資源簡介

函數與導數
方法技巧
1.指數函數、對數函數、冪函數三種函數模型的應用技巧
（1）與冪函數、指數函數、對數函數模型有關的實際問題，在求解時，要先學會合理選擇模型，在三類模型中，指數函數模型（底數大于1）是增長速度越來越快的一類函數模型，與增長率、銀行利率、細胞分裂有關的問題都屬于指數函數模型.
（2）在解決冪函數、指數函數、對數函數模型問題時，一般先需要通過待定系數法確定函數解析式，再借助函數的圖象求解最值問題，必要時可借助導數.
2.已知函數的解析式，求導函數或導函數值的方法
（1）連乘形式：先展開化為多項式形式，再求導.
（2）三角形式：先利用三角函數公式轉化為和或差的形式，再求導.
（3）復雜分式：先化為整式函數或較為簡單的分式函數，再求導.
（4）根式形式：先化為分數指數冪的形式，再求導.
（5）復合函數：確定復合關系，由外向內逐層求導.
3.利用導數解決函數零點問題的方法
（1）先求函數的單調區間和極值，根據函數的性質畫出圖象，然后將問題轉化為函數圖象與x軸交點問題，突出導數的工具作用，體現了轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論思想.
（2）構造新函數，將問題轉化為研究兩個函數的圖象的交點問題.
（3）分離參變量，即由分離參變量，得，研究直線與的圖象的交點問題.
4.利用導數研究不等式恒成立或存在性問題的思路方法
首先要構造函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造函數，直接把問題轉化為函數的最值問題.一般地，恒成立，則；恒成立，則.
1.已知函數.
（1）討論在區間上的單調性;
（2）當時,若存在滿足,證明.
2.已知函數
（1）當時,求的單調區間；
（2）若有兩個零點,求a的范圍,并證明.
3.已知函數.
（1）若,,求實數a的取值范圍;
（2）設,是函數的兩個極值點,證明:.
4.已知函數,為的導函數.
（1）當時,討論函數的單調性
（2）已知,,若存在,使得成立,求證:.
5.已知函數
（1）當時,求函數在處的切線方程;
（2）若函數與直線在上有兩個不同的交點,求實數的取值范圍.
6.已知函數.
（1）當時,求曲線在點處的切線方程;
（2）若函數有兩個極值點,求實數a的取值范圍;
（3）若函數有兩個極值點,,求證:.
7.已知函數,.
（1）試討論的單調性;
（2）若對任意, 均有,求a的取值范圍;
（3）求證: .
8.設函數.
（1）當時，求的單調區間；
（2）若有兩個極值點，，
①求a的取值范圍；
②證明：.
答案以及解析
1.解析：（1）當,在單調遞減;
當時,,
①當時,,,,;
②當時,在恒成立;
③當時,,,,;
綜上所述,當時,在單調遞增,在單調遞減;
當時,在單調遞減;
當時,在單調遞減,在單調遞增.
（2）由,得,即,
由（1）可知,當時,,,
當時,;當時,,
在單調遞增,在單調遞減,
又當,,當時,,
故,即.欲證,即證.
設,,
則,
即在單調遞減,
又,所以,即,
又,所以,
又因為在單調遞增,,,
所以,即得證.
2.答案：（1）的單調增區間為和,單調減區間為和
（2）見解析
解析：（1）的定義域為,
當時,,導函數,
令,得或；
令,得且；
所以的單調增區間為和,單調減區間為和；
（2）當時,只有1個零點,不符合題意；
當時,若,則；若,則,不符合題意,所以.
當時,,所以在和均單調遞增.
當時,由,
,
所以在上有一個零點；
當,同理,
所以在上有一個零點,所以a的范圍是,
因為的兩個零點為,
所以,即,所以,
同理,,
所以,
若,即,
則,
所以的兩個零點,互為倒數,即,
所以（等號不成立）,所以,
所以,
所以得證.
3.答案：（1）
（2）見解析
解析：（1）當時,
,在時,,單調遞減,
又,所以,不滿足題意;
當時,,
若,即時,,上單調遞增,
又,所以,滿足題意;
若,即時,
令,可得,,
當時,,單調遞增,
當時,,單調遞減,
而,所以,
不滿足在上.
綜上所述,;
（2）當時,
由得,單調遞減,無極值,不滿足題意;
當時,,
若,即時,,在上單調遞增,
無極值,不滿足題意;
若,即時,
令,可得,,此時,
當時,,單調遞增,
當時,,單調遞減,
當時,,單調遞增,
所以為極大值,為極小值,
且,,,
要證,即證
,
即,
即證:,
即證:
則,
因為,
故在上為減函數,故,
故成立,
故.
4.解析：（1）當時,,,
,
當時,在區間上恒大于0,此時函數的單調遞增區間是;
當時,設,其中,
當,,函數單調遞增,
當,,函數單調遞減,
當時,,
當時,,此時恒成立,函數的單調遞增區間是,
當時,,
當且,
所以在區間上恒大于0,即函數的單調遞增區間是,
綜上可知,時,函數的單調遞增區間是,
當時,函數的單調遞減區間是,函數的單調遞減區間是;
（2）不妨設,因為,
則,
即,
得,
由,
則,
所以,
,
設,構造函數,
,
所以在上為增函數,
所以,即,
又,,,
所以.
5.答案：（1）
（2）
解析：（1）當時,,
所以,
因為,
所以切點坐標為,切線斜率為,
所以切線方程為,即.
（2）由題知,函數與直線在上有兩個不同的交點,
令,
所以,
因為,
所以令,得,
所以當時,,當時,,
所以在上有最大值,,
因為,,
又,
所以,
所以在上有最小值,
所以在上有兩個不同的交點的條件是
,解得
所以實數a的取值范圍為
6.答案：（1）
（2）
（3）證明見解析
解析:（1）當時,,
所以,故切點坐標為,
又,所以,故切線的斜率為,
由點斜式可得,,即,
故曲線在點處的切線方程為;
（2）的定義域為,
又,
因為函數有兩個極值點,,因此有2個不等的正根
令,
所以,解得
當時,函數有兩個極值點,.
（3）由（2）可知,當時,有兩個極值點,,
則,由題意可得,,
則
,
令,
則,
當時,,則單調遞增,
當時,,則單調遞減,
故當時,取得最大值,
所以.
7.答案：（1）當時,,在上單調遞增,
當時,,在上單調遞減
（2）
（3）見解析
解析：（1）,
若則, 在 上單調遞減;
若,則由,得,
當時,,在上單調遞增,
當時,,在上單調遞減.
（2）當時,符合題意;
當時,由（1）知在上單調遞減,而 ,不合題意;
當時,結合（1）得,,
即,得,
綜上,a的取值范圍是;
（3）證明：由（2）知,當 時,,即,
所以,
所以,
所以,
即得證.
8.答案：（1）單調遞減區間為，單調遞增區間為
（2）①；②證明見解析
解析：（1）當時，，，
故，
所以，
當時，；當時，，
所以的單調遞減區間為，單調遞增區間為.
（2）①，依據題意可知有兩個不等實數根，
即有兩個不等實數根，.
由，得，
所以有兩個不等實數根可轉化為
函數和的圖象有兩個不同的交點，
令，則，
由，解得；由，解得；
所以在單調遞增，在單調遞減，
所以.
又當時，，當時，，
因為與的圖象有兩個不同的交點，所以.
②由①可知有兩個不等實數根，，
聯立可得，
所以不等式等價于
.
令，則，且等價于.
所以只要不等式在時成立即可.
設函數，則，
設，則，
故在單調遞增，得，
所以在單調遞減，得.
綜上，原不等式成立.

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