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6
直線和圓的位置關(guān)系
學習淚標
1.理解直線和圓的三種位置關(guān)系和三角形的內(nèi)
切圓的有關(guān)概念，
2.知道切線的概念，探索切線的性質(zhì)，能判定
回@在天氣晴朗的早晨看
條直線為圓的切線.
日出時，如果把太陽看
作圓，把地平線看作
3.會運用切線的判定和性質(zhì)進行有關(guān)計算和證明
條直線，冉冉升起的太
盒敵知新
陽與地平線有怎樣的位
點和圓的位置關(guān)系是由這個點到圓心的距離
置關(guān)系？帶著這個問
與半徑的大小關(guān)系決定的.如果圓的半徑是r,這
題，我們一起學習直線
個點到圓心的距離為d,那么：
與圓的位置關(guān)系吧
(1)點在圓外臺d>r;(2)點在圓上臺d=r;
(3)點在圓內(nèi)→d課堂直播間
婆就免所不能的你
1
直線和圓的位置關(guān)系
的半徑
直線和
識多一點點
(1)判斷直線和圓的位置關(guān)
系有兩種方法：①根據(jù)公共點的個數(shù)判定：
圓的位
相交
相切
相離
②根據(jù)圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)
置關(guān)系
系確定
d與
(2)直線和圓的位置關(guān)系與圓心到直線的
dd=r
d>r
的關(guān)系
距離d和半徑”的大小關(guān)系是互逆的.以相交
為例：：直線l與⊙O相交，∴，dr,∴。直線1與⊙O相交.相切和相離也同樣
圖例
成立
直線名稱
割線
切線
例①如圖，在Rt△ABC中，∠C=
公共點
90°，AC=6cm,BC=8cm,則直線
0
個數(shù)
AB和以點C為圓心，”為半徑的圓
注：d為圓心到直線l的距離，為圓
有何位置關(guān)系？為什么？
×配北師大版數(shù)學九年級下1179
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課堂直播
和⊙C相離；
(2)當r=4.8cm時，CD=r,直線
AB和⊙C相切；
(3)當r=7cm時，CD(1)r=4cm;
和⊙C相交，
(2)r=4.8cm;
)解題有妙招我們要求的CD實際上是
(3)r=7cm.
Rt△ABC斜邊上的高，Rt△ABC的面積可以
分析判斷直線AB與⊙C的位置關(guān)
用AB·CD和號AC·BC兩種方法未表
系，需要比較圓心到直線的距離與半
示，它們是相等的，所以得到AB·CD=AC·
徑的大小關(guān)系，半徑數(shù)值已有，只要
BC,從而求出CD的值，我們把這種方法叫等
求出圓心到直線的距離，進行比較
積法.在直角三角形中，我們常用這種方法求
即可.
斜邊上的高.實際上，任何一個圖形，只要它的
面積能用兩種不同的方法表示，就可以用等
解過點C作CD⊥AB于點D,
積法來求線段長
如圖.
【即學即試】見P190各個擊破一
2圓的切線的概念和性質(zhì)
直線和圓有唯一的公共點（即直
●
線和圓相切)時，這條直線叫做圓的
章
切線，這個唯一的公共點叫做切點.
●
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC
切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直
6
cm,BC=8cm,則AB
于過切點的半徑
WAC2+BC2=√/62+82=10(cm).
:Sc=2AB.CD=2AC·BC,
.AB·CD=AC·BC,即10×CD
學霸筆記
=6×8,
(1)切線的性質(zhì)定理用幾何符號表示：
.∴.CD=4.8cm.
直線l切⊙O于點A,.OA⊥.
(1)當r=4cm時，CD>r,直線AB
(2)當有已知的切線時，常常連接切，點和
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九年級
數(shù)
2m=65-x-1,
5A解析若這個點在圓外，則直徑d=9一4
學
m=65-x
5(cmr=號（cm);若這個點在圓內(nèi)，則
x,m都是非負數(shù)，
直徑d=9十4=13(cm.=號=號(am.故
.取x=26時，m=13,65-x-m=26.
考答
即當x=26時，W最大值=3198.
此圓的半徑為2.5cm或6.5cm
答：安排26人生產(chǎn)乙產(chǎn)品時，可獲得的最大
6點P在⊙O內(nèi)
鮮析因為關(guān)于x的一元二次
利潤為3198元.
方程x2一2x十m=0有兩個不相等的實數(shù)根，
第三章
圓
所以有（一2）2一4m>0,解得1<1.又知⊙O
的半徑r=1,所以m圓
7懈回如圖，過點P作PDE
“極速特訓營
⊥AB,垂足為D.由題
意可得，∠APD=30°，
1C解析根據(jù)圖的定義對各選項進行判斷：
∠BPD=45.
A.點O為圓心，半徑不確定，故不能確定圓：
設AD=x,在Rt△APD中，PD=√3x
B.2cm長為半徑，圓心不確定，故不能確定圓；
C.以點O為圓心，以5cm長為半徑可確定圓；
在Rt△PBD中，BD=PD=√3x,
D.經(jīng)過點A,故圓心和半徑都不能確定，故不
∴3.x十x=100,解得x=50(W3-1),
能確定圓，
∴.PD=3.x=50(3-√3)≈63.4>50.
2解E矩形的四個頂點能在同
,森林保護區(qū)的中心與直線AB的距離大于
個圓上.如圖，設AC,BD
保護區(qū)的半徑，∴.計劃修筑的這條高速公路
的交點為O,則點O是這個
不會穿過保護區(qū)
圓的圓心
2圓的對稱性
證明如下：四邊形ABCD是矩形，
..0A=OC=OB=OD.
極速特訓營
∴.點A,B,C,D在以點O為圓心，OA為半徑
1D2B3C4125
的圓上
5證明臉AC=C,
3D
∴.∠AOC=∠BOC,
4C解析.在△ABC中，
∴.∠AOE=∠BOE.
∠ACB=90°，AB=5,BC=4,
,OA,OB是⊙O的半徑，
.AC=√AB-BC2=3,
..OA=OB.
點C在⊙A內(nèi)且點B在⊙A外，
又OE=OE,
∴AC.△AOE≌△BOE,
知，只有選項C符合
∴.AE=BE.
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九牛級
6解如圖，作點A關(guān)于MN的對稱點A',連接
∴.AC=OC
A'B,交MN于點P,則點P即為所求.連接
同理BD=OD.
學
OA',OB,PA,AM',則∠A'ON=∠AON=
又OC=OD,.AC=BD,
60°，PA=PA'
∴AC=BD
,點B是N的中點，∴∠BON=30°，
8證明E如圖，作OM⊥BD于點M,ON⊥CE于
∴.∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90.
點N
參考答案
又，OB=OA'=1,A'B=√2，
∴.PA+PB=PA'+PB=A'B=√2
即PA十PB的最小值為√2.
B
,AO平分∠DAE,.OM=ON,
∴.BD=CE
,OM⊥BD,ON⊥CE,
7證明E方法1：如圖，連接OC,OD,則OC
MB=DB.NC-CE..MB=NC.
=OD.
∠AMO=∠ANO.
在△AMO和△ANO中，∠MAO=∠NAO.
OA=OA,
B
∴.△AM≌△ANO,.AM=AN,
∴.AB=AC
3
垂徑定理
0A=0B,且0M=0A.0N=0B,
·極速特訓營
∴.OM=ON.又，CM⊥AB,DN⊥AB,
.Rt△COM≌R1△DON,
1B
解析，AB是⊙O的直徑，AB⊥CD,
.∠COM=∠DON,
CE=2CD-12∠0BC=90,
∴.Ac-D.
方法2：如圖，連接AC,BD,OC,OD.
2AB=13,
cos∠0E-票=最故選B
22√3
3解如圖所示，過點O作OP⊥AB,垂足為P,
連接AO,
M是AO的中點，且CMLAB,
OP過圓心，OP⊥AB,
<配北師大版數(shù)學九年級下1275
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