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21世紀載自
章木好時光
ZHANGMO HAO SHIGUANG
知識常青藤
今吳永脫是起動線
圓心
確定圓的要素
半徑
半圓：半圓是弧，但弧不一定是半圓
圓的有關概念
弧劣孤
優弧
等弧
弦
直徑：直徑是弦：但弦不定是直徑
圓是軸對稱圖形
軸對稱
對稱軸任意一條過圓心的直線
垂徑定理及其推論
對稱性
圓是中心對稱圖形
中心對稱
對稱中心圓心
圓心角、弧、弦之間的關系
圓心角頂點在圓心上
圓周角頂點在圓周上，
角兩邊和圓相交
圓的有關性質
角的有關性質
圓周角定理
圓周角定理的推論
圓內接四邊形的性質定理
圓
確定圓的條件不在同條直線上的二個點確定個廁
三角形的外接圓一外心
三角形的內切圓一內心
相離(d>)
切線的性質
直線和圓的位置關系，
相切(d=
切線的判定
相交d切線長定理
頂點在同一圓上的正多邊形叫做圓內接正多
外接圓邊形，這個圓叫做該正多邊形的外接圓
有關概念
中心角
正邊形的中心角為360
4月sh
邊心距
圓內接正多邊形
尺規作圓的內接正多邊形
I=nTR
弧長公式
180
圓的有關計算
S據=九TR
.360
扇形面積公式
1
Sa6=子
444e444
<配北師大版數學九年級下1215
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∠HANGMU HAU SHIGUANG
考情觀察室
不是盡功，是一定要殿到
專題
垂徑定理
在Rt△PAM中，PM=5,MA=3,
.PA=√52-32=4.又點P在第
解讀垂徑定理一直是圓中考查
四象限，點P的坐標為(4，一7)
的重點內容，主要考查與垂徑定理
故選C.
有關的計算和垂徑定理的綜合應
用.利用垂徑定理解題的基本方法
是構造由半徑、弦長的一半和弦心
M
L--p
距圍成的直角三角形，通過解直角
三角形來解決問題，它是圓中求半
徑、弦長、弦心距、圓心角等常用的
解題方法，
拓/展/演/練
1(寧夏銀川中考)銀川市某居民區
例①如圖所示，半徑為5的⊙P與y
處圓形下水管道破裂，修理人員
軸分別相交于M(0,一4)，N(0,
準備更換一段新管道，如圖所示，
一10)兩點，則圓心P的坐標
污水水面寬度為60cm,水面至管
為(
道頂端距離為10cm,則修理人員
應準備內徑多大的管道？
視頻講解
+60 cm+
P
A
10 cm
0
A.(5,-4)
B.(4,-5)
C.(4,-7)
D.(5,-7)
解析如圖所示，過點P作PA⊥
MN,垂足為點A.求出線段PA和
OA的長即可求出點P的坐標.由垂
徑定理，可得MA=
2MN=3,而
OM=4,所以OA=7.連接PM.
2161配北師大版數學九年級下：
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九年級
數
2m=65-x-1,
5A解析若這個點在圓外，則直徑d=9一4
學
m=65-x
5(cmr=號（cm);若這個點在圓內，則
x,m都是非負數，
直徑d=9十4=13(cm.=號=號(am.故
.取x=26時，m=13,65-x-m=26.
考答
即當x=26時，W最大值=3198.
此圓的半徑為2.5cm或6.5cm
答：安排26人生產乙產品時，可獲得的最大
6點P在⊙O內
鮮析因為關于x的一元二次
利潤為3198元.
方程x2一2x十m=0有兩個不相等的實數根，
第三章
圓
所以有（一2）2一4m>0,解得1<1.又知⊙O
的半徑r=1,所以m圓
7懈回如圖，過點P作PDE
“極速特訓營
⊥AB,垂足為D.由題
意可得，∠APD=30°，
1C解析根據圖的定義對各選項進行判斷：
∠BPD=45.
A.點O為圓心，半徑不確定，故不能確定圓：
設AD=x,在Rt△APD中，PD=√3x
B.2cm長為半徑，圓心不確定，故不能確定圓；
C.以點O為圓心，以5cm長為半徑可確定圓；
在Rt△PBD中，BD=PD=√3x,
D.經過點A,故圓心和半徑都不能確定，故不
∴3.x十x=100,解得x=50(W3-1),
能確定圓，
∴.PD=3.x=50(3-√3)≈63.4>50.
2解E矩形的四個頂點能在同
,森林保護區的中心與直線AB的距離大于
個圓上.如圖，設AC,BD
保護區的半徑，∴.計劃修筑的這條高速公路
的交點為O,則點O是這個
不會穿過保護區
圓的圓心
2圓的對稱性
證明如下：四邊形ABCD是矩形，
..0A=OC=OB=OD.
極速特訓營
∴.點A,B,C,D在以點O為圓心，OA為半徑
1D2B3C4125
的圓上
5證明臉AC=C,
3D
∴.∠AOC=∠BOC,
4C解析.在△ABC中，
∴.∠AOE=∠BOE.
∠ACB=90°，AB=5,BC=4,
,OA,OB是⊙O的半徑，
.AC=√AB-BC2=3,
..OA=OB.
點C在⊙A內且點B在⊙A外，
又OE=OE,
∴AC.△AOE≌△BOE,
知，只有選項C符合
∴.AE=BE.
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九牛級
6解如圖，作點A關于MN的對稱點A',連接
∴.AC=OC
A'B,交MN于點P,則點P即為所求.連接
同理BD=OD.
學
OA',OB,PA,AM',則∠A'ON=∠AON=
又OC=OD,.AC=BD,
60°，PA=PA'
∴AC=BD
,點B是N的中點，∴∠BON=30°，
8證明E如圖，作OM⊥BD于點M,ON⊥CE于
∴.∠A'OB=∠A'ON+∠BON=90.
點N
參考答案
又，OB=OA'=1,A'B=√2，
∴.PA+PB=PA'+PB=A'B=√2
即PA十PB的最小值為√2.
B
,AO平分∠DAE,.OM=ON,
∴.BD=CE
,OM⊥BD,ON⊥CE,
7證明E方法1：如圖，連接OC,OD,則OC
MB=DB.NC-CE..MB=NC.
=OD.
∠AMO=∠ANO.
在△AMO和△ANO中，∠MAO=∠NAO.
OA=OA,
B
∴.△AM≌△ANO,.AM=AN,
∴.AB=AC
3
垂徑定理
0A=0B,且0M=0A.0N=0B,
·極速特訓營
∴.OM=ON.又，CM⊥AB,DN⊥AB,
.Rt△COM≌R1△DON,
1B
解析，AB是⊙O的直徑，AB⊥CD,
.∠COM=∠DON,
CE=2CD-12∠0BC=90,
∴.Ac-D.
方法2：如圖，連接AC,BD,OC,OD.
2AB=13,
cos∠0E-票=最故選B
22√3
3解如圖所示，過點O作OP⊥AB,垂足為P,
連接AO,
M是AO的中點，且CMLAB,
OP過圓心，OP⊥AB,
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