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5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算4題型分類
一、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:
原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù)
f(x)＝c(c為常數(shù)) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:
已知f(x)，g(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且g(x)≠0.
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特別地，[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3)′＝.
三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
1．復(fù)合函數(shù)的概念
一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過(guò)中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x))．
2．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
一般地，對(duì)于由函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y＝f(g(x))，它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì) u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積．
（一） 利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo) 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: 原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin xf′(x)＝cos xf(x)＝cos xf′(x)＝－sin xf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axln af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝ln xf′(x)＝
題型1：利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1-1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則等于（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 1-2．（2023下·河南南陽(yáng)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ） A． B． C． D． 1-3．（2023上·廣西桂林·高二?？计谥校┫铝懈魇秸_的是（ ）. A． B． C． D． 1-4．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)； (2)； (3)； (4).
（二） 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則: 已知f(x)，g(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且g(x)≠0. (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特別地，[cf(x)]′＝cf′(x)． (3)′＝. 2.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo).
題型2：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 2-1．（2023下·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列運(yùn)算中正確的是（ ） A． B． C． D． 2-2．（2023上·北京通州·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，則等于（ ） A． B． C． D． 2-3．（2023·高二單元測(cè)試）若函數(shù)，則的解集為（ ） A． B． C． D． 2-4．（2023下·北京西城·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則的值為（ ） A． B． C． D． 2-5．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模）已知是奇函數(shù)，則 A．14 B．12 C．10 D．-8 2-6．（2023上·甘肅酒泉·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù),則（ ）. A． B． C． D． 2-7．（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（ ） A． B． C． D． 2-8．（2023下·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（ ） A． B． C．4 D．
（三） 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 1.抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元. 2.求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的步驟：
題型3：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 3-1．（2023下·北京·高二北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（ ） A． B． C． D． 3-2．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)； (2)； (3)； (4). 3-3．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)； (2)； (3). 3-4．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 3-5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)．
（四） 與切線有關(guān)的綜合問(wèn)題 1.求切線方程時(shí)，注意區(qū)分曲線在某點(diǎn)處的切線和曲線過(guò)某點(diǎn)的切線，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求過(guò)某點(diǎn)的切線方程，需先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)已知點(diǎn)在切線上求解. 2.處理與切線有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，通常根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上.
題型4：與切線有關(guān)的綜合問(wèn)題 4-1．（2023下·河北邯鄲·高二階段練習(xí)）曲線在處的切線的傾斜角是(　　) A． B． C． D． 4-2．（2023下·河北張家口·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則“”是“曲線存在垂直于直線的切線”的 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 4-3．（2023下·山東棗莊·高二階段練習(xí)）曲線f(x)＝在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)a＝(　　) A．1 B．－1 C．7 D．－7 4-4．（2023下·重慶江津·高二重慶市江津中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，則 A．2 B．0 C．1 D．－1 4-5．（2023下·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（ ） A． B． C．2 D．4 4-6．（2023上·湖南衡陽(yáng)·高二衡陽(yáng)市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線是l，則等于（ ） A． B．3 C． D．1 4-7．（2023下·貴州貴陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行，則（ ） A． B． C． D．
一、單選題
1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在上可導(dǎo)，函數(shù)，則等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2023下·廣東佛山·高二階段練習(xí)）已知，且，則實(shí)數(shù)a的值為( )
A． B． C． D．
3．（2023上·江西宜春·高二高安中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)，若，則（ ）
A． B．1 C． D．
4．（2023上·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則a=（ ）
A．4 B．8 C．2 D．1
5．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則a等于（ ）
A． B．1 C． D．－1
6．（2023·福建三明·高二三明一中階段練習(xí)）正弦曲線y=sinx上一點(diǎn)P，以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是
A．[0，]∪[，π) B．[0，π)
C．[，] D．[0，]∪[，]
7．（2023·全國(guó)·高考真題）曲線在點(diǎn) 處的切線與直線和 圍成的三角形的面積為
A． B． C． D．1
8．（2023上·陜西渭南·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
9．（2023下·內(nèi)蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末）已知，則的值為（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023上·廣西桂林·高二?？计谥校┖瘮?shù)在處的切線的斜率為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．e
11．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知直線：既是曲線的切線，又是曲線的切線，則（ ）
A．0 B． C．0或 D．或
12．（2023上·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）函數(shù)與的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C．或 D．或或
二、多選題
13．（2023上·江蘇連云港·高二校考階段練習(xí)）下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．，則 B．，則
C．，則 D．，則
14．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）下列哪些函數(shù)是復(fù)合函數(shù)（ ）
A． B．
C． D．
15．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知點(diǎn)P在曲線上，為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
16．（2023下·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）下列 求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
三、填空題
17．（2023·湖南衡陽(yáng)·校聯(lián)考一模）定義在上的函數(shù)滿足，的導(dǎo)函數(shù)，則 .
18．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則的值為 .
19．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為 .
20．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m滿足f′(m)＋g′(m)＝3，則m的值為 .
21．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則 .
22．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則 .
23．（2023下·湖北襄陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）若曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則實(shí)數(shù)的值是_______．
24．（2023上·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期末）已知a，b為正實(shí)數(shù)，直線y=x－a與曲線y=ln(x+b)相切于點(diǎn)(x0，y0)，則的最小值是 .
25．（2023·安徽淮北·統(tǒng)考一模）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的切線為l，若l的傾斜角的取值范圍是，則實(shí)數(shù)a= .
26．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則a，b的值分別為 ．
27．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為 ．
28．（2023下·廣東揭陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若是奇函數(shù)，則 ．
29．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)P是曲線上任意一點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角α的取值范圍是 ．
30．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為 ．
31．（2023下·湖北咸寧·高二統(tǒng)考期末）過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線共有 條.
32．（2023上·陜西寶雞·高三寶雞中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，直線的方程為，則函數(shù)上的任意一點(diǎn)到直線的距離的最小值為
33．（2023上·江西南昌·高二南昌市八一中學(xué)校聯(lián)考期末）若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最小距離為 .
34．（2023下·河南信陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于某一條直線對(duì)稱，若P，Q分別為它們上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間距離的最小值為 ．
四、解答題
35．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1) ；
(2)；
(3)；
(4) ；
(5)；
(6) ；
(7) ；
(8)．
36．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10)；
(11)；
(12).
37．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)
(8)；
(9).
38．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）已知曲線，點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．
39．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程.
40．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知拋物線y=x2，求過(guò)點(diǎn)（﹣ ，﹣2）且與拋物線相切的直線方程．
41．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）曲線在點(diǎn)（0，1）處的切線與直線l平行，且與l的距離為，求直線l的方程．5.2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算4題型分類
一、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:
原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù)
f(x)＝c(c為常數(shù)) f′(x)＝0
f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則:
已知f(x)，g(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且g(x)≠0.
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．
(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特別地，[cf(x)]′＝cf′(x)．
(3)′＝.
三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
1．復(fù)合函數(shù)的概念
一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過(guò)中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x))．
2．復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
一般地，對(duì)于由函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)復(fù)合而成的函數(shù)y＝f(g(x))，它的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì) u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積．
（一） 利用導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo) 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: 原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝c(c為常數(shù))f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin xf′(x)＝cos xf(x)＝cos xf′(x)＝－sin xf(x)＝ax(a>0，且a≠1)f′(x)＝axln af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0，且a≠1)f′(x)＝f(x)＝ln xf′(x)＝
題型1：利用導(dǎo)數(shù)公式求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 1-1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則等于（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后代值計(jì)算即可 【詳解】因?yàn)椋?所以. 故選：A 1-2．（2023下·河南南陽(yáng)·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式，可得答案. 【詳解】由題意，， 故選：A. 1-3．（2023上·廣西桂林·高二?？计谥校┫铝懈魇秸_的是（ ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本函數(shù)求導(dǎo)公式，依次對(duì)四個(gè)選項(xiàng)求導(dǎo)驗(yàn)證，只有C正確，故答案為C. 【詳解】根據(jù)基本函數(shù)求導(dǎo)公式， ，故A錯(cuò)誤； ，故B錯(cuò)誤； ，故C正確； ，故D錯(cuò)誤. 故選：C. 1-4．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)0 (2) (3) (4) 【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式求導(dǎo)即可. 【詳解】（1） （2）， . （3）. （4）.
（二） 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則 1.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則: 已知f(x)，g(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且g(x)≠0. (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特別地，[cf(x)]′＝cf′(x)． (3)′＝. 2.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo).
題型2：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 2-1．（2023下·全國(guó)·高二專題練習(xí)）下列運(yùn)算中正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則依次計(jì)算即可得答案. 【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，故正確； 對(duì)于B選項(xiàng)，，故錯(cuò)誤； 對(duì)于C選項(xiàng)，，故錯(cuò)誤； 對(duì)于D選項(xiàng)，，故錯(cuò)誤． 故選：A. 2-2．（2023上·北京通州·高三統(tǒng)考期中）已知函數(shù)，則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后求出即可 【詳解】由，得， 所以， 故選：D 2-3．（2023·高二單元測(cè)試）若函數(shù)，則的解集為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求導(dǎo)函數(shù)，解不等式，結(jié)合定義域即可． 【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得?故選：B． 2-4．（2023下·北京西城·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再代入計(jì)算即可； 【詳解】因?yàn)?所以 所以 故選：B 【點(diǎn)睛】本題考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題. 2-5．（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模）已知是奇函數(shù)，則 A．14 B．12 C．10 D．-8 【答案】A 【詳解】試題分析：由題意知,所以.所以，則.所以.故A正確. 考點(diǎn)：1函數(shù)的奇偶性;2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算. 2-6．（2023上·甘肅酒泉·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù),則（ ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)得,再將代入導(dǎo)函數(shù)即可得出結(jié)果. 【詳解】解: 已知函數(shù), 求導(dǎo)可得, 則. 故選:B 【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算,解答此題的關(guān)鍵是要理解原函數(shù)中是一個(gè)常數(shù),此題是基礎(chǔ)題. 2-7．（2023下·江西萍鄉(xiāng)·高二校考開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】對(duì)求導(dǎo)，得到，令，得到，即可得到，然后求即可. 【詳解】由，得，令，則，解得，所以，. 故選：D. 2-8．（2023下·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（ ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】將求導(dǎo)，將1代入導(dǎo)數(shù)得的值，再將代入導(dǎo)數(shù)就可計(jì)算出的值. 【詳解】因?yàn)?， 所以 ， 所以 ，所以 ，所以 . 故選：C.
（三） 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 1.抽象函數(shù)求導(dǎo)，恰當(dāng)賦值是關(guān)鍵，然后活用方程思想求解.1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元. 2.求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的步驟：
題型3：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) 3-1．（2023下·北京·高二北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t，代入運(yùn)算． 【詳解】令，則 故選：B． 3-2．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)即可. 【詳解】（1）令，則， 所以，， 所以. （2）令，則， 所以，， 所以. （3）令，則， 所以，， 所以. （4）令，則， 所以，， 所以. 3-3．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，以及復(fù)合函數(shù)求得的法則，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解. 【詳解】（1）解：由函數(shù)， 設(shè)，可得. （2）解：由函數(shù)， 設(shè)，則. （3）解：由函數(shù)， 令，則 3-4．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算可得； 【詳解】（1）解：因?yàn)?，所?（2）解：因?yàn)椋?（3）解：因?yàn)?，所?（4）解：因?yàn)?，所?（5）解：因?yàn)椋?（6）解：因?yàn)?，所?3-5．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則和基本函數(shù)的求導(dǎo)公式逐個(gè)求解即可. 【詳解】（1）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)， ∴． （2）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)， ∴ . （3）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)， ∴． （4）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)， ∴． （5）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)， ∴ ． （6）函數(shù)可以看作函數(shù)和的復(fù)合函數(shù)， ∴．
（四） 與切線有關(guān)的綜合問(wèn)題 1.求切線方程時(shí)，注意區(qū)分曲線在某點(diǎn)處的切線和曲線過(guò)某點(diǎn)的切線，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求過(guò)某點(diǎn)的切線方程，需先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再依據(jù)已知點(diǎn)在切線上求解. 2.處理與切線有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，通常根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程并解出參數(shù)：①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上.
題型4：與切線有關(guān)的綜合問(wèn)題 4-1．（2023下·河北邯鄲·高二階段練習(xí)）曲線在處的切線的傾斜角是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則與幾何意義，直線的斜率與傾斜角的關(guān)系求解， 【詳解】，當(dāng)時(shí)，， 則曲線在處的切線的傾斜角是， 故選：D 4-2．（2023下·河北張家口·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則“”是“曲線存在垂直于直線的切線”的 A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】B 【分析】先根據(jù)“曲線存在垂直于直線的切線”求的范圍，再利用充要條件的定義判斷充要性. 【詳解】由題得切線的斜率為2， 所以 因?yàn)? 所以“”是“曲線存在垂直于直線的切線”的必要不充分條件. 故答案為B 4-3．（2023下·山東棗莊·高二階段練習(xí)）曲線f(x)＝在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)a＝(　　) A．1 B．－1 C．7 D．－7 【答案】C 【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，即可得解. 【詳解】由， ∵＝－1，即＝－1， ∴ a＝7. 故選：C 4-4．（2023下·重慶江津·高二重慶市江津中學(xué)校校聯(lián)考期末）已知函數(shù)在處的切線與直線垂直，則 A．2 B．0 C．1 D．－1 【答案】C 【詳解】分析：根據(jù)切線方程和直線垂直的結(jié)論即可. 詳解：由題可知：函數(shù)在處的切線的斜率為，直線的斜率為-1，故=-1得1，故選C. 點(diǎn)睛：考查切線的斜率求法和直線垂直時(shí)的斜率關(guān)系的結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題. 4-5．（2023下·湖南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根據(jù)已知求出和切點(diǎn)，將代入切線方程得，即得解. 【詳解】由題得， 所以， 所以， 所以，所以， 所以切點(diǎn)為， 將代入切線方程得， ∴． 故選：B. 【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平. 4-6．（2023上·湖南衡陽(yáng)·高二衡陽(yáng)市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線是l，則等于（ ） A． B．3 C． D．1 【答案】D 【解析】求出切線方程，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，由切線方程得，從而可得結(jié)論． 【詳解】解：由圖象可得函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處的切線是l，與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)， 則可知l：， ，， ， 故選：D． 4-7．（2023下·貴州貴陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，進(jìn)而求出，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，構(gòu)造方程解. 【詳解】由函數(shù)得， ，所以， 直線的斜率， 因?yàn)楹瘮?shù)的圖像在點(diǎn)處的切線與直線平行， 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，即，所以. 故選：A.
一、單選題
1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)在上可導(dǎo)，函數(shù)，則等于（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則運(yùn)算即可.
【詳解】∵，∴，
∴.
故選：B.
2．（2023下·廣東佛山·高二階段練習(xí)）已知，且，則實(shí)數(shù)a的值為( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求f(x)的導(dǎo)數(shù)，令x＝－1即可求出a．
【詳解】∵，
∴，
，
，
．
故選：D．
3．（2023上·江西宜春·高二高安中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，若，則（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】先求出，再代入求解即可.
【詳解】解：由函數(shù)，
則，
又，
則，
即1，
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)函數(shù)的求法，重點(diǎn)考查了運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.
4．（2023上·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知曲線在點(diǎn)處的切線與曲線相切，則a=（ ）
A．4 B．8 C．2 D．1
【答案】B
【分析】求出的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，可得切線方程，再由于切線與曲線相切，有且只有一切點(diǎn)，進(jìn)而可聯(lián)立切線與曲線方程，根據(jù)得到的值.
【詳解】解：的導(dǎo)數(shù)為，
曲線在處的切線斜率為，
則曲線在處的切線方程為，即.
由于切線與曲線相切，
可聯(lián)立，
得，
又，兩線相切有一切點(diǎn)，
所以有，
解得.
故選：B.
5．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則a等于（ ）
A． B．1 C． D．－1
【答案】C
【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)幾何意義及垂直關(guān)系有，即可求參數(shù).
【詳解】由題設(shè)，則，
又在點(diǎn)處的切線與直線垂直，
所以，所以.
故選：C
6．（2023·福建三明·高二三明一中階段練習(xí)）正弦曲線y=sinx上一點(diǎn)P，以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是
A．[0，]∪[，π) B．[0，π)
C．[，] D．[0，]∪[，]
【答案】A
【解析】先對(duì)函數(shù)解析式求導(dǎo)，進(jìn)而利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求得導(dǎo)函數(shù)的范圍，進(jìn)而求得切線的斜率的范圍，則直線的傾斜角的范圍可得．
【詳解】由函數(shù)，得.
設(shè)，則以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線l的斜率為.
設(shè)以點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線l的傾斜角為，則.
由，得
故選：A
【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)斜率的范圍求傾斜角的范圍，考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題.
7．（2023·全國(guó)·高考真題）曲線在點(diǎn) 處的切線與直線和 圍成的三角形的面積為
A． B． C． D．1
【答案】A
【詳解】，所以在點(diǎn)處的切線方程為，它與的交點(diǎn)為，與的交點(diǎn)為，所以三角形面積為
故選：A
8．（2023上·陜西渭南·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】求得，通過(guò)賦值求得，再求即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>故可得，
令，則，故，
則.
故選：.
9．（2023下·內(nèi)蒙古赤峰·高二統(tǒng)考期末）已知，則的值為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求導(dǎo)，再代值求出，，即可求得，再求即可
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
故選：A
10．（2023上·廣西桂林·高二?？计谥校┖瘮?shù)在處的切線的斜率為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．e
【答案】A
【分析】將函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)果.
【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可知:
在處的切線的斜率為.
故選:A.
11．（2023·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知直線：既是曲線的切線，又是曲線的切線，則（ ）
A．0 B． C．0或 D．或
【答案】D
【分析】本題主要求切線方程，設(shè)兩個(gè)曲線方程的切點(diǎn)，由兩條切線均為，通過(guò)等量關(guān)系可得到的取值.
【詳解】,,，設(shè)切點(diǎn)分別為，
則曲線的切線方程為：，化簡(jiǎn)得，，
曲線的切線方程為：，化簡(jiǎn)得，，，故，
解得e或.
當(dāng)e，切線方程為，故.
當(dāng)，切線方程為，故，則.
故的取值為或.
故選：D
12．（2023上·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）函數(shù)與的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B．
C．或 D．或或
【答案】C
【分析】直線過(guò)定點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率并結(jié)合圖象分析判斷.
【詳解】∵過(guò)定點(diǎn)，且在上，
又∵，則，
∴在處的切線斜率為，
結(jié)合圖象可得：
當(dāng)時(shí)，與的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則符合題意；
當(dāng)時(shí)，與的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則不符合題意；
當(dāng)時(shí)，與的圖像有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則符合題意；
當(dāng)時(shí)，與的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則不符合題意；
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為或.
故選：C.
二、多選題
13．（2023上·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．，則 B．，則
C．，則 D．，則
【答案】BCD
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求各選項(xiàng)中函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).
【詳解】A：，錯(cuò)誤；
B：，則，正確；
C：，正確；
D：正確.
故選：BCD
14．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）下列哪些函數(shù)是復(fù)合函數(shù)（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義判斷即可.
【詳解】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義可知選項(xiàng)A不是復(fù)合函數(shù)，BCD都是復(fù)合函數(shù).
故選：BCD.
15．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）已知點(diǎn)P在曲線上，為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，則的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】求導(dǎo)，結(jié)合基本不等式求出導(dǎo)函數(shù)的取值范圍，從而得到傾斜角的取值范圍.
【詳解】因?yàn)?，所以?br/>因?yàn)椋裕ó?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），
所以，所以．
又因?yàn)椋裕?br/>故選：CD．
16．（2023下·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）下列 求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】AD
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算求解判斷.
【詳解】A，因?yàn)椋?，故正確；
B，因?yàn)椋裕叔e(cuò)誤；
C，因?yàn)?，所以，故錯(cuò)誤；
D，因?yàn)?，所以，故正確.
故選：AD.
三、填空題
17．（2023·湖南衡陽(yáng)·校聯(lián)考一模）定義在上的函數(shù)滿足，的導(dǎo)函數(shù)，則 .
【答案】
【分析】對(duì)兩邊同時(shí)求導(dǎo)得,進(jìn)而得答案.
【詳解】因?yàn)椋?br/>兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：，
故.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)已知對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.
18．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則的值為 .
【答案】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的乘法運(yùn)算法則求導(dǎo)，再代入求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
所以.
故答案為：.
19．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為 .
【答案】或
【分析】根據(jù)解析式，求得導(dǎo)數(shù)，根據(jù)自變量范圍及，列出方程，即可得答案.
【詳解】由題意得：.
因?yàn)椋?br/>所以或，解得或.
故答案為：或
20．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m滿足f′(m)＋g′(m)＝3，則m的值為 .
【答案】1
【分析】求導(dǎo)函數(shù)，代入計(jì)算可得答案.
【詳解】解：由已知得f′(x)＋g′(x)＝2x＋1，又f′(m)＋g′(m)＝2m＋1＝3，故m＝1.
故答案為：1.
21．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意求得，令，代入即可求解.
【詳解】由函數(shù)，可得，
令，可得，解得.
故答案為：.
22．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則 .
【答案】
【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并將代入可求得，即得到函數(shù)解析式，再將代入解析式可得答案.
【詳解】因?yàn)椋?br/>求導(dǎo)得，
將代入上式得，
可得，
則函數(shù)解析式為，
所以.
故答案為：.
23．（2023下·湖北襄陽(yáng)·高二校聯(lián)考期中）若曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，則實(shí)數(shù)的值是_______．
【答案】4
【詳解】由，則切線斜率，
則過(guò)的切線方程為:，
與坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為，
又所成三角形面積為2，可得，所以,故答案為4.
24．（2023上·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考期末）已知a，b為正實(shí)數(shù)，直線y=x－a與曲線y=ln(x+b)相切于點(diǎn)(x0，y0)，則的最小值是 .
【答案】4
【分析】由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得、，進(jìn)而可得，再利用，結(jié)合基本不等式即可得解.
【詳解】對(duì)求導(dǎo)得，
因?yàn)橹本€y=x－a與曲線y=ln(x+b)相切于點(diǎn)(x0，y0)，
所以即，
所以，所以切點(diǎn)為，
由切點(diǎn)在切線y=x－a上可得即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.
所以的最小值是.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用，考查了基本不等式求最值的應(yīng)用及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.
25．（2023·安徽淮北·統(tǒng)考一模）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的切線為l，若l的傾斜角的取值范圍是，則實(shí)數(shù)a= .
【答案】
【解析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，利用基本不等式可得導(dǎo)數(shù)的最小值為，根據(jù)傾斜角的范圍可得，即可解出.
【詳解】，，
，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
l的傾斜角的取值范圍是，
，解得.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與切線的關(guān)系，解題的關(guān)系是求出導(dǎo)數(shù)的最小值，得出最小值為1，即可求解.
26．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則a，b的值分別為 ．
【答案】1，1
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出相應(yīng)方程組，即可求得答案.
【詳解】由題意可得,.
由于直線的斜率為，且過(guò)點(diǎn)，
故，即，解得，
故答案為：1，1
27．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為 ．
【答案】1
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，分別令、可得答案.
【詳解】由題意可知，，，
∴切線方程為，即，
令得；令得，
∴曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為.
故答案為：1.
28．（2023下·廣東揭陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若是奇函數(shù)，則 ．
【答案】
【分析】首先利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求出，然后利用輔助角公式化簡(jiǎn)，根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可得到，最后結(jié)合的范圍即可求解.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
若為奇函數(shù)，則，即，
所以，
又因?yàn)?，所以?br/>故答案為：.
29．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）設(shè)P是曲線上任意一點(diǎn)，則曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角α的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】求出導(dǎo)函數(shù)的值域，再結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性求解．
【詳解】由已知得，
由得．
故答案為：．
30．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為 ．
【答案】或
【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，求得，列出方程，求得的值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求解.
【詳解】由題意，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，
又由函數(shù)，可得，可得，所以，
根據(jù)斜率公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得，即，
解得或，所以切線的斜率為或，
所以切線方程為或，即或.
故答案為：或.
31．（2023下·湖北咸寧·高二統(tǒng)考期末）過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線共有 條.
【答案】2
【分析】利用切點(diǎn)和斜率求得切線方程，然后代入點(diǎn)坐標(biāo)來(lái)判斷切線的條數(shù).
【詳解】設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?br/>所以切線的方程為，
將代入方程整理得，解得或.
故切線方程為或，
即過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線共有2條.
故答案為：
32．（2023上·陜西寶雞·高三寶雞中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，直線的方程為，則函數(shù)上的任意一點(diǎn)到直線的距離的最小值為
【答案】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合平行線間距離公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】函數(shù)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)該點(diǎn)的切線為，
當(dāng)直線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的距離的最小，
由，
所以直線的方程為，
因此函數(shù)上的任意一點(diǎn)到直線的距離的最小值為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程是解題的關(guān)鍵.
33．（2023上·江西南昌·高二南昌市八一中學(xué)校聯(lián)考期末）若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最小距離為 .
【答案】
【分析】由已知，先在曲線上設(shè)出點(diǎn)，然后寫(xiě)出以點(diǎn)為切點(diǎn)的曲線的切線方程，根據(jù)題意，找到距離直線最近的點(diǎn)，即，從而求解出切點(diǎn)以及切線方程，最后計(jì)算兩條平行線之間的距離即可.
【詳解】由已知，設(shè)點(diǎn)曲線上一點(diǎn)，則有，
因?yàn)?，所以，所以?br/>所以曲線在處的切線斜率為，
則曲線在處的切線方程為，即．
要求得曲線上任意一點(diǎn)，到直線的最小距離即找到曲線上距離直線最近的點(diǎn)，即，解得或（舍去），
此時(shí)，以點(diǎn)為切點(diǎn)，曲線的切線方程為：，
此時(shí)，切點(diǎn)為曲線上距離直線最近的點(diǎn)，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，
最小距離為直線與直線之間的距離，設(shè)最小距離為，
所以.
故答案為：.
34．（2023下·河南信陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于某一條直線對(duì)稱，若P，Q分別為它們上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間距離的最小值為 ．
【答案】
【分析】整體代換求解直線的解析式，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解函數(shù)的圖象上到直線距離最短的點(diǎn)，即為點(diǎn)，即可求解兩點(diǎn)間的最短距離.
【詳解】解：令，則，，．
因?yàn)榕c關(guān)于直線對(duì)稱，
所以函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，
所以P，Q兩點(diǎn)之間距離的最小值等于P到直線距離最小值的2倍，
函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為，
令得，，，
所以點(diǎn)P到直線距離的最小值為，
所以這兩點(diǎn)之間距離的最小值為．
故答案為：.
四、解答題
35．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1) ；
(2)；
(3)；
(4) ；
(5)；
(6) ；
(7) ；
(8)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【分析】（1）（2）（3）（4）直接由導(dǎo)數(shù)的加減法計(jì)算即可；
（5）直接由導(dǎo)數(shù)的加減法及乘法計(jì)算即可；
（6）（7）直接由導(dǎo)數(shù)的除法計(jì)算即可；
（8）方法一：直接由導(dǎo)數(shù)的乘法計(jì)算即可；方法二：先去括號(hào)，再直接由導(dǎo)數(shù)的加法計(jì)算即可．
【詳解】（1）．
（2） ．
（3） ．
（4）．
（5） ．
（6）．
（7）．
（8）方法一：
；
方法二：
，
．
36．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)；
(9)；
(10)；
(11)；
(12).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo)即可.
【詳解】（1）.
（2）
（3），
（4）解法1：.
解法2：，
.
（5）解法1：.
解法2：，
.
（6），
.
（7）.
（8）.
（9），
.
（10）由（9）知，，
所以.
（11）.
（12）.
37．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)
(8)；
(9).
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5).
(6)
(7)
(8)
(9)
【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計(jì)算可得答案
【詳解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）因?yàn)?，所以，所以?br/>（9）
.
38．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）已知曲線，點(diǎn)是曲線上一點(diǎn)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．
【答案】
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，再利用點(diǎn)斜式求出切線方程.
【詳解】∵，∴，∴，
∴切線方程為，即.
39．（2023下·高二課時(shí)練習(xí)）求曲線過(guò)點(diǎn)的切線方程.
【答案】
【分析】求導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)不在曲線上，所以設(shè)切點(diǎn)，
又，則切線的斜率為，又切線的斜率，
所以，所以，即，所以，所以，
所以切線方程為，即.
故答案為：.
40．（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知拋物線y=x2，求過(guò)點(diǎn)（﹣ ，﹣2）且與拋物線相切的直線方程．
【答案】2x﹣y﹣1=0和4x+y+4=0．
【分析】求出 的導(dǎo)數(shù)，并設(shè)切點(diǎn)為 ，設(shè)切線方程并與拋物線方程聯(lián)立 求出切點(diǎn)坐標(biāo)即可.
【詳解】設(shè)直線的斜率為k，直線與拋物線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為（x0，y0），
則直線方程為y+2=k（x+ ），
由題意 ，在 （x0，y0）處切線的斜率為 ，
則有 ，解得 或 ，
∴切線方程為： 或 .
41．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）曲線在點(diǎn)（0，1）處的切線與直線l平行，且與l的距離為，求直線l的方程．
【答案】或．
【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出切線斜率，從而求出切線方程，再設(shè)出直線l的方程（），利用點(diǎn)到直線距離公式列出方程，求出的值，得到直線l的方程.
【詳解】∵，
∴，
∴曲線在點(diǎn)（0，1）處的切線的斜率為，
其方程為，即．
又∵直線l與平行，
∴直線l的方程可設(shè)為（）．
由得：或．
∴直線l的方程為或．

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