資源簡介

數列
方法技巧
1.解決等差數列前n項和的基本運算題的思路方法及注意事項：
（1）注意公式與的選擇使用；
（2）等差數列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量，，，，，已知其中三個就能求另外兩個，注意方程思想的應用；
（3）數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換的作用，而和d是等差數列的兩個基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法，同時注意靈活應用等差數列的性質以簡化計算過程.
2.判定數列是等比數列的常用方法：
（1）定義法：驗證（q為常數且不為0）是否成立，但應注意必須從第二項（即）起所有項都滿足此等式；
（2）等比中項法：驗證（，且）是否成立；
（3）通項公式法：驗證是否成立，但應注意隱含條件是，.
3.用錯位相減法解決數列求和問題的步驟：
（1）判斷結構：若數列是由等差數列與等比數列（公比q）的對應項之積構成的，則可用此法求和；
（2）乘公比：設的前n項和為，然后兩邊同乘以q；
（3）錯位相減：乘以公比q后，向后錯開一位，使含有的項對應，然后兩邊同時作差；
（4）求和：將作差后的結果求和，從而表示出.
4.利用裂項相消法求和的基本步驟
（1）裂項：觀察數列的通項，將通項拆成兩項之差的形式；
（2）累加：將數列裂項后的各項相加
（3）消項：將中間可以消去的項相互抵消，將剩余的有限項相加，得到數列的前n項和.
5.數列與函數的綜合問題的解題策略
（1）已知函數條件，解決數列問題，一般利用函數的性質、圖象等進行研究.
（2）已知數列條件，解決函數問題，一般要充分利用數列的有關公式對式子化簡變形.
（3）解題時要注意數列與函數的內在聯系，靈活運用函數的思想方法求解.
6.數列在實際應用中的常見模型
（1）等差模型：如果增加（或減少）的量是一個固定的數，則該模型是等差模型，這個固定的數就是公差.
（2）等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的非零常數，則該模型是等比模型，這個固定的數就是公比.
（3）遞推數列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關系不固定，隨項的變化而變化，則應考慮考查的是第n項與第項（或者相鄰三項等）之間的遞推關系還是前n項和與前項和之間的遞推關系.
1.已知數列各項均不為0,且,為數列的前n項的積,為數列的前n項的和,若.
（1）求證:數列是等差數列;
（2）求的通項公式.
2.已知數列的前n項和為,是等差數列,且,,是,的等差中項.
(1)求,的通項公式;
(2)記,求證：.
3.已知數列滿足,,.
（1）證明：數列是等比數列;
（2）求數列的前n項和.
4.已知數列前n項和為,等比數列的前n項和為,且,,,.
（1）求,;
（2）若數列滿足,求數列的前n項和.
5.已知數列的前n項和為,滿足,等差數列滿足,.
（1）求與的通項公式;
（2）數列和中的所有項分別構成集合A,B,將的所有元素按從小到大依次排列構成一個新數列,求數列的前50項和.
6.已知各項均為正數的數列滿足,.
（1）求數列的通項公式;
（2）若,,成等差數列,求數列的前n項和.
7.已知數列是遞增的等比數列.設其公比為q,前n項和為,并且滿足,是與的等比中項.
(1)求數列的通項公式;
(2)若,是的前n項和,求使成立的最大正整數n的值.
8.已知數列滿足:,正項數列滿足:,且,,.
（1）求,的通項公式;
（2）已知,求:;
（3）求證:.
答案以及解析
1.答案：（1）證明見解析;
（2）,.
解析：（1）為數列的前n項的和,當,時,,又,
則有,依題意,,,因此,
所以數列是以為首項,3為公差的等差數列.
（2）由（1）知,,即,
當,時,,而不滿足上式,
因為為數列的前n項的積,則當時,,
而,均不滿足上式,
所以的通項公式是,.
2.答案：(1),
(2)證明見解析
解析：（1）因為,所以當時,得,
兩式作差得,當時,,即時,.
又,,得,解得,所以,
所以是首項為2,公比為2的等比數列,所以.
設等差數列的公差為d,因為是,的等差中項,所以,
又,所以,解得,
所以,
故,.
（2）由（1）知,①
,②
①②,得.
所以.
所以,即.
3.答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）證明：因為,所以,
又,
所以是以18為首項,3為公比的等比數列.
（2）由（1）知,
所以,又,所以是以1為首項,2為公差的等差數列,
所以,所以.
所以,
所以,
所以,
所以.
4.答案：（1）,
（2）
解析:（1）由,可得;
當時,
,
上式對也成立,
所以,;
設等比數列的公比為q,,
由,即,
,即,
解得,,
所以,
,
（2）
設數列的前n項和為,數列的前n項和為,
由,
,
兩式相減可得,
化簡可得,
所以.
5.答案：（1）見解析
（2）3459
解析：（1）因為,
所以當時,,解得,
當時,,所以,整理得,
所以是以2為首項,以2為公比的等比數列,
所以.
所以,,
設等差數列的公差為d,
則,解得,
所以.
（2）因為,,,
且,,,
所以的前50項中含有的,,,且含有的前46項,
.
6.答案：（1）
（2）
解析:（1）由,得,
,
所以,又知,所以是以1為首項,3為公比的等比數列,
故數列的通項公式為;
（2）由成等差數列可知,,
所以.
所以,①
,②
由①-②,得,
,
故.
7.答案：(1)
(2)5
解析：（1）因為是與的等比中項,所以,
則由題意得：,即,解得：或,
因為數列是遞增的等比數列,所以,即,,
所以,
故數列的通項公式為.
（2）由（1）得：,
則
,①
即,②
則得：
即,
所以,
設,則,
因為在上單調遞減,
所以是單調遞減數列,
又有,,
所以當且時,成立,
故使成立的最大正整數的值為.
8.答案：（1）,
（2）
（3）證明見解析
解析:（1）由題意知,為等差數列,設公差為d,為等比數列,設公比為q,
又,,,,,.
,,.
（2）由,
;
（3）,
,
.
,成立,
時,也成立,.

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