資源簡介

概率統計與計數原理
方法技巧
1.獨立性檢驗的一般步驟
（1）獨立性檢驗原理只能解決兩個對象，且每個對象有兩類屬性的問題，所以對于一個實際問題，我們首先要確定能否用獨立性檢驗的思想加以解決.
（2）如果確實屬于這類問題，要科學地抽取樣本，樣本容量要適當，不可太小；
（3）根據數據列出2×2列聯表；
（4）提出假設：所研究的兩類對象無關；
（5）根據公式計算的值；
（6）比較觀測值k與臨界值表中相應的檢驗水平，根據小概率原理肯定或者否定假設，即判斷X，Y是否相關.
2.利用相互獨立事件求復雜事件概率的解題思路
（1）將待求事件轉化為幾個彼此互斥的簡單事件的和.
（2）將彼此互斥的簡單事件轉化為幾個已知（易求）概率的相互獨立事件的積事件.
（3）代入概率的積公式求解.
3.建立回歸模型的基本步驟
（1）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預報變量.
（2）畫出解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（如是否存在線性關系等）.
（3）由經驗確定回歸方程的類型（如觀察到散點大致分布在某條直線附近，則選用線性回歸方程）.
（4）按一定規則（如最小二乘法）估計回歸方程中的參數.
（5）得出結果后分析殘差圖是否有異常（如個別數據對應殘差過大，殘差呈現不隨機的規律性等）.若存在異常，則檢查數據是否有誤，或模型是否合適等.
4.概率與統計解答題的解題策略
（1）準確弄清問題所涉及的事件有什么特點，事件之間有什么關系，如互斥、對立、獨立等；
（2）理清事件以什么形式發生，如同時發生、至少有幾個發生、至多有幾個發生、恰有幾個發生等；
（3）明確抽取方式，如放回還是不放回、抽取有無順序等；
（4）準確選擇排列組合的方法來計算基本事件發生數和事件總數，或根據概率計算公式和性質來計算事件的概率；
（5）確定隨機變量取值并求其對應的概率，寫出分布列后再求期望；
（6）會套用求、的公式求值，再作進一步分析.
1.為應對全球氣候變化，我國制定了碳減排的國家戰略目標，采取了一系列政策措施積極推進碳減排，作為培育發展新動能、提升綠色競爭力的重要支撐，節能環保領域由此成為全國各地新一輪產業布局的熱點和焦點.某公司為了解員工對相關政策的了解程度，隨機抽取了180名員工進行調查，得到如下表的數據：
了解程度 性別 合計
男性 女性
比較了解 60 60
不太了解 20 20
合計
（1）補充表格，并根據小概率值的獨立性檢驗，分析了解程度與性別是否有關？
（2）用分層抽樣的方式從不太了解的人中抽取12人，再從這12人中隨機抽取6人，用隨機變量X表示這6人中男性員工人數與女性員工人數之差的絕對值，求X的分布列和數學期望.
附表及公式：
a 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
.
2.2022年卡塔爾世界杯決賽于當地時間12月18日進行,最終阿根廷通過點球大戰總比分戰勝法國,奪得冠軍.根據比賽規則：淘汰賽階段常規比賽時間為90分鐘,若在90分鐘結束時進球數持平,需進行30分鐘的加時賽,若加時賽仍是平局,則采用“點球大戰”的方式決定勝負.“點球大戰”的規則如下：①兩隊各派5名隊員,雙方輪流踢點球,累計進球個數多者勝；②如果在踢滿5輪前,一隊的進球數已多于另一隊踢滿5輪最多可能射中的球數,則不需要再踢（例如：第4輪結束時,雙方“點球大戰”的進球數比為,則不需要再踢第5輪）；③若前5輪“點球大戰"中雙方進球數持平,則從第6輪起,雙方每輪各派1人踢點球,若均進球或均不進球,則繼續下一輪,直到出現一方進球另一方不進球的情況,進球方勝出.
（1）假設踢點球的球員等可能地隨機選擇球門的左 中 右三個方向射門,門將也會等可能地選擇球門的左 中 右三個方向來撲點球,而且門將即使方向判斷正確也只有的可能性將球撲出.若球員射門均在門內,在一次“點球大戰"中,求門將在前4次撲出點球的個數X的分布列期望；
（2）現有甲 乙兩隊在決賽中相遇,常規賽和加時賽后雙方戰平,需要通過“點球大戰”來決定冠軍.設甲隊每名隊員射進點球的概率均為,乙隊每名隊員射進點球的概率均為,假設每輪點球中進球與否互不影響,各輪結果也互不影響.
（i）若甲隊先踢點球,求在第3輪結束時,甲隊踢進了3個球并獲得冠軍的概率；
（ii）求“點球大戰”在第7輪結束,且乙隊以獲得冠軍的概率.
3.網上購物就是通過互聯網檢索商品信息,并通過電子訂購單發出購物請求,廠商通過郵購的方式發貨或通過快遞公司送貨上門,貨到后通過銀行轉賬 微信或支付寶支付等方式在線匯款,根據年中國消費者信息研究,超過40%的消費者更加頻繁地使用網上購物,使得網上購物和送貨上門的需求量激增,越來越多的消費者也首次通過第三方APP 品牌官方網站和微信社群等平臺進行購物,某天貓專營店統計了2020年8月5日至9日這5天到該專營店購物的人數和時間第天間的數據,列表如下:
1 2 3 4 5
（1）由表中給出的數據是否可用線性回歸模型擬合人數y與時間x之間的關系 若可用,估計8月10日到該專營店購物的人數(人數用四舍五入法取整數;若,則線性相關程度很高,可用線性回歸模型擬合,計算r時精確到0.01).
參考數據:.附:相關系數,回歸直線方程的斜率,截距.
（2）運用分層抽樣的方法從第1天和第5天到該專營店購物的人中隨機抽取7人,再從這7人中任取3人進行獎勵,求這3人取自不同天的概率.
（3）該專營店為了吸引顧客,推出兩種促銷方案:方案一,購物金額每滿100元可減10元;方案二,一次性購物金額超過800元可抽獎三次,每次中獎的概率均為,且每次抽獎互不影響,中獎一次打9折,中獎兩次打8折,中獎三次打6折.某顧客計劃在此專營店購買1000元的商品,請從實際付款金額的數學期望的角度分析選哪種方案更優惠.
4.某疫苗生產單位通過驗血的方式檢驗某種疫苗產生抗體情況,現有份血液樣本(數量足夠大),有以下兩種檢驗方式:
方式一:逐份檢驗,需要檢驗n次;
方式二:混合檢驗,將其中k(且)份血液樣本混合檢驗,若混合血樣無抗體,說明這k份血液樣本全無抗體,只需檢驗1次;若混合血樣有抗體,為了明確具體哪份血液樣本有抗體,需要對每份血液樣本再分別化驗一次,檢驗總次數為次.
假設每份樣本的檢驗結果相互獨立,每份樣本有抗體的概率均為.
（1）現有7份不同的血液樣本,其中只有3份血液樣本有抗體,采用逐份檢驗方式,求恰好經過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率;
（2）現取其中k(且)份血液樣本,記采用逐份檢驗方式,樣本需要檢驗的總次數為;采用混合檢驗方式,樣本需要檢驗的總次數為.
①若,求P關于k的函數關系式;
②已知,以檢驗總次數的期望為依據,討論采用何種檢驗方式更好
參考數據:,,,,.
5.深受廣大球迷喜愛的某支歐洲足球隊,在對球員的使用上總是進行數據分析,為了考查甲球員對球隊的貢獻,現作如下數據統計:
球隊勝 球隊負 總計
甲參加 22 b 30
甲未參加 c 12 d
總計 30 e n
（1）求b,c,d,e,n的值,據此能否有97.5%的把握認為球隊勝利與甲球員參賽有關;
（2）根據以往的數據統計,乙球員能夠勝任前鋒,中鋒,后衛以及守門員四個位置,且出場率分別為:0.2,0.5,0.2,0.1,當出任前鋒,中鋒,后衛以及守門員時,球隊贏球的概率依次為:0.6,0.8,0.4,0.8則:
①當他參加比賽時,求球隊某場比賽贏球的概率;
②當他參加比賽時,在球隊贏了某場比賽的條件下,求乙球員擔當前鋒的概率:
③如果你是教練員,應用概率統計有關知識.該如何使用乙球員
附表及公式:
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
6.2023年中秋國慶雙節期間，我國繼續執行高速公路免費政策.交通部門為掌握雙節期間車輛出行的高峰情況，在某高速公路收費點記錄了10月1日上午這一時間段內通過的車輛數，統計發現這一時間段內共有1000輛車通過該收費點，為方便統計，時間段記作區間，記作，記作，記作，對通過該收費點的車輛數進行初步處理，已知，時間段內的車輛數的頻數如下表：
時間段
頻數 100 300 m n
（1）現對數據進一步分析，采用分層隨機抽樣的方法從這1000輛車中抽取10輛，再從這10輛車中隨機抽取4輛，設抽到的4輛車中在通過的車輛數為X，求X的分布列與期望；
（2）由大數據分析可知，工作日期間車輛在每天通過該收費點的時刻，其中可用（1）中這1000輛車在之間通過該收費點的時刻的平均值近似代替，可用樣本的方差近似代替（同一組中的數據用該組區間的中點值代表），已知某天共有800輛車通過該收費點，估計在之間通過的車輛數（結果四舍五入保留到整數）.
參考數據：若，則①；
②；③.
7.隨著人民生活水平的不斷提高,“衣食住行”愈發被人們所重視,其中對飲食的要求也愈來愈高.某地區為了解當地餐飲情況,隨機抽取了100人對該地區的餐飲情況進行了問卷調查.請根據下面尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖（如圖）解決下列問題.
組別 分組 頻數 頻率
第1組 14 0.14
第2組 m
第3組 36 0.36
第4組 0.16
第5組 4 n
合計
(1)求m,n,y,x的值;
(2)求中位數;
(3)若將滿意度在80分以上的人群稱為“美食客”,將頻率視為概率,用樣本估計總體,從該地區中隨機抽取3人,記其中“美食客”的人數為,求的分布列和數學期望.
8.校園師生安全重于泰山,越來越多的學校紛紛引進各類急救設備.某學校引進M,N兩種類型的自動體外除顫器（簡稱AED）若干,并組織全校師生學習AED的使用規則及方法.經過短期的強化培訓,在單位時間內,選擇M,N兩種類型AED操作成功的概率分別為和,假設每次操作能否成功相互獨立.
(1)現有某受訓學生進行急救演練,假定他每次隨機等可能選擇M或N型AED進行操作,求他恰好在第二次操作成功的概率;
(2)為激發師生學習并正確操作AED的熱情,學校選擇一名教師代表進行連續兩次設備操作展示,下面是兩種方案：
方案甲：在第一次操作時,隨機等可能的選擇M或N型AED中的一種,若第一次對某類型AED操作成功,則第二次繼續使用該類型設備;若第一次對某類型AED操作不成功,則第二次使用另一類型AED進行操作.
方案乙：在第一次操作時,隨機等可能的選擇M或N型AED中的一種,無論第一次操作是否成功,第二次均使用第一次所選擇的設備.
假定方案選擇及操作不相互影響,以成功操作累積次數的期望值為決策依據,分析哪種方案更好？
答案以及解析
1.答案：（1）了解程度與性別無關
（2）X的分布列見解析，數學期望為
解析：（1）補充表格如下：
了解程度 性別 合計
男性 女性
比較了解 60 60 120
不太了解 20 20 60
合計 80 100 180
零假設為：了解程度與性別無關.
根據列聯表中的數據，經計算得到，
根據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷不成立，
因此可以認為成立，即了解程度與性別無關.
（2）用分層抽樣在不太了解的60人中抽取12人，抽得女性8人，男性有4人.
X的可能取值為0，2，4，6.
則，，
，.
X的分布列為：
X 0 2 4 6
P
.
2.答案：（1）
（2）
解析：（1）根據題意門將每次撲中點球概率,
X的可能取值為0,1,2,3,4,且,
;
;
；
所以X的概率分布為
X 0 1 2 3 4
數學期望.
（2）（i）甲隊先踢點球,第三輪結束時甲隊踢進了3個球,并獲得冠軍,
則乙隊沒有進球,所以甲隊獲得冠軍的概率為.
（ii）點球在第7輪結束,且乙隊以獲勝,
所以前5輪戰平,且第6輪戰平,第7輪乙隊勝甲隊
當前5輪兩隊為時,
乙隊勝出的概率為
當前5輪兩隊為時,
乙隊勝出的概率為,
因為上述兩個事件互斥,所以乙隊勝出的概率為.
3.答案：（1）可用線性回歸模型擬合人數y與天數x之間的關系,8月10日到該專營店購物的人數約為109;
（2）;
（3）選擇方案二更劃算.
解析:（1）由表中數據可得,,,
,,
所以,
所以可用線性回歸模型擬合人數y與天數x之間的關系.
而,
則,
所以,
令,可得.
答:8月10日到該專營店購物的人數約為109.
（2）因為,所以從第1天和第5天取的人數分別為3和4,從而3人取自不同天的種數為,
所以概率.
答:這3人取自不同天的概率為.
（3）若選方案一,需付款元.
若選方案二,設需付款X元,則X的取值可能為600,800,900,1000,
則,
,
,
,
所以,
因此選擇方案二更劃算.
4.答案：（1）
（2）見解析
解析：（1）設恰好經過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來為事件A,
事件A分為兩種情況,一種是前三次檢驗中,其中兩次檢驗出抗體,第四次檢驗出抗體,二是前四次均無抗體,
所以,
所以恰好經過4次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率為,
（2）①由已知得,的所有可能取值為1,,
所以,,
所以,
若,則,
所以,,
所以,得,
所以P關于k的函數關系式（且）
②由①知,,
若,則,所以,得,
所以(且)
令,則,
當時,,當時,,
所以在上單調遞增,在上單調遞減,
因為,,
,
所以不等式的解是且,
所以且時,,采用方案二混合檢驗方式好,
且時,,采用方案一逐份檢驗方式好,
5.答案：（1）,,;有97.5%的把握認為球隊勝利與甲球員參賽有關;
（2）①;
②;
③乙球員擔當中鋒.
解析:（1）由列聯表中的數據,得,,,
,
所以有97.5%的把握認為球隊勝利與甲球員參賽有關.
（2）①設表示“乙球員擔當前鋒”;表示“乙球員擔當中鋒”;表示“乙球員擔當后衛”;
表示“乙球員擔當守門員”;B表示“球隊贏得某場比賽”,,
且,,,兩兩互斥,,,,,
,,,,
所以
,
所以當他參加比賽時,球隊某場比賽贏球的概率是0.68;
②乙球員擔當前鋒的概率;
③當他參加比賽時,在球隊贏了某場比賽的條件下,由②知,乙球員擔當前鋒的概率是;
乙球員擔當中鋒的概率是;
乙球員擔當后衛的概率;
乙球員擔當守門員的概率,
顯然,為了擴大贏球面,乙球員應擔當中鋒.
6.答案：（1）分布列見解析；期望為
（2）655
解析：（1）因為，，所以，.
由分層隨機抽樣可知，抽取的10輛車中，在通過的車輛數位于時間段，這兩個區間內的車輛數為，
車輛數X的可能取值為0，1，2，3，4，
，，，
，，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
所以.
（2）這1000輛車在時間段內通過該收費點的時刻的平均值
，即，
，
所以.
估計在這一時間段內通過的車輛數，也就是通過的車輛數，工作日期間車輛在每天通過該收費點的時刻，
，
所以估計在這一時間段內通過的車輛數為.
7.答案：(1),,,;
(2)
(3)分布列見解析,數學期望為.
解析：（1）由題意可得第四組的人數為,
所以,,
又內的頻率為,所以,
內的頻率為0.04,所以.
（2）由頻率分布直方圖可得第一、二組頻率之和為,
第一、二、三組頻率之和為,故中位數在之間,
設中位數為x,則：,解得,
故中位數為.
（3）由頻率分布表可得該地區抽取“美食客”的概率為,
由題意可取0,1,2,3,且,
所以,,
,,
所以的分布列為
0 1 2 3
P
8.答案：(1)
(2)見解析
解析：（1）設“操作成功”為事件S,“選擇設備M”為事件A,“選擇設備N”為事件B
由題意,,,
恰在第二次操作才成功的概率,
,
所以恰在第二次操作才成功的概率為.
（2）設方案甲和方案乙成功操作累計次數分別為X,Y,則X,Y可能取值均為0,1,2,
;
;
;
所以
方法一：
;
;
所以
方法二：方案乙選擇其中一種操作設備后,進行2次獨立重復試驗,
所以,
決策一：因為,故方案甲更好.
決策二：因為與差距非常小,所以兩種方案均可

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