資源簡介

平面解析幾何
方法技巧
1.直線與拋物線的位置關系的常見類型及解題策略：
（1）求線段長度和線段之積（和）的最值.可依據直線與拋物線相交，利用弦長公式，求出弦長或弦長關于某個量的函數，然后利用基本不等式或利用函數的知識，求函數的最值；也可利用拋物線的定義轉化為兩點間的距離或點到直線的距離.
（2）求直線方程.先尋找確定直線的兩個條件，若缺少一個可設出此量，利用題設條件尋找關于該量的方程，解方程即可
（3）求定值.可借助于已知條件，將直線與拋物線方程聯立，尋找待定式子的表達式，化簡即可得到.
2.圓錐曲線中的取值范圍問題的求解方法
（1）函數法：用其他變量表示參數，建立函數關系，利用求函數值域的方法求解.
（2）不等式法：根據題意建立含參數的不等式，通過解不等式求參數的取值范圍.
（3）判別式法：建立關于某變量的一元二次方程，利用判別式求參數的取值范圍.
（4）數形結合法：研究參數所表示的幾何意義，利用數形結合思想求解.
3.圓錐曲線中定點問題求解步驟
一選（設參）：選擇變量，定點問題中的定點，隨某一個量的變化而固定，可選擇這個量為變量（有時可選擇兩個變量，如點的坐標、斜率、截距等，然后利用其他輔助條件消去其中之一）.
二求（用參）：求出定點所滿足的方程，即把需要證明為定點的問題表示成關于上述變量的方程.
三定點（消參）：對上述方程進行必要的化簡，即可得到定點坐標.
4.求解定值問題的方法
（1）證明代數式為定值：依題意設條件，得出與代數式參數有關的等式，代入代數式、化簡即可得出定值.
（2）證明點到直線的距離為定值：利用點到直線的距離公式得出距離的關系式，再利用題設條件化簡、變形得出定值.
（3）證明某線段長度為定值：利用兩點間距離公式求得關系式，再依據條件對關系式進行化簡、變形即可得出定值.
（4）證明某幾何圖形的面積為定值：解決此類題的關鍵點有兩個，一是計算面積，二是恒等變形，通常是規則圖形的面積，一般是三角形或四邊形.對于其他凸多邊形，一般需要分割成三角形求解，利用面積求解方法，求得關系式，再將由已知得到的變量之間的等量關系式代入面積關系式中，進行化簡即可求得定值.
5.幾何證明問題的解題策略
（l）圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一是證明點、直線、曲線等幾何元素中的位置關系，如某點在某直線上、某直線經過某個點、某兩條直線平行或垂直等；二是證明直線與圓錐曲線中的一些數量關系（相等或不等）.
（2）解決證明問題時，主要根據直線、圓錐曲線的性質、直線與圓錐曲線的位置關系等，通過相關的性質應用、代數式的恒等變形以及必要的數值計算等進行證明.
1.已知橢圓的右焦點為F，點P是橢圓與x軸正半軸的交點，點Q是橢圓與y軸正半軸的交點，且，.直線l過圓的圓心，并與橢圓相交于A，B兩點，過點A作圓O的一條切線，與橢圓的另一個交點為C，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）求直線的斜率.
2.在平面內，動點與定點的距離和它到定直線的距離比是常數2.
(1)求動點M的軌跡方程；
(2)若直線m與動點M的軌跡交于P，Q兩點，且（為坐標原點），求的最小值.
3.已知橢圓的左 右焦點分別為,過點作直線l（與x軸不重合）交C于M,N兩點,且當M為C的上頂點時,的周長為8,面積為
（1）求C的方程；
（2）若A是C的右頂點,設直線l,AM,AN的斜率分別為k,,求證：為定值.
4.過拋物線的焦點F作斜率分別為,的兩條不同的直線,,且與E相交于點A,B,與E相交于點C,D.以AB,CD為直徑的圓M,圓N(M,N為圓心)的公共弦所在的直線記為l.
（1）若,求;
（2）若,求點M到直線l的距離的最小值.
5.已知橢圓的離心率為,記E的右頂點和上頂點分別為A,B,的面積為1(O為坐標原點).
（1）求E的方程;
（2）已知,過點D直線與橢圓E交于點M,N(點M在第一象限),過點M垂直于y軸的直線分別交BA,BN于P,Q,求的值.
6.已知,是橢圓的左,右焦點,點是C上一點,的中點在y軸上,O為坐標原點.
（1）求橢圓C的方程;
（2）已知過橢圓上一點的切線方程為.設動直線與橢圓C相切于點P,且與直線相交于點Q,試探究:在x軸上是否存在定點F,使得以PQ為直徑的圓恒過點F 若存在,求出點F的坐標;若不存在,說明理由.
7.已知拋物線和橢圓,過拋物線T的焦點F的直線l交拋物線于A,B兩點,線段AB的中垂線交橢圓C于M,N兩點.
（1）若F恰是橢圓C的焦點,求p的值;
（2）若,且MN恰好被AB平分,求的面積.
8.已知雙曲線的離心率是,點在雙曲線C上.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)設,M為C上一點,N為圓上一點（M,N均不在x軸上）.直線AM,AN的斜率分別記為,且,判斷：直線MN是否過定點？若過定點,求出定點的坐標;若不過定點,請說明理由.
答案以及解析
1.答案：（1）
（2）1或
解析：（1）由題意可得，，
，，橢圓的方程為.
（2）若圓O的切線軸，則，，不滿足題意.
設直線的方程為，
直線與圓O相切，，，
聯立與，
消y得.
設，，則，.
到直線的距離為1，則
，
將代入消m可得，
化簡可得，解得（負值舍去），
，故直線的斜率為1或.
2.答案：（1）
（2）最小值為6
解析：（1）由已知可得：，
整理化簡可得：，
即，
所以動點M的軌跡方程為：；
（2）由可設直線OP的方程為，直線OQ的方程為，
由，可得，
所以，
同理可得，
又由且，可得，
所以，
所以，
所以，
當且僅當時等號成立，
所以的最小值為6.
3.答案：（1）
（2）為定值
解析：（1）依題意,的周長,
解得,則橢圓,令橢圓C的半焦距為c,
當M為C的上頂點時,直線l為：,由消去y得,
解得或,于是得點,
又的面積為,則,整理得,
則有,解得或,有或,
因為,則,
所以橢圓C的方程為.
（2）由（1）知,,,直線的方程為,
由消去y得,
設,則,
而,
,
所以為定值.
4.答案：（1）24
（2）
解析:（1）依題意,拋物線的焦點為,且其在拋物線內部,設直線的方程為,
由,得,
設A,B兩點的坐標分別為,,則,是上述方程的兩個實數根,
所以,
所以點M的坐標為,,
同理可得N的坐標為,,
于是,
又,所以.
（2）結合（1）,
由拋物線的定義得,,
所以,
所以圓M的半徑,
所以圓M的方程為
化簡得,
同理可得圓N的方程為,
于是圓M與圓的公共弦所在直N線l的方程為,
又,,則直線l的方程為,
所以點M到直線l的距離,
故當時,d取最小值.
5.答案：（1）
（2）
解析：（1）由題意可得,,且,則,
所以,,解得,
所以,橢圓E的方程為.
（2）當直線與x軸平行時,此時直線方程為,不合乎題意,
則設直線的方程為,設點,,
易知點,,則直線AB的方程為,
直線l的方程為,聯立,可得,故點,
聯立直線與橢圓的方程得,可得,
,
由韋達定理可得,,因為點在直線MN上,
則,則,
則,,
,解得,
,則直線BN的方程為,
令,則,
,則,
而
即,則
因為,則,又因為點P,Q,M的縱坐標相同,
所以P為MQ的中點,所以.
6.答案：（1）
（2）存在,的坐標為
解析:（1）設,
由的中點在y軸上,且O為,的中點,可得軸,即,
又由,可得,即,,
所以,即,
解得,則,所以橢圓C的方程為.
（2）因為過橢圓上一點的切線方程為,
設動點,則直線l的方程為,
即
令,則代入①,解得,所以Q坐標為,
由以PQ為直徑的圓恒過點F,可得,即
假設存在點,則,
于是
整理得,由該方程對于任意的恒成立,可得,
因此,存在定點符合條件.
7.答案：（1）
（2）
解析:（1）在橢圓中,,所以,由,得.
（2）設直線,,,代入拋物線方程得.
,則,
設AB的中點,則,,
設,,則直線MN的斜率為,,,
相減得到,即.
即,解得,
由點G在橢圓內,得,解得,
因為,所以p值是1,
面積.
8.答案：(1).
(2)直線MN過定點,定點為.
解析：（1）由雙曲線的離心率是,
可得,,
又點在雙曲線C上,即,解得,
故雙曲線C的方程為.
（2）由題意可知,且AM的方程為 ,
聯立,可得,,,
設,由題意可知該方程有一根為-1,
故,則,
AN的方程為,
聯立,可得,,
設,由題意可知該方程有一根為-1,
故,則,
由于,即,由于,故,
故,,
所以直線MN的斜率為
,
故直線MN的方程為,
即,即,
由于,故,
即直線MN過定點.

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