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27世紀戴自
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九牛級
數
附：本書參考答案及解析
參考答
第一章
直角三角形的邊角關系
61解，∠C=90°，AB=5,BC=3,
∴.AC=√AB形-BC=√52-32=4，
1
銳角三角函數
sin A=
BC3
”極速特訓營
7D(解析如圖，在Rt△ABC中，
B
1A
2l解曰設DE=x(x>0).
sin a=4=4
=5,故設a=4k,c=a
DE-DF.DF-28
5k(k>0).由勾股定理，得b=C0
在Rt△DEF中，，∠E=90°，
∴.EF=√/DF2-DE=√(2x)2-x2=√5x,
81解3，∠C=∠BED=90°，∠B=∠B.
∴.△ACB∽△DEB,∴.∠A=∠BDE.
∴tanD=
DE
.AB=10,BC=6,
、3
.AC=√AB-B7=√/102-62=8，
3
3B
m∠BDE=mA-S號，
BC3
4解E分別過B,C作梯
coS∠BDE=cosA=
B=5
形的高BE,CF,如
圖所示，
tan∠BDE=tanA=
BE=CF=2 m.EF=BC=2.8 m.
9(1)l證明胞，'AD=DC,DE=DF,
,斜坡AB的坡度i=1:√3，
.四邊形AECF是平行四邊形，
.BE:AE=1:3,
DE⊥AC,∴.四邊形AECF是菱形.
∴.AE=√3BE=2W3m
2愿瓷=子
又：'四邊形ABCD為等腰梯形，
,∴.設BE=a,則EC=4a,
∴.DF=AE=2W3m,
,四邊形AECF是菱形，
.AD=AE+EF+FD=2W3+2.8+2√3≈
∴.AE=EC=4a,AE∥FC,
9.7(m).
.∠BCF=∠BEA,
故路基的下底寬約為9.7m.
在Rt△ABE中，AB=√AE-BE=
5號
√(4a)2-a2=√15a,
2541配北師大版數學九年級下，
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AB
15a
.湖岸A與碼頭C的距離為1559米
.tan∠BCF=tan∠BEA=
數
BE
(2)設快艇將游客送上救援船所用時間為t
學
=w√/15.
分鐘，
2
30°，45°，60°角的三角函數值
由題意可得150t+400t=900+1559,
解得t≈4.475，
“極速特訓營
∴.在接到通知后，快艇能在5分鐘內將該游客
考答
1E4)原式=2×9-1-V0-32=3
送上救援船。
2
6解9方法1：如圖(1)，延長CB至點D,使BD
-1-√5+1=0：
=AB,連接AD,則∠D=∠DAB=15
(2)原式=22+4-4x號=4：
2
(3)原式=號-3×號+1+25=號+5
3
2
=3+23
2
(1)
2C3641a
由AB=2,BC=3,得CD=2+√3.
5引懈3(1)過點A作CB
又：AC-1.在R△ACD中，mD-S
北
的垂線，交CB的延西
→東
1
=2-√3，即tan15°=2-√3.
2+√3
長線于點D,如圖
南
方法2：如圖(2)，延長AB至點D,使BD=
所示，
B
BC,連接CD,過點B作BE∥CD,交AC于點
由題意可得，∠VAB=
E,易知∠EBC=15
60,∠VAC=30°，
D
CB=900米，
E
則∠CAD=60°，∠BAD=30°，
設BD=x米，則AB=2x米，
AD=√3x米，CD=(900+x)米，
在R△AD中，tam∠CAD-器
(2)
3=900+工，解得x=450,
筋能，即是=1二C
BE∥CDA"=.
EC
√5x
在R△ACD中，sin∠CAD=
∴.EC=23-3.
AC
在Rt△BEC中，
AC=900+45@=900V3=900×1.732
tan∠EBC
C_2B-3=2-3,
2
B
√3
1558.8≈1559（米），
tan15=2-√5.
<配北師大版數學九年級下1255
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5三角函數的應用
學習淚標
1.掌握三角函數在實際問題中的應用
2.能夠把實際問題轉化為數學問題，提高解決實
際問題的能力
3.把直角三角形的邊角關系與實際問題聯系起
來，在解決實際問題時，養成“先畫圖，再求解”
回大雁塔是西安市的標
的習慣。
志性建筑和著名古跡，
盒故知新
站在遠近不同的位置看
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A,∠B,∠C所對
塔頂，你們會有怎樣的
的邊分別為a,b,c.則sinA=a=cosB,cosA
發現？
=sin B,tan A=a
1
tan B
課堂直播問
駿就死所不能的你
直角三角形邊角之間關系的實
的含義，如仰角、俯角、跨度、坡角、坡
際應用
度、方向角等。
(2)轉化：將已知條件轉化為示
在解決實際問題時，要學會將實
際問題轉化為數學問題來解決，具體
意圖中的邊、角或它們之間的關系，
把實際問題轉化為解直角三角形的
地說，就是將某些實際問題中的數量
問題.若沒有現成的直角三角形可供
關系歸結為直角三形中的邊角之間
使用，則可通過添加輔助線構造直角
的關系，這樣就可以運用直角三角形
三角形，再把條件和問題轉化到這個
中邊角之間的關系解決問題.一般有
直角三角形中，從而把實際問題轉化
以下幾個步驟：
為解直角三角形的問題，
(1)審題：認真分析題意，根據題
(3)求解：確定合適的邊角關系，
目中的已知條件，畫出正確的平面圖
細心推理計算。
或截面示意圖，并通過圖形弄清已知
常見的基本圖形及相應的關系
和未知.明確題目中的一些名詞術語
×配北師大版數學九年級下131
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式如表所示：
單位：m
圖形
關系式
BD=CE,
AC=BC·tana,
B
AE=AC+CE
D
A.(4+3sin a)m
B.(43tan a)m
BC=DC-BD=AD·
C.(+sinc)m
D.(m
(tan a-tan B)
解析過點A作AD⊥BC于D,如圖
所示，
章
AB=DE=AE·tan3,
E
CD=CE十DE=AE·
單位：m
tan atan B)
BC
BD+
DC
4
AD(
1十
tan a'tan B
它是一個軸對稱圖形，
BD=BC-DC=AC·
1
1
∴BD=DC=
1BC=3 m,
2
tan a tan B
aBc
ADAD
DL
AG=AC+CG=AC
,∴.tana
BD
3
+BE
.'.AD=3tan a m,
BC=BE+EF+CF=
.房頂A離地面EF的高度為(4十
BE+AD十CF=AD十
3tan a)m.
B
1
例②（安徽中考）如圖所示，防洪大堤
tan a
tan B
的橫斷面是梯形ABCD,其中AD∥
例①(2022·浙江金華中考)一配電
BC,坡角a=60°，汛期來臨前對其進
房示意圖如圖所示，它是一個軸對稱
行了加固，改造后的背水面坡角=
圖形，己知BC=6m,∠ABC=a,則
45°.若原坡長AB=20m,求改造后
房頂A離地面EF的高度為(
的坡長AE(結果保留根號).
321配北師大版數學九年級下，
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