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2
27世紀(jì)載自
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*3
垂徑定理
。
3
學(xué)習(xí)淚標(biāo)
1.會(huì)利用圓的軸對(duì)稱(chēng)性證明垂徑定理，掌握垂
徑定理及其推論
回在紙上用圓規(guī)畫(huà)一個(gè)
2.會(huì)應(yīng)用垂徑定理及其推論解決有關(guān)問(wèn)題，
圓，再畫(huà)這個(gè)圓的任意
3.在經(jīng)歷探索與證明垂徑定理的過(guò)程中，進(jìn)一步
一條弦，過(guò)圓心作垂直
體會(huì)和理解研究幾何圖形的各種方法
于這條弦的直徑，仔細(xì)
溫故知新
觀察你發(fā)現(xiàn)了什么？與
1.勾股定理：在Rt△ABC中，∠C=90°，則AC2+
同伴交流并設(shè)法驗(yàn)證你
BC2=AB2.
的結(jié)論
2.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，
所對(duì)的弦相等。
課堂直播間
鹿免所不的你
垂徑定理
是直徑，也可以是半徑，甚至可以是過(guò)圓心的
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分
直線或線段，
這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧，
例①如圖，⊙0的直徑
識(shí)多一點(diǎn)點(diǎn)(1)一條弦所對(duì)的弧有兩條：
為10cm,弦AB
=
優(yōu)孤和劣孤（直徑所對(duì)的是兩條半圓孤），定理
0
中“平分弦所對(duì)的孤既平分優(yōu)孤也平分劣孤
6cm,求圓心0到弦
B
(2)垂徑定理用幾何語(yǔ)言表示：
AB的距離.
分析過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于點(diǎn)M,則
◇
垂線段OM即是點(diǎn)O到AB的距離，
動(dòng)畫(huà)演示
由垂徑定理可知，AM=3AB.連接
OA,構(gòu)造出Rt△AOM,運(yùn)用勾股定
如圖，在⊙O中，
理即可求出OM的長(zhǎng)度」
CD是直徑，CD⊥AB,
∴.AE=BE,AC=BC,AD=D
解 如圖，連接OA,過(guò)點(diǎn)O作OM⊥
(3)上述定理中的“垂直于孩的直徑可以
AB于點(diǎn)M,由垂徑定理可得AM=
×配北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下1159
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AB=3 cm.
(3)垂徑定理的推論與垂徑
定理比較，只是把條件和結(jié)論的
位置互換了，實(shí)際上，在垂徑定理視頻講解
的這五個(gè)內(nèi)容中，只要任意兩個(gè)成立，就能推
出其余三個(gè)也是成立的，也就是說(shuō)：①過(guò)圓心；
B
②垂直于弦；③平分弦：④平分弦所對(duì)的劣孤：
,⊙O的直徑為10cm,
⑤平分弦所對(duì)的優(yōu)孤，知二推三注意：當(dāng)①③
成立時(shí)，③足一條非直徑的弦，
.0A=7×10=5(cm).
(4)在根據(jù)垂徑定理及
其推論進(jìn)行計(jì)算時(shí)，常涉及
在Rt△OAM中，OM=√/OA2-AM2
弦長(zhǎng)a,弦心距d(圓心到孩
=/52-32=4(cm),
的距離)，半徑r及弓形高h(yuǎn)
(弦所對(duì)的弧的中點(diǎn)到弦中點(diǎn)的距離)這四者
,.圓心O到弦AB的距離為4cm,
之間的關(guān)系.如圖所示，它們之間的關(guān)系為
解題有妙招在圓中，常常作出弦心距，連
=d+(號(hào)）r=d+h.
接半徑，構(gòu)造一個(gè)由半徑，弦心距，弦的一半國(guó)
成的直角三角形，通過(guò)解直角三角形來(lái)求圓
例②下列說(shuō)法中，正確的是(
中線段的長(zhǎng)。
A.過(guò)弦的中，點(diǎn)的直線平分弦所對(duì)的
【即學(xué)即試】見(jiàn)P162各個(gè)擊破
兩條弧
2
垂徑定理的推論
B.弦的垂直平分線平分它所對(duì)的兩
章
平分弦（不是直徑）的直徑垂直
條弧，但不一定過(guò)圓心
于弦，并且平分弦所對(duì)的弧.
C.過(guò)弦中點(diǎn)的直徑平分弦所對(duì)的兩
條弧
學(xué)霸筆記。
(1)注意平分的弦是一條非直徑的滋，如
D.平分弦所對(duì)的兩條弧的直線平
果是直徑就不成立了.
分弦
(2)垂徑定理的推論用
解析過(guò)弦的中點(diǎn)的直線有無(wú)數(shù)條，
幾何語(yǔ)言表示：
只有一條平分弦所對(duì)的兩條孤，選項(xiàng)
如圖，在⊙0中，
A錯(cuò)誤；弦的垂直平分線一定過(guò)圓
CD是直徑，弦AB
不是直徑，AE=BE,
心，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C忽略了被平
∴.CDIAB,AC=C,AD=D
分的弦是非直徑的條件，選項(xiàng)C錯(cuò)
1601配北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下
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九年級(jí)
數(shù)
2m=65-x-1,
5A解析若這個(gè)點(diǎn)在圓外，則直徑d=9一4
學(xué)
m=65-x
5(cmr=號(hào)（cm);若這個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)，則
x,m都是非負(fù)數(shù)，
直徑d=9十4=13(cm.=號(hào)=號(hào)(am.故
.取x=26時(shí)，m=13,65-x-m=26.
考答
即當(dāng)x=26時(shí)，W最大值=3198.
此圓的半徑為2.5cm或6.5cm
答：安排26人生產(chǎn)乙產(chǎn)品時(shí)，可獲得的最大
6點(diǎn)P在⊙O內(nèi)
鮮析因?yàn)殛P(guān)于x的一元二次
利潤(rùn)為3198元.
方程x2一2x十m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
第三章
圓
所以有（一2）2一4m>0,解得1<1.又知⊙O
的半徑r=1,所以m圓
7懈回如圖，過(guò)點(diǎn)P作PDE
“極速特訓(xùn)營(yíng)
⊥AB,垂足為D.由題
意可得，∠APD=30°，
1C解析根據(jù)圖的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷：
∠BPD=45.
A.點(diǎn)O為圓心，半徑不確定，故不能確定圓：
設(shè)AD=x,在Rt△APD中，PD=√3x
B.2cm長(zhǎng)為半徑，圓心不確定，故不能確定圓；
C.以點(diǎn)O為圓心，以5cm長(zhǎng)為半徑可確定圓；
在Rt△PBD中，BD=PD=√3x,
D.經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,故圓心和半徑都不能確定，故不
∴3.x十x=100,解得x=50(W3-1),
能確定圓，
∴.PD=3.x=50(3-√3)≈63.4>50.
2解E矩形的四個(gè)頂點(diǎn)能在同
,森林保護(hù)區(qū)的中心與直線AB的距離大于
個(gè)圓上.如圖，設(shè)AC,BD
保護(hù)區(qū)的半徑，∴.計(jì)劃修筑的這條高速公路
的交點(diǎn)為O,則點(diǎn)O是這個(gè)
不會(huì)穿過(guò)保護(hù)區(qū)
圓的圓心
2圓的對(duì)稱(chēng)性
證明如下：四邊形ABCD是矩形，
..0A=OC=OB=OD.
極速特訓(xùn)營(yíng)
∴.點(diǎn)A,B,C,D在以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑
1D2B3C4125
的圓上
5證明臉AC=C,
3D
∴.∠AOC=∠BOC,
4C解析.在△ABC中，
∴.∠AOE=∠BOE.
∠ACB=90°，AB=5,BC=4,
,OA,OB是⊙O的半徑，
.AC=√AB-BC2=3,
..OA=OB.
點(diǎn)C在⊙A內(nèi)且點(diǎn)B在⊙A外，
又OE=OE,
∴AC.△AOE≌△BOE,
知，只有選項(xiàng)C符合
∴.AE=BE.
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九牛級(jí)
6解如圖，作點(diǎn)A關(guān)于MN的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',連接
∴.AC=OC
A'B,交MN于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求.連接
同理BD=OD.
學(xué)
OA',OB,PA,AM',則∠A'ON=∠AON=
又OC=OD,.AC=BD,
60°，PA=PA'
∴AC=BD
,點(diǎn)B是N的中點(diǎn)，∴∠BON=30°，
8證明E如圖，作OM⊥BD于點(diǎn)M,ON⊥CE于
∴.∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90.
點(diǎn)N
參考答案
又，OB=OA'=1,A'B=√2，
∴.PA+PB=PA'+PB=A'B=√2
即PA十PB的最小值為√2.
B
,AO平分∠DAE,.OM=ON,
∴.BD=CE
,OM⊥BD,ON⊥CE,
7證明E方法1：如圖，連接OC,OD,則OC
MB=DB.NC-CE..MB=NC.
=OD.
∠AMO=∠ANO.
在△AMO和△ANO中，∠MAO=∠NAO.
OA=OA,
B
∴.△AM≌△ANO,.AM=AN,
∴.AB=AC
3
垂徑定理
0A=0B,且0M=0A.0N=0B,
·極速特訓(xùn)營(yíng)
∴.OM=ON.又，CM⊥AB,DN⊥AB,
.Rt△COM≌R1△DON,
1B
解析，AB是⊙O的直徑，AB⊥CD,
.∠COM=∠DON,
CE=2CD-12∠0BC=90,
∴.Ac-D.
方法2：如圖，連接AC,BD,OC,OD.
2AB=13,
cos∠0E-票=最故選B
22√3
3解如圖所示，過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AB,垂足為P,
連接AO,
M是AO的中點(diǎn)，且CMLAB,
OP過(guò)圓心，OP⊥AB,
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