資源簡介

8.1　基本立體圖形
第1課時　棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征
1.空間幾何體
(1)由若干個____________________圍成的空間幾何體叫做多面體.
(2)一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的__________旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面,封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體.
2.棱柱
有兩個面互相______________,其余各面都是__________,并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相__________,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.
3.什么是直棱柱、正棱柱,它們有怎樣的關(guān)系
4.棱錐
有一個面是________,其余各面都是______________,由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.
5.棱臺
用一個______________的平面去截棱錐,底面和截面之間的部分叫做棱臺.
6.棱臺的各側(cè)棱延長線一定相交于一點嗎
【基礎(chǔ)鞏固組】
一、單選題
1.下列命題中,正確的是 (　　)
A.有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱
B.棱柱中互相平行的兩個面叫做棱柱的底面
C.棱柱的側(cè)面是平行四邊形,但底面不是平行四邊形
D.棱柱的側(cè)棱都相等,側(cè)面是平行四邊形
2.如圖,在三棱臺ABC-A1B1C1中,截去三棱錐A1-ABC,則剩余的部分是 (　　)
A.三棱錐 B.四棱錐
C.三棱柱 D.五棱錐
3.以下各種情況中,是長方體的是 (　　)
A.直平行六面體
B.側(cè)面是矩形的四棱柱
C.底面是矩形的平行六面體
D.底面是矩形的直棱柱
4.如圖,將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個小角度,則傾斜后水槽中的水形成的幾何體是 (　　)
A.棱柱
B.棱臺
C.棱柱與棱錐的組合體
D.不能確定
二、多選題
5.下列關(guān)于棱臺的說法中正確的是 (　　)
A.所有的側(cè)棱交于一點
B.只有兩個面互相平行
C.上、下兩個底面全等
D.所有的側(cè)面不存在兩個面互相平行
6.一個幾何體有6個頂點,則這個幾何體可能是 (　　)
A.三棱柱　　　　　　B.三棱臺
C.五棱錐 D.四面體
三、填空題
7.如圖所示,在正方形ABCD中,E,F分別為CD,BC的中點,沿AE,AF,EF將其折成一個多面體,則此多面體是________.
8.(教材改編題)如圖所示,關(guān)于幾何體的正確說法的序號為________________.
(1)這是一個六面體;
(2)這是一個四棱臺;
(3)這是一個四棱柱;
(4)此幾何體可由三棱柱截去一個小三棱柱得到;
(5)此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱得到.
四、解答題
9.如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1,其中E,F,G,H是三棱柱對應(yīng)邊上的中點,過此四點作截面EFGH,把三棱柱分成兩部分,各部分形成的幾何體是棱柱嗎 如果是,是幾棱柱,并用符號表示;如果不是,請說明理由.
10.如圖,在三棱錐V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,過點A作截面AEF,求△AEF周長的最小值.
【素養(yǎng)提升組】
一、選擇題
1.(教材改編題)關(guān)于如圖所示的4個幾何體,說法正確的是 (　　)
A.只有②是棱柱　　　 B.只有②④是棱柱
C.只有①②是棱柱 D.只有①②④是棱柱
2.已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為4 cm,高為10 cm,則一質(zhì)點自點A出發(fā),沿著三棱柱的側(cè)面,繞行兩周到達點A1的最短路線的長為 (　　)
A.16 cm B.12 cm
C.24 cm D.26 cm
二、填空題
3.下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法:
①棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形;
②棱錐的側(cè)面只能是三角形;
③由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐;
④棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.
其中正確說法的序號是________.
4.一個正方體的六個面上分別標(biāo)有字母A,B,C,D,E,F,如圖是此正方體的兩種不同放置,則與D面相對的面上的字母是________.
三、解答題
5.(教材改編題)如圖,已知長方體ABCD -A1B1C1D1.
(1)這個長方體是棱柱嗎 如果是,是幾棱柱 為什么
(2)用平面BCEF把這個長方體分成兩部分,各部分幾何體的形狀是什么
6.給出兩塊正三角形紙片(如圖所示),要求將其中一塊剪拼成一個底面為正三角形的三棱錐模型,另一塊剪拼成一個底面是正三角形的三棱柱模型,請設(shè)計一種剪拼方案,分別用虛線標(biāo)示在圖中,并作簡要說明.
第八章　立體幾何初步
8.1　基本立體圖形
第1課時　棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征
必備知識·落實
1.(1)平面多邊形　(2)一條定直線
2.平行　四邊形　平行
3.側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱,底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱,正棱柱一定是直棱柱.
4.多邊形　有一個公共頂點的三角形
5.平行于棱錐底面
6.一定相交于一點
知能素養(yǎng)·進階
【基礎(chǔ)鞏固組】
1.D　由棱柱的定義可知,只有D正確,分別構(gòu)造圖形如圖所示:
圖①中平面ABCD與平面A1B1C1D1平行,但四邊形ABCD與A1B1C1D1不全等,故A錯;圖②中正六棱柱的相對側(cè)面ABB1A1與EDD1E1平行,但不是底面,B錯;圖③中正四棱柱底面ABCD是正方形,C錯.
2.B　剩余部分是以四邊形BCC1B1為底面,A1為頂點的四棱錐.
3.D　由長方體的底面是矩形且側(cè)棱與底面垂直可知長方體是底面是矩形的直棱柱.
4.A　易知有水的部分始終有兩個平面平行,而其余各面都易知是平行四邊形(水面與兩平行平面的交線),因此呈棱柱形狀.
5.ABD　由棱臺的定義可知:棱臺的所有的側(cè)棱交于一點,A正確;只有兩個面互相平行,就是上、下底面平行,B正確;上、下兩個底面相似,C不正確;所有的側(cè)面不存在兩個面互相平行,D正確.
6.ABC　對于A,三棱柱是上下兩個三角形,有6個頂點,滿足題意;對于B,三棱臺是上下兩個三角形,有6個頂點,滿足題意;對于C,五棱錐的底面為五邊形,再加一個頂點,共有6個頂點,滿足題意;對于D,四面體的頂點個數(shù)為4個,不滿足題意.
7.【解析】折疊后,各面均為三角形,且點B,C,D重合為一點,因此該多面體為三棱錐(四面體).
答案:三棱錐(四面體)
8.【解析】(1)正確,因為有六個面,屬于六面體的范圍;
(2)錯誤,因為側(cè)棱的延長線不能交于一點,所以不正確;
(3)正確,如果把幾何體放倒就會發(fā)現(xiàn)是一個四棱柱;
(4)(5)都正確,如圖①②所示.
答案:(1)(3)(4)(5)
9.【解析】都是棱柱,截面以上的幾何體是三棱柱AEF-A1HG,截面以下的幾何體是四棱柱BEFC-B1HGC1.
10.【解析】將三棱錐沿側(cè)棱VA剪開,并將其側(cè)面展開平鋪在一個平面上,如圖,線段AA1的長為所求△AEF周長的最小值.
因為∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,所以∠AVA1=90°.
又VA=VA1=4,所以AA1=4.
所以△AEF周長的最小值為4.
【素養(yǎng)提升組】
1.D　棱柱是多面體中最簡單的一種,有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行.
圖①中,滿足棱柱的定義,正確;圖②中,滿足棱柱的定義,正確;圖③中,不滿足棱柱的定義,不正確;圖④中,滿足棱柱的定義,是四棱柱,正確.
2.D　將正三棱柱ABC-A1B1C1沿側(cè)棱展開,再拼接一個,如圖所示,
最短距離是六個小矩形拼成的矩形對角線的連線的長度,即為三棱柱的側(cè)面上所求路線的最小值.由已知,拼成的矩形的長等于6×4=24 cm,寬等于10 cm,
所以最短路線為l==26 cm.
3.【解析】①正確,棱臺的側(cè)面一定是梯形,而不是平行四邊形;
②正確,由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形;③正確,由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐;④錯誤,如圖所示,四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐.
答案:①②③
4.【解析】由正方體的兩種不同放置可知:與C相對的是F,由題干圖A,D與C排列的位置可知D與B相對.
答案:B
5.【解析】(1)是棱柱.是四棱柱.因為長方體中相對的兩個面是平行的,其余的每個面都是矩形(四邊形),且每相鄰的兩個矩形的公共邊都平行,符合棱柱的結(jié)構(gòu)特征,所以是棱柱.
(2)各部分幾何體都是棱柱,
分別為棱柱BB1F-CC1E和棱柱ABFA1-DCED1.
6.【解析】如圖(1)所示:
沿正三角形三邊中點連線折起,可拼得一個底面為正三角形的三棱錐.
如圖(2)所示:
在正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形,其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的,有一組對角為直角,余下部分按虛線折起,可成為一個缺上底的底面為正三角形的三棱柱,而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個底面為正三角形的棱柱的上底.第2課時　圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征
1.圓柱:以______________所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體.
2.圓錐:以直角三角形的________________所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體.
3.圓臺:用________________的平面去截圓錐,底面與________之間的部分.
4.球:半圓以____________________為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面,球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體,簡稱球.
5.球和球面有什么區(qū)別
6.簡單組合體:由________組合而成的幾何體.
【基礎(chǔ)鞏固組】
一、單選題
1.下列說法正確的是 (　　)
A.通過圓臺側(cè)面一點,有無數(shù)條母線
B.棱柱的底面一定是平行四邊形
C.圓錐的所有過中心軸的截面都是等腰三角形
D.用一個平面去截棱錐,原棱錐底面和截面之間的部分是棱臺
2.如圖,將陰影部分圖形繞圖示直線l旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是 (　　)
A.圓錐
B.圓錐和球組成的簡單組合體
C.球
D.一個圓錐內(nèi)部挖去一個球后組成的簡單組合體
3.用長為4、寬為2的矩形作側(cè)面圍成一個圓柱,此圓柱軸截面的面積為 (　　)
A.8 B. C. D.
4.用一個平面去截一個圓錐,得到的截面圖形可能是 (　　)
A.矩形　B.圓形　C.梯形　D.正方形
二、多選題
5.下列說法正確的是 (　　)
A.圓柱的母線與它的軸可以不平行
B.圓錐的頂點、圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構(gòu)成直角三角形
C.在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點,則這兩點的連線是圓臺的母線
D.圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的
6.下列關(guān)于球體的說法正確的是 (　　)
A.球體是空間中到定點的距離等于定長的點的集合
B.球面是空間中到定點的距離等于定長的點的集合
C.一個圓繞其直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體是球體
D.球的對稱軸只有1條
三、填空題
7.給出以下說法:
①球的半徑是球面上任意一點與球心所連線段的長;②球的直徑是球面上任意兩點間所連線段的長;③用一個平面截一個球,得到的截面可以是一個正方形;④球常用表示球心的字母表示.
其中說法正確的是________(填序號).
8.(教材改編題)如圖所示的立體圖形可由平面圖形__________繞軸旋轉(zhuǎn)而成.
四、解答題
9.(教材改編題)指出圖中的三個幾何體分別是由哪些簡單幾何體組成的.
10.一個圓錐的高為2 cm,母線與軸的夾角為30°,求圓錐的母線長及圓錐的軸截面的面積.
【素養(yǎng)提升組】
一、選擇題
1.如圖所示的幾何體,關(guān)于其結(jié)構(gòu)特征,下列說法不正確的是 (　　)
A.該幾何體是由2個同底的四棱錐組成的幾何體
B.該幾何體有12條棱、6個頂點
C.該幾何體有8個面,并且各面均為三角形
D.該幾何體有9個面,其中一個面是四邊形,其余各面均為三角形
2.(多選題)下面關(guān)于空間幾何體敘述正確的是 (　　)
A.正四棱柱是長方體
B.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐
C.有兩個面互相平行,其余各面都是梯形的多面體是棱臺
D.直角三角形以其直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn),其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐
二、填空題
3.某地球儀上北緯30°緯線圈的長度為12π cm,如圖所示,則該地球儀的半徑是
________cm.
4.已知圓錐底面半徑為1,母線長為3,某質(zhì)點從圓錐底面圓周上一點A出發(fā),繞圓錐側(cè)面一周,再次回到A點,則該質(zhì)點經(jīng)過的最短路程為__________.
三、解答題
5.把一個圓錐截成圓臺,已知圓臺的上、下底面半徑的比為1∶4,母線長為10 cm,求圓錐的母線長.
6.(教材改編題)如圖所示,梯形ABCD中,AD∥BC,且AD第2課時　圓柱、圓錐、圓臺、球、簡單組合體
的結(jié)構(gòu)特征
必備知識·落實
1.矩形的一邊
2.一條直角邊
3.平行于圓錐底面　截面
4.它的直徑所在直線
5.球面和球是兩個完全不同的概念,球是球面圍成的空間,球面是球的表面部分;球可以看作“實心”的,球面應(yīng)看作“空心”的.
6.簡單幾何體
知能素養(yǎng)·進階
【基礎(chǔ)鞏固組】
1.C　因為通過圓臺側(cè)面一點只有一條母線,所以A不正確;因為棱柱的底面不一定是平行四邊形,可以是任意多邊形,所以B不正確;因為由棱臺的定義,要求上、下底面平行,所以D不正確;因為圓錐的所有過中心軸的截面都是等腰三角形,三角形的兩腰是其母線,所以C正確.
2.D　將陰影部分圖形繞圖示直線l旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是一個圓錐內(nèi)部挖去一個球后組成的簡單組合體.
3.B　當(dāng)圍成的圓柱底面周長為4,高為2時,設(shè)圓柱底面圓的半徑為r,則2πr=4,所以r=,所以軸截面是長為2、寬為的矩形,所以軸截面的面積為2×=.同理,當(dāng)圍成的圓柱底面周長為2,高為4時,軸截面的面積也為.
4.B　因為圓錐的側(cè)面是曲面,底面是圓,所以用一個平面去截一個圓錐,得到的截面圖形可能是圓形,不可能是矩形、梯形、正方形.
5.BD　圓柱的母線與它的軸是平行的,所以A錯誤;圓錐的頂點、圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構(gòu)成直角三角形,所以B正確;在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點,這兩點的連線不一定是圓臺的母線,所以C錯誤;圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的,所以D正確.
6.BC　空間中到定點的距離等于定長的點的集合是球面,所以A錯誤,B正確;由球體的定義,知C正確;球的每一條直徑所在的直線均為它的對稱軸,所以D錯誤.
7.【解析】根據(jù)球的定義知,①正確;因為球的直徑必過球心,所以②不正確;因為球的任何截面都是圓面,所以③不正確;球常用表示球心的字母表示,④正確.
答案:①④
8.【解析】題圖中的半球可由③繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成,也可由④繞軸旋轉(zhuǎn)180°而成.
答案:③④
9.【解析】(1)幾何體由一個圓錐、一個圓柱和一個圓臺拼接而成.
(2)幾何體由一個六棱柱和一個圓柱拼接而成.
(3)幾何體由一個球和一個圓柱中挖去一個以圓柱下底面為底面、上底面圓心為頂點的圓錐拼接而成.
10.【解析】如圖軸截面SAB,圓錐SO的底面直徑為AB,SO為高,SA為母線,則
∠ASO=30°.
在Rt△SOA中,AO=SO·tan 30°=(cm).
SA===(cm).
所以S△ASB=SO·2AO=(cm2).
所以圓錐的母線長為 cm,圓錐的軸截面的面積為 cm2.
【素養(yǎng)提升組】
1.D　該幾何體用平面ABCD可分割成兩個四棱錐,因此它是這兩個四棱錐的組合體,所以四邊形ABCD是它的一個截面而不是一個面,故D說法不正確.
2.AD　因為正四棱柱是底面為正方形的直棱柱,所以正四棱柱是長方體,故選項A正確;因為底面是正多邊形,并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面中心,這樣的棱錐叫做正棱錐,故選項B錯誤;由棱臺的定義,棱錐被平行于底面的平面所截,截面和底面間的部分叫做棱臺,故選項C錯誤;直角三角形以其直角邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn),其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體是圓錐,故選項D正確.
3.【解析】如圖所示,
由題意知,北緯30°所在小圓的周長為12π,
則該小圓的半徑r=6,其中∠ABO=30°,
所以該地球儀的半徑R==4 cm.
答案:4
4.【解析】如圖,根據(jù)題意得該質(zhì)點經(jīng)過的最短路程為側(cè)面展開圖中弦AA'的長度.因為底面圓的周長為2π,母線長為3,所以側(cè)面展開圖的扇形的圓心角為,即
∠ASA'=,所以在Rt△ASD中,∠ASD=,AS=3,所以AD=AS·sin∠ASD=,所以AA'=3.
答案:3
5.【解析】設(shè)圓錐的母線長為y cm,圓臺的上、下底面半徑分別為x cm、4x cm,作圓錐的軸截面如圖,
在Rt△SOA中,O'A'∥OA,所以SA'∶SA=O'A'∶OA,
即(y-10)∶y=x∶4x,所以y=,
所以圓錐的母線長為 cm.
6.【解析】如圖所示,旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是一個圓柱挖去兩個圓錐后剩余部分構(gòu)成的組合體.8.2　立體圖形的直觀圖
1.斜二測畫法
(1)在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點O,畫直觀圖時,把它們畫成對應(yīng)的x'軸與y'軸,兩軸相交于點O',且使∠x'O'y'=________,它們確定的平面表示水平面.
(2)已知圖形中________x軸或y軸的線段,在直觀圖中分別畫成________x'軸或y'軸的線段.
(3)已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中______________,平行于y軸的線段,在直觀圖中______________.
2.用斜二測畫法畫出的平面圖形的直觀圖是一樣的嗎
3.直觀圖與原圖形面積之間有何關(guān)系
4.與畫水平放置的平面圖形直觀圖相比,用斜二測畫法畫立體圖形的直觀圖時還要注意哪些方面
【基礎(chǔ)鞏固組】
一、單選題
1.(教材改編題)長方形的直觀圖可能為下圖中的哪一個 (　　)
A.①②　B.①②③　C.②⑤　D.③④⑤
2.如圖甲所示為一個平面圖形的直觀圖,則此平面圖形可能是圖乙中的 (　　)
3.一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是有一條邊水平的等邊三角形,則這個三角形一定是 (　　)
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.以上都有可能
4.如圖,邊長為1的正方形O'A'B'C'是一個水平放置的平面圖形OABC的直觀圖,則圖形OABC的面積是 (　　)
A. B. C. D.2
二、多選題
5.等腰三角形ABC的直觀圖可能是 (　　)
A.① B.② C.③ D.④
6.(教材改編題)給出以下關(guān)于斜二測直觀圖的結(jié)論,其中正確的是 (　　)
A.角的水平放置的直觀圖一定是角
B.最長的線段在直觀圖中對應(yīng)的線段仍最長
C.相等的線段在直觀圖中仍然相等
D.若兩條線段平行,則在直觀圖中對應(yīng)的兩條線段仍然平行
三、填空題
7.水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示,已知A'C'=4,B'C'=,則原圖中AB邊上中線的實際長度為________.
8.在如圖所示的直觀圖中,四邊形O'A'B'C'為菱形且邊長為2 cm,則在xOy坐標(biāo)系中原四邊形OABC為________(填形狀),面積為________cm2.
四、解答題
9.如圖,一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45°,腰和上底長均為1的等腰梯形,求原圖形的面積.
10.(教材改編題)
用斜二測畫法畫出圖中五邊形ABCDE的直觀圖.
【素養(yǎng)提升組】
一、選擇題
1.把四邊形ABCD按斜二測畫法得到平行四邊形A'B'C'D'(如圖所示),其中B'O'=O'C'=2,O'D'=.則四邊形ABCD一定是一個 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.梯形 B.矩形 C.正方形 D.菱形
2.(多選題)如圖所示是水平放置三角形的直觀圖,點D'是△A'B'C'的B'C'邊的中點,A'B',B'C'分別與y'軸、x'軸平行,則三條線段AB,AD,AC中 (　　)
A.最長的是AB　　 　B.最長的是AC
C.最短的是AC D.最短的是AB
二、填空題
3.一個建筑物上部為四棱錐,下部為長方體,且四棱錐的底面與長方體的上底面大小一樣,已知長方體的長、寬、高分別為20 m,5m,10 m,四棱錐的高為8 m,若按1∶500的比例畫出它的直觀圖,那么直觀圖中長方體的長、寬、高和棱錐的高應(yīng)分別為___________.
4.已知一矩形的長為6,用斜二測畫法畫出其水平放置的直觀圖的面積為3,則原矩形的寬為________.
三、解答題
5.如圖所示,在△ABC中,AC=12 cm,AC邊上的高BD=12 cm.
(1)畫出水平放置的△ABC的直觀圖;
(2)求直觀圖的面積.
6.(教材改編題)作出底面邊長為2,側(cè)棱長為3的正三棱柱的直觀圖.
8.2　立體圖形的直觀圖
必備知識·落實
1.(1)45°(或135°)　(2)平行于　平行于
(3)保持原長度不變　長度為原來的一半
2.不一定,如果建立坐標(biāo)軸不同,作出的直觀圖不一定相同.
3.若一個平面多邊形的面積為S,其直觀圖的面積為S',則有S'=S或S=2S'.
4.(1)畫軸時,與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個z軸,直觀圖中與之對應(yīng)的是z'軸.
(2)平行于z軸(或在z軸上)的線段,在其直觀圖中平行性和長度都不變.
知能素養(yǎng)·進階
【基礎(chǔ)鞏固組】
1.C　由斜二測畫法知,平行線依然平行,但是直角不再是直角,所以②⑤正確.
2.C　直觀圖中有兩邊分別與坐標(biāo)軸平行,所以原圖中這兩邊必垂直,符合條件的只有C.
3.C　一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是有一條邊水平的等邊三角形,則這個三角形一定是鈍角三角形,如圖:
4.D　還原直觀圖為原圖形如圖所示,
因為O'A'=1,所以O(shè)'B'=,還原回原圖形后,OA=O'A'=1,OB=2O'B'=2.
所以原圖形的面積為1×2=2.
5.CD　由題意得,由直觀圖的畫法可知:當(dāng)∠x'O'y'=45°時,等腰三角形的直觀圖是④;當(dāng)∠x'O'y'=135°時,等腰三角形的直觀圖是③;綜上,等腰三角形ABC的直觀圖可能是③④.
6.AD　由斜二測畫法規(guī)則可知,直觀圖保持線段的平行性,所以D對,A對;而線段的長度,角的大小在直觀圖中都會發(fā)生改變,所以B,C錯.
7.【解析】由直觀圖得出原平面圖形△ABC,如圖所示:
則直觀圖中A'C'=4,B'C'=,所以△ABC是直角三角形,且AC=4,BC=3,所以AB=5,
可得AB邊上的中線長度為.
答案:
8.【解析】由斜二測畫法可知,四邊形OABC為矩形,其中OA=2 cm,OC=4 cm,所以矩形OABC的面積S=2×4=8 cm2.
答案:矩形　8
9.【解析】一個水平放置的平面圖形的直觀圖是一個底角為45°,腰和上底均為1的等腰梯形,所以原圖形ABCD為直角梯形,且AB⊥BC,且AB=2A'B'=2,AD=A'D'=1,又等腰梯形A'B'C'D'中,B'C'=1+2×=1+,所以BC=B'C'=1+,所以
S梯形ABCD=(AD+BC)·AB=×(1+1+)×2=2+,所以原圖形的面積為2+.
10.【解析】過點A作AO⊥CD,建立平面直角坐標(biāo)系如圖,作BF⊥x軸,EG⊥x軸,垂足分別為F,G,
(1)作坐標(biāo)系x'O'y',使∠x'O'y'=45°;
(2)在x'軸上取點C',D',F',G'使O'C'=OC,O'D'=OD,O'F'=OF,O'G'=OG;
(3)在y'軸上取點A',使O'A'=OA,作F'B'∥y'軸,使F'B'=FB,作G'E'∥y'軸,使G'E'=GE;
(4)連接A'B',B'C',D'E',E'A',得五邊形ABCDE的直觀圖.(正五邊形的直觀圖的形狀如圖所示)
【素養(yǎng)提升組】
1.D　根據(jù)斜二測直觀圖還原原平面四邊形ABCD如圖所示:
由圖可知,OD⊥BC,OC=OB=2,OD=2O'D'=2,
由勾股定理可得,CD==4=BC,在斜二測直觀圖中,四邊形A'B'C'D'為平行四邊形,則A'D'∥B'C'且A'D'=B'C',在四邊形ABCD中,AD∥BC且AD=BC,所以,四邊形ABCD為菱形.
2.BD　由題意知,在原圖形△ABC中,AB⊥BC,AD為BC邊上的中線,所以最長的是AC,最短的是AB.
3.【解析】由比例可知長方體的長、寬、高和棱錐的高,應(yīng)分別為4 cm,1cm,2 cm和1.6 cm,再結(jié)合直觀圖,與x,z軸平行的直線長度不變,與y軸平行的直線長度為原圖的,則圖形的尺寸應(yīng)為4 cm,0.5cm,2cm,1.6 cm.
答案:4 cm,0.5cm,2cm,1.6 cm
4.【解析】用斜二測畫法畫出矩形水平放置的直觀圖面積為S'=3,則原矩形的面積為S=2S'=3×2=12;所以原矩形的寬為b==2.
答案:2
5.【解析】(1)①以D為原點,AC所在直線為x軸,DB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖①,
②畫出對應(yīng)的x',y'軸,使∠x'D'y'=45°,
在x'軸上取點A',C',使D'A'=DA,D'C'=DC,
在y'軸上取點B',使D'B'=DB,
連接A'B',C'B',則△A'B'C'即為△ABC的直觀圖,如圖②.
(2)在圖②中,作B'E⊥A'C',E為垂足,
因為D'B'=DB=6 cm,∠B'D'E=45°,
所以B'E=6×=3(cm),
所以S△A'B'C'=×A'C'×B'E=×12×3
=18(cm2).
6.【解析】(1)畫軸.如圖①,畫出x軸、y軸、z軸,三軸相交于點O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)畫底面.在x軸上取A,B兩點使OA=OB=1,在y軸上取C點使OC=,作水平放置的等邊三角形(俯視圖)的直觀圖△ABC.
(3)畫側(cè)棱.過A,B,C各點分別作z軸的平行線,并在這些平行線上分別截取線段AA',BB',CC',且AA'=BB'=CC'=3,如圖①.
(4)成圖.順次連接A',B',C',并加以整理(擦去輔助線,將遮擋部分用虛線表示),得到的圖形就是所求的幾何體的直觀圖,如圖②.8.3　簡單幾何體的表面積與體積
8.3.1　棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積
多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的________.
2.棱柱、棱錐、棱臺的體積
體積 說明
棱柱 V棱柱=Sh S為棱柱的________,h為棱柱的________
棱錐 V棱錐=Sh S為棱錐的________,h為棱錐的________
棱臺 V棱臺=(S'+ +S)h S',S分別為棱臺的________________,h為棱臺的________
3.棱柱、棱錐、棱臺體積之間有何內(nèi)在關(guān)系
【基礎(chǔ)鞏固組】
一、單選題
1.正方體的表面積為96,則正方體的體積為 (　　)
A.48　　B.64　　C.16　　D.96
2.(教材改編題)側(cè)面都是等腰直角三角形的正三棱錐,底面邊長為a時,該三棱錐的表面積是 (　　)
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
3.已知長方體的過一個頂點的三條棱長的比是1∶2∶3,體對角線的長是2,則這個長方體的體積是 (　　)
A.6 B.12 C.24 D.48
4.在棱長為1的正方體ABCD -A1B1C1D1中,三棱錐B-AB1C1的體積為 (　　)
A. B. C. D.
二、多選題
5.下列說法正確的有 (　　)
A.多面體的表面積等于圍成多面體的各個面的面積之和
B.棱臺的側(cè)面展開圖是由若干個等腰梯形組成的
C.沿不同的棱將多面體展開,得到的展開圖相同,表面積相等
D.多面體的側(cè)面積等于各個側(cè)面的面積之和
6.三棱柱的底面是正三角形,側(cè)棱垂直于底面,它的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形,則它的體積可能為 (　　)
A. B. C.2 D.4
三、填空題
7.已知一個正六棱錐的底面邊長為1,側(cè)棱長為,那么它的體積為________.
8.如圖,一個棱長為4的正方體被挖去一個高為4的正四棱柱后得到圖中的幾何體,若該幾何體的體積為60,則挖去的正四棱柱的底邊邊長為________,該幾何體的表面積為________.
四、解答題
9.如圖,已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為a的正方體,E為AA1的中點,F為CC1上一點,求三棱錐A1-D1EF的體積.
10.如圖,正六棱錐被過棱錐高PO的中點O'且平行于底面的平面所截,得到正六棱臺OO'和較小的棱錐PO'.
(1)求大棱錐、小棱錐、棱臺的側(cè)面面積之比;
(2)若大棱錐PO的側(cè)棱長為12 cm,小棱錐的底面邊長為4 cm,求截得的棱臺的側(cè)面面積和表面積.
【素養(yǎng)提升組】
一、選擇題
1.過棱錐各側(cè)棱中點的截面將棱錐分成上下兩部分,則這兩部分的體積之比為 (　　)
A.2∶5 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶7
2.開爾文胞體是一種多面體,它由正六邊形和正方形圍成(其中每一個頂點處有一個正方形和兩個正六邊形),已知該多面體共有24個頂點,且棱長為2,則該多面體的表面積是(　　)
A.24(+1) B.24+6
C.48+24 D.16+8
二、填空題
3.一個正四棱臺,其上、下底面均為正方形,邊長分別為8 cm和18 cm,側(cè)棱長為13 cm,則這個正四棱臺的側(cè)面積為________cm2,表面積為________cm2.
4.(教材改編題)如圖1,一個正三棱柱容器,底面邊長為a,高為2a,內(nèi)裝水若干,將容器放倒,把一個側(cè)面作為底面,如圖2,這時水面恰好為中截面,則水的體積為________,圖1中容器內(nèi)水面的高度是________.
三、解答題
5.如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形,EF∥AB,EF=2,EF上任意一點到平面ABCD的距離均為3,求該多面體的體積.
6.用硬紙做一個體積為32,高為2的長方體無蓋紙盒,這個紙盒的長、寬各為多少時,表面積最小 并求出最小值.
8.3　簡單幾何體的表面積與體積
8.3.1　棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積
必備知識·落實
1.和
2.底面積　高　底面積　高　上、下底面面積　高
3.棱柱、棱錐、棱臺體積之間的關(guān)系:
知能素養(yǎng)·進階
【基礎(chǔ)鞏固組】
1.B　設(shè)正方體的棱長為a,則6a2=96,解得a=4,所以正方體的體積為43=64.
2.A　因為側(cè)面都是等腰直角三角形,故側(cè)棱長等于a,
所以S表=a2+3××=a2.
3.D　設(shè)長方體的過一個頂點的三條棱長分別為x,2x,3x,又體對角線長為2,
則x2+(2x)2+(3x)2=(2)2,
解得x=2.
所以三條棱長分別為2,4,6.
所以V長方體=2×4×6=48.
4.A　如圖所示,
正方體ABCD -A1B1C1D1中,棱長AB=1,
則三棱錐B-AB1C1的體積為:
=
=××B1C1
=××1×1×1
=.
5.AD　A正確.多面體的表面積等于圍成多面體的側(cè)面積與底面積之和.B錯誤.棱臺的側(cè)面展開圖是由若干個梯形組成的,不一定是等腰梯形.C錯誤.由于剪開的棱不同,同一個幾何體的表面展開圖可能不相同.但是,不論怎么剪,同一個多面體表面展開圖的面積是一樣的.D正確.多面體的側(cè)面積等于各個側(cè)面的面積之和.
6.BD　由題意可知該三棱柱為正三棱柱,因為正三棱柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為6和4的矩形,所以有如下兩種情況:
(1)6是底面周長,4是三棱柱的高,此時底面積S=×2×=,體積V=Sh=4;
(2)4是底面周長,6是三棱柱的高,此時底面積S=××=,體積V=Sh=.
7.【解析】因為正六棱錐的高h==2,所以V=Sh=×6××2=.
答案:
8.【解析】設(shè)正四棱柱的底面邊長為m,則4(42-m2)=60,解得m=1,
所以該幾何體的表面積為42×4+(42-12)×2+4×1×4=110.
答案:1　110
9.【解析】由題圖易知=,
因為=EA1·A1D1=a2,
又三棱錐F-A1D1E的高為CD=a,
所以=×a×a2=a3,
所以=a3.
10.【解析】(1)由題意知S小棱錐側(cè)∶S大棱錐側(cè)=1∶4,則S大棱錐側(cè)∶S小棱錐側(cè)∶S棱臺側(cè)=4∶1∶3.
(2)如圖所示,因為小棱錐的底面邊長為4 cm,
所以大棱錐的底面邊長為8 cm,
又PA=12 cm,所以A1A=6 cm.
又梯形ABB1A1的高h'==4(cm),
所以S棱臺側(cè)=6××4=144(cm2),
所以S棱臺表=S棱臺側(cè)+S上底+S下底=144+24+96=(144+120) cm2
【素養(yǎng)提升組】
1.D　過棱錐各側(cè)棱中點的截面將棱錐分成上下兩部分,以三棱錐為例如圖所示:
因為△EFG與△BCD的相似比為1∶2,
則S△EFG=S△BCD,而棱錐A-EFG與棱錐A-BCD的高也是1∶2.所以VA-EFG∶VA-BCD=1∶8,
即有VA-EFG∶VEFG-BCD=1∶7.
2.C　邊長為2的正方形的面積為2×2=4,正六邊形的面積為6××2×2×=6.
又正方形有4個頂點,正六邊形有6個頂點,該多面體共有24個頂點,
所以該多面體共有=6個正方形,有=8個正六邊形.
所以該多面體的表面積S=8×6+6×4=48+24.
3.【解析】由已知可得正四棱臺側(cè)面梯形的高為
h==12(cm),
所以S側(cè)=4××(8+18)×12=624(cm2),
S上底=8×8=64(cm2),S下底=18×18=324(cm2),于是表面積為S=624+64+324=
1 012(cm2).
答案:624　1 012
4.【解析】在題圖2中,水所占部分為四棱柱.四棱柱底面積為S=×a2×
sin 60°-××sin 60°=a2,高為2a,體積為V=a2×2a=a3,設(shè)題圖1中水高度為h,則V=×a2×sin 60°×h=a3,解得h=a.
答案:a3　a
5.【解析】如圖,連接EB,EC,AC.V四棱錐E-ABCD=×42×3=16.
因為AB=2EF,EF∥AB,所以S△EAB=2S△BEF.
所以V三棱錐F-EBC=V三棱錐C-EFB=V三棱錐C-ABE=V三棱錐E-ABC
=×V四棱錐E-ABCD=4.
所以多面體的體積V=V四棱錐E-ABCD+V三棱錐F-EBC=16+4=20.
6.【解析】設(shè)底面矩形的長為x,則寬為,記所求表面積為S,則S=16+2×2x+2×2×=16+4x+,
因為x>0,所以4x+≥2=32,
即S≥32+16=48,當(dāng)且僅當(dāng)4x=,即x=4時取等號,此時寬也為4.所以當(dāng)這個紙盒的長為4、寬為4時,表面積最小,最小值為48.8.3.2　圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
1.圓柱、圓錐、圓臺的表面積
圓柱 側(cè)面積:S側(cè)=______ 表面積:S=________
圓錐 側(cè)面積:S側(cè)=______ 表面積:S=________
圓臺 側(cè)面積:S側(cè)=__________ 表面積:S=____________
2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式之間有什么關(guān)系
3.圓柱、圓錐、圓臺的體積
圓柱 V圓柱=Sh=______
圓錐 V圓錐=Sh=______
圓臺 V圓臺=(S++S')h =π(r2+rr'+r'2)h
4.圓柱、圓錐、圓臺體積公式之間有什么關(guān)系 __________________.
5.球的表面積和體積公式
(1)表面積公式S=____________;
(2)體積公式V=______________. (R為球的半徑)
【基礎(chǔ)鞏固組】
一、單選題
1.已知一個圓柱的表面積等于側(cè)面積的,且其軸截面的周長為16,則該圓柱的體積為 (　　)
A.8π B.16π C.27π D.36π
2.一個圓錐的表面積為π,它的側(cè)面展開圖是圓心角為120°的扇形,則該圓錐的高長為 (　　)
A. B.2 C. D.
3.(教材改編題)將棱長為1的正方體木塊切削成一個體積最大的球,則該球的體積為 (　　)
A.π B.π C. D.
4.若棱長為2的正方體的頂點都在同一球面上,則該球的表面積為 (　　)
A.12π B.24π
C.36π D.144π
二、多選題
5.等腰直角三角形直角邊長為1 ,現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周 ,則所形成的幾何體的表面積可以為 (　　)
A.π B.(1+)π
C.2π D.(2+)π
6.圓柱的側(cè)面展開圖是邊長分別為2a,a的矩形,則圓柱的體積為 (　　)
A.　　　　　　　　B.
C. D.
三、填空題
7.已知一圓臺的底面圓的周長分別為4π和10π,高為4,則圓臺的表面積為________.
8.兩個半徑為1的鐵球,熔化后鑄成一個大球,則這個大球的半徑為________.
四、解答題
9.如圖,圓柱的底面半徑為2,球的直徑與圓柱底面的直徑和圓柱的高相等,圓錐的頂點為圓柱上底面的圓心,圓錐的底面是圓柱的下底面.
(1)計算圓柱的表面積;
(2)計算圖中圓錐、球、圓柱的體積比.
10.如圖所示,一個圓錐形的空杯子上放著一個直徑為8 cm的半球形的冰淇淋,請你設(shè)計一種這樣的圓錐形杯子(杯口直徑等于半球形的冰淇淋的直徑,杯子壁厚忽略不計),使冰淇淋融化后不會溢出杯子,怎樣設(shè)計最省材料 材料最省為多少
【素養(yǎng)提升組】
一、選擇題
1.已知正四面體A-BCD外接球的表面積為12π,則該正四面體的表面積為 (　　)
A.4 B.6 C.8 D.12
2.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題,大概意思如下:在下雨時,用一個圓臺形的天池盆接雨水,天池盆盆口直徑為2尺8寸,盆底直徑為1尺2寸,盆深1尺8寸.若盆中積水深9寸,則平均降雨量是(注:①平均降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②1尺等于10寸) (　　)
A.3寸 B.4寸 C.5寸 D.6寸
二、填空題
3.(教材改編題)某種浮標(biāo)是一個半球,其直徑為0.2 m,如果在浮標(biāo)的表面涂一層防水漆,每平方米需要0.5 kg涂料,那么給1 000個這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要涂料______kg.(π取3.14)
4.如圖為一個盛滿水的圓錐形玻璃杯,現(xiàn)將一個球狀物體放入其中,使其完全浸沒于杯中,球面與圓錐側(cè)面相切,且與玻璃杯口所在平面相切,則溢出水的體積為________.
三、解答題
5.(教材改編題)如圖,在底面半徑為2,母線長為4的圓錐中內(nèi)接一個高為的圓柱,求圓柱的表面積.
6.已知圓柱的底面半徑為2,高為3,垂直于圓柱底面的平面截圓柱所得截面為矩形ABCD(如圖).若底面圓的弦AB所對的圓心角為,求圓柱被分成兩部分中較大部分的體積.
8.3.2　圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積
必備知識·落實
1.2πrl　2πr(r+l)　πrl　πr(r+l)
π(r'l+rl)　π(r'2+r2+r'l+rl)
2.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式之間的關(guān)系:
S圓柱側(cè)=2πrlS圓臺側(cè)=π(r'+r)lS圓錐側(cè)=πrl.
3.πr2h　πr2h
4.圓柱、圓錐、圓臺體積公式之間的關(guān)系:
5.(1)4πR2　(2)πR3
知能素養(yǎng)·進階
【基礎(chǔ)鞏固組】
1.B　設(shè)圓柱的底面半徑為r,母線長為l,
則,解得.
所以該圓柱的體積為V=π×22×4=16π.
2.D　設(shè)圓錐底面半徑是r,母線長l,所以πr2+πrl=π,即r2+rl=1.①,根據(jù)圓心角公式得π=,即l=3r②,由①②解得r=,l=,
所以高h===.
3.D　將棱長為1的正方體木塊切削成一個體積最大的球,該球為正方體的內(nèi)切球,其半徑為,所以球的體積為π×=.
4.C　這個球是正方體的外接球,其半徑等于正方體的體對角線的一半,
即R==3,
所以,這個球的表面積為S=4πR2=4π×32=36π.
5.AB　如果是繞直角邊旋轉(zhuǎn),形成圓錐,圓錐底面半徑為1,高為1,母線就是直角三角形的斜邊,所以所形成的幾何體的表面積為S=πrl+πr2=π×1×+π×12=(+1)π.
如果繞斜邊旋轉(zhuǎn),形成的是上下兩個圓錐,圓錐的半徑是直角三角形斜邊的高,兩個圓錐的母線都是直角三角形的直角邊,母線長是1,所以形成的幾何體的表面積為
S=2×πrl=2×π××1=π.
綜上可知形成幾何體的表面積是(+1)π或π.
6.AB　設(shè)圓柱底面半徑為r,若高是a,則2πr=2a,r=,V=πr2a=π××a=,若高是2a,則2πr=a,r=,V=πr2·2a=π××2a=.
7.【解析】設(shè)圓臺的上下底面半徑分別為r,R,
則2πr=4π,2πR=10π,r=2,R=5,
圓臺的母線長l==5,
所以圓臺的表面積S=4π+25π+×5×(4π+10π)=4π+25π+35π=64π.
答案:64π
8.【解析】設(shè)大球的半徑為r,則π×13×2=πr3,所以r=.
答案:
9.【解析】(1)由已知可得圓柱的高和圓錐的高均為4,故圓柱的表面積S=2×π×22+2π×2×4=24π.
(2)因為圓錐的底面半徑為2,高為4,所以圓錐的體積
V圓錐=×π×22×4=;
因為球的直徑與圓柱底面的直徑相等,所以球的半徑為2,所以球的體積V球=×23=;
又圓柱的體積V圓柱=π×22×4=16π;
所以V圓錐∶V球∶V圓柱=∶∶16π=1∶2∶3.
10.【解析】要使冰淇淋融化后不會溢出杯子,則必須有V圓錐≥V半球,
而V半球=××43,V圓錐=π×42×h,
則有π×42×h≥××43,解得h≥8,
即當(dāng)圓錐形杯子的高大于或等于8 cm時,冰淇淋融化后不會溢出杯子.
又因為S圓錐側(cè)=4π,
所以當(dāng)高為8 cm時,制作的杯子最省材料,材料最省為16π cm2.
【素養(yǎng)提升組】
1.C　設(shè)外接球半徑為R,則S=4πR2=12π,解得R=,將正四面體A-BCD恢復(fù)成正方體,知正四面體的棱為正方體的面對角線,故AB××=2,解得AB=2,故該正四面體的表面積為4××(2)2=8.
2.A　作出圓臺的軸截面如圖所示:
由題意知,BF=14寸,OC=6寸,OF=18寸,OG=9寸.
即G是OF的中點,所以GE為梯形OCBF的中位線,
所以GE==10(寸).
所以盆中積水的體積為π×(100+36+10×6)×9=588π(立方寸),
又盆口的面積為142π=196π(平方寸),
所以平均降雨量是=3(寸),
即平均降雨量是3寸.
3.【解析】由題意知,半球的半徑R=0.1 m.一個浮標(biāo)的表面積S=·4πR2+πR2=3πR2=3×3.14×0.12=0.094 2 m2,所以1 000個浮標(biāo)涂防水漆需要涂料1 000×0.5×0.0 942=47.1(kg).
答案:47.1
4.【解析】如圖,球心為圓錐截面三角形的中心,
圓錐截面為正三角形,且邊長為2,設(shè)球的半徑為r,則r=×=.溢出水的體積等于球的體積:π×()3=.
答案:
5.【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為R,圓柱的底面半徑為r,高為h,表面積為S,則R=OC=2,AC=4,AO==2,h=,AE=AO-h=.
如圖所示,易知△AEB∽△AOC,所以=,
即=,所以r=1,
S圓柱底=2πr2=2π,S圓柱側(cè)=2πr·h=2π.
所以S=S圓柱底+S圓柱側(cè)=2π+2π=(2+2)π.
6.【解析】設(shè)截面ABCD將圓柱分成的兩部分中較大部分的體積為V1,圓柱的體積為V,DC將圓柱的底面分成的兩部分中,較大部分的面積為S1,圓柱的底面積為S,
則S1=×π×22+×2×2×=+,
V=π×22×3=12π,S=π×22=4π,
所以依題意可得=,
則V1=V=×12π=10π+3.8.4　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
8.4.1　平面
1.平面
平面是由點構(gòu)成,平的,向四周__________.
2.平面基本事實及其推論
(1)基本事實
基本事實1:過不在一條直線上的三個點,有__________個平面;
基本事實2:如果一條直線上的________在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi);
基本事實3:
如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有__________條過該點的公共直線.
(2)推論
推論1:經(jīng)過一條直線和______________,有且只有一個平面;
推論2:經(jīng)過______________,有且只有一個平面;
推論3:經(jīng)過______________,有且只有一個平面.
3.經(jīng)過空間中三個點可以作出幾個平面
【基礎(chǔ)鞏固組】
一、單選題
1.(教材改編題)能確定一個平面的條件是 (　　)
A.空間三個點
B.一個點和一條直線
C.無數(shù)個點
D.兩條相交直線
2.若直線l上有兩個點在平面α外,則 (　　)
A.直線l上至少有一個點在平面α內(nèi)
B.直線l上有無窮多個點在平面α內(nèi)
C.直線l上所有點都在平面α外
D.直線l上至多有一個點在平面α內(nèi)
3.若兩個不重合的平面有公共點,則公共點有 (　　)
A.1個
B.2個
C.1個或無數(shù)個
D.無數(shù)個且在同一條直線上
4.如果直線a 平面α,直線b 平面α,且a∥b,M∈a,N∈b,且M∈l,N∈l,那么 (　　)
A.l α B.l α
C.l∩α=M D.l∩α=N
二、多選題
5.如果一條直線與兩條直線都相交,那么這三條直線共可確定的平面?zhèn)€數(shù)為 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
6.在空間中,下列結(jié)論正確的是 (　　)
A.三角形確定一個平面
B.四邊形確定一個平面
C.梯形可確定一個平面
D.圓心和圓上兩點確定一個平面
三、填空題
7.用符號語言表示以下各概念:
①點A,B在直線a上__________;
②直線a在平面α內(nèi)__________.
8.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,試根據(jù)圖形填空:
(1)平面AA1B1B∩平面A1B1C1D1=______________;
(2)平面A1C1CA∩平面ABCD=__________.
四、解答題
9.如圖,已知:a α,b α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求證:PQ α.
10.如圖所示,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一點,畫出平面SBD和平面SAC的交線,并說明理由.
【素養(yǎng)提升組】
一、選擇題
1.如圖,α∩β=l,A∈α,B∈α,C∈β,C l,直線AB∩l=D,A,B,C三點確定的平面為γ,則平面γ,β的交線必過 (　　)
A.點A 　　 B.點B
C.點C,但不過點D 　　 D.點C和點D
2.(多選題)三條兩兩平行的直線可以確定平面的個數(shù)可能為 (　　)
A.0　　　B.1　　　C.2　　　D.3
二、填空題
3.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1的所有棱中,既與AB共面,又與CC1共面的棱有________條.
4.空間中三個平面最少把空間分成________部分;最多把空間分成________部分.
三、解答題
5.如圖,已知平面α, β, 且α∩β=l.設(shè)在梯形ABCD中,AD∥BC,且AB α,CD β.
求證:AB,CD,l共點(相交于一點).
6.如圖所示,E,F分別為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱CC1和AA1的中點,你能利用所學(xué)的知識,畫出平面BED1F與平面ABCD的交線嗎
8.4　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
8.4.1　平面
必備知識·落實
1.無限延展
2.(1)且只有一　兩個點　且只有一
(2)這條直線外一點　兩條相交直線　兩條平行直線
3.當(dāng)三個點共線時可以作出無數(shù)個平面;當(dāng)三個點不共線時只能作唯一的一個平面.
知能素養(yǎng)·進階
【基礎(chǔ)鞏固組】
1.D　不在同一條直線上的三個點可確定一個平面,A,B,C條件不能保證有不在同一條直線上的三個點,故不正確.
2.D　由已知得直線l α,故直線l上至多有一個點在平面α內(nèi).
3.D　利用基本事實3可知如果兩個平面有一個公共點,則它們就一定有一條交線,而線是由無數(shù)個點構(gòu)成的,所以這兩個平面有無數(shù)個在同一直線上的公共點.
4.A　因為M∈a,N∈b,a α,b α,所以M∈α,N∈α.而M,N確定直線l,根據(jù)基本事實2可知,l α.
5.BCD　如果三條直線都交于一點,且三線不共面,則每兩條直線都確定一個平面,共確定3個平面;
如果三條直線兩兩相交,交于不同的三點,則只確定1個平面;如果兩條直線不在同一個平面內(nèi),另一條與其均相交,則只確定2個平面;如果兩條直線平行,另一條與其均相交,則只確定1個平面.綜上,這三條直線共可確定1或2或3個平面.
6.AC　對于選項A,三角形的三個頂點不共線,不共線的三點確定的平面有且只有一個,故正確.
對于選項B,四邊形假設(shè)為空間四邊形,確定的平面可能有四個,故錯誤.
對于選項C,由于梯形有兩條對邊平行,所以確定的平面有且只有一個,故另兩條邊也在該平面上,故正確.
對于選項D,當(dāng)圓心和圓上的兩點在同一條線上時,不能確定一個平面,故錯誤.
7.①A∈a,B∈a　②a α
8.【解析】由題圖可知,平面AA1B1B∩平面A1B1C1D1=直線A1B1;平面A1C1CA∩平面ABCD=直線AC.
答案:(1)直線A1B1　(2)直線AC
9.【證明】因為PQ∥a,所以PQ與a確定一個平面β.
所以直線a β,點P∈β.
因為P∈b,b α,所以P∈α.
又因為a α,所以α與β重合.所以PQ α.
10.【解析】由題意知,點S是平面SBD和平面SAC的一個公共點,即點S在平面SBD和平面SAC的交線上.由于AB>CD,則分別延長AC和BD交于點E,如圖所示.
因為E∈AC,AC 平面SAC,所以E∈平面SAC.
同理可證E∈平面SBD,
所以點E在平面SBD和平面SAC的交線上.
連接SE,故直線SE是平面SBD和平面SAC的交線.
【素養(yǎng)提升組】
1.D　A,B,C確定的平面γ與直線BD和點C確定的平面重合,故C,D∈γ,又C,D∈β,故C,D在γ和β的交線上.
2.BD　當(dāng)三條直線是同一平面內(nèi)的平行直線時,確定一個平面;當(dāng)三條直線是三棱柱側(cè)棱所在的直線時,確定三個平面.
3.【解析】由題圖可知,既與AB共面又與CC1共面的棱有CD,BC,BB1,AA1,C1D1共5條.
答案:5
4.【解析】當(dāng)三個平面兩兩平行時,可以把空間分成四部分,當(dāng)三個平面兩兩相交且存在一個公共點時,把空間分成8部分.
答案:4　8
5.【證明】因為在梯形ABCD中,AD∥BC,所以AB,CD是梯形ABCD的兩腰.
所以AB,CD必定相交于一點.設(shè)AB∩CD=M.又因為AB α,CD β,所以M∈α,M∈β.
所以M∈α∩β.又因為α∩β=l,所以M∈l.即AB,CD,l共點(相交于一點).
6.【解析】如圖,在平面AA1D1D內(nèi),D1F與DA不平行,分別延長D1F與DA,則D1F與DA必相交,設(shè)交點為M,連接MB,
因為M∈FD1,M∈DA,FD1 平面BED1F,DA 平面ABCD,所以M在平面BED1F與平面ABCD的交線上,又B在平面BED1F與平面ABCD的交線上,所以平面BED1F∩平面ABCD=MB.
故直線MB為所求作的兩平面的交線.8.4.2　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
1.空間兩條直線的位置關(guān)系
相交直線、__________、__________.
2.空間中直線與平面之間的位置關(guān)系
直線在平面內(nèi)、直線與平面相交、直線與平面平行;其中______________、______________稱為直線在平面外.
3.空間中兩個平面的位置關(guān)系
平面與平面平行、______________.
4.分別在兩個平面內(nèi)的直線是異面直線嗎
5.異面直線的判定
直線a α,b∩α=A,A a 直線a,b是異面直線.
【基礎(chǔ)鞏固組】
一、單選題
1.(教材改編題)已知直線m 平面α,P m,Q∈m,則 (　　)
A.P α,Q∈α B.P∈α,Q α
C.P α,Q α D.Q∈α
2.長方體的一條體對角線與長方體的棱所組成的異面直線有 (　　)
A.2對 B.3對 C.6對 D.12對
3.如圖是一正方體的表面展開圖,MN和PQ是兩條面對角線,則在正方體中,直線MN與直線PQ的位置關(guān)系為 (　　)
A.相交 B.平行 C.異面 D.重合
4.下列說法中,正確的個數(shù)是 (　　)
①如果兩條平行直線中的一條和一個平面相交,那么另一條直線也和這個平面相交;
②經(jīng)過兩條異面直線中的一條直線,有一個平面與另一條直線平行;
③兩條相交直線,其中一條與一個平面平行,則另一條一定與這個平面平行.
A.0 B.1 C.2 D.3
二、多選題
5.如果點M是兩條異面直線a,b外的一點,則過點M且與a,b都平行的平面 (　　)
A.可能有一個 B.恰有兩個
C.可能沒有 D.有無數(shù)個
6.在正方體的一個面所在的平面內(nèi)任意畫一條直線,則與它異面的正方體的棱的條數(shù)可能是 (　　)
A.8　　　　B.7　　　　C.6　　　　D.5
三、填空題
7.若一個平面內(nèi)的一條直線與另一個平面相交,則這兩個平面的位置關(guān)系是________.
8.如圖,在過正方體ABCD-A1B1C1D1的任意兩個頂點的所有直線中,與直線AC1異面的直線的條數(shù)為________.
四、解答題
9.用符號語言描述圖形中的直線、平面之間的位置關(guān)系.
(1)
(2)
10.求證:與兩條異面直線分別相交的兩條直線不平行.
【素養(yǎng)提升組】
一、選擇題
1.在以下四個圖中,直線a與直線b平行的位置關(guān)系只能是 (　　)
2.平面α∥平面β,直線a∥α,則 (　　)
A.a∥β B.a在面β上
C.a與β相交 D.a∥β或a β
二、填空題
3.若直線l上有兩點到平面α的距離相等,則直線l與平面α的關(guān)系是__________.
4.如圖,點G,H,M,N分別是三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示直線GH,MN是異面直線的圖形是________.
三、解答題
5.如圖,已知不共面的直線a,b,c相交于O點,M,O是直線a上的兩點,N,Q分別是直線b,c上的一點,求證:MN和PQ是異面直線.
6.如圖,已知平面α與平面β相交于直線m,直線n β,且m∩n=A,直線l α,且l∥m.證明:n,l是異面直線.
8.4.2　空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系
必備知識·落實
1.平行直線　異面直線
2.直線與平面相交　直線與平面平行
3.平面與平面相交
4.不一定,可能相交或者平行.
知能素養(yǎng)·進階
【基礎(chǔ)鞏固組】
1.D　因為Q∈m,m α,所以Q∈α.
因為P m,所以有可能P∈α,也有可能P α.
2.C　如圖所示,
在長方體中沒有與體對角線平行的棱,要求與長方體體對角線AC1異面的棱所在的直線,只要去掉與AC1相交的六條棱,其余的都與體對角線異面,所以與AC1異面的棱有BB1,A1D1,A1B1,BC,CD,DD1,所以長方體的一條體對角線與長方體的棱所組成的異面直線有6對.
3.C　根據(jù)題意,由正方體的表面展開圖還原成正方體,如圖,易得直線MN與PQ異面.
4.C　易知①正確,②正確.③中兩條相交直線中一條與平面平行,另一條可能平行于平面,也可能與平面相交,故③錯誤.
5.AC　當(dāng)點M在過a且與b平行的平面或過b且與a平行的平面內(nèi)時,這樣滿足條件的平面沒有;當(dāng)點M不在上述兩個平面內(nèi)時,滿足條件的平面只有一個.
6.ABC　在一個正方體內(nèi)任意畫一條直線,可能有如圖所示的四種情況,
則分別對應(yīng)每個圖形找出其他平面內(nèi)與這條直線異面的直線,
第一幅圖可找出與直線異面的有4條,
第二幅圖可找出與直線異面的有6條,
第三幅圖可找出與直線異面的有7條,
第四幅圖可找出與直線異面的有8條,
不可能有5條.
7.【解析】兩平面有公共點,故兩平面相交.
答案:相交
8.【解析】在過正方體ABCD-A1B1C1D1的任意兩個頂點的所有直線中,與直線AC1異面的直線有A1D1,DD1,CD,A1B1,BC,BB1,B1D1,B1C,D1C,BD,A1D,A1B,共12條.
答案:12
9.【解析】(1)m α,n β,α∩β=l,m∥n∥l;
(2)a α,b β,α∩β=l,a∩b=M.
10.【證明】如圖,
a與b是兩條異面直線,AB,CD分別與a,b相交,若A與C(或B與D)重合,則AB與CD相交,AB與CD不平行;
若A與C,B與D均不重合,假設(shè)AB∥CD,則AB與CD共面α,
因為A,C都在直線a上,B,D都在直線b上,則a,b都在平面α內(nèi),與a與b是異面直線矛盾,假設(shè)錯誤.
綜上,與兩條異面直線分別相交的兩條直線不平行.
【素養(yǎng)提升組】
1.D　選項A中,平面α,β內(nèi)的兩直線異面,則a與b異面;
選項B中,平面α,β內(nèi)的兩直線異面,則a與b異面;
選項C中,平面α,β內(nèi)的兩直線異面,則a與b異面;
選項D中,平面α,β內(nèi)的兩直線相交,兩相交直線可以求得一個平面,則a與b相交或平行,由題圖可知,a與b平行.
2.D　如圖(1)滿足a∥α,α∥β,此時a∥β;
如圖(2)滿足a∥α,α∥β,此時a β.
3.【解析】當(dāng)這兩點在α的同側(cè)時,l與α平行;當(dāng)這兩點在α的異側(cè)時,l與α相交.
答案:平行或相交
4.【解析】根據(jù)題意,
在①中,MG∥HN且MG=NH,則四邊形MGHN是平行四邊形,有HG∥MN,不是異面直線;
在②中,直線GH,MN既不平行也不相交,是異面直線;
在③中,GM∥HN且GM≠HN,故HG,NM必相交,不是異面直線;
在④中,直線GH,MN既不平行也不相交,是異面直線.
綜合可得:②④正確.
答案:②④
5.【證明】方法一:(反證法)假設(shè)MN和PQ共面,設(shè)所確定的平面為α,那么點P,Q,M,N和O都在平面α內(nèi),所以直線a,b,c都在平面α內(nèi),
這與已知a,b,c不共面矛盾,
所以假設(shè)不成立,MN和PQ是異面直線.
方法二:(直接證法)因為a∩c=O,所以a,c確定一個平面,設(shè)為α,由已知P∈平面α,Q∈平面α,
所以PQ 平面α,又M∈平面α,且M PQ,N 平面α,所以MN和PQ是異面直線.
6.【證明】若n,l共面,設(shè)該平面為γ,
因為A∈n,n γ,所以A∈γ.又因為l γ,所以平面γ經(jīng)過點A和直線l,所以平面γ與α重合.
由于α與γ重合,且m γ,所以平面γ經(jīng)過直線m和n.因為m與n是相交直線,
所以γ與β也重合,于是α與β重合,
這就與條件α∩β=m矛盾,故假設(shè)不成立.
所以n,l是異面直線.8.5　空間直線、平面的平行
8.5.1　直線與直線平行
1.基本事實4
　　　　　　　　的兩條直線平行.
2.等角定理
如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角　　　　　　　　　　　　.
3.如果空間中兩條相交直線與另外兩條直線分別平行,那么兩組直線所形成的銳角(或直角)什么關(guān)系
【基礎(chǔ)鞏固組】
一、單選題
1.下列四面體中,直線EF與MN平行的是(　　)
2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H,M,N分別是棱AB,BC,A1B1,BB1,C1D1,CC1的中點,則下列結(jié)論正確的是 (　　)
A.直線GH和MN平行,GH和EF相交
B.直線GH和MN平行,MN和EF相交
C.直線GH和MN相交,MN和EF異面
D.直線GH和EF異面,MN和EF異面
3.在三棱臺A1B1C1-ABC中,G,H分別是AB,AC的中點,則GH與B1C1的位置關(guān)系是(　　)
A.相交　　B.異面　　C.平行　　D.垂直
4.若異面直線a,b分別在平面α,β內(nèi),且α∩β=l,則直線l (　　)
A.與直線a,b都相交
B.至少與a,b中的一條相交
C.至多與a,b中的一條相交
D.與a,b中的一條相交,另一條平行
二、多選題
5.(教材改編題)已知在正方體ABCD-A1B1C1D1中(如圖),l 平面A1B1C1D1,且l與B1C1不平行,則下列可能成立的是(　　)
A.l與AD平行　　　　B.l與AD不平行
C.l與AC平行 D.l與BD垂直
6.如圖,在四面體A-BCD中,M,N,P,Q,E分別是AB,BC,CD,AD,AC的中點,則下列說法中正確的是 (　　)
A.M,N,P,Q四點共面
B.∠QME=∠CBD
C.△BCD∽△MEQ
D.四邊形MNPQ為梯形
三、填空題
7.已知棱長為a的正方體ABCD-A'B'C'D'中,M,N分別為CD,AD的中點,則MN與A'C'的位置關(guān)系是　　　　.
8.在四棱錐P-ABCD中,E,F,G,H分別是PA,PC,AB,BC的中點,若EF=2,則GH=　　　　.
四、解答題
9.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1內(nèi)有一點P,經(jīng)過點P作棱BC的平行線,應(yīng)該怎樣畫 請說明理由.
10.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分別是棱AD和A1D1的中點.
(1)求證:四邊形BB1M1M為平行四邊形;
(2)求證:∠BMC=∠B1M1C1.
【素養(yǎng)提升組】
一、選擇題
1.如圖,在三棱錐P-ABC中,E,F,G,H,I,J分別為線段PA,PB,PC,AB,BC,CA的中點,則下列說法正確的是 (　　)
A.PH∥BG B.IE∥CP
C.FH∥GJ D.GI∥JH
2.如圖,在空間四邊形ABCD中,E,F分別為AB,BC的中點,G,H分別在邊CD,DA上,且滿足CG=GD,DH=2HA,則四邊形EFGH為 (　　)
A.平行四邊形 B.矩形
C.菱形 D.梯形
二、填空題
3.如圖是正方體的表面展開圖,E,F,G,H分別是棱的中點,則EF與GH在原正方體中的位置關(guān)系為　　　　.
4.已知點E,E'分別是正方體ABCD-A'B'C'D'的棱AD,A'D'的中點,則∠BEC與∠B'E'C'　　　　.(填相等或互補)
三、解答題
5.在如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分別是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中點,
求證:(1)EF∥E1F1;
(2)∠EA1F=∠E1CF1.
6.如圖,△ABC和△A'B'C'的對應(yīng)頂點的連線AA',BB',CC'交于同一點O,且.
(1)求證:A'B'∥AB,A'C'∥AC,B'C'∥BC;
(2)求的值.
8.5　空間直線、平面的平行
8.5.1　直線與直線平行
必備知識·落實
1.平行于同一條直線　2.相等或互補
3.相等
知能素養(yǎng)·進階
【基礎(chǔ)鞏固組】
1.C　根據(jù)過平面內(nèi)一點和平面外一點的直線,與平面內(nèi)不過該點的直線異面,可判定A,B中EF,MN異面;C中直線EF與MN平行;
D中,若EF∥MN,則過EF的平面與底面相交,EF就跟交線平行,則過點N有兩條直線與EF平行,不可能.
2.B　易知GH∥MN,又因為E,F,M,N分別為所在棱的中點,易知EF,DC,MN交于一點.
3.C　如圖所示,
因為G,H分別是AB,AC的中點,所以GH∥BC,又由三棱臺的性質(zhì)得BC∥B1C1,所以GH∥B1C1.
4.B　由題意知:直線l與a,b可都相交,也可只與一條相交,故A,C,D錯誤;
但直線l不會與兩條都不相交,
若l與a,b都不相交,因為l與a都在α內(nèi),
所以l∥a,同理l∥b,所以a∥b,
這與a,b異面直線矛盾,
故直線l至少與a,b中之一相交.故B正確.
5.BCD　假設(shè)l∥AD,則由AD∥BC∥B1C1,知l∥B1C1,這與l與B1C1不平行矛盾,所以l與AD不平行.
6.ABC　由中位線定理,易知MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD.對于A,
有MQ∥NP,所以M,N,P,Q四點共面,故A說法正確;
對于B,根據(jù)等角定理,得∠QME=∠CBD,故B說法正確;對于C,由等角定理,
知∠QME=∠DBC,∠MEQ=∠BCD,所以△BCD∽△MEQ,故C說法正確;
由三角形的中位線定理,知MQBD,NPBD,所以MQNP,
所以四邊形MNPQ為平行四邊形,故D說法不正確.
7.【解析】MNAC,又因為ACA'C',所以MNA'C'.
答案:平行
8.【解析】由題意知EFAC,GHAC,
故EFGH,故GH=2.
答案:2
9.【解析】如圖,在平面A1C1內(nèi)過點P作直線EF∥B1C1,交A1B1于點E,交C1D1于點F,則直線EF即為所求.理由如下:因為EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC.
10.【證明】(1)因為ABCD-A1B1C1D1為正方體,
所以AD=A1D1,且AD∥A1D1,
又M,M1分別為棱AD,A1D1的中點,
所以AM=A1M1且AM∥A1M1,
所以四邊形AMM1A1為平行四邊形,
所以MM1=AA1且MM1∥AA1.
又AA1=BB1且AA1∥BB1,
所以MM1=BB1且MM1∥BB1,
所以四邊形BB1M1M為平行四邊形.
(2)由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,
所以B1M1∥BM.
同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,
所以C1M1∥CM.因為∠BMC和∠B1M1C1方向相同,
所以∠BMC=∠B1M1C1.
【素養(yǎng)提升組】
1.C　如圖,連接FH,JG,因為E,F,G,H,I,J分別為線段PA,PB,PC,AB,BC,CA的中點,
所以FH∥PA,GJ∥PA,所以FH∥GJ.
2.D　因為E,F分別為AB,BC的中點,
所以EFAC,又=,=,
所以=,所以HGAC,
所以EF∥HG且EF≠HG,所以四邊形EFGH為梯形.
3.【解析】將正方體的表面展開圖還原構(gòu)造成正方體,
如圖所示:
分別取AB,AA1的中點Q,P,連接EP,FQ,PQ,A1B,由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得EF∥PQ.又因為點Q,P,H,G分別是AB,AA1,A1B1,BB1的中點,故PQ∥A1B,HG∥A1B,故PQ∥HG.所以EF∥GH.
答案:平行
4.【解析】如圖所示,因為點E,E'分別是AD,A'D'的中點,所以AE∥A'E',且AE=A'E'.所以四邊形AEE'A'是平行四邊形.
所以AA'∥EE',且AA'=EE'.
又因為AA'∥BB',且AA'=BB'.
所以EE'∥BB',且EE'=BB'.
所以四邊形BB'E'E是平行四邊形.
所以BE∥B'E',同理可證CE∥C'E'.
又因為∠BEC與∠B'E'C'的兩邊方向相同,
所以∠BEC=∠B'E'C'.
答案:相等
5.【證明】(1)連接BD,B1D1,圖略.在△ABD中,因為E,F分別為AB,AD的中點,所以EF∥BD,同理E1F1∥B1D1,
在正方體ABCD-A1B1C1D1中,
因為AA1DD1,AA1BB1,所以B1BDD1,
所以四邊形BDD1B1是平行四邊形,
所以BD∥B1D1,所以EF∥E1F1.
(2)取A1B1的中點M,連接BM,F1M,圖略.
因為MF1B1C1,B1C1BC,所以MF1BC,
所以四邊形BCF1M是平行四邊形,
所以MBCF1,因為A1MEB,所以四邊形EBMA1是平行四邊形,所以A1E∥MB,所以A1E∥CF1,
同理可證:A1F∥E1C,
又∠EA1F與∠F1CE1兩邊的方向均相反,
所以∠EA1F=∠E1CF1.
6.【解析】(1)AA'∩BB'=O,且==,
所以A'B'∥AB,同理,A'C'∥AC,B'C'∥BC.
(2)因為A'B'∥AB,A'C'∥AC,且A'B'和AB,A'C'和AC方向相反,
所以∠BAC=∠B'A'C'.
同理,∠ABC=∠A'B'C',∠ACB=∠A'C'B',
所以△ABC∽△A'B'C',==,
所以==.8.5.3　平面與平面平行
1.平面與平面平行的判定定理
如果一個平面內(nèi)的兩條　　　　直線與另一個平面平行,那么這兩個平面平行.
2.如果一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面平行,那么這兩個平面平行嗎
3.平面與平面平行的性質(zhì)定理
兩個平面平行,如果另一個平面與這兩個平面相交,那么　　　　　平行.
4.面面平行的其他性質(zhì)
(1)如果兩個平面平行,那么其中一個平面內(nèi)的任意一條直線與另一個平面平行;
(2)夾在兩平行平面之間的平行線段相等;
(3)兩個平面平行,其中一個平面上任意一點到另一個平面的距離相等.
【基礎(chǔ)鞏固組】
一、單選題
1.平面α∥平面β,點A,C在平面α內(nèi),點B,D在平面β內(nèi),若AB=CD,則AB,CD的位置關(guān)系是 (　　)
A.平行 B.相交
C.異面 D.以上都有可能
2.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分別是C1D1,BC,A1D1的中點,則下列結(jié)論正確的是 (　　)
A.MN∥AP 　 B.MN∥BD1
C.MN∥平面BB1D1D 　 D.MN∥平面BDP
3.已知直線l,m,平面α,β,下列結(jié)論正確的是 (　　)
A.l∥β,l α α∥β
B.l∥β,m∥β,l α,m α α∥β
C.l∥m,l α,m β α∥β
D.l∥β,m∥β,l α,m α,l∩m=M α∥β
4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若經(jīng)過D1B的平面分別交AA1和CC1于點E,F,則四邊形D1EBF的形狀是 (　　)
A.矩形 B.菱形
C.平行四邊形 D.正方形
二、多選題
5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列直線或平面與平面ACD1平行的有 (　　)
A.直線A1B B.直線BB1
C.平面A1DC1 D.平面A1BC1
6.已知平面α∥平面β,P是α,β外一點,過點P的直線m與α,β分別交于A,C兩點,過點P的直線n與α,β分別交于B,D兩點,且PA=6,PD=8,AC=9,則BD的長可能為 (　　)
A.16 B.24
C.14 D.
三、填空題
7.
如圖,四邊形ABCD所在的平面與平面α平行,且四邊形ABCD在平面α內(nèi)的平行投影A1B1C1D1是一個平行四邊形,則四邊形ABCD的形狀一定是　　　　　　.
8.(教材改編題)設(shè)α,β,γ是三個不同的平面,m,n是兩條不同的直線,在命題“α∩β=m,n γ,且　　　　,則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組,使該命題為真命題.
①α∥γ,n β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m γ.
四、解答題
9.如圖,在四棱錐P-ABCD中,點E為PA的中點,點F為BC的中點,底面ABCD是平行四邊形,對角線AC,BD交于點O.
求證:平面EFO∥平面PCD.
10.如圖,AB是圓柱OO1底面的直徑,PA是圓柱OO1的母線,C是圓O上的點(異于A,B兩點),Q為PA的中點,G為△AOC的重心,求證:QG∥平面PBC.
【素養(yǎng)提升組】
一、選擇題
1.
棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M是棱AA1的中點,過C,M,D1作正方體的截面,則截面的面積為(　　)
A.2 B.4 C. D.5
2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別為棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中點,則下列結(jié)論中正確的是 (　　)
A.AD1∥平面EFGH
B.BD1∥GH
C.BD∥EF
D.平面EFGH∥平面A1BCD1
二、填空題
3.如圖所示,設(shè)E,F,E1,F1分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB,CD,A1B1,C1D1的中點,則平面EFD1A1與平面BCF1E1的位置關(guān)系是　　　　　　.
4.如圖所示,P是△ABC所在平面外一點,平面α∥平面ABC,α分別交線段PA,PB,PC于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,則=　　　　.
三、解答題
5.如圖,四邊形ABCD為矩形,A,E,B,F四點共面,且△ABE和△ABF均為等腰直角三角形,∠BAE=∠AFB=90°.求證:平面BCE∥平面ADF.
6.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為DD1,CC1的中點,AC與BD交于點O.求證:
(1)CE∥FD1;
(2)平面AEC∥平面BFD1.
8.5.3　平面與平面平行
必備知識·落實
1.相交
2.不一定.當(dāng)這兩條直線平行時,這兩個平面有可能相交.
3.兩條交線
知能素養(yǎng)·進階
【基礎(chǔ)鞏固組】
1.D　夾在兩個平行平面間的平行線段相等,但夾在兩個平行平面間的相等線段可以平行、相交或異面.
2.C　由題意,取B1C1的中點E,連接EM,NE,B1D1,BD,如圖.
M,N,P分別是C1D1,BC,A1D1的中點,
所以BB1∥NE,B1D1∥EM,EM∩NE=E,BB1∩B1D1=B1,
所以平面EMN∥平面BB1D1D,
那么MN∥平面BB1D1D.
3.D　如圖所示,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,
直線AB∥CD,則直線AB∥平面DC1,直線AB 平面AC,但是平面AC與平面DC1不平行,所以選項A錯誤;取BB1的中點E,CC1的中點F,則可證EF∥平面AC,B1C1∥平面AC.又EF 平面BC1,B1C1 平面BC1,但是平面AC與平面BC1不平行,所以選項B錯誤;直線AD∥B1C1,AD 平面AC,B1C1 平面BC1,但平面AC與平面BC1不平行,所以選項C錯誤;很明顯選項D是兩個平面平行的判定定理,所以選項D正確.
4.C　因為平面和左右兩個平行側(cè)面分別交于ED1,BF,所以ED1∥BF,同理D1F∥EB,所以四邊形D1EBF是平行四邊形.
5.AD　對于A,由于A1B∥D1C,且A1B 平面ACD1,D1C 平面ACD1,
可得直線A1B∥平面ACD1;
對于B,由于B1B∥D1D,且D1D∩平面ACD1=D1,可得直線B1B不平行平面ACD1;
對于C,由于A1D與AD1相交,A1D 平面A1DC1,可得平面A1DC1不與平面ACD1平行;
對于D,由于A1B∥D1C,C1B∥D1A,A1B,C1B 平面A1BC1且相交,
可得平面A1BC1∥平面ACD1.
6.BD　因為α∥β,所以AB∥CD.
若P在α,β的同側(cè)時,則有PC=PA+AC=15,
因為=,所以PB=,所以BD=PD-PB=;
若點P在α,β之間時,則有PC=AC-PA=3,
因為=,所以PB=16,所以BD=PB+PD=24.綜上,BD=或BD=24.
7.【解析】因為平面AC∥α,平面AA1B1B∩α=A1B1,
平面AA1B1B∩平面ABCD=AB,所以AB∥A1B1,
同理可證CD∥C1D1.又A1B1∥C1D1,
所以AB∥CD.同理可證AD∥BC,
所以四邊形ABCD是平行四邊形.
答案:平行四邊形
8.【解析】由面面平行的性質(zhì)定理可知,①正確;
當(dāng)m∥γ,n∥β時,n和m可能平行或異面,②錯誤;
當(dāng)n∥β,m γ時,n和m在同一平面內(nèi),且沒有公共點,所以,m∥n,③正確.
答案:①或③
9.【證明】因為四邊形ABCD是平行四邊形,AC∩BD=O,所以點O為BD的中點.
又因為點F為BC的中點,所以O(shè)F∥CD.
又OF 平面PCD,CD 平面PCD,所以O(shè)F∥平面PCD,
因為點O,E分別是AC,PA的中點,所以O(shè)E∥PC,
又OE 平面PCD,PC 平面PCD,
所以O(shè)E∥平面PCD.又OE 平面EFO,OF 平面EFO,且OE∩OF=O,所以平面EFO∥平面PCD.
10.【證明】連接OG并延長交AC與M,連接QM,QO.
由G為△AOC的重心,得M為AC中點,
由Q為PA中點,得QM∥PC.
又O為AB中點,得OM∥BC.
因為QM∩MO=M,所以平面OMQ∥平面PBC,
因為QG 平面OMQ,所以QG∥平面PBC.
【素養(yǎng)提升組】
1.C　如圖,
由面面平行的性質(zhì)知截面與平面ABB1A1的交線MN是△AA1B的中位線,所以截面是等腰梯形CD1MN,易求MN=,CD1=2,MD1=NC=,
所以此截面的面積S=×(+2)×
=.
2.D　在長方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別為棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中點,在A中,BC1與平面EFGH相交,又AD1∥BC1,故AD1不平行于平面EFGH,故A錯誤;
在B中,BD1∩CD1=D1,CD1∥GH,
故BD1不可能平行于GH,故B錯誤;在C中,BD∩A1B=B,A1B∥EF,故BD與EF不可能平行,故C錯誤;
在D中,EF∥A1B,FG∥BC,A1B∩BC=B,EF∩FG=F,所以平面EFGH∥平面A1BCD1,故D正確.
3.【解析】由題意得A1E∥BE1,A1E 平面BCF1E1,
BE1 平面BCF1E1,所以A1E∥平面BCF1E1.
同理,A1D1∥平面BCF1E1.
又A1E∩A1D1=A1,A1E,A1D1 平面EFD1A1,
所以平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
答案:平行
4.【解析】由題圖知,因為平面α∥平面ABC,
所以AB∥平面α,又由平面α∩平面PAB=A'B',則A'B'∥AB,
同理可得B'C'∥BC,A'C'∥AC,
所以∠B'A'C'=∠BAC,∠A'B'C'=∠ABC,∠A'C'B'=∠ACB,
所以△A'B'C'∽△ABC,
因為PA'∶AA'=2∶3,即PA'∶PA=2∶5,
所以A'B'∶AB=2∶5,
由相似三角形面積比為相似比的平方,
所以=.
答案:
5.【證明】因為四邊形ABCD為矩形,所以BC∥AD,
又BC 平面ADF,AD 平面ADF,
所以BC∥平面ADF.
因為△ABE和△ABF均為等腰直角三角形,
且∠BAE=∠AFB=90°,
所以∠BAF=∠ABE=45°,所以AF∥BE,
又BE 平面ADF,AF 平面ADF,
所以BE∥平面ADF.又BC 平面BCE,BE 平面BCE,BC∩BE=B,所以平面BCE∥平面ADF.
6.【證明】(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,CC1∥DD1且CC1=DD1,因為E,F分別為DD1,CC1的中點,則CF∥D1E且CF=D1E,
所以四邊形CED1F為平行四邊形,則CE∥FD1.
(2)因為四邊形ABCD為正方形,AC∩BD=O,則O為BD的中點,因為E為DD1的中點,則OE∥BD1,
因為OE 平面BFD1,BD1 平面BFD1,所以O(shè)E∥平面BFD1,因為CE∥FD1,CE 平面BFD1,FD1 平面BFD1,所以CE∥平面BFD1,
因為OE∩CE=E,所以平面ACE∥平面BFD1.8.6.3　平面與平面垂直(一)
1.二面角的平面角
定義:在二面角α-l-β的棱l上任取一點O,以點O為垂足,在半平面α和β內(nèi)分別作　　　　　于棱l的射線OA和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角.
2.為什么二面角的平面角大小與在二面角棱上的取點無關(guān)
3.平面與平面垂直
一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是　　　　,就說這兩個平面互相垂直.
4.判定定理
如果一個平面過另一個平面的　　　　,那么這兩個平面垂直.
5.定義能否作為判定兩個平面垂直的依據(jù)
【基礎(chǔ)鞏固組】
一、單選題
1.若一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面,那么這兩個二面角(　　)
A.相等 B.互補
C.相等或互補 D.關(guān)系無法確定
2.對于直線m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一個條件是 (　　)
A.m⊥n,m∥α,n∥β
B.m⊥n,α∩β=m,n α
C.m∥n,n⊥β,m α
D.m∥n,m⊥α,n⊥β
3.空間四邊形ABCD中,若AD⊥BC,BD⊥AD,則 (　　)
A.平面ABC⊥平面ADC
B.平面ABC⊥平面ADB
C.平面ABC⊥平面DBC
D.平面ADC⊥平面DBC
4.從空間一點P向二面角α-l-β的兩個面α,β分別作垂線PE,PF,E,F為垂足,若
∠EPF=60°,則二面角α-l-β的平面角的大小是 (　　)
A.60° B.120°
C.60°或120° D.不確定
二、多選題
5.設(shè)α是給定的平面,A,B是不在α內(nèi)的任意兩點,則 (　　)
A.在α內(nèi)存在直線與直線AB平行
B.在α內(nèi)存在直線與直線AB相交
C.在α內(nèi)存在直線與直線AB垂直
D.存在過直線AB的平面與α垂直
6.在棱長都相等的四面體P-ABC中,D,E,F分別是AB,BC,CA的中點,則下面結(jié)論中成立的是 (　　)
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABC
D.平面PAE⊥平面ABC
三、填空題
7.閱讀下面題目及其證明過程,在橫線處填寫上正確結(jié)論.
如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,O是正方形ABCD的中心,PO⊥底面ABCD,E是PC的中點.
求證:平面PAC⊥平面BDE.
證明:因為PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BD.又因為AC⊥BD,且AC∩PO=O,
所以　　　　　.
又因為BD 平面BDE,
所以平面PAC⊥平面BDE.
8.在三棱錐P-ABC中,PA=PB=AC=BC=2,PC=1,AB=2,則二面角P-AB-C的大小為　　　　.
四、解答題
9.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中點.
證明:平面BDC1⊥平面BDC.
10.如圖所示,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分別交AC,SC于點D,E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E-BD-C的大小.
【素養(yǎng)提升組】
一、選擇題
1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,截面A1BD與底面ABCD所成的二面角A1-BD-A的正切值等于(　　)
A. B. C. D.
2.已知AB是圓柱上底面的一條直徑,C是上底面圓周上異于A,B的一點,D為下底面圓周上一點,且AD⊥圓柱的底面,則必有 (　　)
A.平面ABC⊥平面BCD
B.平面BCD⊥平面ACD
C.平面ABD⊥平面ACD
D.平面BCD⊥平面ABD
二、填空題
3.如圖,在四棱錐S -ABCD中,底面ABCD為正方形,SA⊥平面ABCD,AC與BD相交于點O,點P是側(cè)棱SC上一動點,則圖中一定與平面PBD垂直的平面是　　　　　.
4.將銳角A為60°,邊長為a的菱形ABCD沿BD折疊,使半平面ABD與半平面CBD為60°的二面角,則折疊后A與C之間的距離為　　　　.
三、解答題
5.如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形,AA1=4,點E,F,M,N分別為棱CC1,BC,BB1,AA1的中點.
(1)求三棱錐E-AFM的體積;
(2)求證:平面B1D1E⊥平面C1MN.
6.如圖,在三棱臺DEF-ABC中, AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點.
(1)求證:BD∥平面FGH;
(2)若CF⊥BC,AB⊥BC,求證:平面BCD⊥平面EGH.
8.6.3　平面與平面垂直(一)
必備知識·落實
1.垂直
2.根據(jù)等角定理,取不同點時,角都是相等的.
3.直二面角
4.垂線
5.能.定義既是判定也是性質(zhì).
知能素養(yǎng)·進階
【基礎(chǔ)鞏固組】
1.D　如圖所示,二面角A-BC-D為直二面角,平面EFDG⊥平面ABC,當(dāng)平面HDG繞DG轉(zhuǎn)動時,平面HDG始終與平面BCD垂直,因為二面角H-DG-F的大小不確定,所以兩個二面角的大小關(guān)系不確定.
2.C　因為n⊥β,m∥n,所以m⊥β.
因為m α,由面面垂直的判定定理,所以α⊥β.
3.D　因為BC⊥AD,AD⊥BD,BC∩BD=B,
所以AD⊥平面BCD.
因為AD 平面ADC,所以平面ADC⊥平面DBC.
4.C　因為PE⊥α,PF⊥β,
所以P,E,F三點確定的平面垂直于α和β.
過點E作l的垂線,垂足為O,
連接OF,易知l⊥OF且P,E,O,F四點共面,
則∠FOE為二面角的平面角,如圖所示.
此時,∠FOE+∠EPF=180°,
所以二面角α-l-β的平面角為120°.
當(dāng)點P的位置如圖所示時,
此時∠FOE=∠EPF,所以二面角α-l-β的平面角為60°.
5.CD　對于A,若直線AB與α相交,則不存在過直線AB的平面與α平行,故A錯誤;
對于B,當(dāng)直線AB與α平行時,平面α內(nèi)不存在直線與直線AB相交,故B錯誤;
對于C,無論直線AB與α平行,還是直線AB與α相交,在α內(nèi)都存在直線與直線AB垂直,故C正確;
對于D,無論直線AB與α平行,還是直線AB與α相交,都存在過直線AB的平面與α垂直,故D正確.
6.ABD　可畫出對應(yīng)圖形,如圖所示,
則BC∥DF,又DF 平面PDF,BC 平面PDF,
所以BC∥平面PDF,故A成立;
由AE⊥BC,PE⊥BC,BC∥DF,
知DF⊥AE,DF⊥PE,所以DF⊥平面PAE,
故B成立;又DF 平面ABC,
所以平面ABC⊥平面PAE,故D成立.
7.【解析】因為PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BD.
又因為AC⊥BD,且AC∩PO=O,
所以BD⊥平面PAC.又因為BD 平面BDE,
所以平面PAC⊥平面BDE.
答案:BD⊥平面PAC
8.【解析】取AB中點M,連接PM,MC,
則PM⊥AB,CM⊥AB,
所以∠PMC就是二面角P-AB-C的平面角.
在△PAB中,PM==1,
同理MC=1,則△PMC是等邊三角形,
所以∠PMC=60°.
答案:60°
9.【證明】由題設(shè)知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,
所以BC⊥平面ACC1A1.
又DC1 平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.
由題設(shè)知∠A1DC1=∠ADC=45°,
所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.
又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.
又DC1 平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.
10.【解析】因為E為SC的中點,且SB=BC,
所以BE⊥SC.又DE⊥SC,BE∩DE=E,
所以SC⊥平面BDE,所以BD⊥SC.
又SA⊥平面ABC,可得SA⊥BD,SC∩SA=S,
所以BD⊥平面SAC,從而BD⊥AC,BD⊥DE,
所以∠EDC為二面角E-BD-C的平面角.
設(shè)SA=AB=1,
在△ABC中,因為AB⊥BC,
所以SB=BC=,AC=,所以SC=2.
在Rt△SAC中,∠DCS=30°,
所以∠EDC=60°,即二面角E-BD-C為60°.
【素養(yǎng)提升組】
1.C　如圖所示,
連接AC交BD于O,連接A1O,∠A1OA為二面角A1-BD-A的平面角.
設(shè)A1A=a,則AO=a,
所以tan∠A1OA==.
2.B　因為AB是圓柱上底面的一條直徑,所以AC⊥BC,又AD⊥圓柱的底面,
所以AD⊥BC,因為AC∩AD=A,所以BC⊥平面ACD.又BC 平面BCD,
所以平面BCD⊥平面ACD.
3.【解析】因為在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,所以BD⊥AC.
因為SA⊥平面ABCD,所以SA⊥BD.
因為SA∩AC=A,所以BD⊥平面SAC.
因為BD 平面PBD,
所以平面PBD⊥平面SAC.
答案:平面SAC
4.【解析】設(shè)折疊后點A到A1的位置,
取BD的中點E,連接A1E,CE.
則BD⊥CE,BD⊥A1E.
于是∠A1EC為二面角A1-BD -C的平面角.
故∠A1EC=60°.
因為A1E=CE,所以△A1EC是等邊三角形.
所以A1E=CE=A1C=a.
答案:a
5.【解析】(1)因為AB⊥側(cè)面BCC1B1,
所以AB⊥平面EFM,
又因為M,E分別為BB1,CC1的中點,
所以四邊形MBCE為正方形,
所以△MEF的面積為S△MEF=ME·MB
=×2×2=2.
所以三棱錐A-EFM的體積為V三棱錐A-EFM
=S△MEF·AB=×2×2=,
所以三棱錐E-AFM的體積為.
(2)長方體ABCD-A1B1C1D1中,四邊形BCC1B1是矩形,
因為E,M分別為棱CC1,BB1的中點,且BB1=4,B1C1=2,
所以四邊形MEC1B1是正方形,
所以C1M⊥B1E,
又N,M分別為棱AA1,BB1的中點,
所以NM⊥平面BCC1B1,
又B1E 平面BCC1B1,
所以NM⊥B1E,
又因為NM∩C1M=M,NM,C1M 平面C1MN,
所以B1E⊥平面C1MN,
又B1E 平面B1D1E,
所以平面B1D1E⊥平面C1MN.
6.【證明】(1)如圖所示,連接DG,
設(shè)CD∩GF=M,連接MH.
在三棱臺DEF-ABC中,AB=2DE,
所以AC=2DF.
因為G是AC的中點,
所以DF∥GC,且DF=GC,
所以四邊形CFDG是平行四邊形,
所以DM=MC.
因為BH=HC,所以MH∥BD.
又BD 平面FGH,MH 平面FGH,
所以BD∥平面FGH.
(2)因為G,H分別為AC,BC的中點,
所以GH∥AB.
因為AB⊥BC,所以GH⊥BC.
又H為BC的中點,所以EF∥HC,EF=HC,
所以四邊形EFCH是平行四邊形,
所以CF∥HE.
因為CF⊥BC,所以HE⊥BC.
又HE,GH 平面EGH,HE∩GH=H,
所以BC⊥平面EGH.
又BC 平面BCD,
所以平面BCD⊥平面EGH.

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