資源簡介

9.1　隨機抽樣
9.1.1　簡單隨機抽樣
1.簡單隨機抽樣
分為放回簡單隨機抽樣、　　　　　　　　;有抽簽法、隨機數法兩種方法.
2.總體平均數與樣本平均數
(1)總體平均數
①一般地,總體中有N個個體,它們的變量值分別為Y1,Y2,…,YN,則稱=　　　　　　=　　　　　　　　　　為總體均值,又稱總體平均數.
②如果總體的N個變量值中,不同的值共有k(k≤N)個,不妨記為Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出現的頻數fi(i=1,2,…,k),則總體均值還可以寫成加權平均數的形式=　　　　　　.
(2)樣本平均數
如果從總體中抽取一個容量為n的樣本,它們的變量值分別為y1,y2,…,yn,則稱=
　　　　　　　　　　=　　　　　為樣本均值,又稱樣本平均數.在簡單隨機抽樣中,我們常用樣本平均數去估計總體平均數.
3.總體均值與樣本均值有何區別
一、單選題
1.下列抽樣的方式屬于簡單隨機抽樣的個數為 (　　)
①從500個個體中一次性抽取50個作為樣本;
②將500個個體編號,把號簽放在一個不透明的容器內攪拌均勻,從中逐個抽取50個作為樣本;
③某班有55個同學指定個子最高的5名同學參加學校組織的籃球賽;
④福利彩票用搖獎機搖獎.
A.1 B.2 C.3 D.4
2.用簡單隨機抽樣方法從含有10個個體的總體中,抽取一個容量為3的樣本,其中某一個體a“第一次被抽到”的可能性,“第二次被抽到”的可能性分別是 (　　)
A., B., C., D.,
3.從全校200名女生中用隨機數法抽取30名調查其身高,得到樣本量的平均數為148.3 cm,則可以推測該校女生的平均身高 (　　)
A.一定為148.3 cm　　 B.高于148.3 cm
C.低于148.3 cm D.約為148.3 cm
4.某工廠利用隨機數表對生產的50個零件進行抽樣測試,先將50個零件進行編號,編號分別為01,02,…,50,從中抽取5個樣本,下面提供隨機數表的第1行到第2行:
第1行
6667403714640571110565099586687683203790
第2行
5716031163149084452175738805905223594310
若從表中第1行第9列開始向右依次讀取數據,則得到的第4個樣本編號是(　　)
A.10　　　B.09　　　C.05　　　D.20
二、多選題
5.從10個籃球中任取一個,檢查其質量,用隨機數法抽取樣本,則應編號為 (　　)
A.1,2,3,…,10
B.-1,-2,-3,…,-10
C.0,1,2,3,…,10
D.0,1,2,…,9
6.從1 200件零件中用簡單隨機抽樣方法抽取20件進行檢驗,其中有1件是不合格品,則(　　)
A.樣本量為20
B.每個零件被抽入樣本的概率為
C.產品的合格率約為
D.產品的合格率約為
三、填空題
7.要從60位同學中抽取8位同學調查其期末考試的數學成績,如圖是電子表格軟件生成的部分隨機數,若從第一個數開始抽取,則抽取的8位同學的編號依次為　　　　　　　.
8.為了考察某地2022年6月每天的最高氣溫,隨機抽取了5天,所得數據為29,29,31,30,31,則該地2022年6月每天的最高氣溫平均值約為　　　　.
四、解答題
9.從20架鋼琴中抽取5架進行質量檢查,請用抽簽法確定這5架鋼琴.
10.某次運動會甲、乙兩名射擊運動員的成績(環數)如下:
甲:9.4,8.7,7.5,8.4,10.1,10.5,10.7,7.2,7.8,10.8;
乙:9.1,8.7,7.1,9.8,9.7,8.5,10.1,9.2,10.1,9.1.
求兩個樣本數據的平均數,估計哪位運動員水平較高.
一、選擇題
1.某校高一共有10個班,編號為01,02,…,10,現用抽簽法從中抽取3個班進行調查,設高一(5)班被抽到的可能性為a,高一(6)班被抽到的可能性為b,則 (　　)
A.a=,b= B.a=,b=
C.a=,b= D.a=,b=
2.我國古代數學名著《九章算術》有“米谷粒分”題:糧倉開倉收糧,有人送來米2 020石,驗得米內夾谷,抽樣取米一把,數得255粒內夾谷29粒,則這批米內夾谷約為 (　　)
A.222石 B.220石
C.230石 D.232石
二、填空題
3.從一群游戲的小孩中隨機抽出k人,一人分一個蘋果,讓他們返回繼續游戲.過了一會兒,再從中任取m人,發現其中有n個小孩曾分過蘋果,估計參加游戲的小孩的人數為　　　.
4.為了調查某市城區某小河流的水體污染狀況,就某個指標,某學校甲班的同學抽取了樣本量為50的5個樣本,乙班的同學抽取了樣本量為100的5個樣本,得到如下數據:
樣本 抽樣序號
1 2 3 4 5
樣本量為50的樣本 123.1 120.2 125.4 119.1 123.6
樣本量為100的樣本　 119.8 120.1 121.0 120.3 120.2
據此可以認定　　　　　班的同學調查結果能夠更好地反映總體,這兩個班的同學調查的該項指標約為　　　　　(答案不唯一,只要合理即可).
三、解答題
5.選擇合適的抽樣方法抽樣,寫出抽樣過程.
(1)現有一批電子元件600個,從中抽取6個進行質量檢測;
(2)有甲廠生產的30個籃球,其中一箱21個,另一箱9個,抽取3個入樣.
6.某些商家為消費者提供免費塑料袋,使購物消費更加方便快捷,但是我們更應關注它對環境的潛在危害.為了解某市所有家庭每年丟棄塑料袋個數的情況,統計人員采用了科學的方法,隨機抽取了200戶,對他們某日丟棄塑料袋的個數進行了統計,結果如表:
每戶丟棄塑 料袋個數 1 2 3 4 5 6
家庭數/戶 15 60 65 35 20 5
(1)求當日這200戶家庭平均每戶丟棄塑料袋的個數;
(2)假設某市現有家庭100萬戶,據此估計全市所有家庭每年(以365天計算)丟棄塑料袋的總數.
7.某單位擬從40名員工中選1人贈送電影票,可采用下面兩種選法:
選法一:將這40名員工按1~40進行編號,并相應地制作號碼為1~40的40個號簽,把這40個號簽放在一個不透明的箱中攪勻,最后隨機地從中抽取1個號簽,與這個號簽編號一致的員工幸運入選;
選法二:將39個白球與1個紅球(球除顏色外,其他完全相同)混合放在一個不透明的箱中攪勻,讓40名員工逐一從中摸取一個球,則摸到紅球的員工幸運入選.試問:
(1)這兩種選法是否都是抽簽法,為什么
(2)這兩種選法中每名員工被選中的可能性是否相等
第九章　統計
9.1　隨機抽樣
9.1.1　簡單隨機抽樣
必備知識·落實
1.不放回簡單隨機抽樣
2.(1)①　Yi?、趂iYi
(2)　yi
3.當總體中個體較多時,總體均值不易計算,樣本均值比較方便計算.總體均值是一個確定的數,樣本均值具有隨機性.
知能素養·進階
【基礎鞏固組】
1.B?、俨皇侵饌€抽取,③不是等可能抽取,故不是簡單隨機抽樣,②④是簡單隨機抽樣.
2.A　簡單隨機抽樣中每個個體每次被抽取的機會均等,都為.
3.D　由抽樣調查的意義可以知道該校女生的平均身高約為148.3 cm.
4.B　從隨機數表第1行的第9列數字開始由左向右每次連續讀取2個數字,刪除超出范圍及重復的編號,符合條件的編號有14,05,11,09,
所以選出來的第4個個體的編號為09.
【名師點睛】讀取時要連續讀取2個數字,并且超出范圍及重復的要刪去.
5.AD　用隨機數法抽樣時,編號的位數可以相同(隨機數表),也可以不同(臨時生成隨機數),但不能是負數,編號與個體數量相同.
6.ABC　從N個總體中抽取n個個體作為樣本,樣本量為n,每個個體被抽到的概率為,所以A,B都是正確的,因為樣本的合格率為1-=,所以用樣本估計總體,這批產品的合格率約為,所以C正確,D錯誤.
7.【解題指南】按順序依次選出8位同學的號碼,注意大于60的號碼要剔去,重復的號碼只選一次.
【解析】如題圖所示,抽取的8位同學的號碼依次為7,4,1,15,2,3,5,14.
答案:7,4,1,15,2,3,5,14
8.【解析】=30.
答案:30
9.【解析】第一步:將20架鋼琴編號,號碼是01,02,…,20;
第二步:將號碼分別寫在一張紙條上,揉成團,制成號簽;
第三步:將得到的號簽放入一個不透明的袋子中,并充分攪勻;
第四步:從袋子中逐個不放回地抽取5個號簽,并記錄上面的編號;
第五步:所得號碼對應的5架鋼琴就是要抽取的對象.
10.【解析】=×(9.4+8.7+7.5+8.4+10.1+10.5+10.7+7.2+7.8+10.8)=9.11,
=×(9.1+8.7+7.1+9.8+9.7+8.5+10.1+9.2+10.1+9.1)=9.14,
因為>,所以乙的水平較高.
【素養提升組】
1.C　由簡單隨機抽樣的定義,知每個個體被抽到的可能性相等,故高一(5)班和高一(6)班被抽到的可能性均為.
2.C　根據米255粒內夾谷29粒,則頻率為,則這批米內夾谷為
2 020×≈230(石).
3.【解析】設參加游戲的小孩有x人,則=,x=.
答案:
4.【解析】由抽樣調查的意義可以知道,增加樣本量可以提高估計效果,所以乙班同學的調查結果能更好地反映總體,由表可知,該項指標約為120.
答案:乙　120
5.【解析】(1)總體中個體數較大,用隨機數表法.
第一步,給元件編號為001,002,003,…,099,100,…,600;
第二步,用隨機數工具產生1~600范圍內的整數隨機數,把產生的隨機數作為抽中的編號,使與編號對應的電子元件進入樣本;
第三步,依次操作,如果生成的隨機數有重復,則剔除并重新產生隨機數,直到樣本量達到6;
第四步,以上這6個號碼對應的元件就是要抽取的對象.
(2)總體中個體數較小,用抽簽法.
第一步,將30個籃球,編號為1,2,…,30;
第二步,將以上30個編號分別寫在外觀、質地等無差別的小紙條上,揉成小球狀,制成號簽;
第三步,把號簽放入一個不透明的盒子中,充分攪拌;
第四步,從盒子中不放回地逐個抽取3個號簽,并記錄上面的號碼;
第五步,找出和所得號碼對應的籃球.
6.【解析】(1)×(1×15+2×60+3×65+4×35+5×20+6×5)=×600=3,故當日這200戶家庭平均每戶丟棄塑料袋的個數為3.
(2)3×365×100=109 500,故全市所有家庭每年丟棄塑料袋約109 500萬個.
7.【解析】(1)選法一:滿足抽簽法的特征,是抽簽法;
選法二:不是抽簽法,抽簽法要求所有的號簽編號互不相同,而選法二中的39個白球無法相互區分.
(2)這兩種選法中每名員工被選中的可能性相等,均為.9.1.2　分層隨機抽樣
1.分層隨機抽樣
按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體,每個個體屬于且僅屬于一個子總體,在每個子總體中獨立地進行　　　　　　　　　,再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為　　　　　　.每一個子總體稱為　　　.
2.樣本平均數的計算公式
在分層隨機抽樣中,如果層數分為2層,第1層和第2層包含的個體數分別為M和N,抽取的樣本量分別為m和n,第1層和第2層樣本的平均數分別為和,則樣本的平均數
=　　　 +　　　 =　　　 +　　　 .
一、單選題
1.某公司員工對戶外運動分別持“喜歡”“不喜歡”和“一般”三種態度,其中持“一般”態度的比持“不喜歡”態度的多12人,按分層隨機抽樣方法從該公司全體員工中選出部分員工座談,如果選出的人有6人對戶外運動持“喜歡”態度,有1人對戶外運動持“不喜歡”態度,有3人對戶外運動持“一般”態度,那么這個公司全體員工中對戶外運動持“喜歡”態度的人數為(　　)
A.36 B.6 C.12 D.18
2.下列調查方案中,抽樣方法合適、樣本具有代表性的是 (　　)
A.用一本書第1頁的字數估計全書的字數
B.為調查某校學生對航天科技知識的了解程度,上學期間,在該校門口,每隔2分鐘隨機調查一位學生
C.在省內選取一所城市中學,一所農村中學,向每個學生發一張卡片,上面印有一些名人的名字,要求每個學生只能在一個名字下面畫“√”,以了解全省中學生最崇拜的人物是誰
D.為了調查我國小學生的健康狀況,共抽取了100名小學生進行調查
3.某校要了解高一學生的學習規劃情況,在高一年級6個班級中任選兩個班級,并在所選的班級中按男女比例抽取樣本,則應采用的抽樣方法是 (　　)
A.簡單隨機抽樣
B.分層隨機抽樣
C.先用分層隨機抽樣,再用隨機數法
D.先用抽簽法,再用分層隨機抽樣
4.據統計某高校共有本科生1 600人,碩士生600人,博士生200人申請報名做志愿者,現用分層隨機抽樣方法從中抽取博士生30人,則該高校抽取的志愿者總人數為 (　　)
A.300人 B.320人 C.340人 D.360人
二、多選題
5.某公司生產三種型號的轎車,產量分別為1 200輛,6 000輛和2 000輛.為檢驗該公司的產品質量,公司質監部門要抽取46輛進行檢驗,則 (　　)
A.應采用分層隨機抽樣抽取
B.應采用抽簽法抽取
C.三種型號的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛
D.這三種型號的轎車,每一輛被抽到的概率都是相等的
6.某中學高一年級有20個班,每班50人;高二年級有30個班,每班45人.甲就讀于高一,乙就讀于高二,學校計劃從這兩個年級中共抽取235人進行視力調查,下列說法中正確的有(　　)
A.應該采用分層隨機抽樣法抽取
B.高一、高二年級應分別抽取100人和135人
C.高二年級學生被抽到的可能性比高一年級學生大
D.該問題中的總體是高一、高二年級的全體學生的視力
三、填空題
7.“民以食為天,食以安為先”,食品安全是關系人們身體健康的大事,某糧油店經營A,B,C三類品牌的食用油,其中A類品牌的食用油40桶,B類品牌的食用油30桶,C類品牌的食用油20桶,為防止“地溝油”,要從中抽取一個容量為9的樣本,若用分層抽樣抽取,且在各層中按比例分配樣本,則在A,B,C三類品牌的食用油中各抽取的桶數分別為　　　　　.
8.比例分配的分層隨機抽樣中,總體共分為2層,第1層的樣本量為20,樣本平均數為3,第2層的樣本量為30,樣本平均數為8,則該樣本的平均數為　　　　.
四、解答題
9.某學校高一年級在校人數為600人,其中男生320人,女生280人,為了解學生每天參與體育鍛煉情況,按分層隨機抽樣的方法抽取50名男生每天的鍛煉時間為一個樣本,其樣本平均數為70 min,抽取50名女生每天的鍛煉時間為一個樣本,其樣本平均數為60 min,求該校高一年級學生每天的平均鍛煉時間的估計值.
10.某班有20名男生,20名女生,已知男女身高有明顯不同,現欲調查平均身高,準備抽取,采用比例分配分層隨機抽樣方法,抽取男生1名,女生1名,你認為這種做法是否妥當 如果讓你來調查,你準備怎樣做
一、選擇題
1.已知某地區中小學生人數和近視情況分別如圖①和圖②所示.為了解該地區中小學生的近視形成原因,用分層隨機抽樣的方法抽取2%的學生進行調查,則樣本量和抽取的高中生近視人數分別為 (　　)
A.200,20 B.100,20 C.200,10 D.100,10
2.某中學有高中生3 600人,初中生2 400人,為了解學生課外鍛煉情況,用分層抽樣的方法從學生中抽取一個容量為n的樣本.已知從高中生中抽取的人數比從初中生中抽取的人數多24,則n= (　　)
A.48 B.72 C.60 D.120
二、填空題
3.某校為了解學生的身體素質情況,采用按年級分層隨機抽樣的方法,從高一、高二、高三學生中抽取一個300人的樣本進行調查,已知高一、高二、高三學生人數之比為k∶5∶4,抽取的樣本中高一學生為120人,則k的值為　　　　,高一學生共有　　　　人.
4.某校做了一次關于“感恩父母”的問卷調查,從9~10歲,11~12歲,13~14歲,15~16歲四個年齡段回收的問卷依次為:120份,180份,240份,x份.因調查需要,從回收的問卷中按年齡段分層抽取容量為300的樣本,其中在11~12歲學生問卷中抽取60份,則在15~16歲學生中抽取的問卷份數為　　　.
三.解答題
5.某科研機構由科技人員、行政人員和后勤職工3種不同類型的人員組成,現要抽取1個容量為45的樣本進行調查.已知科技人員共有60人,抽入樣本的有20人,且行政人員與后勤職工的人數之比為2∶3,那么此機構的總人數、行政人員、后勤職工人數分別為多少
6.為了對某課題進行討論研究,用分層抽樣的方法從三所高校A,B,C的相關人員中,抽取若干人組成研究小組,有關數據見下表(單位:人).
高校 相關人數 抽取人數
A x 1
B 36 y
C 54 3
(1)求x,y;
(2)若從高校B相關人員中選2人作專題發言,應采用什么抽樣法 請寫出合理的抽樣過程.
9.1.2　分層隨機抽樣
必備知識·落實
1.簡單隨機抽樣　總樣本　層
2.　　　
知能素養·進階
【基礎鞏固組】
1.A　設持“喜歡”“不喜歡”“一般”態度的人數分別為6x,x,3x,由題意可得3x-x=12,x=6,所以持“喜歡”態度的有6x=36(人).
2.B　A中樣本缺少代表性(第1頁的字數一般較少);B中抽樣保證了隨機性原則,樣本具有代表性;對于C,城市中學與農村中學的規模往往不同,學生崇拜的人物也未必在所列的名單之中,這些都會影響數據的代表性;D中總體數量很大,而樣本容量太少,不足以體現總體特征.
3.D　采用抽簽法從6個班級中抽取兩個班級,然后采用分層隨機抽樣的方法在所選的班級中按男女比例抽取樣本,故D項正確.
4.D　因為1 600∶600∶200=8∶3∶1,用分層隨機抽樣方法從中抽取博士生30人,所以本科生、碩士生抽取的人數分別為30×8=240(人)、3×30=90(人),
則該高校抽取的志愿者總人數為240+90+30=360(人).
5.ACD　由于總體按型號分為三個子總體,所以應采用分層隨機抽樣抽取,A正確;
設三種型號的轎車依次抽取x輛,y輛,z輛,
則有解得
所以三種型號的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛,故C正確;由分層隨機抽樣的意義可知D也正確.
6.ABD　易知應采用分層隨機抽樣法抽取,A正確;
由題意可得高一年級的人數為20×50=1 000,高二年級的人數為30×45=1 350,則高一年級應抽取的人數為235×=100,高二年級應抽取的人數為235-100=135,所以高一、高二年級應分別抽取100人和135人,故B正確;
高二年級學生被抽到的可能性與高一年級學生一樣大,故C錯誤;
該問題中的總體是高一、高二年級的全體學生的視力,故D正確.
7.【解析】分配比例為=,則A類油中抽取的桶數為40×=4,B類油中抽取的桶數為30×=3,C類油中抽取的桶數為20×=2.
答案:4,3,2
8.【解析】該樣本的平均數為×3+×8=6.
答案:6
9.【解析】由題意可知,=70,=60,
且M=320,N=280,
所以樣本平均數=+=×70+×60≈65.3(min),故該校高一年級學生每天的平均鍛煉時間的估計值為65.3 min.
10.【解析】這種做法不妥當.原因:取樣比例數過小,很難準確反映總體情況,況且男、女身高差異較大,抽取人數各1名,也不合理.
考慮到本題的情況,可以采用分層隨機抽樣,抽樣比為.男生抽取20×=4(名),女生抽取20×=4(名),各自用抽簽法或隨機數法抽取組成樣本.
(考慮到本題的情況,總體為40,數據不多,可以采用全面調查的方式調查該班的平均身高)
【素養提升組】
1.A　該地區中小學生總人數為3 500+2 000+4 500=10 000(人),則樣本量為
10 000×2%=200(人),其中抽取的高中生近視人數為2 000×2%×50%=20(人).
2.D　由題意可知,該校高中生人數與初中生人數之比為3∶2,則-=24,解得n=120.
3.【解析】由題意可得,=,
解得k=6.
經檢驗,k=6是原分式方程的解.
高一學生有120÷=300(人).
答案:6　300
4.【解析】11~12歲回收180份,其中在11~12歲學生問卷中抽取60份,則抽樣比為.
因為從回收的問卷中按年齡段分層抽取容量為300的樣本,所以從9~10歲,11~12歲,13~14歲,15~16歲四個年齡段回收的問卷總數為=900(份),
則15~16歲回收問卷份數為:x=900-120-180-240=360(份).
所以在15~16歲學生中抽取的問卷份數為360×=120(份).
答案:120
5.【解析】不妨設行政人員有2x人,后勤職工有3x人,根據分層隨機抽樣等比例抽取的性質,故可得=,解得x=15.
所以后勤職工有3x=45人,行政人員有2x=30人,總人數為135人,所以此機構的總人數、行政人員、后勤職工人數分別為135,30,45.
6.【解析】(1)分層抽樣是按各層相關人數和抽取人數的比例進行的,所以有=,所以x=18,=,所以y=2.
故x=18,y=2.
(2)總體容量和樣本容量較小,所以應采用抽簽法,過程如下:
第一步,將36人隨機編號,號碼為1,2,3,…,36;
第二步,將號碼分別寫在相同的紙片上,揉成團,制成號簽;
第三步,將號簽放入一個不透明的容器中,充分攪勻,依次不放回地抽取2個號碼,并記錄上面的編號;
第四步,把與號碼相對應的人抽出,即可得到所要的樣本.9.2　用樣本估計總體
9.2.1　總體取值規律的估計
9.2.2　總體百分位數的估計
1.頻率分布直方圖
(1)頻率分布直方圖的縱坐標是　　　,每一組數對應的矩形高度與頻率成正比,而且每個矩形的面積等于這一組數對應的頻率,所有矩形的面積之和為　　　.
(2)除頻率分布直方圖外,還有其他統計圖嗎
(3)頻率分布直方圖的組數對數據分析有何影響
2.百分位數
(1)第p百分位數的定義
一般地,一組數據的第p百分位數是這樣一個值,它使得這組數據中至少有　　　　　　的數據小于或等于這個值,且至少有(100-p)%的數據大于或等于這個值.
(2)計算一組n個數據的第p百分位數的步驟:
第1步,按　　　　　　　　排列原始數據.
第2步,計算i=n×p%.
第3步,若i不是整數,而大于i的比鄰整數為j,則第p百分位數為第j項數據;若i是整數,則第p百分位數為第i項與第(i+1)項數據的　　　　　　.
一、單選題
1.一組數據為6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36,且這組數據的一個四分位數是15,則它是第　　　百分位數. (　　)
A.15 B.25 C.50 D.75
2.將容量為100的樣本數據,按由小到大排列分成8個小組,如表所示:
組號 1 2 3 4 5 6 7 8
頻數 10 13 14 14 15 13 12 9
第3組的頻率和累積頻率為 (　　)
A.0.14和0.37 B.和
C.0.03和0.06 D.和
3.為了研究某藥品的療效,選取若干名志愿者進行臨床試驗,所有志愿者的舒張壓數據(單位:kPa)的分組區間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序分別編號為第一組,第二組,…,第五組,如圖是根據試驗數據制成的頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有20人,第三組中沒有療效的有6人,則第三組中有療效的人數為 (　　)
A.6 B.8 C.12 D.18
4.如圖是根據某中學為地震災區捐款的情況而制作的統計圖.已知該校在校學生3 000人,根據統計圖計算該校捐款總額為 (　　)
A.10 500 B.12 870 C.14 400 D.37 770
二、多選題
5.5月6日,小明同學因發熱而住院,下圖是根據護士為他測量的體溫所繪制的體溫折線圖.
根據圖中的信息可得 (　　)
A.護士每隔6小時給小明測量一次體溫
B.近三天來,小明的最低體溫38攝氏度
C.從體溫看,小明的病情在不斷好轉
D.如果連續36小時體溫不超過37.2攝氏度的話,可認為基本康復,那么小明最快5月10日凌晨5時出院
6.為了解人們對環保知識的認知情況,某調查機構對A地區隨機選取n個居民進行了環保知識問卷調查(滿分為100分),并根據問卷成績(不低于60分記為及格)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖(分為[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),
[90,100)六組),若問卷成績最后三組頻數之和為360,則 (　　)
A.n=480
B.問卷成績在[70,80)內的頻率為0.3
C.a=0.030
D.以樣本估計總體,若對A地區5 000人進行問卷調查,則約有1 250人不及格
三、填空題
7.已知30個數據的60%分位數是8.2,這30個數據從小到大排列后第18個數據是7.8,則第19個數據是　　　　.
8.一個頻數分布表(樣本容量為50)不小心被損壞了一部分,只記得樣本中數據在[20,60)內的頻率為0.6,則樣本在[40,50),[50,60)內的數據個數之和為　　　　.
四、解答題
9.生產過程中,測得纖維產品的纖度(表示纖細的一種量),共有100個數據,將數據分組如下表:
分組 頻數 頻率
[1.30,1.34) 4
[1.34,1.38) 25
[1.38,1.42) 30
[1.42,1.46) 29
[1.46,1.50) 10
[1.50,1.54] 2
合計 100
(1)完成頻率分布表,并畫出頻率分布直方圖;
(2)估計纖度落在[1.38,1.50)內的可能性及纖度小于1.42的可能性各是多少
10.為了了解學生參加體育活動的情況,某校對學生進行了隨機抽樣調查,其中一個問題是“你平均每天參加體育活動的時間是多少”,共有4個選項可供選擇:
A.1.5小時以上 B.1~1.5小時
C.0.5~1小時 D.0.5小時以下
如圖是根據調查結果繪制的兩幅不完整的統計圖,請你根據統計圖中提供的信息解答以下問題:
(1)本次一共調查了多少名學生
(2)在圖(1)中將選項B對應的部分補充完整;
(3)若該校有3 000名學生,你估計全校有多少名學生平均每天參加體育活動的時間在0.5小時以下
一、選擇題
1.下面是兩戶居民家庭全年各項支出的統計圖.
根據統計圖,下列對兩戶教育支出占全年總支出的百分比作出的判斷中,正確的是 (　　)
A.甲戶比乙戶大
B.乙戶比甲戶大
C.甲、乙兩戶一樣大
D.無法確定哪一戶大
2.“幸福感指數”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態的滿意程度的指標,常用區間[0,10]內的一個數來表示,該數越接近10表示滿意程度越高,現隨機抽取6位小區居民,他們的幸福感指數分別為5,6,7,8,9,5,則這組數據的第80百分位數是 (　　)
A.7 B.7.5 C.8 D.9
二、填空題
3.某學校隨機抽取部分新生調查其從家到學校所需時間(單位:分鐘),并將所得數據繪制成頻率分布直方圖(如圖),其中,上學所需時間的范圍是[0,100],樣本數據分組為[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].則
(1)圖中的x=　　　　;
(2)若從家到學校所需時間不少于1小時的學生可申請在學校住宿,則該校600名新生中估計有　　　　名學生可以申請住宿.
4.對某市“四城同創”活動中800名志愿者的年齡抽樣調查統計后得到頻率分布直方圖(如圖),但是年齡組為[25,30)的數據不慎丟失,則依據此圖可得:
(1)[25,30)年齡組對應小矩形的高度為　　　　;
(2)由頻率分布直方圖估計志愿者年齡的85%分位數為　　　　歲.
三.解答題
5.為了讓學生了解環保知識,增強環保意識,某中學舉行了一次“環保知識競賽”,共有900名考生參加了這次競賽,為了解本次競賽成績情況,從中抽取了部分學生的成績(得分均為整數,滿分為100分)進行統計.請你根據尚未完成并有局部污損的頻率分布表和頻率分布直方圖,解答下列問題:
分組 頻數 頻率
[50,60) 4 0.08
[60,70) 0.16
[70,80) 10
[80,90) 16 0.32
[90,100]
合計 50
(1)填充頻率分布表的空格(將答案直接填在表格內).
(2)補全頻率分布直方圖.
(3)若成績在[70,90)分的學生為二等獎,問該校獲得二等獎的學生約為多少人
6.從某珍珠公司生產的產品中,任意抽取12顆珍珠,得到它們的質量(單位:g)如下:
7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.
(1)分別求出這組數據的第25,50,95百分位數;
(2)請你找出珍珠質量較小的前15%的珍珠質量;
(3)若用第25,50,95百分位數把公司生產的珍珠劃分為次品、合格品、優等品和特優品,依照這個樣本的數據,給出該公司珍珠等級的劃分標準.
9.2　用樣本估計總體
9.2.1　總體取值規律的估計
9.2.2　總體百分位數的估計
必備知識·落實
1.(1)　1
(2)條形圖、扇形圖、折線圖、頻數分布直方圖.
(3)當組數少、組距大時,容易從中看出數據整體的分布特點,但由于無法看出每組內的數據分布情況,損失了較多的原始數據信息;當組數多、組距小時,保留了較多的原始數據信息,但由于小長方形較多,有時圖形會變得非常不規則,不容易看出總體數據的分布特點.
2.(1)p%　(2)從小到大　平均數
知能素養·進階
【基礎鞏固組】
1.B　由小到大排列的結果:6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49,一共11項.由11×25%=2.75,故第25百分位數是15.
2.A　由表可知,第三小組的頻率為=0.14,累積頻率為=0.37.
3.C　志愿者的總人數為=50,所以第三組人數為50×0.36×1=18,所以有療效的人數為18-6=12.
4.D　根據統計圖,得高一人數為3 000×32%=960(人),捐款960×15=14 400(元);
高二人數為3 000×33%=990(人),
捐款990×13=12 870(元);
高三人數為3 000×35%=1 050(人),捐款1 050×10=10 500(元).所以該校學生共捐款14 400+12 870+10 500=37 770(元).
5.AC　根據橫軸表示的意義,可知護士每隔6小時給小明測量一次體溫.
從折線統計圖中的最高點和最低點對應的縱軸意義,可知近三天最低體溫是36.8攝氏度.
從圖中可知小明的體溫已經下降,并趨于穩定,因此病情在好轉.
5月8日18時小明的體溫是37攝氏度.其后的體溫未超過37.2攝氏度,自5月8日18時起計算,連續36小時后對應的時間為5月10日凌晨6時.因此小明最快可以在5月10凌晨6時出院.
6.BCD　由(0.010+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1,得a=0.030,
n==600,故A不正確,C正確.成績在[70,80)內的頻率為10a=0.3,故B正確.若對A地區5 000人進行問卷調查,則約有5 000×(0.1+0.15)=1 250人不及格,故D正確.
7.【解析】由30×60%=18,設第19個數據為x,則=8.2,解得x=8.6,即第19個數據是8.6.
答案:8.6
8.【解析】根據題意,設分布在[40,50),[50,60)內的數據個數分別為x,y.
因為樣本中數據在[20,60)內的頻率為0.6,樣本容量為50,所以=0.6,
解得x+y=21.即樣本在[40,50),[50,60)內的數據個數之和為21.
答案:21
9.【解析】(1)頻率分布表如下:
分組 頻數 頻率
[1.30,1.34) 4 0.04
[1.34,1.38) 25 0.25
[1.38,1.42) 30 0.30
[1.42,1.46) 29 0.29
[1.46,1.50) 10 0.10
[1.50,1.54] 2 0.02
合計 100 1.00
頻率分布直方圖如圖所示.
(2)利用樣本估計總體,則纖度落在[1.38,1.50)的可能性即為纖度落在[1.38,1.50)的頻率,即為0.30+0.29+0.10=0.69=69%.
纖度小于1.42的可能性即為纖度小于1.42的頻率,即為0.04+0.25+0.30=0.59=
59%.
10.【解析】(1)由圖(1)知,選A的人數為60,而圖(2)顯示,選A的人數占總人數的30%,故本次調查的總人數為60÷30%=200.
(2)由圖(2)知,選B的人數占總人數的50%,因此其人數為200×50%=100,圖(1)補充如圖所示:
(3)根據圖(2)知:平均每天參加體育活動的時間在0.5小時以下的人數占統計人數的5%,以此估計得3 000×5%=150(人).
【素養提升組】
1.B　條形統計圖反映具體數值,則由圖甲可知,甲戶教育支出占全年總支出的百分比為1 200÷(1 200+2 000+1 200+1 600)×100%=20%;從扇形統計圖乙可知,乙戶教育支出占全年總支出的百分比為25%.所以乙戶比甲戶大.
2.C　該組數據從小到大排列為:5,5,6,7,8,9,且6×80%=4.8.所以第80百分位數是第5個數,即8.
3.【解析】(1)由頻率分布直方圖知20x=1-20×(0.025+0.006 5+0.003+0.003),
解得x=0.012 5.
(2)從家到學校時間不少于1小時的學生的頻率為0.003×2×20=0.12,因此估計有0.12×600=72(人)可以申請住宿.
答案:(1)0.012 5　(2)72
4.【解析】(1)設[25,30)年齡組對應小矩形的高度為h,則5×(0.01+h+0.07+0.06+0.02)=1,解得h=0.04.
(2)由圖可知,年齡小于35歲的頻率為(0.01+0.04+0.07)×5=0.6,年齡小于40歲的頻率為(0.01+0.04+0.07+0.06)×5=0.9,
所以志愿者年齡的85%分位數在[35,40)內,
因此志愿者年齡的85%分位數為35+×5≈39(歲).
答案:(1)0.04　(2)39
5.【解析】(1)
分組 頻數 頻率
[50,60) 4 0.08
[60,70) 8 0.16
[70,80) 10 0.20
[80,90) 16 0.32
[90,100] 12 0.24
合計 50 1.00
(2)頻率分布直方圖如圖所示:
(3)因為成績在[70,80)間的學生頻率為0.20;
成績在[80,90)間的學生頻率為0.32.
所以在[70,90)之間的頻率為0.20+0.32=0.52.
又因為900名學生參加競賽,所以該校獲二等獎的學生為900×0.52=468(人).
6.【解析】(1)將所有數據從小到大排列,得
7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,
因為共有12個數據,所以12×25%=3,12×50%=6,12×95%=11.4,
則第25百分位數是=8.15,
第50百分位數是=8.5,
第95百分位數是第12個數據為9.9.
(2)因為共有12個數據,所以12×15%=1.8,則第15百分位數是第2個數據為7.9.
即珍珠質量較小的前15%的珍珠有2個,它們的質量分別為7.8,7.9.
(3)由(1)可知樣本數據的第25百分位數是8.15 g,第50百分位數為8.5 g,第95百分位數是9.9 g,所以質量小于或等于8.15 g的珍珠為次品,質量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠為合格品,質量大于8.5 g且小于或等于9.9 g的珍珠為優等品,質量大于9.9 g的珍珠為特優品.9.2.3　總體集中趨勢的估計
9.2.4　總體離散程度的估計
1.眾數、中位數
眾數:一組數據中重復出現次數　　　　　的數.
中位數:把一組數據按從小到大(或從大到小)排列,處在　　　　　　位置的一個數據(或兩個數據的　　　　　　).
2.樣本方差、樣本標準差
如果一個樣本中個體的變量值分別為y1,y2,…,yn,樣本平均數為,則樣本方差:s2=　　　　　　　,樣本標準差:s=　　　　.
3.標準差、方差與數據離散程度有何關系
4.用頻率分布直方圖估計眾數、中位數、平均數
(1)眾數:取　　　　　　　　　　　底邊中點的橫坐標作為眾數.
(2)中位數:在頻率分布直方圖中,把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積　　　　的部分的分界線與x軸交點的橫坐標稱為中位數.
(3)平均數:平均數是頻率分布直方圖的“重心”,等于頻率分布直方圖中每個小矩形的　　　　乘小矩形底邊中點的　　　　之和.
一、單選題
1.學校田徑運動會有15名運動員參加跳高比賽,預賽成績各不相同,取前8名參加決賽,某同學已經知道了自己的成績,為了判斷自己是否能進入決賽,他還需要知道這15名運動員成績的 (　　)
A.平均數 B.眾數 C.中位數 D.極差
2.抽樣調查了某班30位女生所穿鞋子的尺碼,數據如下(單位:碼).在這組數據的平均數、中位數和眾數中,鞋廠最感興趣的是 (　　)
碼號 33 34 35 36 37
人數 7 6 15 1 1
A.平均數 B.中位數 C.眾數 D.無法確定
3.甲、乙、丙、丁四人參加奧運會射擊項目選拔賽,四人的平均成績和方差如表:
甲 乙 丙 丁
平均數 8.5 8.8 8.8 8
方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7
則參加奧運會的最佳人選應為 (　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
4.隨機抽取高一(1)班10名同學,測量他們的身高(單位:cm)分別為158,162,164,168,168,170,171,178,179,182,記這10名同學的平均身高為,則身高不小于平均數的同學有 (　　)
A.3個 B.4個 C.5個 D.6個
二、多選題
5.如圖,樣本A,B分別取自兩個不同的總體,它們的平均數分別為,,中位數分別為yA,yB,則 (　　)
A.> B.< C.yA>yB D.yA6.有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次,每次命中的環數如下:
甲　78795491074
乙　9578768677
在這次射擊中,下列說法正確的是 (　　)
A.甲成績的極差比乙成績的極差大
B.甲成績的眾數比乙成績的眾數大
C.甲的成績沒有乙的成績穩定
D.甲成績的中位數比乙成績的中位數大
三、填空題
7.甲、乙兩人在相同的條件下練習射擊,每人打5發子彈,命中的環數如下:
甲:6,8,9,9,8;乙:10,7,7,7,9.
則兩人的射擊成績較穩定的是　　　　.
8.有13位同學參加學校組織的才藝表演比賽,已知他們所得的分數互不相同,共設7個獲獎名額,某同學知道自己的比賽分數后,要判斷自己能否獲獎,在這13名同學成績的統計量中只需知道一個量,它是　　　(填“眾數”“中位數”或“平均數”).
四、解答題
9.某學校統計教師職稱及年齡,中級職稱教師的人數為50,其平均年齡為38歲,方差是2,高級職稱的教師中有3人58歲,5人40歲,2人38歲,求該校中級職稱和高級職稱教師年齡的平均數和方差.
10.甲、乙、丙三家電子廠商在廣告中都聲稱,他們的某型電子產品在正常情況下的待機時間都是12 h,質量檢測部門對這三家銷售產品的待機時間進行了抽樣調查,統計結果(單位:h)如下:
甲:8,9,9,9,9,11,13,16,17,19;
乙:10,10,12,12,12,13,14,16,18,19;
丙:8,8,8,10,11,13,17,19,20,20.
(1)分別求出以上三組數據的平均數、眾數和中位數.
(2)這三個廠商的推銷廣告分別利用了上述哪一種數據來表示待機時間
(3)如果你是顧客,宜選擇哪個廠商的產品 為什么
一、選擇題
1.某市4月份日平均氣溫統計圖情況如圖所示,則在日平均氣溫這組數據中,眾數和中位數分別是 (　　)
A.13,13 B.13,13.5 C.13,14 D.16,13
2.是x1,x2,…,x100的平均值,5為x1,x2,…,x40的平均值,10為x41,x42,…,x100的平均值,則= (　　)
A.8 B.9 C.15 D.
二、填空題
3.為了解本市居民的生活成本,甲、乙、丙三名同學利用假期分別對三個社區進行了“家庭每月日常消費額”的調查.他們將調查所得到的數據分別繪制成頻率分布直方圖(如圖所示),記甲、乙、丙所調查數據的標準差分別為s1,s2,s3,則它們的大小關系為　　　　　(用“>”連接).
4.某企業三個分廠生產同一種電子產品,三個分廠的產量分布如圖所示.現在用分層抽樣方法從三個分廠生產的產品中共抽取100件進行使用壽命的測試,則第一分廠應抽取的件數為　　　件;測試結果為第一、二、三分廠取出的產品的平均使用壽命分別為1 020小時,980小時,1 030小時,估計這個企業生產的產品的平均使用壽命為　　　　小時.
三、解答題
5.某中學舉行電腦知識競賽,現將高一參賽學生的成績進行整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30,0.40,0.15,0.10,0.05.
求:(1)高一參賽學生成績的眾數、中位數;
(2)高一參賽學生的平均成績.
6.在一次科技知識競賽中,兩組學生的成績如下表:
分數 50 60 70 80 90 100
人數 甲組 2 5 10 13 14 6
乙組 4 4 16 2 12 12
已經算得兩個組的平均分都是80分.請根據你所學過的統計知識,進一步判斷這兩個組在這次競賽中的成績誰優誰劣,并說明理由.
9.2.3　總體集中趨勢的估計
9.2.4　總體離散程度的估計
必備知識·落實
1.最多　最中間　平均數
2.　
3.標準差刻畫了數據的離散程度或波動幅度,標準差越大,數據的離散程度越大;標準差越小,數據的離散程度越小.在刻畫數據的分散程度上,方差和標準差是一樣的.
4.(1)最高小長方形　(2)相等　(3)面積　橫坐標
知能素養·進階
【基礎鞏固組】
1.C　共有15名運動員參加比賽,取前8名參加決賽,將15名運動員的成績從大到小排列,第8名運動員的成績是這組數據的中位數,所以為了判斷自己是否能進入決賽,還需要知道這15名運動員成績的中位數.
2.C　由于眾數是數據中出現最多的數,故鞋廠最感興趣的是銷售量最多的鞋號即這組數據的眾數.
3.C　由平均數及方差的意義知,丙的平均成績較高且較穩定.
4.C　=×(158+162+164+168+168+170+171+178+179+182)=170(cm),
身高不小于平均數的同學有5個.
5.BD　由題圖知,A組的6個數從小到大排列為2.5,2.5,5,7.5,10,10;B組的6個數從小到大排列為6,6,6,7.5,7.5,9,
所以==6.25,
==7.
顯然<.
又yA=(5+7.5)=6.25,
yB==6.75,
所以yA6.AC　由題意可知,對于選項A,甲成績的極差為10-4=6,乙成績的極差為9-5=4,所以甲成績的極差比乙成績的極差大,故選項A正確;對于選項B,甲成績的眾數為7,乙成績的眾數為7,故選項B錯誤;對于選項C,甲成績的平均數為=7,
方差為=4,乙成績的平均數為=7,
方差為=1.2,則甲成績的方差大于乙成績的方差,即甲的成績沒有乙的成績穩定,故選項C正確;對于選項D,甲成績的中位數為7,乙成績的中位數為7,故選項D錯誤.
7.【解析】由題意求平均數可得==8,=1.2,=1.6,<,所以甲穩定.
答案:甲
8.【解析】因為7位獲獎者的分數肯定是13名參賽選手中最高的,所以把13個不同的分數按從小到大排序,只要知道自己的分數和中位數就可以知道是否獲獎了.
答案:中位數
9.【解析】由已知條件可知高級職稱教師的平均年齡為==45(歲),
年齡的方差為=[3×(58-45)2+5×(40-45)2+2×(38-45)2]=73,
所以該校中級職稱和高級職稱教師的平均年齡為=×38+×45≈39.2(歲),
該校中級職稱和高級職稱教師的年齡的方差是
s2=[2+(38-39.2)2]+[73+(45-39.2)2]=20.64.
10.【解析】(1)根據平均數的計算公式可知:
甲廠數據的平均數是
=12;
乙廠數據的平均數是
=13.6;
丙廠數據的平均數是
=13.4.
甲廠、乙廠、丙廠的眾數分別是9,12,8.
甲廠數據的中位數為=10,乙廠數據的中位數為=12.5,丙廠數據的中位數為=12.
(2)甲廠用平均數作為該電子產品的待機時間,乙廠用眾數作為該電子產品的待機時間,丙廠用中位數作為該電子產品的待機時間.
(3)我會選乙廠的產品.因為乙廠產品的平均數最大,眾數最大,中位數最大,所以待機時間更長些,穩定性也較好.
【素養提升組】
1.C　因為這組數據中,13出現了10次,出現次數最多,所以眾數為13,因為第15個數和第16個數都是14,所以中位數是14.
2.A　因為5為x1,x2,…x40的平均值,
所以=5,
即x1+x2+…+x40=5×40=200,
因為10為x41,x42,…x100的平均值,
所以=10,即
x41+x42+…+x100=10×60=600,
所以===8.
3.【解析】根據頻率分布直方圖知,甲的數據絕大部分都處在兩端,離平均值較遠,表現的最分散,標準差最大,乙的數據分布均勻,不如甲組中偏離平均值大,標準差比甲的小;丙的數據大部分數都在平均值左右,數據表現的最集中,方差最小,故s1>s2>s3.
答案:s1>s2>s3
4.【解析】由分層抽樣可知,第一分廠應抽取100×50%=50(件).由樣本的平均數估計總體的平均數,可知這批電子產品的平均使用壽命為1 020×50%+980×20%+1 030×30%=1 015(小時).
答案:50　1 015
5.【解析】(1)用頻率分布直方圖中最高矩形所在的區間的中點值作為眾數的近似值,得眾數為65,又因為第一個小矩形的面積為0.3,第二個小矩形的面積為0.4,設第二個小矩形底邊的一部分長為x,則x×0.04=0.2,得x=5,所以中位數為60+5=65.
(2)依題意,平均成績為55×0.3+65×0.4+75×0.15+85×0.1+95×0.05=67,所以平均成績約為67分.
6.【解析】(1)甲組成績的眾數為90分,乙組成績的眾數為70分,從成績的眾數看,甲組成績較好.
(2)甲、乙兩組成績的中位數、平均數都是80分.其中,甲組成績在80分以上(包括80分)的有33人,乙組成績在80分以上(包括80分)的有26人,從這一角度看,甲組成績較好.
(3)=×[2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2+14×(90-80)2+6×(100-80)2]=172.
=×[4×(50-80)2+4×(60-80)2+16×(70-80)2+2×(80-80)2+12×(90-80)2+12×(100-80)2]=256.
因為<,所以甲組成績比乙組成績穩定,從這一角度看,甲組成績較好.
(4)從成績統計表看,甲組成績大于或等于90分的有20人,乙組成績大于或等于90分的有24人,所以乙組成績分布在高分段的人數較多.
同時,乙組得滿分的人數比甲組得滿分的人數多6,從這一角度看,乙組成績較好

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