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5
確定圓的條件
學習淚標
1.探索不在同一條直線上的三個點確定一
個圓的結論，
2.會用尺規過不在同一條直線上的三個點作圓.
3.了解三角形的外接圓、外心等概念并掌握外心
@你們有去看日出的經
歷嗎？當太陽從地平線
的性質。
以下緩緩升起的時候，
溫故知新
旭日東升的景色美不勝
1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平
收，這其中蘊含了深刻
分弦所對的弧。
的數學道理.讓我們
2.垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂
起來探究這其中的奧
直于弦，并且平分弦所對的弧.
妙吧
3.線段垂直平分線的性質：線段垂直平分線上的點
到這條線段兩個端點的距離相等。
課堂直播間
造就兔所不能的你
確定圓的條件
過一點作圓
過兩點作圓
過不在同一條直線上的三點作圓
經過平面內的兩個點
經過平面內的一個點
經過不在同一條直線上的三點A,
A,B作圓時，由于圓
A作圓時，只要以點A
B,C作圓，圓心到這三個點的距
心到這兩個點的距離
理
以外任意一點為圓心，
離都相等.因此，圓心是線段AB,
論
相等，所以圓心在線段
以這點到點A的距離
BC的垂直平分線的交點O,以點
緣
AB的垂直平分線上，
為半徑就能作出一個
O為圓心，以OA(或OB,OC)為半
這樣的圓心有無數個，
圓，這樣的圓能作出無
徑可作出經過A,B,C三點的圓，
這樣的圓能作出無
數個
這樣的圓只有一個
數個
1741配北師大版數學九年級下
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續表
過一點作圓
過兩點作圓
過不在同一條直線上的三點作圓
圖
形
結
不在同一條直線上的三個點確定
過一點能作無數個圓
過兩點能作無數個圓
論
個圓
識多一點點
(1)作圓，關鍵是確定圓心和
半徑圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，
(2)結論：不在同一條直線上的三個點騎
定一個圓.前提條件：不在同一條直線上.“跪
定”的意思是“有且僅有
(3)過同一條直線上的三點不能作圓
解題有妙招因為學校到三個村莊的距離
例①某鄉接收到一筆捐款，決定在
相等，所以首先要知道，到線段兩瑞點距離相
等的點在線段的垂直平分線上；其次要明白，
個村莊之間修建一所小學，使三個村
學校的位置就是圓心的位置，
莊的學生到學校的距離相等，三個村
【即學即試】見P178各個擊破
莊A,B,C的位置如圖所示，試確定
學校的位置.
三角形的外接圓、外心及外心
A
的性質
三角形的三個頂點確
B
定一個圓，這個圓叫做三角
分析由題意可知，到三個村莊A,B,
動畫演示
形的外接圓，而這個三角形
C(即三個點)的距離相等的點是由
稱為這個圓的內接三角形。
A,B,C三個點確定的一個圓的圓心
三角形外接圓的圓心是三角形
(也就是學校的位置)，
三邊垂直平分線的交點，叫做三角形
I解如圖，連接AB,BC.作AB,BC
的外心
的垂直平分線交于點M,點M即所
三角形的外心到三角形的三個
求的學校的位置.
頂點的距離相等，等于其外接圓的半
4配北師大版數學九年級下1175
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九年級
數
2m=65-x-1,
5A解析若這個點在圓外，則直徑d=9一4
學
m=65-x
5(cmr=號（cm);若這個點在圓內，則
x,m都是非負數，
直徑d=9十4=13(cm.=號=號(am.故
.取x=26時，m=13,65-x-m=26.
考答
即當x=26時，W最大值=3198.
此圓的半徑為2.5cm或6.5cm
答：安排26人生產乙產品時，可獲得的最大
6點P在⊙O內
鮮析因為關于x的一元二次
利潤為3198元.
方程x2一2x十m=0有兩個不相等的實數根，
第三章
圓
所以有（一2）2一4m>0,解得1<1.又知⊙O
的半徑r=1,所以m圓
7懈回如圖，過點P作PDE
“極速特訓營
⊥AB,垂足為D.由題
意可得，∠APD=30°，
1C解析根據圖的定義對各選項進行判斷：
∠BPD=45.
A.點O為圓心，半徑不確定，故不能確定圓：
設AD=x,在Rt△APD中，PD=√3x
B.2cm長為半徑，圓心不確定，故不能確定圓；
C.以點O為圓心，以5cm長為半徑可確定圓；
在Rt△PBD中，BD=PD=√3x,
D.經過點A,故圓心和半徑都不能確定，故不
∴3.x十x=100,解得x=50(W3-1),
能確定圓，
∴.PD=3.x=50(3-√3)≈63.4>50.
2解E矩形的四個頂點能在同
,森林保護區的中心與直線AB的距離大于
個圓上.如圖，設AC,BD
保護區的半徑，∴.計劃修筑的這條高速公路
的交點為O,則點O是這個
不會穿過保護區
圓的圓心
2圓的對稱性
證明如下：四邊形ABCD是矩形，
..0A=OC=OB=OD.
極速特訓營
∴.點A,B,C,D在以點O為圓心，OA為半徑
1D2B3C4125
的圓上
5證明臉AC=C,
3D
∴.∠AOC=∠BOC,
4C解析.在△ABC中，
∴.∠AOE=∠BOE.
∠ACB=90°，AB=5,BC=4,
,OA,OB是⊙O的半徑，
.AC=√AB-BC2=3,
..OA=OB.
點C在⊙A內且點B在⊙A外，
又OE=OE,
∴AC.△AOE≌△BOE,
知，只有選項C符合
∴.AE=BE.
2741配北師大版數學九年級下，
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九牛級
6解如圖，作點A關于MN的對稱點A',連接
∴.AC=OC
A'B,交MN于點P,則點P即為所求.連接
同理BD=OD.
學
OA',OB,PA,AM',則∠A'ON=∠AON=
又OC=OD,.AC=BD,
60°，PA=PA'
∴AC=BD
,點B是N的中點，∴∠BON=30°，
8證明E如圖，作OM⊥BD于點M,ON⊥CE于
∴.∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90.
點N
參考答案
又，OB=OA'=1,A'B=√2，
∴.PA+PB=PA'+PB=A'B=√2
即PA十PB的最小值為√2.
B
,AO平分∠DAE,.OM=ON,
∴.BD=CE
,OM⊥BD,ON⊥CE,
7證明E方法1：如圖，連接OC,OD,則OC
MB=DB.NC-CE..MB=NC.
=OD.
∠AMO=∠ANO.
在△AMO和△ANO中，∠MAO=∠NAO.
OA=OA,
B
∴.△AM≌△ANO,.AM=AN,
∴.AB=AC
3
垂徑定理
0A=0B,且0M=0A.0N=0B,
·極速特訓營
∴.OM=ON.又，CM⊥AB,DN⊥AB,
.Rt△COM≌R1△DON,
1B
解析，AB是⊙O的直徑，AB⊥CD,
.∠COM=∠DON,
CE=2CD-12∠0BC=90,
∴.Ac-D.
方法2：如圖，連接AC,BD,OC,OD.
2AB=13,
cos∠0E-票=最故選B
22√3
3解如圖所示，過點O作OP⊥AB,垂足為P,
連接AO,
M是AO的中點，且CMLAB,
OP過圓心，OP⊥AB,
<配北師大版數學九年級下1275
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