(shù)，且m≠0，n≠0）都能寫成y=ax+b（a，b為常數(shù)，且a≠0）的形式．因此，一個(gè)二元一次方程對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù)，又因?yàn)橐粋€(gè)一次函數(shù)對(duì)應(yīng)一條直線，所以一個(gè)二元一次方程也對(duì)應(yīng)一條直線．
從函數(shù)的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的值相等，以及這兩個(gè)函數(shù)值是何值；
從函數(shù)圖象的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于確定兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，一般地，如果一個(gè)二元一次方程組有唯一解，那么這個(gè)解就是方程組對(duì)應(yīng)的兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．
■易錯(cuò)提示
1. 判斷一次函數(shù)的增減性，只看k的符號(hào)，與b無關(guān).
2. 一次函數(shù)y= kx+b（k≠0）的自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)而且圖像是一條直線，因此沒有最大值與最小值.但實(shí)際問題得到第一次函數(shù)解析式，自變量的取值范圍一般受到限，學(xué)生做題時(shí)要注意具體問題具體分析。
■考點(diǎn)一　一次函數(shù)的相關(guān)概念
◇典例1：（2023下·山東濟(jì)寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列式子中，表示y是x的正比例函數(shù)的是（　　）
A．y＝x B．y＝x+1 C．y＝x2 D．y
【答案】A
【分析】形如y=kx（k是常數(shù)）的函數(shù)是正比例函數(shù)，根據(jù)定義判斷．
【詳解】解：y=x表示y是x的正比例函數(shù)，故選項(xiàng)A符合題意；
y＝x+1不表示y是x的正比例函數(shù)，故選項(xiàng)B不符合題意；
y=x2不表示y是x的正比例函數(shù)，故選項(xiàng)C不符合題意；
y不表示y是x的正比例函數(shù)，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了函數(shù)解析式的判斷，正確掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·四川成都·二模）下列函數(shù)關(guān)系式：（1）；（2）；（3）；（4），其中一次函數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：根據(jù)一次函數(shù)的定義可知：（1）；（2）；是一次函數(shù)，（3），是反比例函數(shù)；（4），是二次函數(shù)；故一次函數(shù)的個(gè)數(shù)有2個(gè)．故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的定義，掌握一次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
2.（2022·遼寧沈陽·統(tǒng)考二模）若，y是x的正比例函數(shù)，則b的值是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)y是x的正比例函數(shù)，可知，即可求得b值．
【詳解】解：∵y是x的正比例函數(shù)，∴，解得：，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是正比例函數(shù)的定義，掌握其定義是解題的關(guān)鍵．
◇典例2：（2022·廣東湛江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，則代數(shù)式的值等于 ．
【答案】
【分析】把點(diǎn)代入一次函數(shù)解析式，求出的關(guān)系，再代入計(jì)算即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，∴，變形得，
代數(shù)式變形得，∴，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查求一次函數(shù)自變量或函數(shù)值、求代數(shù)式的值，熟練掌握整體思想解答是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·湖南長沙·校考一模）函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則k的值為（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】將圖像上的點(diǎn)代入解析式求解即可．
【詳解】一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，
，解得．故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像的性質(zhì)，圖像上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)符合解析式方程．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式方程求解參數(shù)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·江蘇南京·一模）定義：點(diǎn)A（x，y）為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)，若滿足x＝y(tǒng)，則把點(diǎn)A叫做“平衡點(diǎn)”，例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡點(diǎn)”，當(dāng)﹣1≤x≤3時(shí)，直線y＝2x+m上有“平衡點(diǎn)”，則m的取值范圍是_____．
【答案】﹣3≤m≤1
【分析】根據(jù)x＝y(tǒng)， 1≤x≤3可得出關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可．
【詳解】∵x＝y(tǒng)，∴x＝2x+m，即x＝﹣m．∵﹣1≤x≤3，∴﹣1≤﹣m≤3，∴﹣3≤m≤1．故答案為：﹣3≤m≤1
【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，根據(jù)題意得出關(guān)于m的不等式是解答此題的關(guān)鍵．
3．（2022·廣西梧州·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，請(qǐng)寫出直線上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)________．
【答案】（0，0）（答案不唯一）
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)一定經(jīng)過原點(diǎn)進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：當(dāng)x=0時(shí)，y=0，∴直線y=2x上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0），
故答案為：（0，0）（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟知其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
■考點(diǎn)二　一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
◇典例3：（2023·安徽六安·統(tǒng)考二模）關(guān)于的一元二次方程無實(shí)數(shù)根，則一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次方程無實(shí)數(shù)根得且，即可得，又∵，可得一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，即可得．
【詳解】解：∵一元二次方程無實(shí)數(shù)根，
∴且，，，，
又∵，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、四象限，
∴一次函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，一次函數(shù)的圖像性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識(shí)點(diǎn)．
◆變式訓(xùn)練
1. （2023·上海虹口·校聯(lián)考二模）已知正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、四象限，那么a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)，可得，即可求解．
【詳解】解：∵正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、四象限，
∴，解得：，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)圖像的性質(zhì)，熟練掌握正比例函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）一次函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象不經(jīng)過第四象限，則k的值可能為（ ）
A． B．0 C．1 D．3
【答案】D
【分析】根據(jù)題意得出，解不等式組即可求解．
【詳解】解：∵一次函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象不經(jīng)過第四象限，
∴解得：故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考一模）若直線經(jīng)過第一、三、四象限，則的值可以是 （請(qǐng)?zhí)钜粋€(gè)具體的數(shù)）．
【答案】1 （答案不唯一）
【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一次函數(shù)中與對(duì)函數(shù)圖象的影響是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)所經(jīng)過的象限確定圖象的增減性，然后確定k的取值范圍即可解答．
【詳解】解：經(jīng)過第一、三、四象限，
，的值可以為（答案不唯一），故答案為：（答案不唯一）．
◇典例4：（2023·安徽六安·統(tǒng)考一模）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)M，且y的值隨x增大而增大，則點(diǎn)M的坐標(biāo)可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得，且，將各選項(xiàng)的點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入一次函數(shù)中，求出k的值即可判斷．
【詳解】解：在一次函數(shù)中，y的值隨x增大而增大，，且，
A．將代入中，得，解得：，故A選項(xiàng)不符合題意；
B．將代入中，得，解得：，故B選項(xiàng)不符合題意；
C．將代入中，得，解得：，故C選項(xiàng)符合題意；
D．將代入中，得，解得：，故D選項(xiàng)不符合題意．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的性質(zhì)，熟知一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·貴州貴陽·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)是正比例函數(shù)，且隨的增大而增大，那么的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍即可．
【詳解】解：∵函數(shù)是正比例函數(shù)，且隨的增大而增大，
∴，∴，故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是正比例函數(shù)的性質(zhì)，即正比例函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小．
2．（2023·天津河西·校考三模）若一次函數(shù)的函數(shù)值y隨著自變量x值的增大而減小，則 （寫出一個(gè)滿足條件的值）．
【答案】（只要是負(fù)數(shù)即可）
【分析】根據(jù)函數(shù)值y隨著自變量x值的增大而減小得到，寫出一個(gè)負(fù)數(shù)即可．
【詳解】解：∵一次函數(shù)的函數(shù)值y隨著自變量x值的增大而減小，
∴，∴滿足題意的k的值可以為，故答案為：（只要是負(fù)數(shù)即可）．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)：，y隨x的增大而增大；，y隨x的增大而減小是解題的關(guān)鍵．
◇典例5：（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若是一次函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】易求出，即可判斷該一次函數(shù)y值隨x值的增大而增大．再根據(jù)，即得出．
【詳解】解：∵，∴一次函數(shù)，y值隨x值的增大而增大．
又∵，∴．故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查比較一次函數(shù)值．熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1. （2022·陜西西安·統(tǒng)考二模）若正比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的大小變化規(guī)律判斷k的符號(hào)：當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，隨x的增大而減小，
則，解得．故選：D ．
【點(diǎn)睛】本題考查正比例函數(shù)的增減性，解題關(guān)鍵是根據(jù)正比例函數(shù)的大小變化規(guī)律判斷k的符號(hào)．
2．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考二模）已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)、，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．
【詳解】解：∵一次函數(shù)，∴y隨著x的增大而減小．
又∵5＞－2，∴．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
◇典例6：（2023·安徽滁州·校聯(lián)考一模）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，其中，，則關(guān)于的一次函數(shù)和的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，進(jìn)而推出一次函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)，則一次函數(shù)一定經(jīng)過第二象限，同理得到一次函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)，則一次函數(shù)必定經(jīng)過第三象限，再由，得到一次函數(shù)與一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)不相同，由此即可得到答案．
【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，
∴在一次函數(shù)中，，即，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒有當(dāng)時(shí)，，
∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)；∴一次函數(shù)一定經(jīng)過第二象限，
當(dāng)時(shí)，即，在一次函數(shù)中，，即，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，恒有當(dāng)時(shí)，，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)，
∴一次函數(shù)必定經(jīng)過第三象限，
又∵，∴一次函數(shù)與一次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)不相同，
∴四個(gè)選項(xiàng)中只有B選項(xiàng)符合題意，故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)，正確判斷出兩個(gè)一次函數(shù)分別要經(jīng)過第二象限，第三象限是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·江蘇鹽城·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知一次函數(shù)，隨著的增大而減小，且，則在直角坐標(biāo)系內(nèi)它的大致圖象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用一次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷．
【詳解】解：一次函數(shù)，隨著的增大而減小，，
又，，此一次函數(shù)圖象過第一，二，四象限．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)．，圖象過第一，三象限；，圖象過第二，四象限．，圖象與軸正半軸相交；，圖象過原點(diǎn)；，圖象與軸負(fù)半軸相交．
2.（2022·安徽合肥·校考模擬預(yù)測(cè)）已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，則k的取值范圍是（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由函數(shù)圖象可知，，計(jì)算求解，然后作答即可．
【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，，解得，，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的性質(zhì)．
◇典例7：（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）把直線沿著軸平移后得到直線，直線經(jīng)過點(diǎn)，且，則直線的函數(shù)表達(dá)式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)平移規(guī)律“上加下減”得到直線的解析式，然后根據(jù)已知條件列出關(guān)于、的方程組，通過解方程組求得系數(shù)的值．
【詳解】解：設(shè)沿著軸平移后得到直線，則直線的解析式可設(shè)為，
把點(diǎn)代入，得，． 聯(lián)立， 解得．
直線的解析式為．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換：一次函數(shù)、為常數(shù)，的圖象為直線，當(dāng)直線平移時(shí)不變，當(dāng)向上平移個(gè)單位，則平移后直線的解析式為．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·陜西咸陽·校考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，將直線向右平移2個(gè)單位長度后所得的直線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】C
【分析】由題意得，平移后的直線的解析式為，將代入得，，計(jì)算求解即可．
【詳解】解：由題意得，平移后的直線的解析式為，
將代入得，，解得，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象的平移．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．
2.（2023·陜西西安·校考一模）將直線向左平移3個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位后得到的直線是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)“左加右減、上加下減”的函數(shù)圖象平移規(guī)律來解答．
【詳解】解：將直線向左平移3個(gè)單位，得，即，
再向上平移2個(gè)單位，得，即．故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“左加右減、上加下減”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
◇典例8：（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）將一次函數(shù)的圖象向下平移2個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（　　）
A．函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 B．函數(shù)的圖象一定過點(diǎn)
C．函數(shù)的圖象不經(jīng)過第三象限 D．若兩點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，則
【答案】C
【分析】先根據(jù)平移方式及平移后的函數(shù)解析式求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：一次函數(shù)的圖象向下平移2個(gè)單位長度得到函數(shù)的圖象，
，解得，．當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是，故A選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象不過點(diǎn)，故B選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不合題意；
由可得函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，不過第三象限，故C說法正確，符合題意；
由可得隨x的增大而減小，若兩點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，則，
故D選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不合題意；故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的平移、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平移方式及平移后的函數(shù)解析式求出函數(shù)的解析式．
◆變式訓(xùn)練
1. （2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（k是常數(shù)，）的圖像經(jīng)過第一、三象限，下列說法中正確的是（ ）
A． B．圖像一定經(jīng)過點(diǎn) C．圖像是雙曲線 D．的值隨的值增大而減小
【答案】B
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．
【詳解】解：函數(shù)（k是常數(shù)，）的圖像經(jīng)過第一、三象限，
A. ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
B. 當(dāng)時(shí)，，則圖像一定經(jīng)過點(diǎn)，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
C. 圖像是直線，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
D. ，的值隨的值增大而增大，時(shí)，的值隨的值增大而減小故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2.（2023下·河南南陽·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖是y關(guān)于x的一個(gè)函數(shù)圖象，根據(jù)圖象，下列說法正確的是（ ）

A．該函數(shù)的最小值為 B．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大
C．當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值 D．當(dāng)和時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等
【答案】C
【分析】分別求出和時(shí)的函數(shù)解析式，結(jié)合圖象，逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、由圖象可知，函數(shù)的最小值為；故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、設(shè)時(shí)，函數(shù)的解析式為，由圖可知，點(diǎn)，在直線上，
∴，解得：，∴，∴當(dāng)時(shí)，，故該選項(xiàng)正確；
D、當(dāng)時(shí)，，
設(shè)時(shí)，函數(shù)的解析式為，由圖可知，點(diǎn)在直線上，
∴，解得：，∴，∴當(dāng)時(shí)，；
∴當(dāng)和時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值不相等；故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確的求出函數(shù)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解．
◇典例9：（2023·遼寧阜新·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：與兩坐標(biāo)軸交于、兩點(diǎn)，以為邊作等邊，將等邊沿射線方向作連續(xù)無滑動(dòng)地翻滾．第一次翻滾：將等邊三角形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在直線上，第二次翻滾：將等邊三角形繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)落在直線l上……當(dāng)?shù)冗吶切畏瓭L次后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先令，求得點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出、、的長度，然后結(jié)合圖形的翻轉(zhuǎn)知道點(diǎn)經(jīng)過次旋轉(zhuǎn)后重新落在直線：上，第次旋轉(zhuǎn)點(diǎn)的位置不變，再結(jié)合次一循環(huán)得到翻滾次后點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】解：∵直線l：與兩坐標(biāo)軸交于、兩點(diǎn)，
∴，，∴，，，∴，∴，
如圖，等邊經(jīng)過第次翻轉(zhuǎn)后，，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，

∵，∴，，
等邊經(jīng)過第次翻轉(zhuǎn)后，，等邊經(jīng)過第次翻轉(zhuǎn)后，點(diǎn)仍在點(diǎn)處，
∴每經(jīng)過次翻轉(zhuǎn)，點(diǎn)向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位，
∵，第次與第次翻轉(zhuǎn)后點(diǎn)處在同一個(gè)點(diǎn)，
∴點(diǎn)經(jīng)過次翻轉(zhuǎn)后，向右平移了個(gè)單位，向上平移了個(gè)單位，∴等邊三角形翻滾次后點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)是，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的翻轉(zhuǎn)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是通過實(shí)際操作理解等邊經(jīng)過第次翻轉(zhuǎn)與第次翻轉(zhuǎn)后點(diǎn)處在同一個(gè)點(diǎn)．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·遼寧阜新·校聯(lián)考一模）如圖，過直線上的點(diǎn)長作，交x軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交直線l于點(diǎn)；過點(diǎn)作交x軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交直線l于點(diǎn)；…按照此方法繼續(xù)作下去，若，則線段的長度為（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)直線的解析式求得直線和x軸的夾角的大小，再根據(jù)題意求得的長，然后依據(jù)直角三角形三角函數(shù)的求法求得的長，進(jìn)而求得的長，進(jìn)一步求得的長，然后根據(jù)直角三角函數(shù)求得，從而求得線段的長度，即可求解．
【詳解】解：∵直線，，∴
∴∴∴直線l與x軸夾角為，
∵為x軸上一點(diǎn)，且，，軸
∴∴
∵，∴∴，
∵軸，∴∴，
∴，同理，…，
∴，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用解直角三角函數(shù)求得線段的長，解題關(guān)鍵是分析數(shù)據(jù)找出規(guī)律．
■考點(diǎn)三　一次函數(shù)與方程（組）、不等式
◇典例10：（2023·河南平頂山·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，直線與相交于點(diǎn)，則關(guān)于的方程的解是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)就是關(guān)于的方程的解可得答案．
【詳解】解：∵直線與相交于點(diǎn)，
∴關(guān)于的方程的解是，故選：C．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程，關(guān)鍵是理解兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)就是關(guān)于的方程的解．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，直線與直線交于點(diǎn)，則關(guān)于的方程的解為 ；

【答案】
【分析】根據(jù)直線與直線交于點(diǎn)得到，再根據(jù)一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系即可解答．
【詳解】解：∵直線與直線交于點(diǎn)，
∴，∴，∴關(guān)于的方程的解，故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了求一次函數(shù)的自變量或函數(shù)值，一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，掌握一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
◇典例11：（2023·陜西榆林·校考三模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)和的圖象相交于點(diǎn)，則關(guān)于的方程組的解為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】找到方程組的解與直線交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系即可．
【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，∴，
∴一次函數(shù)和的圖象相交于點(diǎn)，
∴關(guān)于的方程組的解為．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系，熟悉兩者之間的關(guān)系并進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023·廣東廣州·校考一模）如圖，一次函數(shù)與的圖像相交于點(diǎn)，則方程組的解為 ．
【答案】
【分析】本題考查兩直線與二元一次方程組的解，理解方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．先利用確定點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)方程組的解就是兩個(gè)相應(yīng)的一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)坐標(biāo)求得結(jié)論即可．
【詳解】解：∵經(jīng)過，∴，解得，∴
∴一次函數(shù)與的圖像相交于點(diǎn)，
∴可有方程組的解為，故答案為：．
2．（2023·廣東深圳·校考一模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與的圖象如圖所示，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）

A．隨x的增大而減小 B．
C．當(dāng)時(shí)， D．關(guān)于x，y的方程組的解為
【答案】B
【分析】結(jié)合圖象，根據(jù)一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)與二元一次方程組，一次函數(shù)與一元一次不等式．從函數(shù)圖象中有效的獲取信息進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A．由圖象得隨x的增大而減小，故選項(xiàng)正確；
B．由圖象可知，一次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)在的圖象與軸的交點(diǎn)的上方，即，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．由圖象得：當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)正確；
D．由圖象可知，兩條直線的交點(diǎn)為，
∴的解為：，故選項(xiàng)正確；故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)與二元一次方程組，一次函數(shù)與一元一次不等式．從函數(shù)圖象中有效的獲取信息，熟練掌握?qǐng)D象法解方程組和不等式，是解題的關(guān)鍵．
◇典例12：（2023·陜西·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則x的取值范圍為（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先推出直線經(jīng)過，再由，即可得只需要找到當(dāng)直線的函數(shù)圖象在直線的圖象下方時(shí)，自變量的取值范圍即可．
【詳解】解：在中，當(dāng)時(shí)，，
∴直線經(jīng)過，∴直線與直線交于，
∴由函數(shù)圖象可知，當(dāng)直線的函數(shù)圖象在直線的圖象下方時(shí)，，
∴不等式的解集為，∴當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為，故選A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次不等式之間的關(guān)系，正確利用數(shù)形結(jié)合的思想求解是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·廣西欽州·統(tǒng)考一模）如圖，一次函數(shù)（k，b為常數(shù)，且）的圖象與直線都經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)不等式的解集即為一次函數(shù)圖象在正比例函數(shù)圖象上方的自變量的取值范圍求解即可．
【詳解】解：由函數(shù)圖象可知不等式的解集即為一次函數(shù)圖象在正比例函數(shù)圖象上方的自變量的取值范圍，
∵一次函數(shù)（k，b為常數(shù)，且）的圖象與直線都經(jīng)過點(diǎn)，
∴當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)兩直線的交點(diǎn)求不等式的解集，利用圖象法解不等式是解題的關(guān)鍵．
2.（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，直線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用圖象法寫出直線在直線下方、在軸上方部分的的取值范圍即可．
【詳解】解：直線與直線交于點(diǎn)，
不等式的解集為．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于（或小于）0的自變量的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線在軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合．
◇典例13：（2023上·貴州畢節(jié)·九年級(jí)校考期中）如圖是一次函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，根據(jù)一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)確定x的取值范圍，據(jù)此即可作答．
【詳解】解：由一次函數(shù)的圖象，知當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是故選：A
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·河南南陽·統(tǒng)考一模）已知一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，y的最大值等于 ．
【答案】7
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可得答案．
【詳解】∵一次函數(shù)中，，∴y隨x的增大而增大，
∵，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值，最大值為，故答案為：7．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2.（2021·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）若，且，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)可得y＝﹣2x+1，k＝﹣2＜0進(jìn)而得出，當(dāng)y＝0時(shí)，x取得最大值，當(dāng)y＝1時(shí)，x取得最小值，將y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．
【詳解】解：根據(jù)可得y＝﹣2x+1，∴k＝﹣2＜0
∵，∴當(dāng)y＝0時(shí)，x取得最大值，且最大值為，
當(dāng)y＝1時(shí)，x取得最小值，且最小值為0，∴故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
◇典例14：（2023·湖北武漢·校考模擬預(yù)測(cè)）某個(gè)體戶購進(jìn)一批時(shí)令水果，20天銷售完畢，他將本次銷售情況進(jìn)行了跟蹤記錄，根據(jù)所記錄的數(shù)據(jù)繪制如下的函數(shù)圖象，其中日銷售量y（千克）與銷售時(shí)間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則下列說法不正確的是（ ）

A．第10天銷售20千克 B．第7天和第16天的日銷售量相同
C．一天最多銷售30千克 D．第16天比第1天多銷售22千克
【答案】B
【分析】根據(jù)圖象分別求出當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)的函數(shù)解析式，逐項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】設(shè)，把代入，得，解得，∴，
當(dāng)時(shí)，，即第10天銷售20千克，故A正確，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，即第7天銷售14千克，當(dāng)時(shí)，，即第1天銷售2千克，
當(dāng)時(shí)，設(shè)，把代入，得，
解得，∴，當(dāng)時(shí)，，即第16天銷售24千克
∴第7天和第16天的日銷售量不相同，故B錯(cuò)誤，符合題意；
由圖得，一天最多銷售30千克，故C正確，不符合題意；
∵千克，∴第16天比第1天多銷售22千克，故D正確，不符合題意；故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，從函數(shù)圖象獲取信息，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·湖北武漢·校考三模）某移動(dòng)通信公司提供了A，B兩種方案的通信費(fèi)用y（元）與通話時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系，如圖所示，則以下說法錯(cuò)誤的是（ ）

A．若通話時(shí)間少于120分鐘，則A方案比B方案便宜20元
B．若通話時(shí)間超過200分鐘，則B方案比A方案便宜
C．若通信費(fèi)用為60元，則B方案比A方案的通話時(shí)間多
D．若兩種方案通信費(fèi)用相差10元，則通話時(shí)間是145分鐘或185分鐘
【答案】D
【分析】當(dāng)B方案為50元時(shí)，A方案如果是40元或者60元，才能使兩種方案通訊費(fèi)用相差10元，先求兩種方案的解析式，再求對(duì)應(yīng)的時(shí)間．
【詳解】解：A方案的函數(shù)解析式為，B方案的解析式為，
當(dāng)B方案為50元，A方案是40元或者60元時(shí)，兩種方案通訊費(fèi)用相差10元，
將或60代入，得分或195分，故選項(xiàng)D不符合題意；
觀察圖象可得A、B、C選項(xiàng)符合題意；故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，注意兩種付費(fèi)方式都是分段函數(shù)，根據(jù)所給函數(shù)上的點(diǎn)得到兩個(gè)函數(shù)的解析式，再結(jié)合圖象判斷是解題的關(guān)鍵．
1．（2023年湖南省益陽市中考數(shù)學(xué)真題）關(guān)于一次函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．圖象經(jīng)過第一、三、四象限 B．圖象與y軸交于點(diǎn)
C．函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小 D．當(dāng)時(shí)，
【答案】B
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可．
【詳解】解：由題意可得：，
∴一次函數(shù)經(jīng)過一、二、三象限，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，故A、C錯(cuò)；
當(dāng)時(shí)，，∴圖象與y軸交于點(diǎn)，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，∵函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，
∴當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023年湖南婁底中考數(shù)學(xué)真題）將直線向右平移2個(gè)單位所得直線的表達(dá)式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接根據(jù)“左加右減，上加下減” 的平移規(guī)律求解即可.
【詳解】解：將直線向右平移2個(gè)單位，
所得直線的解析式為，即，故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象與幾何變換，在平面直角坐標(biāo)系中，平移后解析式有這樣一個(gè)規(guī)律“左加右減，上加下減”.
3．（2023年四川省雅安市中考數(shù)學(xué)真題）在平面直角坐標(biāo)系中．將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，再向上平移1個(gè)單位長度，所得直線的函數(shù)表達(dá)式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律即可求出平移后的解析式．
【詳解】解：∵點(diǎn)是函數(shù)圖象上的點(diǎn)，
∴將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)后圖象經(jīng)過原點(diǎn)和、
∴將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖象的解析式為，
∴根據(jù)函數(shù)圖象的平移規(guī)律，再將其向上平移1個(gè)單位后的解析式為．故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查了繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變化的規(guī)律和一次函數(shù)平移的規(guī)律，解題關(guān)鍵是根據(jù)繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針的得到圖象函數(shù)解析式為．
4．（2023年甘肅省蘭州市中考數(shù)學(xué)真題）一次函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而減小，當(dāng)時(shí)，y的值可以是（ ）
A．2 B．1 C．－1 D．－2
【答案】D
【分析】根據(jù)一次函數(shù)的增減性可得k的取值范圍，再把代入函數(shù)，從而判斷函數(shù)值y的取值．
【詳解】∵一次函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而減小
∴∴當(dāng)時(shí)，故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，熟悉一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
5．（2023年山東省聊城市中考數(shù)學(xué)真題）甲乙兩地相距a千米，小亮8:00乘慢車從甲地去乙地，10分鐘后小瑩乘快車從乙地趕往甲地．兩人分別距甲地的距離y（千米）與兩人行駛時(shí)刻t（×?xí)r×分）的函數(shù)圖象如圖所示，則小亮與小瑩相遇的時(shí)刻為（ ）

A．8:28 B．8:30 C．8:32 D．8:35
【答案】A
【分析】利用待定系數(shù)法求出兩條直線的函數(shù)解析式，將兩個(gè)解析式聯(lián)立，通過解方程求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可．
【詳解】解：令小亮出發(fā)時(shí)對(duì)應(yīng)的t值為0，小瑩出發(fā)時(shí)對(duì)應(yīng)的t值為10，則小亮到達(dá)乙地時(shí)對(duì)應(yīng)的t值為70，小瑩到達(dá)甲地時(shí)對(duì)應(yīng)的t值為40，設(shè)小亮對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的解析式為，
將代入解析式得，解得，小亮對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的解析式為，
設(shè)小瑩對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的解析式為，
將，代入解析式，得，解得，
小瑩對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象的解析式為，
令，得，解得，小亮與小瑩相遇的時(shí)刻為8:28．故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求出兩條直線的函數(shù)解析式，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想．
6．（2023年江蘇省南通市中考數(shù)學(xué)真題）已知一次函數(shù)，若對(duì)于范圍內(nèi)任意自變量的值，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都小于，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意和一次函數(shù)的性質(zhì)可得到，然后求解即可．
【詳解】解：一次函數(shù)，隨的增大而增大，
對(duì)于范圍內(nèi)任意自變量的值，其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值都小于，
，解得．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)的性質(zhì)，明確題意，列出正確的不等式是解題的關(guān)鍵．
7．（2023年江蘇省蘇州市中考數(shù)學(xué)真題）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，則 ．
【答案】
【分析】把點(diǎn)和代入，可得，再整體代入求值即可．
【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)和，
∴，即，∴；故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，利用平方差公式分解因式，熟練的利用平方差公式求解代數(shù)式的值是解本題的關(guān)鍵．
8．（2023年山東省濟(jì)寧市中考數(shù)學(xué)真題）一個(gè)函數(shù)過點(diǎn)，且隨增大而增大，請(qǐng)寫出一個(gè)符合上述條件的函數(shù)解析式 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)題意及函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．
【詳解】解：由一個(gè)函數(shù)過點(diǎn)，且隨增大而增大，可知該函數(shù)可以為（答案不唯一）；
故答案為（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查正比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．（2023年浙江省杭州市中考數(shù)學(xué)真題）在“ “探索一次函數(shù)的系數(shù)與圖像的關(guān)系”活動(dòng)中，老師給出了直角坐標(biāo)系中的三個(gè)點(diǎn)：．同學(xué)們畫出了經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)中每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)的一次函數(shù)的圖像，并得到對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．分別計(jì)算，的值，其中最大的值等于 ．

【答案】5
【分析】分別求出三個(gè)函數(shù)解析式，然后求出，進(jìn)行比較即可解答．
【詳解】解：設(shè)過，則有：
，解得：，則；
同理：，
則分別計(jì)算，的最大值為值．故答案為5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，掌握待定系數(shù)法是解答本題的關(guān)鍵．
10．（2023年四川省南充市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，直線（k為常數(shù)，）與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B，則的值是 ．

【答案】1
【分析】根據(jù)一次函數(shù)解析式得出，，然后代入化簡(jiǎn)即可．
【詳解】解：，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
∴，，
∴，故答案為：1．
【點(diǎn)睛】題目考查一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及求代數(shù)式的值，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
11．（2023年湖北省鄂州市中考數(shù)學(xué)真題）1號(hào)探測(cè)氣球從海拔處出發(fā)，以的速度豎直上升．與此同時(shí)，2號(hào)探測(cè)氣球從海拔20m處出發(fā)，以的速度豎直上升．兩個(gè)氣球都上升了．1號(hào)、2號(hào)氣球所在位置的海拔，（單位：m）與上升時(shí)間x（單位：）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．請(qǐng)根據(jù)圖象回答下列問題：

(1)___________，___________；(2)請(qǐng)分別求出，與x的函數(shù)關(guān)系式；
(3)當(dāng)上升多長時(shí)間時(shí)，兩個(gè)氣球的海拔豎直高度差為？
【答案】(1)，30(2)，；(3)或
【分析】（1）根據(jù)1號(hào)探測(cè)氣球的出發(fā)海拔和速度即可計(jì)算b的值，根據(jù)b的值、2號(hào)探測(cè)氣球的出發(fā)海拔和運(yùn)動(dòng)時(shí)間可計(jì)算2號(hào)探測(cè)氣球的速度可計(jì)算a的值；
（2）由（1）可得與函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，分別代入計(jì)算即可；
（3）由題意可得或，分別計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：，，故答案為：，30；
（2）由（1）可得與函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，，
將分別代入可得：，
解得：，，∴，；
（3）由題意可得或，
當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，解得，
∴當(dāng)上升或時(shí)，兩個(gè)氣球的海拔豎直高度差為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，從圖中獲取信息是解題的關(guān)鍵．
1．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測(cè)）若直線和直線平行，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為，將直線向右平移個(gè)單位后為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平行直線的解析式的值相等設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出的值，然后利用平移的規(guī)律求得即可．
【詳解】由題意設(shè)直線的解析式為，
∵直線經(jīng)過點(diǎn)，∴ ，解得，∴，
將直線向右平移個(gè)單位后得到， 即，故選：．
【點(diǎn)睛】此題考查了兩直線平行的問題，熟記平行直線的解析式的值相等是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·河北唐山·統(tǒng)考二模）對(duì)于點(diǎn)和直線：，下列說法正確的是( )
A．若，則經(jīng)過點(diǎn) B．若，則不經(jīng)過點(diǎn)
C．若，，則點(diǎn)在上方 D．若，，則點(diǎn)在下方
【答案】D
【分析】A.當(dāng)時(shí)，沒有意義；B.代入，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可得出若，經(jīng)過點(diǎn)；C.代入，，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可得出若，，則點(diǎn)在下方；D.代入，，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，可得出若，，則點(diǎn)在下方．
【詳解】解：A.當(dāng)時(shí)，，沒有意義，選項(xiàng)A不符合題意；
B.當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí)，，若，經(jīng)過點(diǎn)，選項(xiàng)B不符合題意；
C.當(dāng)，時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí)，，若，，則點(diǎn)在下方，選項(xiàng)C不符合題意；
D.當(dāng)，時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為
當(dāng)時(shí)，，若，，則點(diǎn)在下方，選項(xiàng)D符合題意．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖表示光從空氣進(jìn)入水中前、后的光路圖，若按如圖建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)入水前與入水后光線所在直線的表達(dá)式分別為，則關(guān)于與的關(guān)系，正確的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用兩個(gè)函數(shù)圖象的位置關(guān)系取橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)利用縱坐標(biāo)的大小列出不等式，即可求解．
【詳解】解：如圖，在兩個(gè)圖象上分別取橫坐標(biāo)為m的兩個(gè)點(diǎn)A和B，則，，
∵，∴，當(dāng)取橫坐標(biāo)為正數(shù)時(shí)，同理可得，綜上所述，故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是取橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)，利用縱坐標(biāo)的大小關(guān)系得到比例系數(shù)的關(guān)系．
4．（2023·湖南衡陽·校考模擬預(yù)測(cè)）正比例函數(shù)的圖象過兩點(diǎn)，假設(shè)，那么的值為（　　）
A．3 B． C．6 D．
【答案】D
【分析】將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入正比例函數(shù)的解析式，分別求得的值；然后再來求的值并作出選擇即可．
【詳解】解：∵正比例函數(shù)的圖象過兩點(diǎn)，∴，
∵，∴．故選D．
【點(diǎn)睛】此題考查了正比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵在于熟知正比例函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)均滿足該函數(shù)的解析式．
5．（2023·陜西咸陽·校考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，將直線向右平移m個(gè)單位長度后得到的直線與直線的交點(diǎn)在第一象限，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】將直線的圖象向右平移m個(gè)單位可得：，求出直線，與直線的交點(diǎn)，再由此點(diǎn)在第一象限可得出m的取值范圍．
【詳解】解：將直線的圖象向右平移m個(gè)單位可得：，聯(lián)立兩直線解析式得：，解得：，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，
交點(diǎn)在第一象限，，解得：，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換、兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是注意第一象限的點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于0、縱坐標(biāo)大于0．
6．（2023·浙江杭州·校考二模）若分別在一次函數(shù)圖像上兩個(gè)不相同的點(diǎn)，記，則P為（　　）
A．0 B．正數(shù) C．負(fù)數(shù) 1 D．非負(fù)數(shù)
【答案】B
【分析】根據(jù)，y隨著x增大而增大，可知與同號(hào)，進(jìn)一步可知P的符號(hào)．
【詳解】解：∵一次函數(shù)，∴y隨著x增大而增大，
∵若分別在一次函數(shù)圖象上兩個(gè)不相同的點(diǎn)，
∴與同號(hào)，∴，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握一次函數(shù)性質(zhì)與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·陜西商洛·校考三模）如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由圖象可知，當(dāng)時(shí)，，從而求出，當(dāng)時(shí)，，再結(jié)合函數(shù)圖象得到結(jié)果．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，即，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，自變量的取值范圍是，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想求解．
8．（2023·河南南陽·校聯(lián)考一模）已知正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，請(qǐng)寫出一個(gè)符合條件的函數(shù)表達(dá)式： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)正比例函數(shù)圖象經(jīng)過第一、三象限，可知比例系數(shù)，由此可解．
【詳解】解：∵正比例函數(shù)（k為常數(shù)，且）的圖象經(jīng)過第一、三象限，
∴，∴函數(shù)表達(dá)式可以為．故答案為：（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題考查正比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)的系數(shù)時(shí)，圖象經(jīng)過第一、三象限，時(shí)，圖象經(jīng)過第二、四象限．
9．（2023·廣東陽江·統(tǒng)考二模）在直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 ．
【答案】
【分析】先求出該直線于坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時(shí)，最小即可求解．
【詳解】解：把代入得：；
把代入得：，解得：；
∴，，∴，則，
當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，找出最小時(shí)的情況．
10．（2022·北京海淀·人大附中校考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象平行于直線，且經(jīng)過點(diǎn)．(1)求和的值；(2)當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，一次函數(shù)的值大于函數(shù)的值，直接寫出的取值范圍．
【答案】(1)，(2)
【分析】對(duì)于（1），先根據(jù)平行確定k，再將點(diǎn)代入計(jì)算得出答案；
對(duì)于（2），根據(jù)，再分情況討論即可．
【詳解】（1）∵一次函數(shù)的圖像平行于，∴一次函數(shù)的關(guān)系式為．
∵一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，
∴，解得，∴一次函數(shù)的關(guān)系式為；
（2）當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)的值大于函數(shù)的值，∴，即．
當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意x的每一個(gè)值都符合題意；
當(dāng)時(shí)，，則，與相矛盾；
當(dāng)時(shí)，，則，，解得，∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求一次函數(shù)關(guān)系式，一次函數(shù)與不等式，一次函數(shù)的應(yīng)用等，根據(jù)兩直線平行得出函數(shù)關(guān)系式中的k值是解題的關(guān)鍵．
11．（2023·廣東河源·統(tǒng)考三模）春天來了，我校計(jì)劃組織師生共1600人坐A、B兩種型號(hào)的大巴車外出春游，且A型車每輛租金為580元，B型車每輛租金為700元，為了保證安全，校方要求必須保證人人都有座位．學(xué)生南南發(fā)現(xiàn)若租2輛A型與3輛B型大巴車恰好能坐下195人，若租3輛A型與2輛B型大巴車恰好能坐下180人．(1)請(qǐng)問1輛A型與1輛B型大巴車各有幾座？
(2)現(xiàn)學(xué)校決定租兩種型號(hào)的大巴車共50輛作為出行交通工具，但政教主任蔣老師發(fā)現(xiàn)租車總經(jīng)費(fèi)不能超過32000元．他想運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)進(jìn)行分析，為學(xué)校尋找最節(jié)省的租車方案．現(xiàn)蔣老師設(shè)學(xué)校租了A型大巴車x輛，租車總費(fèi)用為w元．請(qǐng)你幫蔣老師完成分析過程，確定共有幾種租車方案？哪種租車方案最省錢？并求出最低費(fèi)用．
【答案】(1)每輛A型客車有30個(gè)座位，每輛B型客車有45個(gè)座位
(2)共有19種租車方案，租A型客車43輛，B型客車7輛最省錢，最低費(fèi)用為29840元．
【分析】（1）設(shè)每輛A型客車有m個(gè)座位，每輛B型客車有n個(gè)座位，根據(jù)題意可列出關(guān)于m和n的二元一次方程組，解之即可；
（2）設(shè)學(xué)校租了A型大巴車x輛，則租了B型大巴車輛，根據(jù)題意可列出關(guān)于x的一元一次不等式組，解之，即可得出共有幾種租車方案；再求出w與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，即可求出哪種租車方案最省錢和最低費(fèi)用．
【詳解】（1）解：設(shè)每輛A型客車有m個(gè)座位，每輛B型客車有n個(gè)座位，
根據(jù)題意有：，解得：，
答：每輛A型客車有30個(gè)座位，每輛B型客車有45個(gè)座位；
（2）解：設(shè)學(xué)校租了A型大巴車x輛，則租了B型大巴車輛，
根據(jù)題意，得：，解得：．
∵x為整數(shù)，∴x為25到43之間的整數(shù)（包括25和43），共19個(gè)．
∴有19種租車方案．，
∵，∴當(dāng)時(shí)，w取得最小值，此時(shí)，．
答：共有19種租車方案，當(dāng)租A型客車43輛，B型客車7輛最省錢，最低費(fèi)用為29840元．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用，一元一次不等式組的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．理解題意，找出數(shù)量關(guān)系，列出等式或不等式是解題關(guān)鍵．
1．（2023·安徽阜陽·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)，，當(dāng)直線與線段有交點(diǎn)時(shí)，的取值范圍是( )
A． B． C．或 D．
【答案】D
【分析】分別求出直線和直線的比例系數(shù)k，即可求解．
【詳解】解：將代入中得：，解得，
當(dāng)直線剛好過點(diǎn)B時(shí)，將代入中得：，解得，
∴當(dāng)直線與線段有交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為：，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，正比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，利用待定系數(shù)法求出臨界值是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與軸、軸交于點(diǎn)，，在中從左向右依次作正方形，，…，，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在直線上；再將每個(gè)正方形分割成四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形，其中每個(gè)小正方形的邊都與坐標(biāo)軸平行，從左至右的小正方形(陰影部分)的面積分別記為，則可表示為(　　)

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用每個(gè)小正方形的邊都與坐標(biāo)軸平行，，可得到每組小正方形的邊長都是該組直角三角形的兩直角邊之差，利用的坐標(biāo)探索邊長的規(guī)律，進(jìn)而求面積．
【詳解】解：直線的關(guān)系式為：
，，，，，
每個(gè)小正方形的邊都與坐標(biāo)軸平行，，
每個(gè)正方形分割成四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形，
每組小正方形的邊長都是該組直角三角形兩直角邊之差，
正方形中，設(shè)點(diǎn)，，將點(diǎn)代入直線，
，，正方形中陰影正方形邊長為：，陰影部分面積；
正方形中，設(shè)點(diǎn)，，，
正方形中陰影正方形邊長為；陰影部分面積；
正方形中，設(shè)點(diǎn)，，，
正方形中陰影正方形邊長；陰影部分面積；
以此推理，第個(gè)陰影正方形的邊長為；陰影部分面積．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)，求正切；能夠利用點(diǎn)的坐標(biāo)探索邊長的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，如圖所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得點(diǎn)，，，……，在直線l上，點(diǎn)，，，…，在y軸正半軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ．

【答案】
【分析】當(dāng)時(shí)，根據(jù)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出規(guī)律進(jìn)而可求得點(diǎn)，，，……，得坐標(biāo)，進(jìn)而可求得，，，……，進(jìn)而可求解．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，有，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
四邊形為正方形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
同理可得：，，，，，
，，，，，（為正整數(shù)），
點(diǎn)的坐標(biāo)為：，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)規(guī)律探索問題，根據(jù)已知找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·湖北襄陽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）為了響應(yīng)襄陽市人民政府“改善市區(qū)河流水質(zhì)，進(jìn)一步凈化居民生活環(huán)境”的號(hào)召，襄陽市富春紫光污水處理有限公司（以下簡(jiǎn)稱：富春紫光）
A型 型
價(jià)格萬元臺(tái)
處理污水量噸月
決定：今年新采購臺(tái)污水處理設(shè)備用以增強(qiáng)公司的污水處理能力經(jīng)過市場(chǎng)考查，誠信機(jī)械設(shè)備公司（以下簡(jiǎn)稱：誠信公司）推薦了A、兩種型號(hào)的設(shè)備供選擇，其中每臺(tái)的報(bào)價(jià)與月處理污水量如表：經(jīng)核算，若按誠信公司的報(bào)價(jià)：購買一臺(tái)A型設(shè)備將比購買一臺(tái)型設(shè)備多萬元，購買臺(tái)A型設(shè)備會(huì)比購買臺(tái)型設(shè)備少萬元．(1)求，的值；(2)誠信公司最初給出的銷售條件是：購買型設(shè)備原則上不予優(yōu)惠；購買A型設(shè)備不超過臺(tái)時(shí)無優(yōu)惠；購買臺(tái)以上時(shí)，超過臺(tái)的部分每臺(tái)可按報(bào)價(jià)的折銷售．并且由于受庫存和產(chǎn)能等因素限制，在規(guī)定的交貨期限內(nèi)，誠信公司最多只能提供臺(tái)A型設(shè)備，而富春紫光需要這批新購進(jìn)的臺(tái)設(shè)備月處理污水總能力不能低于噸，①富春紫光買下這批設(shè)備最少需要支付多少購買資金？②經(jīng)過反復(fù)談判協(xié)商，誠信公司最終同意：在富春紫光按照最初的銷售條件全部買下誠信公司庫存的臺(tái)A型設(shè)備的前提下，再給予型設(shè)備如下的優(yōu)惠措施：購買型設(shè)備不超過臺(tái)時(shí)無優(yōu)惠；購買臺(tái)以上時(shí)，超過臺(tái)的部分每臺(tái)可按報(bào)價(jià)的折銷售．如果富春紫光想要用不超過萬元的資金買下這批污水處理設(shè)備，試求的最大值？
【答案】(1)的值為，的值為
(2)①富春紫光買下這批設(shè)備最少需要支付萬元購買資金；②的最大值為
【分析】（1）根據(jù)“購買一臺(tái)型設(shè)備將比購買一臺(tái)型設(shè)備多20萬元，購買2臺(tái)型設(shè)備會(huì)比購買3臺(tái)型設(shè)備少40萬元”，可列出關(guān)于，的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）①設(shè)購買臺(tái)型設(shè)備，則購買臺(tái)型設(shè)備，根據(jù)“在規(guī)定的交貨期限內(nèi)，誠信公司最多只能提供80臺(tái)型設(shè)備，而富春紫光需要這批新購進(jìn)的100臺(tái)設(shè)備月處理污水總能力不能低于20600噸”，可列出關(guān)于的一元一次不等式組，解之可得出的取值范圍，設(shè)富春紫光買下這批設(shè)備需要支付萬元購買資金，分及兩種情況考慮，利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，結(jié)合誠信公司給出的優(yōu)惠條件，可得出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解決最值問題；
②利用總價(jià)單價(jià)數(shù)量，結(jié)合富春紫光想要用不超過7850萬元的資金買下這批污水處理設(shè)備，可列出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）根據(jù)題意得：，解得：，的值為100，的值為80；
（2）①設(shè)購買臺(tái)型設(shè)備，則購買臺(tái)型設(shè)備，
根據(jù)題意得：，解得：．
設(shè)富春紫光買下這批設(shè)備需要支付萬元購買資金，
當(dāng)時(shí)，，即，
，隨的增大而增大，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值；
當(dāng)時(shí)，，即，
，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值．
，富春紫光買下這批設(shè)備最少需要支付8100萬元購買資金；
②根據(jù)題意得：，
解得：，的最大值為25．答：的最大值為25．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用、一次函數(shù)的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）①分及兩種情況，找出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；②根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
5．（2023年遼寧省阜新市中考數(shù)學(xué)真題）某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們，對(duì)函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的性質(zhì)進(jìn)行了初步探究，部分過程如下，請(qǐng)你將其補(bǔ)充完整．
(1)當(dāng)，時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，函數(shù)化簡(jiǎn)為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)化簡(jiǎn)為______．
(2)當(dāng)，，時(shí)，即．
①該函數(shù)自變量x和函數(shù)值y的若干組對(duì)應(yīng)值如下表：
… 0 1 2 3 4 …
… 6 2 0 2 4 6 …
其中______．②在圖1所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象．

(3)當(dāng)時(shí)，即．①當(dāng)時(shí)，函數(shù)化簡(jiǎn)為______．
②在圖2所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象．
(4)請(qǐng)寫出函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的一條性質(zhì)：______．（若所列性質(zhì)多于一條，則僅以第一條為準(zhǔn)）
【答案】(1)(2)4，圖像見詳解；(3)，圖像見詳解；(4)答案見詳解；
【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)直接求解即可得到答案；
（2）將代入解析式即可得到答案，根據(jù)表格描點(diǎn)用直線連接起來即可得到答案；
（3）根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得到答案，根據(jù)解析式找點(diǎn)，描點(diǎn)用直線連接即可得到答案；
（4）根據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，結(jié)合一次函數(shù)性質(zhì)直接寫即可得到答案；
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，故答案為：；
（2）解：①當(dāng)時(shí)，，故答案為：4；
②根據(jù)表格描點(diǎn)再連接起來，如圖所示，
；
（3）解：①當(dāng)時(shí)，，故答案為：；
②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，描點(diǎn)如圖所示，
（4）解：由解析式得，當(dāng)時(shí)， ，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，y隨x增大而增大，當(dāng)時(shí)，時(shí)，y隨x增大而減小，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，y隨x增大而減小，當(dāng)時(shí)，時(shí)，y隨x增大而增大，
故答案為：當(dāng)時(shí)，時(shí)，y隨x增大而增大，當(dāng)時(shí)，時(shí)，y隨x增大而減小，當(dāng)時(shí)，時(shí)，y隨x增大而減小，當(dāng)時(shí)，時(shí)，y隨x增大而增大（寫其中任意一條即可）．
【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)出解析式．
備考指南
知識(shí)導(dǎo)圖
知識(shí)清單
考點(diǎn)梳理
真題在線
專項(xiàng)練習(xí)
培優(yōu)拓展
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