資源簡介

三角函數與解三角形
方法技巧
1.給值求值問題的解題策略
從角的關系中找解題思路：已知某些角的三角函數值，求另外一些角的三角函數值，要注意觀察已知角與所求表達式中角的關系，根據需要靈活地進行拆角或湊角的變換.
2.弧長和扇形面積問題的解題策略
（l）求扇形面積的關鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長三個量中的任意兩個量.
（2）在解決弧長問題和扇形面積問題時，要合理地利用圓心角所在的三角形.
（3）求扇形面積最大值的問題時，常轉化為二次函數的最值問題，利用配方法使問題得到解決.
3.解給值求角問題的一般步驟
（1）確定角的范圍，根據條件確定所求角的范圍.
（2）求所求角的某種三角函數值，為防止增解最好選取在上述范圍內單調的三角函數.
（3）結合三角函數值及角的范圍求角.
4.解三角形中的最值（取值范圍）問題的求解方法
（1）函數法：通過正、余弦定理將邊轉化為角，再根據三角恒等變換:及三角形內角和定理轉化為“一角一函數”的形式，最后結合角的范圍利用三角函數的單調性和值域求解，
（2）基本不等式法：利用正、余弦定理，面積公式建立，，之間
的等量關系與不等關系，然后利用基本不等式求解.
（3）幾何法：根據已知條件畫出圖形，結合圖形，找出臨界位置，數形結合求解.
5.幾個典型三角形應用問題的處理方法.
（1）求距離問題的注意事項：
①選定或確定要創建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解.
②確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理.
（2）處理高度問題的注意事項：
①在處理有關高度問題時，理解仰角、俯角（視線在水平線上方、下方的角分別稱為仰角、俯角）是一個關鍵.
②在實際問題中，可能會遇到空間與平面同時研究的問題，這時最好畫兩個圖形，一個空間圖形，一個平面圖形，這樣處理起來既清楚又不容易搞錯.
（3）測量角度問題的一般步驟：
①在弄清題意的基礎上，畫出表示實際問題的圖形，并在圖形中標出有關的角和距離；
②用正弦定理或余弦定理解三角形；
③將解得的結果轉化為實際問題的解.
1.的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
（1）求A；
（2）若，證明：是直角三角形.
2.已知函數.
（1）若,,求的值.
（2）A,B,C是的三個內角,;若D是AC邊上的點,且,,求的值.
3.在中,A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且,其中R是三角形外接圓半徑,且A不為直角.
（1）若,求A的大小；
（2）求的最小值.
4.已知角,(,)的頂點與原點O重合,始邊與x軸的非負半軸重合,點,分別在角,的終邊上.
（1）設函數,,求函數的值域;
（2）若點在角的終邊上,且線段的長度為,求的面積.
5.記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.
(1)證明：；
(2)若，，求的周長.
6.隨著生活水平的不斷提高,人們更加關注健康,重視鍛煉.通過“小步道”,走出“大健康”,健康步道成為引領健康生活的一道亮麗風景線.如圖,為某區的一條健康步道,AB,AC為線段,是以BC為直徑的半圓,,,.
（1）求的長度;
（2）為滿足市民健康生活需要,提升城市品位,改善人居環境,現計劃新建健康步道(B,D在AC兩側),其中AD,CD為線段.且在中,記,,設計師提交設計了兩種方案:
①方案一:增加健康步道的長度,若,滿足,求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少長度 (精確到0.01km)
②方案二:在區域種植觀賞植物,若的值在內,則認為健康步道綠化觀賞效果最佳,當為銳角三角形時,,滿足,問方案二是否可以滿足健康步道綠化觀賞效果最佳 (,)
7.已知的三個角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)求邊a；
(2)若是銳角三角形，且___________，求的面積S的取值范圍.
要求：從①，②從這兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中，并給出解答.
8.在銳角中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若，.
（1）求角B的大小和邊長b的值；
（2）求面積的最大值.
答案以及解析
1.（1）答案：
解析：因為，
所以，即，解得.
又，所以.
（2）解析：由（1）知，，即.①
又，②
所以將②代人①得，，
整理可得，解得或.
又因為，所以，
所以，故，所以是直角三角形.
2.解析：（1）因為,
所以,
將代入得,
解得或,
又,所以,
所以.
（2）,
因為,所以,所以,即,
因為,所以,
在中,由正弦定理可得,
因為,,
所以,在中,由余弦定理有,
整理得,即,
解得,
因為,所以.
3.答案：（1）
（2）
解析：（1）在中,,
進而,
,
,
又A不為直角,則,,
,.
（2）由(1)知,
轉化為,又,,.
,
當且僅當,即時,等號成立,
的最小值為.
4.答案：（1）
（2）
解析:（1）的終邊過點,,.
,.
則,
,,,,
即的值域是.
（2）的終邊過點,
,.
,,.
由余弦定理可得,,
,解得.
,
C為OB的中點,
則的面積
5.答案：(1)證明見解析
(2)的周長為14
解析：(1)證明：因為，
所以，
所以，
即，
所以.
(2)因為，，
由(1)得，
由余弦定理可得，則，
所以，故，
所以的周長為.
6.答案：（1）
（2）①
②是
解析:（1）連接BC,在中,由余弦定理可得,
,
所以,即的長度為;
（2）①方案一:因為,
則,所以,
又,所以,
記,,則在中,由余弦定理可得,
即,
從而,所以,所以,當且僅當時,等號成立;
所以新建健康步道的最長路程為,又,
即新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加約1.39km;
②方案二:因為,
即,
又為銳角三角形,,,
則,,所以,所以.
因為為銳角三角形且,所以,解得,
所以,,,
所以
,
故可以滿足健康步道綠化觀賞效果最佳.
7.答案：（1）
（2）答案見解析
解析：（1）解法一：因為，
由余弦定理，得；
解法二：因為，
由正弦定理，得，
，
，即.
（2）選擇①：因為
所以，，
所以
因為是銳角三角形，
所以，又，所以，所以.
所以，所以，
所以，
所以.
選擇②：因為，則，
因為是銳角三角形，所以，
即，
所以，
因為，
所以，
所以
，
由二次函數的性質可得，
當時，函數取最大值，
當時，，又，
所以，即，
所以，
所以.
8.答案：（1），
（2）
解析：（1）因為，
所以，，
因為角B是銳角，所以，
因為，
所以由正弦定理與余弦定理易知，，
整理得，解得.
（2）因為，所以，，
因為，，，所以，
則
，
因為，所以，
則，，
故，面積的最大值為.

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