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27世紀戴自
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九年級
數(shù)
2m=65-x-1,
5A解析若這個點在圓外，則直徑d=9一4
學
m=65-x
5(cmr=號（cm);若這個點在圓內(nèi)，則
x,m都是非負數(shù)，
直徑d=9十4=13(cm.=號=號(am.故
.取x=26時，m=13,65-x-m=26.
考答
即當x=26時，W最大值=3198.
此圓的半徑為2.5cm或6.5cm
答：安排26人生產(chǎn)乙產(chǎn)品時，可獲得的最大
6點P在⊙O內(nèi)
鮮析因為關(guān)于x的一元二次
利潤為3198元.
方程x2一2x十m=0有兩個不相等的實數(shù)根，
第三章
圓
所以有（一2）2一4m>0,解得1<1.又知⊙O
的半徑r=1,所以m圓
7懈回如圖，過點P作PDE
“極速特訓營
⊥AB,垂足為D.由題
意可得，∠APD=30°，
1C解析根據(jù)圖的定義對各選項進行判斷：
∠BPD=45.
A.點O為圓心，半徑不確定，故不能確定圓：
設(shè)AD=x,在Rt△APD中，PD=√3x
B.2cm長為半徑，圓心不確定，故不能確定圓；
C.以點O為圓心，以5cm長為半徑可確定圓；
在Rt△PBD中，BD=PD=√3x,
D.經(jīng)過點A,故圓心和半徑都不能確定，故不
∴3.x十x=100,解得x=50(W3-1),
能確定圓，
∴.PD=3.x=50(3-√3)≈63.4>50.
2解E矩形的四個頂點能在同
,森林保護區(qū)的中心與直線AB的距離大于
個圓上.如圖，設(shè)AC,BD
保護區(qū)的半徑，∴.計劃修筑的這條高速公路
的交點為O,則點O是這個
不會穿過保護區(qū)
圓的圓心
2圓的對稱性
證明如下：四邊形ABCD是矩形，
..0A=OC=OB=OD.
極速特訓營
∴.點A,B,C,D在以點O為圓心，OA為半徑
1D2B3C4125
的圓上
5證明臉AC=C,
3D
∴.∠AOC=∠BOC,
4C解析.在△ABC中，
∴.∠AOE=∠BOE.
∠ACB=90°，AB=5,BC=4,
,OA,OB是⊙O的半徑，
.AC=√AB-BC2=3,
..OA=OB.
點C在⊙A內(nèi)且點B在⊙A外，
又OE=OE,
∴AC.△AOE≌△BOE,
知，只有選項C符合
∴.AE=BE.
2741配北師大版數(shù)學九年級下，
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九牛級
6解如圖，作點A關(guān)于MN的對稱點A',連接
∴.AC=OC
A'B,交MN于點P,則點P即為所求.連接
同理BD=OD.
學
OA',OB,PA,AM',則∠A'ON=∠AON=
又OC=OD,.AC=BD,
60°，PA=PA'
∴AC=BD
,點B是N的中點，∴∠BON=30°，
8證明E如圖，作OM⊥BD于點M,ON⊥CE于
∴.∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90.
點N
參考答案
又，OB=OA'=1,A'B=√2，
∴.PA+PB=PA'+PB=A'B=√2
即PA十PB的最小值為√2.
B
,AO平分∠DAE,.OM=ON,
∴.BD=CE
,OM⊥BD,ON⊥CE,
7證明E方法1：如圖，連接OC,OD,則OC
MB=DB.NC-CE..MB=NC.
=OD.
∠AMO=∠ANO.
在△AMO和△ANO中，∠MAO=∠NAO.
OA=OA,
B
∴.△AM≌△ANO,.AM=AN,
∴.AB=AC
3
垂徑定理
0A=0B,且0M=0A.0N=0B,
·極速特訓營
∴.OM=ON.又，CM⊥AB,DN⊥AB,
.Rt△COM≌R1△DON,
1B
解析，AB是⊙O的直徑，AB⊥CD,
.∠COM=∠DON,
CE=2CD-12∠0BC=90,
∴.Ac-D.
方法2：如圖，連接AC,BD,OC,OD.
2AB=13,
cos∠0E-票=最故選B
22√3
3解如圖所示，過點O作OP⊥AB,垂足為P,
連接AO,
M是AO的中點，且CMLAB,
OP過圓心，OP⊥AB,
<配北師大版數(shù)學九年級下1275
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7
切線長定理
學習淚標
1.掌握切線長的概念
2.理解并掌握切線長定理和圓外切四邊形的性質(zhì)
3.會用切線長定理進行有關(guān)的計算和證明
回如圖是一個測量圓半
瘟故知新
徑的工具，利用這個工具
我們可以很快地知道一
1.直線和圓的三種位置關(guān)系：相離，相切，相交
個圓的半徑，甚至圓柱、
2圓的切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點
球的半徑也能很輕松的
的半徑.
測出來，你知道它的依據(jù)
推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點.
是什么嗎？我們學習了
推論2：經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必過
本節(jié)課的知識：你就明白
圓心
其中的道理了
課堂直播間
造就免所不能的你
1切線長和切線長定理
①由切線長定理，得PA=PB.
(1)切線長定義：過圓外一點畫
②由切線的性質(zhì)定理，得OA⊥PA,
圓的切線，這點和切點之間的線段長
OB⊥PB.
叫做這點到圓的切線長，
③圖中相等的角有∠1=∠2，∠3=∠4，
(2)切線長定理：過圓外一點畫
∠5=∠6，∠7=∠8，∠PAO=∠PB0=
∠PCA=∠PCB=90.
圓的兩條切線，它們的切線長相等.
④圖中的全等三角形有△PAC≌
學霸筆配。
△PBC,△AO≌△BOC,△POA≌△POB.
(1)如圖，P為⊙O外一點，PA,PB是
(2)切線與切線長的區(qū)別：它們是兩個不
⊙O的兩條切線，點A,B為切點，直線PO交
同的概念，切線是直線，不能度量：切線長是線
弦AB于點C,交⊙O于點D,E,則
段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外
點和切點，可以度量
E
例①如圖，PA,PB,CD分別切⊙O于
點A,B,E,己知PA=6.
1921配北師大版數(shù)學九年級下，
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27世紀戴自

∠BDC,
可
視頻講解
.∠COD=180°-∠OCD-∠ODC
180-∠ACD-2∠BDC=
(1)求△PCD的周長.
(2)求證：∠C0D=90°-2∠P
180°-7(180°-∠PCD)-2(180
分析(1)圖中有三個分別從點P,C,
∠PDC)=(∠PCD+∠PDC
D出發(fā)的切線長的基本圖形，因此可
2180°-∠P)=90°-7∠P.
以用切線長定理實現(xiàn)線段的等量轉(zhuǎn)
解題有妙招(1)運用切線長定理時，首先
化；(2)∠COD為△PCD兩外角平
要找出基本的圖形結(jié)構(gòu)，在題圖中有三個基
分線的夾角.
本圖形結(jié)構(gòu)，分別是從點P引兩條切線，從點
(1)解，'CA,CE分別與⊙O相切
C引兩條切線和從點D引兩條切線
于點A,E,.CA=CE
(2)切線長定理是證線段相等，角相等，孤
·DE,DB分別與⊙O相切于點E,
相等常用的定理
B,.'.DE=DB.
【即學即試】見P197各個擊破一
PA,PB分別與⊙O相切于點
2
圓外切四邊形
A,B,
四邊形的四條邊都與圓相切，把
.PA=PB,
這個四邊形叫做圓外切四邊形，把這
∴.△PCD的周長為PC+CD+PD
個圓叫做四邊形的內(nèi)切圓，如圖所
=PC+CE+DE+PD-PC+CA+
示，四邊形ABCD是⊙O的外切四
DB+PD=PA+PB=2PA=12.
邊形，⊙O是四邊形ABCD的內(nèi)
(2)l證明照.PA,PB,CD分別切⊙O
切圓.
于點A,B,E,
·∠0CD=2
∠ACD,∠ODC=
視頻講解
×配北師大版數(shù)學九年級下1193
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