資源簡介

5.1導數的概念及其意義4題型分類
一、瞬時速度
1．平均速度
設物體的運動規律是s=s(t)，則物體在到+t這段時間內的平均速度為=.
2．瞬時速度
①物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.
②一般地，當t無限趨近于0時，無限趨近于某個常數v，我們就說當t趨近于0時，的極限是v，這時v就是物體在t=時的瞬時速度，即瞬時速度v==.
二、拋物線切線的斜率
1．拋物線割線的斜率
設二次函數y=f(x)，則拋物線上過點、的割線的斜率為=.
2．拋物線切線的斜率
一般地，在二次函數y=f(x)中，當x無限趨近于0時，無限趨近于某個常數k，我們就說當x趨近于0時，的極限是k，這時k就是拋物線在點處切線的斜率，即切線的斜率k==.
三、函數的平均變化率
函數平均變化率的定義:對于函數y=f(x)，設自變量x從變化到+x，相應地，函數值y就從f()變化到f(+x).這時，x的變化量為x，y的變化量為y=f(+x)- f ().我們把比值，即=叫做函數y=f(x)從到+x的平均變化率.
四、函數在某點處的導數的幾何意義
1．切線的定義
在曲線y=f(x)上任取一點P(x,f(x))，如果當點P(x,f(x))，沿著曲線y=f(x)無限趨近于點P0(x0,f(x0))時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線P0T (T是直線P0T上的一點)稱為曲線y=f(x)在點P0處的切線.
2．函數在某點處的導數的幾何意義
函數y=f(x)在x=x0處的導數f'(x0)就是切線P0T的斜率k0，即k0==f'(x0).這就是導數的幾何意義.相應地，切線方程為y- f(x0)=f'(x0) (x- x0).
五、導函數的定義
從求函數y=f(x)在x=處導數的過程可以看到，當x=時，f'()是一個唯一確定的數.這樣，當x變化時，y=f'(x)就是x的函數，我們稱它為y=f(x)的導函數(簡稱導數).y=f(x)的導函數有時也記作y'，即f'(x)=y'=.
（一） 求平均變化率 函數平均變化率的定義：對于函數y=f(x)，設自變量x從變化到+x，相應地，函數值y就從f()變化到f(+x).這時，x的變化量為x，y的變化量為y=f(+x)- f ().我們把比值，即=叫做函數y=f(x)從到+x的平均變化率.
題型1：求平均變化率 1-1．（2023·高二課時練習）已知函數，其中，則此函數在區間上的平均變化率為 . 1-2．（2023·高二課時練習）已知函數，其中，此函數在區間上的平均變化率為，則實數m的值為 ． 1-3．（2023下·北京順義·高二統考期末）降低室內微生物密度的有效方法是定時給室內注入新鮮空氣，即開窗通風換氣.在某室內，空氣中微生物密度（c）隨開窗通風換氣時間（t）的關系如下圖所示.則下列時間段內，空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（ ） A． B． C． D． 1-4．（2023·高二課時練習）如圖所示為物體甲、乙在時間0到范圍內路程的變化情況，下列說法正確的序號是 ． ①在0到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在時刻，甲的瞬時速度等于乙的瞬時速度； ③在到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在0到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度．
（二） 求瞬時速度 1．平均速度：設物體的運動規律是s=s(t)，則物體在到+t這段時間內的平均速度為=. 2．瞬時速度 ①物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度. ②一般地，當t無限趨近于0時，無限趨近于某個常數v，我們就說當t趨近于0時，的極限是v，這時v就是物體在t=時的瞬時速度，即瞬時速度v==. 3.瞬時速度與平均速度的區別和聯系： 區別：瞬時速度是刻畫物體在某一時刻的運動狀態，而平均速度則是刻畫物體在一段時間內的運動狀態，與該段時間內的某一時刻無關． 聯系：瞬時速度是平均速度在變化時間趨近于0時的極限值．
題型2：求瞬時速度 2-1．（2023下·浙江杭州·高二杭州市長河高級中學校考期中）如圖，函數的圖象在點處的切線方程是，則（ ） A． B． C． D． 2-2．（2023·高二課時練習）某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關系可用函數表示，則該物體在s時的瞬時速度為（ ） A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s 2-3．（2023下·福建寧德·高二校聯考期中）一質點做直線運動，其位移s與時間t的關系是，則在時的瞬時速度為（ ） A．1 B．3 C．－2 D．2 2-4．（2023下·河北承德·高二校聯考階段練習）已知是定義在上的可導函數，若，則（ ） A．0 B． C．1 D． 2-5．（2023·高二課時練習）已知物體做直線運動對應的函數為，其中S表示路程，t表示時間．則＝10表示的意義是（　　） A．經過4s后物體向前走了10m B．物體在前4秒內的平均速度為10 m/s C．物體在第4秒內向前走了10m D．物體在第4秒時的瞬時速度為10m/s 2-6．（2023下·上海長寧·高二上海市第三女子中學校考期末）某物體的運動的位移（單位：米）與時間（單位：秒）滿足函數關系為，則該物體在時刻時的瞬時速度為 （米/秒）．
（三） 求函數在某點的切線斜率及方程 曲線的切線斜率： 1．設P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲線y＝f (x)上任意不同兩點，則平均變化率＝為割線P0P的斜率． 2．當P點逐漸靠近P0點，即Δx逐漸變小，當Δx→0時，瞬時變化率就是y＝f (x)在x0處的切線的斜率即k＝.切線方程為y- f(x0)=f'(x0) (x- x0).
題型3：求函數在某點的切線斜率及方程 3-1．（2023·廣東廣州·統考一模）曲線在點處的切線方程為（ ） A． B． C． D． 3-2．（2023·河南·河南省浚縣第一中學校聯考模擬預測）曲線在處的切線方程為（ ） A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0 C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0 3-3．（2023上·湖北·高三校聯考階段練習）曲線在點處的切線斜率為（ ） A． B．1 C．0 D． 3-4．（2023下·重慶合川·高二統考階段練習）過函數圖像上一個動點作函數的切線，則切線領斜角范圍為（ ） A． B． C． D． 3-5．（2023·江西宜春·統考模擬預測）已知函數是定義在R上的奇函數，且，則函數的圖象在點處的切線的斜率為（ ） A． B． C． D． 3-6．（2023·全國·高考真題）設函數．若為奇函數，則曲線在點處的切線方程為(　　) A． B． C． D． 3-7．（2023下·四川廣安·高二四川省武勝烈面中學校校考開學考試）過點(0，-1)作曲線的切線，則切線方程為 A．x+y+1=0 B．x-y-1=0 C．x+2y+2=0 D．2x-y-1=0
（四） 導數幾何意義的應用 曲線在某點處的切線斜率的大小反映了曲線在相應點處的變化情況，由切線的傾斜程度，可以判斷出曲線升降的快慢.結合具體條件，利用導數的幾何意義，進行轉化求解即可.
題型4：導數幾何意義的應用 4-1．（2023·陜西安康·統考二模）已知曲線在點處的切線與曲線相切，則 ． 4-2．（2023下·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第六中學校校考期末）已知函數在處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積為，則實數的值為（ ） A．1 B． C． D．3 4-3．（2023上·湖南邵陽·高三統考期末）已知直線為曲線在處的切線，若與二次曲線也相切，則（ ） A．0 B． C．4 D．0或4 4-4．（2023下·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）過坐標原點作曲線的切線，則切點的縱坐標為（ ） A．e B．1 C． D． 4-5．（2023上·四川成都·高三校聯考開學考試）若曲線在點處的切線平行于x軸，則a＝ ． 4-6．（2023上·陜西西安·高二西安中學校考階段練習）若曲線存在垂直于軸的切線，則實數的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 4-7．（2023上·河南洛陽·高三洛陽市第一高級中學校考階段練習）若直線是曲線與曲線的公切線，則（ ） A．11 B．12 C． D． 4-8．（2023下·湖南郴州·高二統考期末）過點作曲線的切線有且只有兩條，則b的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 4-9．（2023下·安徽亳州·高二亳州二中校考期末）曲線上的點到直線的最短距離是（ ） A． B． C． D．
一、單選題
1．（2023上·河北廊坊·高三統考開學考試）函數在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·四川資陽·高二四川省資陽中學統考期末）已知函數.曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全國）已知曲線在點處的切線方程為，則
A． B． C． D．
4．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學校考階段練習）若曲線在點處的切線方程為，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023上·江蘇南京·高三統考階段練習）若直線與曲線相切，則實數的值為（ ）
A．0 B． C． D．
6．（2023下·四川成都·高三四川省成都市郫都區第一中學校聯考階段練習）若過點的直線與函數的圖象相切，則所有可能的切點橫坐標之和為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·陜西西安·高二西安市第八十三中學校考期末）已知，則過點P(-1，0)且與曲線相切的直線方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模擬預測）對于三次函數，若曲線在點處的切線與曲線在點處點的切線重合，則（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·山西太原·統考二模）已知函數圖象上存在兩條互相垂直的切線，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
10．（2023下·河南·高二校聯考期中）若曲線的一條切線與直線垂直，則切線的方程為（ ）
A． B． C． D．
11．（2023下·湖北·高二統考期末）已知是定義在上的奇函數，當時，，則曲線在處的切線方程是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023下·重慶江北·高二重慶十八中校考期末）已知函數的圖象如圖所示，則是的導函數，則下列數值排序正確的是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023下·浙江金華·高一浙江金華第一中學校考期中）已知函數，則（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
14．（2023下·新疆·高二克拉瑪依市高級中學校考階段練習）已知函數在處的導數為2，則（ ）
A．0 B． C．1 D．2
二、多選題
15．（2023·高二課時練習）曲線在點P處的切線平行于直線，則點P的坐標可能為（ ）
A． B． C． D．
16．（2023下·廣東江門·高二新會陳經綸中學校考期中）已知曲線.則曲線過點P（1，3）的切線方程為.（ ）
A． B． C． D．
17．（2023下·浙江·高二統考階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．已知函數，則該函數在區間上的平均變化率為30
B．已知，在函數圖象上，若函數從到平均變化率為，則曲線的割線的傾斜角為
C．已知直線運動的汽車速度與時間的關系是，則時瞬時加速度為7
D．已知函數，則
18．（2023上·江蘇連云港·高二統考期末）關于切線，下列結論正確的是（ ）
A．與曲線和圓都相切的直線l的方程為
B．已知直線與拋物線相切，則a等于
C．過點且與曲線相切的直線l的方程為
D．曲線在點處的切線方程為．
19．（2023·高二單元測試）若直線是曲線的切線，則曲線的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
20．（2023下·河北石家莊·高二統考期末）若兩曲線與存在公切線，則正實數a的取值可能是（ ）
A．1.2 B．4 C．5.6 D．
21．（2023上·遼寧·高二遼寧實驗中學校考階段練習）在平面直角坐標系xOy中，設曲線C的方程是，下列結論正確的是（ ）
A．曲線C上的點與定點距離的最小值是
B．曲線C上的點和定點的距離與到定直線l：的距離的比是
C．曲線C繞原點順時針旋轉45°，所得曲線方程是
D．曲線C的切線與坐標軸圍成的三角形的面積是2
三、填空題
22．（2023·高二課時練習）曲線的所有切線中，斜率最小的切線的方程是 ．
23．（2023下·江西贛州·高二江西省信豐中學校考階段練習）函數的圖象在點處的切線方程為 .
24．（2023·山東泰安·統考模擬預測）已知函數則曲線在點處的切線方程為 .
25．（2023下·福建漳州·高二校考階段練習）設為實數，函數的導函數為，若是偶函數，則 ，曲線在原點處的切線方程為 .
26．（2023·全國·統考高考真題）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為 ， ．
27．（2023上·廣西崇左·高二校考期中）已知函數，則過原點且與曲線相切的直線方程為 .
28．（2023上·陜西安康·高三統考階段練習）已知曲線的一條切線是，則實數 ．
29．（2023上·安徽·高三校聯考開學考試）已知曲線在處的切線與直線垂直， 則實數 .
30．（2023上·湖南株洲·高二校考期中）若，則在處的切線的斜率為 ．
31．（2023下·湖北咸寧·高二統考期末）過點且與曲線相切的直線共有 條.
32．（2023上·安徽宣城·高三統考期末）若曲線的一條切線與直線：互相垂直，則該切線的方程為 .
33．（2023上·江蘇連云港·高二期末）對于函數，若，則 ．
34．（2023上·遼寧·高二遼寧實驗中學校考開學考試）已知曲線在點處的切線方程為，則曲線在點處的切線方程為 ．
35．（2023·全國·高二專題練習）已知函數．若在內不單調，則實數a的取值范圍是 ．
36．（2023·高二課時練習）曲線在點P處的切線與直線垂直，則點P的坐標為 ．
四、解答題
37．（2023上·廣西桂林·高二校考期中）已知函數，且.
(1)求的解析式；
(2)求曲線在處的切線方程.
38．（2023·高二單元測試）試求過點且與曲線相切的直線的斜率．
39．（2023下·河北邢臺·高二校聯考階段練習）已知函數的圖象經過點．
(1)求曲線在點A處的切線方程．
(2)曲線是否存在過坐標原點的切線？若存在，求切點的坐標；若不存在，請說明理由．
40．（2023·高二課時練習）已知曲線在點處的切線方程為，求實數a、b的值.
41．（2023下·浙江杭州·高二杭州市長河高級中學校考期中）已知函數，.
(1)求曲線在處切線的方程；
(2)若直線l過坐標原點且與曲線相切，求直線l的方程.
42．（2023上·吉林長春·高二統考期中）已知點P在曲線上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，求的取值范圍．5.1導數的概念及其意義4題型分類
一、瞬時速度
1．平均速度
設物體的運動規律是s=s(t)，則物體在到+t這段時間內的平均速度為=.
2．瞬時速度
①物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度.
②一般地，當t無限趨近于0時，無限趨近于某個常數v，我們就說當t趨近于0時，的極限是v，這時v就是物體在t=時的瞬時速度，即瞬時速度v==.
二、拋物線切線的斜率
1．拋物線割線的斜率
設二次函數y=f(x)，則拋物線上過點、的割線的斜率為=.
2．拋物線切線的斜率
一般地，在二次函數y=f(x)中，當x無限趨近于0時，無限趨近于某個常數k，我們就說當x趨近于0時，的極限是k，這時k就是拋物線在點處切線的斜率，即切線的斜率k==.
三、函數的平均變化率
函數平均變化率的定義:對于函數y=f(x)，設自變量x從變化到+x，相應地，函數值y就從f()變化到f(+x).這時，x的變化量為x，y的變化量為y=f(+x)- f ().我們把比值，即=叫做函數y=f(x)從到+x的平均變化率.
四、函數在某點處的導數的幾何意義
1．切線的定義
在曲線y=f(x)上任取一點P(x,f(x))，如果當點P(x,f(x))，沿著曲線y=f(x)無限趨近于點P0(x0,f(x0))時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線P0T (T是直線P0T上的一點)稱為曲線y=f(x)在點P0處的切線.
2．函數在某點處的導數的幾何意義
函數y=f(x)在x=x0處的導數f'(x0)就是切線P0T的斜率k0，即k0==f'(x0).這就是導數的幾何意義.相應地，切線方程為y- f(x0)=f'(x0) (x- x0).
五、導函數的定義
從求函數y=f(x)在x=處導數的過程可以看到，當x=時，f'()是一個唯一確定的數.這樣，當x變化時，y=f'(x)就是x的函數，我們稱它為y=f(x)的導函數(簡稱導數).y=f(x)的導函數有時也記作y'，即f'(x)=y'=.
（一） 求平均變化率 函數平均變化率的定義：對于函數y=f(x)，設自變量x從變化到+x，相應地，函數值y就從f()變化到f(+x).這時，x的變化量為x，y的變化量為y=f(+x)- f ().我們把比值，即=叫做函數y=f(x)從到+x的平均變化率.
題型1：求平均變化率 1-1．（2023·高二課時練習）已知函數，其中，則此函數在區間上的平均變化率為 . 【答案】5 【分析】根據平均變化率的知識求得正確答案. 【詳解】函數在區間上的平均變化率為. 故答案為： 1-2．（2023·高二課時練習）已知函數，其中，此函數在區間上的平均變化率為，則實數m的值為 ． 【答案】 【分析】根據題意，求出函數在區間上的平均變化率，進而可得，解出方程可得的值，即可得答案. 【詳解】解：根據題意，函數在區間上的平均變化率為： 解得： 故答案為：2. 1-3．（2023下·北京順義·高二統考期末）降低室內微生物密度的有效方法是定時給室內注入新鮮空氣，即開窗通風換氣.在某室內，空氣中微生物密度（c）隨開窗通風換氣時間（t）的關系如下圖所示.則下列時間段內，空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】連接圖上的點，利用直線的斜率與平均變化率的定義判斷即可； 【詳解】解：如圖分別令、、、、所對應的點為、、、、， 由圖可知， 所以內空氣中微生物密度變化的平均速度最快； 故選：C 1-4．（2023·高二課時練習）如圖所示為物體甲、乙在時間0到范圍內路程的變化情況，下列說法正確的序號是 ． ①在0到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度； ②在時刻，甲的瞬時速度等于乙的瞬時速度； ③在到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度； ④在0到范圍內，甲的平均速度大于乙的平均速度． 【答案】③④ 【分析】根據平均速度的公式判斷①③④，從而①錯誤，③④正確； 根據瞬時速度與切線斜率的關系作出判斷②錯誤； 【詳解】在0到范圍內，甲、乙的平均速度都為，故①錯誤． 瞬時速度為切線斜率，故②錯誤． 在到范圍內，甲的平均速度為，乙的平均速度為，因為，，所以，故③正確．同理④正確． 故答案為：③④．
（二） 求瞬時速度 1．平均速度：設物體的運動規律是s=s(t)，則物體在到+t這段時間內的平均速度為=. 2．瞬時速度 ①物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度. ②一般地，當t無限趨近于0時，無限趨近于某個常數v，我們就說當t趨近于0時，的極限是v，這時v就是物體在t=時的瞬時速度，即瞬時速度v==. 3.瞬時速度與平均速度的區別和聯系： 區別：瞬時速度是刻畫物體在某一時刻的運動狀態，而平均速度則是刻畫物體在一段時間內的運動狀態，與該段時間內的某一時刻無關． 聯系：瞬時速度是平均速度在變化時間趨近于0時的極限值．
題型2：求瞬時速度 2-1．（2023下·浙江杭州·高二杭州市長河高級中學校考期中）如圖，函數的圖象在點處的切線方程是，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依題意可知切點坐標，由切線方程得到，利用導數的概念解出即可. 【詳解】依題意可知切點， 函數的圖象在點處的切線方程是， ，即 又 即 故選：D. 2-2．（2023·高二課時練習）某物體的運動路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的關系可用函數表示，則該物體在s時的瞬時速度為（ ） A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s 【答案】D 【分析】根據瞬時速度的概念即可利用平均速度取極限求解. 【詳解】該物體在時間段上的平均速度為，當無限趨近于0時，無限趨近于3，即該物體在s時的瞬時速度為3m/s． 故選：D 2-3．（2023下·福建寧德·高二校聯考期中）一質點做直線運動，其位移s與時間t的關系是，則在時的瞬時速度為（ ） A．1 B．3 C．－2 D．2 【答案】D 【分析】利用導數的物理意義可直接求導得到結果. 【詳解】由得：， 當時，， 即物體在時的瞬時速度為2. 故選：D. 2-4．（2023下·河北承德·高二校聯考階段練習）已知是定義在上的可導函數，若，則（ ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】對條件變形，利用導數的定義求解出到數值. 【詳解】因為，所以， 故 故選：B 2-5．（2023·高二課時練習）已知物體做直線運動對應的函數為，其中S表示路程，t表示時間．則＝10表示的意義是（　　） A．經過4s后物體向前走了10m B．物體在前4秒內的平均速度為10 m/s C．物體在第4秒內向前走了10m D．物體在第4秒時的瞬時速度為10m/s 【答案】D 【分析】根據導數的物理意義可知，函數的導數即是t時刻的瞬時速度．求解即可． 【詳解】∵物體做直線運動的方程為， 根據導數的物理意義可知，函數的導數是t時刻的瞬時速度， ∴表示的意義是物體在第4s時的瞬時速度為10m/s． 故選：D． 2-6．（2023下·上海長寧·高二上海市第三女子中學校考期末）某物體的運動的位移（單位：米）與時間（單位：秒）滿足函數關系為，則該物體在時刻時的瞬時速度為 （米/秒）． 【答案】 【分析】利用導數求瞬時速度. 【詳解】由，得， 當時，， 故答案為：.
（三） 求函數在某點的切線斜率及方程 曲線的切線斜率： 1．設P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲線y＝f (x)上任意不同兩點，則平均變化率＝為割線P0P的斜率． 2．當P點逐漸靠近P0點，即Δx逐漸變小，當Δx→0時，瞬時變化率就是y＝f (x)在x0處的切線的斜率即k＝.切線方程為y- f(x0)=f'(x0) (x- x0).
題型3：求函數在某點的切線斜率及方程 3-1．（2023·廣東廣州·統考一模）曲線在點處的切線方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用導數的幾何意義得到切線的斜率，利用點斜式求出切線方程. 【詳解】∵ ∴，所以， 又當時，， 所以在點處的切線方程為：，即. 故選：A. 3-2．（2023·河南·河南省浚縣第一中學校聯考模擬預測）曲線在處的切線方程為（ ） A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0 C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0 【答案】B 【分析】將代入曲線方程求得切點坐標，利用導數的幾何意義求解切線斜率，利用直線方程點斜式求解即可. 【詳解】解：因為，所以，所以． 又當時，，故切點坐標為，所以切線方程為． 故選：B. 3-3．（2023上·湖北·高三校聯考階段練習）曲線在點處的切線斜率為（ ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】利用導數的幾何意義即可求得函數在某點處的切線斜率. 【詳解】因為， 所以， 所以在點處的切線斜率為. 故選：B. 3-4．（2023下·重慶合川·高二統考階段練習）過函數圖像上一個動點作函數的切線，則切線領斜角范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求得，根據指數函數的性質，得到，即切線的斜率，進而得到，即可求解. 【詳解】由題意，函數，可得， 因為，所以，即切線的斜率， 設切線的傾斜角為，則 又因為，所以或， 即切線的傾斜角的范圍為. 故選：B. 3-5．（2023·江西宜春·統考模擬預測）已知函數是定義在R上的奇函數，且，則函數的圖象在點處的切線的斜率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求導數得出，結合奇函數定義得函數解析式，然后計算即可． 【詳解】是奇函數， 恒成立，所以， ，， 所以，，即， ． 故選：A． 3-6．（2023·全國·高考真題）設函數．若為奇函數，則曲線在點處的切線方程為(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【詳解】分析：利用奇函數偶次項系數為零求得，進而得到的解析式，再對求導得出切線的斜率，進而求得切線方程. 詳解：因為函數是奇函數，所以，解得， 所以，， 所以， 所以曲線在點處的切線方程為， 化簡可得，故選D. 點睛：該題考查的是有關曲線在某個點處的切線方程的問題，在求解的過程中，首先需要確定函數解析式，此時利用到結論多項式函數中，奇函數不存在偶次項，偶函數不存在奇次項，從而求得相應的參數值，之后利用求導公式求得，借助于導數的幾何意義，結合直線方程的點斜式求得結果. 3-7．（2023下·四川廣安·高二四川省武勝烈面中學校校考開學考試）過點(0，-1)作曲線的切線，則切線方程為 A．x+y+1=0 B．x-y-1=0 C．x+2y+2=0 D．2x-y-1=0 【答案】B 【解析】設切點為，再求出切點坐標，即得切線的斜率，再寫出切線的方程即得解. 【詳解】=ln x+1， 設切點為，∴, ∴=ln x0+1， ∴x0ln x0+1=x0ln x0+x0，∴x0=1，∴y0=0， 所以==1， ∴切線方程為y=x-1，即x-y-1=0， 故選：B. 【點睛】本題主要考查導數的幾何意義，考查曲線的切線方程的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.
（四） 導數幾何意義的應用 曲線在某點處的切線斜率的大小反映了曲線在相應點處的變化情況，由切線的傾斜程度，可以判斷出曲線升降的快慢.結合具體條件，利用導數的幾何意義，進行轉化求解即可.
題型4：導數幾何意義的應用 4-1．（2023·陜西安康·統考二模）已知曲線在點處的切線與曲線相切，則 ． 【答案】2或10 【分析】根據導數的幾何意義可得切線方程，然后切線方程與拋物線方程聯立利用判別式為零即得. 【詳解】令，， 則， 可得曲線在點處的切線方程為， 聯立， 得， 則， 解得或. 故答案為：2或10. 4-2．（2023下·黑龍江哈爾濱·高二哈爾濱市第六中學校校考期末）已知函數在處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積為，則實數的值為（ ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根據導數的幾何意義求得曲線在處的切線為，結合題意，列出方程，即可求解. 【詳解】由題意，函數，則， 可得，，即切點坐標為， 所以在處的切線為， 當時，；當時，， 因為在處的切線與兩坐標軸圍成的三角形面積為， 可得，解得或， 又因為，所以. 故選：C. 4-3．（2023上·湖南邵陽·高三統考期末）已知直線為曲線在處的切線，若與二次曲線也相切，則（ ） A．0 B． C．4 D．0或4 【答案】C 【分析】求出函數的導函數，即可取出切線的斜率，從而求出切線方程，再聯立方程，消元，根據且，解得即可. 【詳解】解：因為，所以，所以， 所以曲線在處的切線斜率為， 則曲線在處的切線方程為，即． 由于切線與曲線相切， 由，得， 又，兩線相切有一切點， 所以， 解得或（舍去）． 故選：C． 4-4．（2023下·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）過坐標原點作曲線的切線，則切點的縱坐標為（ ） A．e B．1 C． D． 【答案】B 【分析】設出切點，利用導數得到切線的斜率，寫出切線方程，將原點坐標代入切線方程，解出即可. 【詳解】解：設切點， 由，得，所以， ∴曲線在點處的切線方程為， 又過（0，0），∴，解得， ∴切點，縱坐標為1． 故選：B． 4-5．（2023上·四川成都·高三校聯考開學考試）若曲線在點處的切線平行于x軸，則a＝ ． 【答案】1 【分析】利用導數的幾何意義與平行的性質得到方程，解之即可. 【詳解】由已知得，故，即，則. 故答案為：1． 4-6．（2023上·陜西西安·高二西安中學校考階段練習）若曲線存在垂直于軸的切線，則實數的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出導數，由兩直線垂直的條件，可得有實數解，運用判別式大于等于0，解不等式即可得到所求范圍． 【詳解】的導數為， 由于存在垂直于軸的切線， 可得有實數解， 即有，即有， 解得或． 故選：B 4-7．（2023上·河南洛陽·高三洛陽市第一高級中學校考階段練習）若直線是曲線與曲線的公切線，則（ ） A．11 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】由直線是曲線的切線求解，可得切線方程，再設直線與曲線的切點，由切點處的導數值等于切線的斜率，且切點處的函數值相等列式求解n，則答案可求． 【詳解】解：由，得，由，解得， 則直線與曲線相切于點， ∴，得， ∴直線是曲線的切線， 由，得，設切點為， 則，且，聯立可得， 解得，所以． ∴． 故選：A． 4-8．（2023下·湖南郴州·高二統考期末）過點作曲線的切線有且只有兩條，則b的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】設切點，進而求得切線方程，進而得到，構造函數分析的單調性與取值范圍即可判斷有且僅有兩根時b的取值范圍即可 【詳解】設切點為，，故過的切線方程為，即.故有且僅有兩根.設，則，令則，令則，且，又當時，，.故有且僅有兩根則b的取值范圍為 故選：A 4-9．（2023下·安徽亳州·高二亳州二中校考期末）曲線上的點到直線的最短距離是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求曲線的切線方程，再求兩平行線間距離. 【詳解】 如圖所示，設曲線上一點，且在該點處切線斜率為， ，所以斜率， 解得，故切點為， 切線方程為，即， 兩直線間距離為， 故選：B.
一、單選題
1．（2023上·河北廊坊·高三統考開學考試）函數在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用導數的幾何意義求切線斜率，并確定切點坐標，點斜式寫出切線方程.
【詳解】由題設，，則，
而，故在處的切線方程為，則.
故選：A
2．（2023下·四川資陽·高二四川省資陽中學統考期末）已知函數.曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】首先求出，再求出函數的導函數，即可得到，最后利用點斜式求出切線方程；
解：因為，所以，
所以，，
所以切點為，切線的斜率，
所以切線方程為，即；
故選：C
3．（2023·全國）已知曲線在點處的切線方程為，則
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】通過求導數，確定得到切線斜率的表達式，求得，將點的坐標代入直線方程，求得．
【詳解】詳解：
，
將代入得，故選D．
【點睛】本題關鍵得到含有a，b的等式，利用導數幾何意義和點在曲線上得到方程關系．
4．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學校考階段練習）若曲線在點處的切線方程為，則（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據導數的幾何意義有，且，即可求出參數a.
【詳解】由題設，則，又，
所以，故.
故選：B
5．（2023上·江蘇南京·高三統考階段練習）若直線與曲線相切，則實數的值為（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】設切點，根據已知求解切點坐標，代入切線方程求出的值即可.
【詳解】解：設直線與曲線的切點，
由于直線斜率為，則，
又， 所以，得，所以
則切點為，切線方程為，所以.
故選：C.
6．（2023下·四川成都·高三四川省成都市郫都區第一中學校聯考階段練習）若過點的直線與函數的圖象相切，則所有可能的切點橫坐標之和為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知，設出切點，寫出切線方程，然后把點代入方程，解出切點坐標即可完成求解.
【詳解】因為函數，所以，
設切點為，則切線方程為：，
將點代入得，
即，解得或，
所以切點橫坐標之和為
故選：D.
7．（2023上·陜西西安·高二西安市第八十三中學校考期末）已知，則過點P(-1，0)且與曲線相切的直線方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【解析】設切點為則切線方程為，將點代入解，即可求切線方程.
【詳解】設切點為，則，切線斜率為
所以切線方程為，因為過點 則
解得或，所以切線方程為或
故選：C
8．（2023·安徽合肥·合肥一中校考模擬預測）對于三次函數，若曲線在點處的切線與曲線在點處點的切線重合，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由得，然后求得，由求得，設，由得及，再由得，解得后可得．
【詳解】設，
，
設，則，即……①
又，即
……②
由①②可得，
.
故選：B.
9．（2023·山西太原·統考二模）已知函數圖象上存在兩條互相垂直的切線，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據已知條件用換元法令，利用導數及三角函數的差的正弦公式即可得出導函數的范圍，根據已知條件得出，再利用輔助角公式及三角函數的性質即可求解.
【詳解】由，令，
由，
得
，所以
由題意可知，存在，使得，
只需要，即，所以，，
所以的最大值為.
故選: D.
【點睛】解決此題的關鍵是用換元思想，再利用存在兩條互想垂直的直線進而得出，再利用三角函數的性質即可求解.
10．（2023下·河南·高二校聯考期中）若曲線的一條切線與直線垂直，則切線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據導數的幾何意義求出切線的斜率，再根據直線垂直得出切線的斜率，解方程即可得切點坐標，求出切線方程.
【詳解】，
∴，
設切點坐標為，則切線的斜率，
解得，所以，
故切線的方程為，即．
故選：A
11．（2023下·湖北·高二統考期末）已知是定義在上的奇函數，當時，，則曲線在處的切線方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用函數是奇函數，得導函數為偶函數，根據函數對稱性，利用已知解析式，求切點坐標及切線斜率，然后可得切線方程.
【詳解】解：因為為奇函數，所以，且為偶函數．
又當時，，所以．
所以在處的切線方程為，即．
故選：C．
12．（2023下·重慶江北·高二重慶十八中校考期末）已知函數的圖象如圖所示，則是的導函數，則下列數值排序正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由導數的幾何意義結合斜率公式判斷即可.
【詳解】函數在處的切線為，在處的切線為，為過，兩點的直線的斜率，由圖可知，
直線，即
故選：A
【點睛】
13．（2023下·浙江金華·高一浙江金華第一中學校考期中）已知函數，則（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】根據瞬時變化率的定義計算可得；
【詳解】解：因為，
所以
故選：D
14．（2023下·新疆·高二克拉瑪依市高級中學校考階段練習）已知函數在處的導數為2，則（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根據極限與導數的關系直接求解.
【詳解】根據極限與導數的關系可知，
故選:D.
二、多選題
15．（2023·高二課時練習）曲線在點P處的切線平行于直線，則點P的坐標可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】設切點.利用導數表示切線的斜率，列方程即可求解.
【詳解】設切點.
因為曲線在點P處的切線的斜率，所以，所以點P的坐標為或.
故選：AD.
16．（2023下·廣東江門·高二新會陳經綸中學校考期中）已知曲線.則曲線過點P（1，3）的切線方程為.（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】設切點為，寫出切線方程，切線過點（1，3），求得即可.
【詳解】解：設切點為，
則，
所以，
所以切線方程為，
因為切線過點（1，3），
所以，即，
即，
解得或，
所以切線方程為或，
故選：AB
17．（2023下·浙江·高二統考階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．已知函數，則該函數在區間上的平均變化率為30
B．已知，在函數圖象上，若函數從到平均變化率為，則曲線的割線的傾斜角為
C．已知直線運動的汽車速度與時間的關系是，則時瞬時加速度為7
D．已知函數，則
【答案】BD
【分析】根據平均變化率的概念，即可判斷A是否正確；根據導數的概念，以及導數在物理和幾何中的意義，即可判斷BCD是否正確.
【詳解】由題意可知，，故A錯誤；
根據平均變化率的概念可知若函數從到平均變化率即為割線的斜率，即的斜率，所以割線的傾斜角為，故B正確.
因為，根據速度與加速的關系可知時瞬時加速度為，故C錯誤；
函數在點處的導數，由極限的意義可知，當充分小時，，即，從而，
又，
所以，故D正確.
故選：BD.
18．（2023上·江蘇連云港·高二統考期末）關于切線，下列結論正確的是（ ）
A．與曲線和圓都相切的直線l的方程為
B．已知直線與拋物線相切，則a等于
C．過點且與曲線相切的直線l的方程為
D．曲線在點處的切線方程為．
【答案】ABD
【分析】對A，由導數法求出曲線在切點處的切線方程，再由直線與圓相切與圓心到直線距離的關系列式即可求；
對B，直線與拋物線相切，即兩方程聯立有唯一解；
對C，點不在曲線上，設切點坐標為，結合導數法建立方程組求出切點坐標，即可進一步求出切線方程；
對D，由導數法直接求切線方程即可.
【詳解】對A，設直線l與曲線相切于點，則由知曲線在點P處的切線方程為，即直線l的方程為．
由直線l與圓相切得，解得. 故直線l的方程為．A正確；
對B，由消去y得，所以解得．B正確；
對C，因為點不在曲線上，所以設切點坐標為.
又因為，所以解得
所以切點坐標為，所以，所以直線l的方程為，即．C錯誤；
D中， ，所以，所以切線方程為，即．D正確．
故選：ABD
19．（2023·高二單元測試）若直線是曲線的切線，則曲線的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】函數的導數的幾何意義是在某點處的切線斜率，對每個函數求導，判斷是否有解即可.
【詳解】因為直線是曲線的切線，所以在某點處的導數值為．
對于A，由，可得，
令，即，
因為，所以有解，故A正確．
對于B，由，可得，
令，可得，無解，故B不正確．
對于C，，故有解，故C正確．
對于D，的定義域為，
令，可得，不符合，
所以無解，故D不正確．
故選：AC
20．（2023下·河北石家莊·高二統考期末）若兩曲線與存在公切線，則正實數a的取值可能是（ ）
A．1.2 B．4 C．5.6 D．
【答案】ABD
【分析】分別設切點分別為，，由導數的幾何意義分別寫出切線方程，由題意切線方程相同，從而可得出，設由導數求出其值域即可.
【詳解】由，則，由，則
設切線與曲線相切于點，則斜率為，
所以切線方程為，即 ①
設切線與曲線相切于點，則斜率為：，
則切線方程為，即，②
根據題意方程①，②表示同一條直線，則
所以，令（），
則，所以在上單調遞增，在上單調遞減，，由題意.
故答案為：ABD
21．（2023上·遼寧·高二遼寧實驗中學校考階段練習）在平面直角坐標系xOy中，設曲線C的方程是，下列結論正確的是（ ）
A．曲線C上的點與定點距離的最小值是
B．曲線C上的點和定點的距離與到定直線l：的距離的比是
C．曲線C繞原點順時針旋轉45°，所得曲線方程是
D．曲線C的切線與坐標軸圍成的三角形的面積是2
【答案】ABD
【分析】A選項，設出曲線任意一點的坐標，根據兩點間的距離公式以及基本不等式求得“最小值”；B選項，結合點到直線的距離公式求得正確答案，C選項，通過求實半軸來進行判斷；D選項，通過求切線方程來進行判斷.
【詳解】曲線C的方程是，則，所以曲線是反比例函數對應的圖象，即曲線是雙曲線.
A選項，設是曲線上的任意一點，
，
令，則，
當時，，當且僅當時，等號成立，
當時，，
當且僅當時，等號成立，
所以.
所以，
，
所以當時，取得最小值為，A選項正確.
B選項，到直線的距離為，
所以曲線C上的點和定點的距離與到定直線l：的距離的比是，
B選項正確.
C選項，由上述分析可知曲線是雙曲線，由于曲線的圖象關于對稱，
所以是雙曲線實軸所在直線，
由解得或，
點與點的距離是，所以雙曲線的實軸長，
而雙曲線的實半軸，所以C選項錯誤.
D選項，，
所以在曲線上任意一點處的切線方程為，
令得；令得，
所以曲線C的切線與坐標軸圍成的三角形的面積是，D選項正確.
故選：ABD
三、填空題
22．（2023·高二課時練習）曲線的所有切線中，斜率最小的切線的方程是 ．
【答案】
【分析】求出導函數，由二次函數性質求出導數的最小值，進而得切線斜率與切點坐標，從而即可求解．
【詳解】解：由題意，
所以時，，又時，，
所以所求切線的方程為，即．
故答案為：．
23．（2023下·江西贛州·高二江西省信豐中學校考階段練習）函數的圖象在點處的切線方程為 .
【答案】
【分析】根據導數的幾何意義求解即可
【詳解】由題意，，故，又，故函數的圖象在點處的切線方程為，即
故答案為：
24．（2023·山東泰安·統考模擬預測）已知函數則曲線在點處的切線方程為 .
【答案】
【分析】利用導數的幾何意義可求切線的斜率，將代入函數可求切點坐標，利用直線方程點斜式求解即可.
【詳解】解：因為，又，
切線方程為：，即；
故答案為：.
25．（2023下·福建漳州·高二校考階段練習）設為實數，函數的導函數為，若是偶函數，則 ，曲線在原點處的切線方程為 .
【答案】
【分析】求函數的導數，根據是偶函數，求出的值，結合導數的幾何意義進行求解即可．
【詳解】解：因為，所以，
是偶函數，則，即，即
，得，經檢驗符合題意，
所以，，
則，，
即函數切線的斜率，切點為，
所以切線方程為，即，
故答案為：；．
26．（2023·全國·統考高考真題）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為 ， ．
【答案】
【分析】分和兩種情況，當時設切點為，求出函數的導函數，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；
【詳解】[方法一]：化為分段函數，分段求
分和兩種情況，當時設切點為，求出函數導函數，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；
解： 因為，
當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；
[方法二]：根據函數的對稱性，數形結合
當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
因為是偶函數，圖象為：
所以當時的切線，只需找到關于y軸的對稱直線即可.
[方法三]：
因為，
當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
故答案為：；.
27．（2023上·廣西崇左·高二校考期中）已知函數，則過原點且與曲線相切的直線方程為 .
【答案】
【分析】因為函數，設切點坐標為，利用導數求出曲線在切點的切線方程，將原點代入切線方程，求出的值，即可求得所求的切線方程．
【詳解】設切點坐標為，
，
，
，
則曲線在點處的切線方程為：，
由于該直線過原點，則，得，
則過原點且與曲線相切的直線方程為，
故答案為：．
【點睛】本題考查導數的幾何意義，考查求函數圖象的切線方程，解題關鍵是掌握求過線外一點曲線切線方程的求法，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.
28．（2023上·陜西安康·高三統考階段練習）已知曲線的一條切線是，則實數 ．
【答案】1
【分析】設切點坐標，根據導數的幾何意義求出切線方程，對比列方程求解即可.
【詳解】設切點為，又，所以，所以切線方程為，即，所以，
解得，．
故答案為：1.
29．（2023上·安徽·高三校聯考開學考試）已知曲線在處的切線與直線垂直， 則實數 .
【答案】/
【分析】利用導數求解出曲線在處的切線的斜率，利用垂直關系可知斜率乘積為 1，構造方程求得結果.
【詳解】因為，所以，
所以曲線在處的切線斜率為，
直線的斜率為，
因為曲線在處的切線與直線垂直，
所以，所以.
故答案為：.
30．（2023上·湖南株洲·高二校考期中）若，則在處的切線的斜率為 ．
【答案】2
【分析】根據導數的幾何意義即可直接求解.
【詳解】由題意知，，得，
所以曲線在處的切線斜率為2.
故答案為：2.
31．（2023下·湖北咸寧·高二統考期末）過點且與曲線相切的直線共有 條.
【答案】2
【分析】利用切點和斜率求得切線方程，然后代入點坐標來判斷切線的條數.
【詳解】設切點的坐標為，因為，
所以切線的方程為，
將代入方程整理得，解得或.
故切線方程為或，
即過點且與曲線相切的直線共有2條.
故答案為：
32．（2023上·安徽宣城·高三統考期末）若曲線的一條切線與直線：互相垂直，則該切線的方程為 .
【答案】
【解析】設切點，利用導數的幾何意義，結合直線互相垂直的性質進行求解即可.
【詳解】設曲線的切點坐標為，
，所以過該切點的切線的斜率為，
因為直線：的斜率為1，過該切點的切線與直線互相垂直，
所以，所以切點坐標為：，過該切點的切線的斜率為，所以過該切點的切線的方程為：，化為一般式為：.
故答案為：
33．（2023上·江蘇連云港·高二期末）對于函數，若，則 ．
【答案】4
【分析】由導數定義構造計算可以得到結果.
【詳解】
又，
故答案為:4.
34．（2023上·遼寧·高二遼寧實驗中學校考開學考試）已知曲線在點處的切線方程為，則曲線在點處的切線方程為 ．
【答案】
【分析】根據導數的幾何意義，求導建立方程，由切點為切線與曲線的公共點，可求函數值，結合求函數在某點處的切線方程解題步驟，可得答案.
【詳解】將代入，則，即，
由，則，由題意，，
將代入，則，由，則，
將代入，則，
則切線方程為，即.
故答案為：.
35．（2023·全國·高二專題練習）已知函數．若在內不單調，則實數a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】求出函數的導數，然后參數分離，先求出函數在內單調時的范圍，從而可得不單調時的范圍.
【詳解】由，得，
當在內為減函數時，則在內恒成立，
所以在內恒成立，
當在內為增函數時，則在內恒成立，
所以在內恒成立，
令，因為在內單調遞增，在內單調遞減，
所以在內的值域為，所以或，
所以函數在內單調時，a的取值范圍是，
故在上不單調時，實數a的取值范圍是．
故答案為：．
36．（2023·高二課時練習）曲線在點P處的切線與直線垂直，則點P的坐標為 ．
【答案】或
【分析】設切點，由題意可知切線斜率為，求函數在處的導數，列出方程即可得解.
【詳解】易知曲線在點P處的切線的斜率為，設，
因為，
當時，，
所以，則點P的坐標為或．
故答案為：或.
四、解答題
37．（2023上·廣西桂林·高二校考期中）已知函數，且.
(1)求的解析式；
(2)求曲線在處的切線方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求導數，根據可求，進而可得答案；
（2）先求導數得到切線斜率，再求出切點，利用點斜式可求切線方程.
【詳解】（1）因為，且，所以，解得，所以函數的解析式為.
（2）由（1）可知，；
又，所以曲線在處的切線方程為，即.
38．（2023·高二單元測試）試求過點且與曲線相切的直線的斜率．
【答案】或6
【分析】結合導數的定義求得切線方程，代入點的坐標求得切點的橫坐標，進而求得切線的斜率.
【詳解】設切點坐標為，則有．
因為，所以．
切線方程為，將點代入，得，
所以，得或．
當時，；當時，．
所以所求直線的斜率為或6．
39．（2023下·河北邢臺·高二校聯考階段練習）已知函數的圖象經過點．
(1)求曲線在點A處的切線方程．
(2)曲線是否存在過坐標原點的切線？若存在，求切點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)曲線存在過坐標原點的切線，且切點的坐標為或．
【分析】（1）利用導數的幾何意義求解即可；
（2）設出過坐標原點的切線方程以及切點坐標，利用導數的幾何意義以及切點既在切線上也在曲線上列出方程組求解即可.
【詳解】（1）依題意可得，則,
∵，∴，
∴曲線在點（1，5）處的切線方程為，
即；
（2）設過原點的切線方程為，則切點為，
則,消去k，整理得，
解得或，
所以曲線存在過坐標原點的切線，且切點的坐標為或．
40．（2023·高二課時練習）已知曲線在點處的切線方程為，求實數a、b的值.
【答案】，.
【分析】根據切點和斜率求得.
【詳解】，所以，
所以，，切點為，
將代入，得，所以.
故實數，.
41．（2023下·浙江杭州·高二杭州市長河高級中學校考期中）已知函數，.
(1)求曲線在處切線的方程；
(2)若直線l過坐標原點且與曲線相切，求直線l的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用導數的幾何意義求出切線斜率，然后利用點斜式寫切線方程即可；
（2）根據設切點坐標，然后利用導數的幾何意義得到斜率，再利用點斜式寫切線方程，將代入切線方程得到即可得到切線方程.
【詳解】（1），所以，所以，，所以切線方程為：，整理得.
（2），所以，設切點坐標為，所以切線斜率為，
則切線方程為：，又因為切線過原點，所以將代入切線方程得，解得，所以切線方程為：，整理得.
42．（2023上·吉林長春·高二統考期中）已知點P在曲線上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，求的取值范圍．
【答案】
【分析】由題，，求出，結合均值不等式討論的值域，即可求得的范圍，即可進一步求得的取值范圍
【詳解】函數的導數為．
因為，所以，
所以，即；因為，所以，即．

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