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8圓內接正多邊形
孕習月標
1.了解圓內接正多邊形的定義及有關概念.
2.理解正多邊形與其外接圓的關系！
3.會求圓內接正多邊形的中心角、邊長、邊心距、
回某教育園區要在一塊
半徑、周長和面積
圓形綠化場地上建造一
4.會用尺規作圖的辦法作一個圓的某些內接正多
個正五邊形的花壇，要
邊形。
求正五邊形花壇的頂點
都在圓上，你能幫忙畫
溫故知新
出設計草圖嗎？學習了
1.n邊形的內角和為(n一2)·180°(n≥3)，外角和
本節知識，你就能獨立
為360°
完成設計了！
2.三角形外接圓圓心是三條邊的垂直平分線的交
點，內切圓圓心是三條內角平分線的交點
3.各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形
課堂直播間
造就免階不兔的你
1圓內接正多邊形的有關概念
續表
(1)頂點都在同一圓上的正多邊
定義
形叫做圓內接正多邊形.這個圓叫做
正多邊形每條邊所對的圓心
中心角
該正多邊形的外接圓.
角叫做正多邊形的中心角
正多邊形的中心到正多邊形
(2)圓內接正多邊形的相關
邊心距
的一條邊的距離叫做正多邊
概念
形的邊心距
定義
識多一點點
(1)任意一個正多邊形一定有
正多邊形的外接圓的圓心叫
一個外接圓和一個內切圓.
中心
做正多邊形的中心
(2)正多邊形的中心既是其外接圓的圓
正多邊形的外接圓的半徑叫
心，也是其內切圓的圓心
半徑
做正多邊形的半徑
(3)正多邊形的半徑是其外接圓的半徑
正多邊形的邊心距是其內切圓的半徑
×配北師大版數學九年級下199
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逸保堂直
剛①如圖，△ABC是⊙O的內接等腰
2
圓內接正多邊形的有關計算
三角形，頂角∠BAC=36°，弦BD,
名稱
公式
CE分別平分∠ABC,∠ACB.
正邊形的每個內角為
求證：五邊形AEBCD是正五邊形.
內角
(m-2)·180°=180°-360

正n邊形的每個中心角
視頻講解
中心角
為360
證明3.：在△ABC中，AB=AC,
外角
正n邊形的每個外角為360
∠BAC=36°，
∴.∠ABC=∠ACB=72.
正n邊形的周長為ia(a為
周長
.'BD,CE分別平分∠ABC,∠ACB,
正n邊形的邊長)
'.∠ABD=∠DBC=∠ACE=
正n邊形的面積為
nar (a
∠BCE=36°，
面積
為正n邊形的邊長，r為正多
∴.∠BAC=∠DBC=∠ABD=
邊形的邊心距)
∠ACE=∠BCE,∴.BC=CD=DA
識多一點點
特殊國內接正多邊形的邊長、
-AE-BE,
半徑、邊心距之比：
∴.五邊形AEBCD是正五邊形
邊長、半徑、
章
正多邊形
圖形
解題有妙招征明一個多邊形是正多邊形
邊心距之比
的方法：(1)需證明該多邊形各角相等，各邊也
相等
正三角形
2W3:2:1
(2)需證明多邊形的外接圓的圓周被多邊
形的頂點(n為多邊形的邊數，n≥3)等分.因
為相鄰等分點間的孤相等，所以所對的弦（多
正四邊形
2:√2：1
邊形的邊)相等，相鄰兩弦所夾的角（多邊形的
內角)相等，這樣的多邊形是正多邊形，當題中
給出多邊形的外接圓時，這是證明正多邊形
正六邊形
2:2:3
的常用方法
【即學即試】見P206各個擊破一
2001配北師大版數學九年級下
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九年級
數
2m=65-x-1,
5A解析若這個點在圓外，則直徑d=9一4
學
m=65-x
5(cmr=號（cm);若這個點在圓內，則
x,m都是非負數，
直徑d=9十4=13(cm.=號=號(am.故
.取x=26時，m=13,65-x-m=26.
考答
即當x=26時，W最大值=3198.
此圓的半徑為2.5cm或6.5cm
答：安排26人生產乙產品時，可獲得的最大
6點P在⊙O內
鮮析因為關于x的一元二次
利潤為3198元.
方程x2一2x十m=0有兩個不相等的實數根，
第三章
圓
所以有（一2）2一4m>0,解得1<1.又知⊙O
的半徑r=1,所以m圓
7懈回如圖，過點P作PDE
“極速特訓營
⊥AB,垂足為D.由題
意可得，∠APD=30°，
1C解析根據圖的定義對各選項進行判斷：
∠BPD=45.
A.點O為圓心，半徑不確定，故不能確定圓：
設AD=x,在Rt△APD中，PD=√3x
B.2cm長為半徑，圓心不確定，故不能確定圓；
C.以點O為圓心，以5cm長為半徑可確定圓；
在Rt△PBD中，BD=PD=√3x,
D.經過點A,故圓心和半徑都不能確定，故不
∴3.x十x=100,解得x=50(W3-1),
能確定圓，
∴.PD=3.x=50(3-√3)≈63.4>50.
2解E矩形的四個頂點能在同
,森林保護區的中心與直線AB的距離大于
個圓上.如圖，設AC,BD
保護區的半徑，∴.計劃修筑的這條高速公路
的交點為O,則點O是這個
不會穿過保護區
圓的圓心
2圓的對稱性
證明如下：四邊形ABCD是矩形，
..0A=OC=OB=OD.
極速特訓營
∴.點A,B,C,D在以點O為圓心，OA為半徑
1D2B3C4125
的圓上
5證明臉AC=C,
3D
∴.∠AOC=∠BOC,
4C解析.在△ABC中，
∴.∠AOE=∠BOE.
∠ACB=90°，AB=5,BC=4,
,OA,OB是⊙O的半徑，
.AC=√AB-BC2=3,
..OA=OB.
點C在⊙A內且點B在⊙A外，
又OE=OE,
∴AC.△AOE≌△BOE,
知，只有選項C符合
∴.AE=BE.
2741配北師大版數學九年級下，
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九牛級
6解如圖，作點A關于MN的對稱點A',連接
∴.AC=OC
A'B,交MN于點P,則點P即為所求.連接
同理BD=OD.
學
OA',OB,PA,AM',則∠A'ON=∠AON=
又OC=OD,.AC=BD,
60°，PA=PA'
∴AC=BD
,點B是N的中點，∴∠BON=30°，
8證明E如圖，作OM⊥BD于點M,ON⊥CE于
∴.∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90.
點N
參考答案
又，OB=OA'=1,A'B=√2，
∴.PA+PB=PA'+PB=A'B=√2
即PA十PB的最小值為√2.
B
,AO平分∠DAE,.OM=ON,
∴.BD=CE
,OM⊥BD,ON⊥CE,
7證明E方法1：如圖，連接OC,OD,則OC
MB=DB.NC-CE..MB=NC.
=OD.
∠AMO=∠ANO.
在△AMO和△ANO中，∠MAO=∠NAO.
OA=OA,
B
∴.△AM≌△ANO,.AM=AN,
∴.AB=AC
3
垂徑定理
0A=0B,且0M=0A.0N=0B,
·極速特訓營
∴.OM=ON.又，CM⊥AB,DN⊥AB,
.Rt△COM≌R1△DON,
1B
解析，AB是⊙O的直徑，AB⊥CD,
.∠COM=∠DON,
CE=2CD-12∠0BC=90,
∴.Ac-D.
方法2：如圖，連接AC,BD,OC,OD.
2AB=13,
cos∠0E-票=最故選B
22√3
3解如圖所示，過點O作OP⊥AB,垂足為P,
連接AO,
M是AO的中點，且CMLAB,
OP過圓心，OP⊥AB,
<配北師大版數學九年級下1275
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