資源簡介

空間向量與立體幾何
方法技巧
1.求直線和平面所成角的基本思路
（1）可先判斷直線和平面的位置關系，若直線與平面平行，則所成角為0°；若直線與平面垂直，則所成角為90°.
（2）當直線和平面斜交時，常用以下步驟分析問題：
①作圖：作（或找）出斜線在平面內的射影，將空間角（斜線與平面所成的角）轉化為平面角（兩條相交直線所成的銳角），作射影要過斜線上一點作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關，這樣才能便于計算.
②證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角.
③計算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算.
2.利用空間向量證明平行問題的方法
（1）線線平行：證明兩條直線的方向向量共線.
（2）線面平行：①證明該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；②證明該直線的方向向量與平面內某直線的方向向量平行；③證明該直線的方向向量可以用平面內的兩個不共線的向量線性表示.
（3）面面平行：①證明兩個平面的法向量平行；②轉化為線線平行、線面平行問題.
3.利用空間向量證明垂直問題的方法
（1）線線垂直：證明兩直線的方向向量垂直，即證它們的數量積為零.
（2）線面垂直：①證明直線的方向向量與平面的法向量共線；②證明直線的方向向量與平面內的兩條相交直線的方向向量都垂直.
（3）面面垂直：①其中一個平面與另一個平面的法向量平行；②兩個平面的法向量垂直.
4.向量法求角問題的解題步驟
（1）識圖：分析幾何體，找出確定幾何體底面和高的條件，根據所學知識，理清圖形中的數量關系；
（2）建系設點：尋找題目中有三條直線兩兩垂直的特征，建立空間直角坐標系，從而確定點的坐標；
（3）求向量坐標：用終點坐標減去起點坐標寫出所需要的向量坐標；
（4）計算或證明：利用證明兩個非零向量垂直的充要條件和向量夾角的余弦公式進行計算和證明.
5.解決立體幾何中探索性問題的技巧
（1）涉及線段上點的位置的探索性問題一般是先根據條件猜測點的位置再給出證明，所求點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據相似知識找點，求解時注意三點共線條件的應用.
（2）借助空間直角坐標系，把幾何對象上動態點的坐標用參數（變量）表示出來，將幾何對象坐標化，這樣根據所要滿足的題設要求得到相應的方程或方程組.若方程或方程組有滿足題設要求的解，則通過參數的值反過來確定幾何對象的位置；若方程或方程組沒有滿足題設要求的解，則表示滿足題設要求的幾何對象不存在.
1.如圖,在直三棱柱中,,,.M是AB的中點,N是的中點,P是與的交點.
(1)求直線與平面所成角的正弦值;
(2)線段上是否存在點Q,使得平面？
2.如圖,在四棱錐中,底面ABCD是正方形,側面QAD是正三角形,側面底面ABCD,M是QD的中點.
（1）求證:平面QCD;
（2）在棱BQ上是否存在點N使平面平面ACM成立 如果存在,求出;如果不存在,說明理由.
3.在圖1中,,,為等邊三角形,O為AC邊的中點,E在BC邊上,且,沿AC將進行折疊,使點D運動到點F的位置,如圖2,連接FO,FB,FE,.
（1）證明:平面ABC.
（2）求二面角的余弦值.
4.如圖,在四棱錐中,底面ABCD是矩形,底面ABCD,且,E是PC的中點,平面ABE與線段PD交于點F.
（1）證明:F為PD的中點;
（2）再從條件①,條件②這兩個條件中選擇一個作為已知,求直線BE與平面PAD所成角的正弦值.
條件①:三角形BCF的面積為;
條件②:三棱錐的體積為1.
5.如圖,該幾何體是由等高的半個圓柱和個圓柱拼接而成,點G為弧CD的中點,且C,E,D,G四點共面.
（1）證明:平面平面BCG;
（2）若平面BDF與平面ABG所成二面角的余弦值為,且線段AB長度為2,求點G到直線DF的距離.
6.如圖1,在梯形ABCD中,,,,,點E在線段BC上,,將沿AE翻折至的位置,連接PD,點F為PD中點,連接CF,如圖2,
（1）在線段AD上是否存在一點Q,使平面平面FQC 若存在,請確定點Q的位置,若不存在,請說明理由;
（2）當平面平面AECD時,求三棱錐的體積.
7.2023年9月23日,杭州第19屆運動會開幕式現場,在AP技術加持下,寄托著古今美好心愿的燈籠升騰而起,溢滿整個大蓮花場館,融匯為點點星河流向遠方,繪就了一幅萬家燈火的美好圖景．燈籠又統稱為燈彩,是一種古老的漢族傳統工藝品,經過數千做年的發展,燈籠也發展出了不同的地域風格,形狀也是千姿百態,每一種燈籠都具有獨特的藝術表現形式．現將一個圓柱形的燈籠切開,如圖所示,用平面表示圓柱的軸截面,BC是圓柱底面的直徑,O為底面圓心,E為母線的中點,已知為一條母線,且．
（1）求證：平面平面;
（2）求二面角的余弦值．
8.如圖：等邊三角形的邊長為3，，.將三角形沿著折起，使之成為四棱錐.點p滿足，點Q在棱上，滿足.且.
(1)求到平面的距離；
(2)求面與面夾角的余弦值；
(3)點Q在面的正射影為點s，求與平面夾角的正弦值.
答案以及解析
1.答案：(1)
(2)存在
解析：（1）以A為原點,AC,AB,所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.
因為,C,M的坐標分別為,,,所以,.
設是平面的法向量,則,
即,所以,
取,則,,所以是平面的一個法向量.
P點坐標為,所以.
設與平面所成的角為,
則.
（2）由,N的坐標分別為,,故,
設,則,得,
又P點坐標為,所以直線PQ的一個方向向量,
若平面,需,從而,
即,解得,這樣的點P存在.
所以線段上存在點Q,使得平面,此時,Q為線段上靠近點N的三等分點.
2.解析：（1）由側面QAD是正三角形,M是QD的中點,得,
由正方形ABCD,得,而平面平面ABCD,平面平面,
且平面ABCD,則平面QAD,又平面QAD,于是,
而,CD,平面QCD,
所以平面QCD.
（2）取AD的中點E,AB的中點P,連接,連接PQ,連接,連接OG,
于是,由正方形ABCD,得,則,令,
顯然G是正AQD的中心,,,
又平面平面ABCD,平面平面,則平面ABCD,
AC,平面ABCD,即有,,而,QE,平面PQE,
則平面PQE,平面PQE,在平面PQE內過O作交PQ于H,
顯然,而,AC,平面ACM,因此平面ACM,
連接AH并延長交QB于N,連接CN,于是平面平面ACM,
過H作,則有,,,
,,則,又,,
從而點F是線段PO的中點,,過P作交QB于T,
于是,即,顯然,因此,
所以在棱BQ上存在點N使平面平面ACM成立,.
3.解析：（1）由題意,
又,,,而,
所以,所以,
因為,FO,平面ABC,
所以平面ABC;
（2）分別以OB,OC,OF為x,y,z軸建立空間直角坐標系,如圖,則,,,
,,
設平面AEF的一個法向量是,
則,取,則,,即,
顯然是平面的一個法向量,
,
所以二面角的余弦值為.
4.解析:（1）由底面ABCD是矩形,則,而面PCD,面PCD,
所以面,
又E是PC的中點,面ABE與線段PD交于點F,即面面,
而面ABE,則,故,
中EF為中位線,故F為PD的中點;
（2）由底面ABCD,面ABCD,則,又,
由,面PCD,則面PCD,
由面PCD,故,即為直角三角形,且;
由面PAD,則面面ABCD,同理有面面ABCD;
又DA,面ABCD,故,,又,
所以PD,DA,DC兩兩垂直,可構建如下空間直角坐標系,
選①,則,故,而,
選②,由,而,,所以;
此時,,,則,
又是面PAD的一個法向量,若直線BE與平面PAD所成角為,
所以.
5.解析:（1）過G作,交底面弧于H,連接HB,易知:HBCG為平行四邊形,
所以,又G為弧CD的中點,則H是弧AB的中點,
所以,而由題設知:,則,
所以,即,由底面ABF,平面ABF,則,又,平面BCG,
所以平面BCG,又平面BDF,所以平面平面BCG.
（2）由題意,構建如下圖示空間直角坐標系,
令半圓柱半徑為r,高為h,則,,,,
所以,,,,
若是面BDF的一個法向量,則,令,則,
若是面ABG的一個法向量,則,令,則,
所以,
整理可得,則,又,
由題設可知,此時點,,,
則,,
所以點G到直線DF的距離.
6.答案：（1）存在,Q是AD的中點
（2）
解析：（1）當Q是AD的中點時,平面平面FQC,理由如下:
如圖,連接FQ,CQ,
依題意得,且,,則,,
所以四邊形AECQ是平行四邊形,則,
又平面PAE,平面PAE,所以平面PAE,
因為Q,F分別為AD,PD的中點,所以,
又平面PAE,平面,所以平面PAE,
因為QF,平面FQC,,所以平面平面FQC,
（2）取AE的中點M,連接,
因為,,,則,
所以為邊長為2的等邊三角形,則,
因為,,,所以由余弦定理得,
所以在中,,則,
因為平面平面AECD,平面平面,平面AECD,所以平面PAE,
因為F為PD的中點,所以F到平面PAE的距離,
所以.
7.解析：（1）因為,
平面ABC,BC是圓柱底面的直徑,
所以,則,,
,
則有,所以;
又E為的中點所以,,,,
則有,所以;
又,所以平面AEO,平面,
所以平面平面;
（2）由題意可知,平面ABC,,
以A為坐標原點,,,分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系,
因為,
則,,,,,
,,．
由（1）知,平面的一個法向量為
設平面的一個法向量為,,,
則,取,則,
所以,
因為二面角為銳角,所以二面角的余弦值為.
8.答案：(1)；(2)；(3)
解析：（1）在中，，，
由余弦定理得，
所以，所以，即，
如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，
則，，，，，
設，
則，
，
因為，
所以，解得，
則，故，
所以，
設，由，，，
得，解得，即，
所以到平面的距離為；
（2），，，
設平面得法向量為，
則有，可取，
設平面得法向量為，
則有，可取，
則，
所以面與面夾角的余弦值為；
（3）因為，，，，平面，
所以平面，
因為點Q在面的正射影為點s，所以平面，
所以，所以s在上，
，則，
故，則，
則，
所以與平面夾角的正弦值為.

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