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2
圓的對稱性
學習淚標
1.掌握圓的軸對稱性和中心對稱性及相關的
性質，明白圓在變化中的特點
2.理解圓心角、孤、弦之間的關系定理及其推論
3.會利用圓心角、弧、弦之間的關系定理及其推
論解決實際問題。
回上圖是軸對稱圖形
嗎？如果是，它的對稱
鼎故知新
軸是什么？你能找到多
1.軸對稱圖形：如果一個平面圖形沿某一條直線
少條對稱軸？
折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這
個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.
2.中心對稱圖形：在平面內，把一個圖形繞某個點
旋轉180°，如果旋轉后的圖形能與原來的圖形
重合，這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫
做它的對稱中心
課堂直播間
驗就尼所不能的你
1
圓的對稱性
直線是圓的對稱軸，
(1)圓是軸對稱圖形，其對稱軸
(2)過圓心的直線有無數條，所以圓有無
是任意一條過圓心的直線.
數條對稱軸。
(3)國既是軸對稱 形又是中心對稱
(2)圓是中心對稱圖形，對稱中
圖形
心為圓心
(3)圓具有旋轉不變性.一個圓
例①下列說法中，正確的有
繞它的圓心旋轉任意一個角度，都能
個
與原來的圖形重合.由此可見，圓的
①每一條直徑都是圓的一條對稱軸：
中心對稱性是旋轉不變性的特例，
②圓既是軸對稱圖形又是中心對稱
識多一點點(1)圓的對稱軸是直線，不能
圖形；③圓繞圓心旋轉58°能與原來
說直徑是它的對稱軸，而應該說直徑所在的
的圓重合；④我們前面學行四
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邊形，矩形，菱形，正方形既是軸對稱
如圖，在⊙O中，若∠AOB=
圖形又是中心對稱圖形；⑤等邊三角
∠COD,則有AB=CD,AB=CD
形既是軸對稱圖形又是中心對稱
圖形
解析}①錯，對稱軸是一條直線，而直
徑是一條線段，可以改為每一條直徑
所在的直線都是圓的一條對稱軸；
2推論
②對；③對，根據圓的旋轉不變性可
在同圓或等圓中，如果兩個圓心
得；④錯，平行四邊形只是中心對稱
角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，
圖形，不是軸對稱圖形；⑤錯，等邊三
那么它們所對應的其余各組量都分
角形只是軸對稱圖形不是中心對稱
別相等
圖形.
02
學霸筆記
解題有妙招到斷圖形的軸對稱性和中心
(1)應用定理時，不能忽略“在同圓或等團
對稱性，弄清楚軸對稱圖形和中心對稱圖形
中”這個前捉條件，如果丟掉了這個前提條件，
的概念是關鍵.還要記住對稱軸是一條直線，
即使圓心角相等，它們所對的孤、弦也不一定
中心對稱圖形必須繞著某個點旋轉180.
相等.
【即學即試】見P157各個擊破
(2)我們可以在推論兩個圓心角，兩條孤
兩條弦三組相等的量中再加上一組—兩條
2
圓心角、弧、弦之間的關系定理
弦的弦心距，定理也是成立的，也就是說：同圓
及其推論
或等圓中，如果兩個圓心角，兩條孤，兩條弦，
圓心角：角的頂點在圓心，角的
兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們
所對應的其余各組量都分別相等.我們可以
兩邊與圓有兩個交點，這樣的角叫做
簡單地把圓心角、孤、弦、弦心距之間的關系記
圓心角.
為“等對等關系”即：等圓心角臺等孤臺等孩
弦心距：圓心到弦的距離叫做弦
→等弦心距
心距.（弦心距也可以說成圓心到弦
(3)注意“對應”一詞，如由“弦相等”得出
的垂線段的長)
“孤相等”，這里的“孤相等”指的是對應的劣孤
1定理
和劣弧相等，優弧和優弧相等
在同圓或等圓中，相等的圓心角
例②如圖，AB,CD是⊙O的兩條直
所對的弧相等，所對的弦相等。
徑，CE∥AB.求證：BC=AE=AD
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九年級
數
2m=65-x-1,
5A解析若這個點在圓外，則直徑d=9一4
學
m=65-x
5(cmr=號（cm);若這個點在圓內，則
x,m都是非負數，
直徑d=9十4=13(cm.=號=號(am.故
.取x=26時，m=13,65-x-m=26.
考答
即當x=26時，W最大值=3198.
此圓的半徑為2.5cm或6.5cm
答：安排26人生產乙產品時，可獲得的最大
6點P在⊙O內
鮮析因為關于x的一元二次
利潤為3198元.
方程x2一2x十m=0有兩個不相等的實數根，
第三章
圓
所以有（一2）2一4m>0,解得1<1.又知⊙O
的半徑r=1,所以m圓
7懈回如圖，過點P作PDE
“極速特訓營
⊥AB,垂足為D.由題
意可得，∠APD=30°，
1C解析根據圖的定義對各選項進行判斷：
∠BPD=45.
A.點O為圓心，半徑不確定，故不能確定圓：
設AD=x,在Rt△APD中，PD=√3x
B.2cm長為半徑，圓心不確定，故不能確定圓；
C.以點O為圓心，以5cm長為半徑可確定圓；
在Rt△PBD中，BD=PD=√3x,
D.經過點A,故圓心和半徑都不能確定，故不
∴3.x十x=100,解得x=50(W3-1),
能確定圓，
∴.PD=3.x=50(3-√3)≈63.4>50.
2解E矩形的四個頂點能在同
,森林保護區的中心與直線AB的距離大于
個圓上.如圖，設AC,BD
保護區的半徑，∴.計劃修筑的這條高速公路
的交點為O,則點O是這個
不會穿過保護區
圓的圓心
2圓的對稱性
證明如下：四邊形ABCD是矩形，
..0A=OC=OB=OD.
極速特訓營
∴.點A,B,C,D在以點O為圓心，OA為半徑
1D2B3C4125
的圓上
5證明臉AC=C,
3D
∴.∠AOC=∠BOC,
4C解析.在△ABC中，
∴.∠AOE=∠BOE.
∠ACB=90°，AB=5,BC=4,
,OA,OB是⊙O的半徑，
.AC=√AB-BC2=3,
..OA=OB.
點C在⊙A內且點B在⊙A外，
又OE=OE,
∴AC.△AOE≌△BOE,
知，只有選項C符合
∴.AE=BE.
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九牛級
6解如圖，作點A關于MN的對稱點A',連接
∴.AC=OC
A'B,交MN于點P,則點P即為所求.連接
同理BD=OD.
學
OA',OB,PA,AM',則∠A'ON=∠AON=
又OC=OD,.AC=BD,
60°，PA=PA'
∴AC=BD
,點B是N的中點，∴∠BON=30°，
8證明E如圖，作OM⊥BD于點M,ON⊥CE于
∴.∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90.
點N
參考答案
又，OB=OA'=1,A'B=√2，
∴.PA+PB=PA'+PB=A'B=√2
即PA十PB的最小值為√2.
B
,AO平分∠DAE,.OM=ON,
∴.BD=CE
,OM⊥BD,ON⊥CE,
7證明E方法1：如圖，連接OC,OD,則OC
MB=DB.NC-CE..MB=NC.
=OD.
∠AMO=∠ANO.
在△AMO和△ANO中，∠MAO=∠NAO.
OA=OA,
B
∴.△AM≌△ANO,.AM=AN,
∴.AB=AC
3
垂徑定理
0A=0B,且0M=0A.0N=0B,
·極速特訓營
∴.OM=ON.又，CM⊥AB,DN⊥AB,
.Rt△COM≌R1△DON,
1B
解析，AB是⊙O的直徑，AB⊥CD,
.∠COM=∠DON,
CE=2CD-12∠0BC=90,
∴.Ac-D.
方法2：如圖，連接AC,BD,OC,OD.
2AB=13,
cos∠0E-票=最故選B
22√3
3解如圖所示，過點O作OP⊥AB,垂足為P,
連接AO,
M是AO的中點，且CMLAB,
OP過圓心，OP⊥AB,
<配北師大版數學九年級下1275
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