資源簡介

6.1　平面向量的概念
1.向量:既有　　　　又有　　　　的量.
2.向量的有關(guān)概念
零向量 長度為　　　的向量,記作　　　
單位向量 長度等于　　　　個(gè)單位長度的向量
平行向量 (共線向量) 方向　　　　　　　的非零向量,向量a,b平行,記作　　　　 規(guī)定:　　　　與任意向量平行
相等向量 長度　　　　且方向　　　　的向量,向量a,b相等,記作　　　　
3.0與0相同嗎 0是不是沒有方向
4.相等向量一定是共線向量嗎 共線向量一定是相等向量嗎
一、單選題
1.(教材改編題)下列量不是向量的是 (　　)
A.力 B.速度 C.質(zhì)量 D.加速度
2.如圖,在四邊形ABCD中,=,則相等的向量是 (　　)
A.與 B.與
C.與 D.與
2題圖
4題圖
　　　　　　　　　　　　　　　
3.設(shè)O是正方形ABCD的中心,則向量,,,是 (　　)
A.相等向量 B.平行向量
C.有相同起點(diǎn)的向量 D.模相等的向量
4.如圖是4×3的格點(diǎn)圖(每個(gè)小方格都是單位正方形),若起點(diǎn)和終點(diǎn)都在方格的頂點(diǎn)處,則與平行且模為的向量共有 (　　)
A.12個(gè) B.18個(gè) C.24個(gè) D.36個(gè)
二、多選題
5.已知a,b是任意兩個(gè)向量,下列條件能判定向量a與b平行的是 (　　)
A.a=b
B.|a|=|b|
C.a與b的方向相反
D.a與b都是單位向量
6.下列說法正確的是 (　　)
A.有向線段與表示同一向量
B.若a是單位向量,b也是單位向量,則a與b的方向相同或相反
C.若向量是單位向量,則也是單位向量
D.以坐標(biāo)平面上的定點(diǎn)A為起點(diǎn),所有單位向量的終點(diǎn)P的集合是以A為圓心的單位圓
三、填空題
7.
如圖,是某人行走的路線,那么的幾何意義是某人從A點(diǎn)沿南偏西　　　　方向行走了　　　　 km.
8.給出下列命題:
①若=,則A,B,C,D四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn);
②在 ABCD中,一定有=;
③若a=b,b=c,則a=c.
其中所有正確命題的序號(hào)為　　　　.
四、解答題
9.如圖,D,E,F分別是△ABC各邊的中點(diǎn),四邊形BCGF是平行四邊形,試分別寫出與共線及相等的向量.
10.已知飛機(jī)從A地按北偏東30°的方向飛行2 000 km到達(dá)B地,再從B地按南偏東30°的方向飛行2 000 km到達(dá)C地,再從C地按西南方向飛行1 000 km到達(dá)D地.
(1)作出向量,,,;
(2)問:D地在A地的什么方向 D地距A地多遠(yuǎn)
一、選擇題
1.若a為任意非零向量,b的模為1,給出下列各式:①|(zhì)a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|=±1.其中正確的是 (　　)
A.①④ B.③
C.①②③ D.②③
2.(多選題)如圖,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,則以下說法正確的是 (　　)
A.與相等的向量只有一個(gè)(不含)
B.與的模相等的向量有9個(gè)(不含)
C.的模恰好為的模的倍
D.與不共線
2題圖
4題圖
二、填空題
3.若||=||且=,則四邊形ABCD的形狀為　　　　.
4.如圖,在等腰三角形ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,則下列結(jié)論正確的是　　　　.
①是單位向量;②||=||;③∥;④∥.
三、解答題
5.(教材改編題)在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長為1),用直尺和圓規(guī)畫出下列向量:
(1),使||=4,點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°;
(2),使=4,點(diǎn)B在點(diǎn)A正東;
(3),使=6,點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°.
6.在平行四邊形ABCD中,E,F分別是CD,AB的中點(diǎn),如圖所示.
(1)寫出與向量共線的向量;
(2)求證:=.
6.1　平面向量的概念
必備知識(shí)·落實(shí)
1.大小　方向
2.0　0　1　相同或相反　a∥b　零向量
相等　相同　a=b
3.0與0不同,0是一個(gè)實(shí)數(shù),0是一個(gè)向量,|0|=0.0有方向,其方向是任意的.
4.相等向量一定是共線向量,但共線向量不一定是相等向量.共線向量僅僅指向量的方向相同或相反;相等向量指大小和方向均相同.
知能素養(yǎng)·進(jìn)階
【基礎(chǔ)鞏固組】
1.C　
2.D　由=知四邊形ABCD是平行四邊形.由平行四邊形的性質(zhì)知,||=||,且方向相同.
3.D　如圖,
向量,,,方向不同,起點(diǎn)不同,不是平行向量,是模相等的向量.
4.C　每個(gè)小正方形的邊長為1,則對(duì)角線長為,每個(gè)小正方形中存在兩個(gè)與平行且模為的向量,一共有12個(gè)小正方形,故共有24個(gè)所求向量.
5.AC　對(duì)于A選項(xiàng),若a=b,則a與b平行,A選項(xiàng)合乎題意;對(duì)于B選項(xiàng),若=,但a與b的方向不確定,則a與b不一定平行,B選項(xiàng)不合乎題意;對(duì)于C選項(xiàng),若a與b的方向相反,則a與b平行,C選項(xiàng)合乎題意;對(duì)于D選項(xiàng),a與b都是單位向量,這兩個(gè)向量長度相等,但方向不確定,則a與b不一定平行,D選項(xiàng)不合乎題意.
6.CD　有向線段與的方向相反,不表示同一向量,A錯(cuò)誤;
由單位向量的定義知,凡長度為1的向量均稱為單位向量,但是對(duì)方向沒有任何要求,B錯(cuò)誤;
因?yàn)閨|=||,所以當(dāng)是單位向量時(shí),也是單位向量,C正確;
因?yàn)橄蛄縷|=1,
所以點(diǎn)P是以點(diǎn)A為圓心的單位圓上的一點(diǎn),D正確.
7.【解析】由題干圖形可知,的幾何意義是從A點(diǎn)沿南偏西30°方向,行走了2 km.
答案:30°　2
8.【解析】=,A,B,C,D四點(diǎn)可能在同一條直線上,故①不正確;在 ABCD中,||=||,與平行且方向相同,故=,故②正確;a=b,則|a|=|b|,且a與b的方向相同;b=c,則|b|=|c|,且b與c的方向相同,則a與c長度相等且方向相同,故a=c,故③正確.
答案:②③
9.【解析】(1)與共線的向量:,,,,,,,,,,.
(2)與相等的向量:,,.
10.【解析】(1)由題意,作出向量,,,,如圖所示.
(2)依題意知,△ABC為正三角形,所以AC=2 000 km.又因?yàn)椤螦CD=45°,CD=1 000 km,所以△ACD為等腰直角三角形,所以AD=1 000 km,∠CAD=45°,所以D地在A地的東南方向,距A地1 000 km.
【素養(yǎng)提升組】
1.B　①中,|a|的大小不能確定,故①錯(cuò)誤;②中,兩個(gè)非零向量的方向不確定,故②錯(cuò)誤;④中,向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù),故④錯(cuò)誤;③正確.
2.ABC　與相等的向量只有,A正確;由已知條件可得||=||=||=||=||=||=||=||=||=||,B正確;如圖,過點(diǎn)B作DA的垂線交DA的延長線于點(diǎn)E,
因?yàn)椤螪AB=120°,四邊形ABCD為菱形,
所以∠BDE=∠ABE=30°,
在Rt△BED中,||=,
在Rt△AEB中,||=||=||,
所以||==||,C正確;與方向相同,大小相等,故=,與共線,D錯(cuò)誤.
3.【解析】由= BA∥CD且||=||,又||=||,故四邊形ABCD為菱形.
答案:菱形
4.【解析】由題圖可知,顯然與不平行,與不平行,所以③④不正確.又因?yàn)榈妊切蜛BC的邊長不確定,所以不能確定是否為單位向量,所以①不正確.依題意,知CD=BC,所以②正確.
答案:②
5.【解析】(1)由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處,所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等.又||=4,小方格邊長為1,所以點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4,于是點(diǎn)A位置可以確定,畫出向量如圖所示.
(2)由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處,且=4,所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4,縱向小方格數(shù)為0,于是點(diǎn)B位置可以確定,畫出向量如圖所示.
(3)由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處,且=6,依據(jù)勾股定理可得:在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3,縱向小方格數(shù)為3≈5.2,于是點(diǎn)C位置可以確定,畫出向量如圖所示.
6.【解析】(1)根據(jù)題意,與向量共線的向量為:,,.
(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形,AB∥CD,AB=CD,且E,F分別為邊CD,AB的中點(diǎn),
所以BF=ED,且BF∥ED,所以四邊形BFDE是平行四邊形,所以BE=FD,且BE∥FD,所以=.6.2.2　向量的減法運(yùn)算
1.相反向量
與向量a長度　　　　　　　,方向　　　　的向量叫做a的相反向量,記作　　　　.
2.方向相反的向量就是相反向量嗎 互為相反向量的兩個(gè)向量一定是共線向量嗎
3.向量的減法
(1)定義:向量a加上b的相反向量,叫做a與b的差,即a-b=　　　　.
(2)幾何意義:已知向量a,b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O,作=a,=b,則　　　　=a-b,即a-b可以表示從向量　　　　的終點(diǎn)指向向量　　　　的終點(diǎn)的向量.
【基礎(chǔ)鞏固組】
一、單選題
1.(教材改編題)化簡+--的結(jié)果是 (　　)
A. B.
C. D.
2.如圖,向量=a,=b,=c,則向量可以表示為 (　　)
A.a+b-c
B.a-b+c
C.b-a+c
D.b-a-c
3.設(shè)b是a的相反向量,則下列說法錯(cuò)誤的是 (　　)
A.a與b的長度必相等
B.a∥b
C.a與b一定不相等
D.a是b的相反向量
4.在△ABC中,D,E,F分別為AB,BC,CA的中點(diǎn),則-等于 (　　)
A. B. C. D.
二、多選題
5.下列四式中能化簡為的是 (　　)
A.+(+)
B.(+)+(-)
C.-+
D.+-
6.如圖,在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是 (　　)
A.-= B.-=
C.-=0 D.-=
三、填空題
7.已知 ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O,且=a,=b,則=　　　　,=　　　　.(用a,b表示)
8.若a,b為相反向量,且|a|=1,|b|=1,則|a+b|=　　　　,|a-b|=　　　　.
四、解答題
9.向量a,b,c,d,e如圖所示,據(jù)圖解答下列各題:
(1)用a,d,e表示;
(2)用b,c表示;
(3)用a,b,e表示;
(4)用d,c表示.
10.(教材改編題)如圖,在 ABCD中,=a,=b.
(1)當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí),a+b與a-b所在的直線互相垂直
(2)a+b與a-b有可能為相等向量嗎 為什么
【素養(yǎng)提升組】
一、選擇題
1.已知A,B,C為三個(gè)不共線的點(diǎn),P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),若+=+,則下列結(jié)論正確的是 (　　)
A.點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部　 B.點(diǎn)P在△ABC外部
C.點(diǎn)P在直線AB上 D.點(diǎn)P在直線AC上
2.已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)的一點(diǎn),且向量,,,滿足+=+,則四邊形ABCD的形狀為 (　　)
A.平行四邊形　 B.矩形
C.菱形 D.梯形
二、填空題
3.如圖,已知=a,=b,=c,=d,且四邊形ABCD為平行四邊形,則a-b+c-d=　　　　　.
三、解答題
4.如圖,在△ABC中,D,E分別為邊AC,BC上的任意一點(diǎn),O為AE,BD的交點(diǎn),已知=a,=b,=c,=e,用a,b,c,e表示向量.
5.在平行四邊形ABCD中,∠ABC=60°,=a,=b,若|a|=|a+b|=2,求|a-b|的值.
6.2.2　向量的減法運(yùn)算
必備知識(shí)·落實(shí)
1.相等　相反　-a
2.相反向量的長度相等,只是方向相反的向量不一定是相反向量.方向相同或相反的向量是共線向量,所以互為相反向量的兩個(gè)向量一定是共線向量.
3.(1)a+(-b)　(2)　b　a
知能素養(yǎng)·進(jìn)階
【基礎(chǔ)鞏固組】
1.C　因?yàn)?=,
所以+--=-=.
2.C　=+=-+=b-a+c.
3.C　根據(jù)相反向量的定義可知,C錯(cuò)誤,因?yàn)?與0互為相反向量,但0與0相等.
4.D　如圖所示,在△ABC中,D,E,F分別為AB,BC,CA的中點(diǎn),可得=,=,則-=-==.
5.ABC　A中,+(+)=++=+=+=;
B中,(+)+(-)=++-=++-=+=;
C中,-+=+=;
D中,+-=-=+,顯然+-不能化簡為.
6.BD　-=,A錯(cuò);-==,B正確;-=+=≠0,C錯(cuò);-=,D正確.
7.【解析】如圖,==-=b-a,=-=--=-a-b.
答案:b-a　-a-b
8.【解析】因?yàn)閍,b為相反向量,所以a+b=0,即|a+b|=0,又a=-b,所以|a-b|=|2a|=2.
答案:0　2
9.【解析】由題圖知=a,=b,=c,=d,=e.
(1)=++=d+e+a;
(2)=-=--=-b-c;
(3)=++=e+a+b;
(4)=-=-(+)=-c-d.
10.【解析】(1)=+=a+b,
=-=a-b.
若a+b與a-b所在的直線互相垂直,即AC⊥BD.
因?yàn)楫?dāng)|a|=|b|時(shí),平行四邊形ABCD為菱形,此時(shí)AC⊥BD,故當(dāng)a,b滿足|a|=|b|時(shí),a+b與a-b所在的直線互相垂直.
(2)不可能.因?yàn)?ABCD的兩對(duì)角線不可能平行,所以a+b與a-b不可能為共線向量,更不可能為相等向量.
【素養(yǎng)提升組】
1.D　因?yàn)?=+,
所以-=-,
所以=+,-=,即=.
故點(diǎn)P在邊AC所在的直線上.
2.A　因?yàn)?=+,
所以-=-,=.
所以||=||,且DA∥CB,
所以四邊形ABCD是平行四邊形.
3.【解析】由題意得,+=0,所以-+-=0,
即a-b+c-d=0.
答案:0
4.【解析】在△OBE中,有=+=e-c,
在△ABO中,=+=e-c-a,
在△ABD中,=+=a+b,
所以在△OAD中,=+=e-c-a+a+b=e-c+b.
5.【解析】依題意,||=|a+b|=2,如圖所示.
又||=|a|=2,∠ABC=60°,所以△ABC是等邊三角形,所以BC=AB.所以 ABCD為菱形,AC⊥BD,
所以|a2|=+.
即4=1+,所以|a-b|=2.6.2.4　向量的數(shù)量積
1.等邊△ABC中,向量,的夾角是　　　　,
若向量a,b同向,則向量a,b的夾角是　　　　,
若向量a,b反向,則向量a,b的夾角是　　　　.
2.向量的數(shù)量積:已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為θ,把數(shù)量　　　　　　叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=　　　　　　.
規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為　　　　.
3.投影向量:設(shè)與b方向相同的單位向量為e,a與b的夾角為θ,則向量a在向量b上的投影向量為　　　　.
4.向量數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)a,b是非零向量,它們的夾角是θ,e是與b方向相同的單位向量,則:(1)a·e=e·a=　　　　.
(2)a⊥b 　　　　.
(3)當(dāng)a與b同向時(shí),a·b=　　　　;
當(dāng)a與b反向時(shí),a·b=　　　　.
特別地,a·a=　　　　或　　　　=.
(4)|a·b|　　　　|a||b|.
5.向量數(shù)量積的運(yùn)算律
(1)a·b=　　　　.
(2)(λa)·b=λ(a·b)=　　　　.
(3)(a+b)·c=　　　　.
【基礎(chǔ)鞏固組】
一、單選題
1.若向量a,b滿足|a|=|b|=1,a與b的夾角為60°,則a·a+a·b等于 (　　)
A. B. C.1+ D.2
2.已知向量a,b滿足a·b=0,|a|=1,|b|=3,則= (　　)
A.0 B.2
C. D.
3.已知向量a與b,|a|=3,|b|=2,|a+b|=,則向量a與b的夾角為 (　　)
A. B. C. D.
4.已知平面向量a,b滿足|a|=,|b|=4,且a,b的夾角為30°,則 (　　)
A.a⊥ B.b⊥
C.b⊥ D.a⊥
二、多選題
5.已知正方形ABCD的邊長為2,向量a,b滿足=2a,=2a+b,則 (　　)
A.|b|=B.a⊥b
C.a·b=2 D.(4a+b)⊥b
6.若a,b,c是空間的非零向量,則下列命題中的假命題是 (　　)
A.(a·b)·c=(b·c)·a
B.若a·b=-,則a∥b
C.若a·c=b·c,則a∥b
D.若a·a=b·b,則a=b
三、填空題
7.在△ABC中,AB=5,BC=7,∠ABC=,則·的值為　　　　.
8.已知e1,e2是夾角為的兩個(gè)單位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若k=1,則a·b=　　　;若a·b=0,則實(shí)數(shù)k的值為　　　　.
四、解答題
9.已知|a|=2,|b|=3,分別求出下列條件中的a·b.
(1)a與b的夾角θ為60°;
(2)a⊥b;
(3)a∥b.
10.(教材改編題)已知|a|=1,a·b=,(a+b)·(a-b)=.
(1)求|b|的值;
(2)求向量a-b與a+b夾角的余弦值.
【素養(yǎng)提升組】
一、選擇題
1.已知兩個(gè)單位向量a,b,其中向量a在向量b方向上的投影的模為.若,則實(shí)數(shù)λ的值為 (　　)
A.- B.- C.0 D.
2.(多選題)設(shè)a為非零向量,下列有關(guān)向量的描述正確的是 (　　)
A.=1 B.∥a
C.=a D.·a=|a|
二、填空題
3.
如圖,AB是圓C的弦,設(shè)=a,=b,則向量在向量上的投影向量為　　　　(用a或b表示).
4.已知e1與e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量,若向量e1+ke2與ke1+e2的夾角為鈍角,則k的取值范圍為　　　　　　　　　　.
三、解答題
5.已知向量a,b不共線,且滿足|a|=2,|b|=1,c=3a-2b,d=2a+kb.
(1)若c∥d,求實(shí)數(shù)k的值;
(2)若=2.
①求向量a和b夾角的余弦值;
②當(dāng)c⊥d時(shí),求實(shí)數(shù)k的值.
6.在四邊形ABCD中,已知AB=9,BC=6,=2.
(1)若四邊形ABCD是矩形,求·的值;
(2)若四邊形ABCD是平行四邊形,且·=6,求與夾角的余弦值.
6.2.4　向量的數(shù)量積
必備知識(shí)·落實(shí)
1.　0　π
2.|a||b|·cosθ　|a||b|·cosθ　0
3.|a|cos θe
4.(1)|a|cosθ　(2)a·b=0
(3)|a||b|　-|a||b|　|a|2　|a|　(4)≤
5.(1)b·a　(2)a·(λb)　(3)a·c+b·c
知能素養(yǎng)·進(jìn)階
【基礎(chǔ)鞏固組】
1.B　a·a+a·b=|a|2+|a||b|cos 60°=1+=.
2.D　因?yàn)橄蛄縜,b滿足a·b=0,=1,=3,則=
===.
3.B　設(shè)向量a與b的夾角為α,因?yàn)閨a|=3,|b|=2,
因?yàn)閨a+b|2=,所以9+2×3×2cosα+4=19,
所以cosα=,
因?yàn)棣痢蔥0,π],所以α=.
4.D　a2==12,b2==16,a·b=cos 30°=12,
所以a·=a2+a·b=24,b·=b2+a·b=28,b·=-b2+a·b=-4,
a·=a2-a·b=0,即a⊥.
5.AD　由條件可得:b=-=,
所以|b|=||=2,A正確;
a=,與不垂直,B錯(cuò)誤;
a·b=·=-2,C錯(cuò)誤;
4a+b=+=,根據(jù)正方形的性質(zhì)有AC⊥BD,所以(4a+b)⊥b,D項(xiàng)正確.
6.ACD　(a·b)·c是與c共線的向量,(b·c)·a是與a共線的向量,a與c不一定共線,A錯(cuò),若a·b=-|a|·|b|,則a與b方向相反,所以a∥b,B對(duì),若a·c=b·c,則(a-b)·c=0,即(a-b)⊥c,不能推出a∥b,C錯(cuò),若a·a=b·b,則|a|=|b|,a與b方向不一定相同,不能推出a=b,D錯(cuò).
7.【解析】因?yàn)锳B=5,BC=7,與的夾角θ=π-=,
所以·=·×cos=-5×7×=-.
答案:-
8.【解析】當(dāng)k=1時(shí),a·b=(e1-2e2)·(e1+e2)=-e1·e2-2=-.
由a·b=0得(e1-2e2)·(ke1+e2)=0.
整理,得k-2+(1-2k)cos=0,
解得k=.
答案:-　
9.【解析】(1)當(dāng)a與b的夾角θ為60°時(shí),
a·b=|a||b|cosθ=2×3×cos 60°=3;
(2)當(dāng)a⊥b,即a與b的夾角θ為90°時(shí),
a·b=|a||b|cosθ=2×3×cos 90°=0;
(3)當(dāng)a∥b,即a與b的夾角θ=0°或θ=180°時(shí),
若θ=0°,則a·b=|a||b|cosθ=2×3×cos 0°=6;
若θ=180°,則a·b=|a||b|cosθ=2×3×cos 180°=-6.
10.【解析】(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2=.
因?yàn)閨a|=1,所以1-|b|2=,所以|b|=.
(2)因?yàn)閨a+b|2=a2+2a·b+b2=1+2×+=2,
|a-b|2=a2-2a·b+b2=1-2×+=1,
所以|a+b|=,|a-b|=1.令a+b與a-b的夾角為θ,則cosθ===,
即向量a-b與a+b夾角的余弦值是.
【素養(yǎng)提升組】
1.C　記a與b的夾角為θ,則a在b上的投影的模為cosθ,則cosθ=,
因?yàn)椤?所以·=2λa2-b2+a·b
=2λ-1+(2-λ)·=λ=0,故λ=0.
2.ABD　表示與向量a同方向的單位向量,所以=1正確,∥a正確,所以A,B正確;當(dāng)a不是單位向量時(shí),=a不正確,所以C不正確;
·a=cos 0°=×=,所以D正確.
3.【解析】如圖所示,過點(diǎn)C作CD⊥AB,垂足為D,連接CB,則向量在向量上的投影向量為.
因?yàn)镃A=CB,所以D是AB的中點(diǎn),
所以==.
答案:
4.【解析】因?yàn)閑1+ke2與ke1+e2的夾角為鈍角,
所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=k+k+(k2+1)e1·e2=2k<0,所以k<0.
當(dāng)k=-1時(shí),e1+ke2與ke1+e2方向相反,它們的夾角為π,不符合題意,舍去.
綜上,k的取值范圍是k<0且k≠-1.
答案:(-∞,-1)∪(-1,0)
5.【解析】(1)因?yàn)閏∥d,且c≠0.令d=λc,
即2a+kb=λ(3a-2b),又a,b不共線,
所以,
所以k=-.
(2)①設(shè)a與b的夾角為θ,
因?yàn)?2,
|a-b|2=|a|2-2|a|·|b|cosθ+|b|2=4,
又=2,=1,所以cosθ=;
②因?yàn)閏⊥d,所以c·d=0,
所以·=0,
所以6+a·b-2k=0,
又=2,=1,
所以a·b=.所以k=44.
6.【解析】(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形,
所以·=0,
由=2,
得=,==-.
所以·=(+)·(+)
=·
=-·-=36-×81=18.
(2)由題意,=+=+=+,=+=+=-,
所以·=·
=-·-
=36-·-18=18-·.
又·=6,
所以18-·=6,
所以·=36.
設(shè)與的夾角為θ,
又·=||·||cosθ=9×6×cos θ=54cos θ,
所以54cos θ=36,
即cosθ=.
所以與夾角的余弦值為.6.3　平面向量基本定理及坐標(biāo)表示
6.3.1　平面向量基本定理
1.平面向量基本定理
(1)定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)　　　向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的　　　　向量a,　　　　　實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=　　　　　　.
(2)基底:　　　　的向量{e1,e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.
2.平面向量基本定理敘述了平面內(nèi)一個(gè)怎樣的理論事實(shí)
3.基底有哪些性質(zhì)
一、單選題
1.如圖,在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在AD上,且=3,則= (　　)
A.+　　　B.+
C.+ D.+
2.已知A,B,D三點(diǎn)共線,且對(duì)任一點(diǎn)C,有=+λ,則λ等于 (　　)
A.　　B.　　C.-　　D.-
3.向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),則= (　　)
A.2 B.4 C.5 D.7
4.A,B,O是平面內(nèi)不共線的三個(gè)定點(diǎn),且=a,=b,點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為Q,點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為R,則等于 (　　)
A.a-b B.2(b-a)
C.2(a-b) D.b-a
二、多選題
5.
如圖所示,設(shè)O是平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線的交點(diǎn),下列向量組可作為該平面內(nèi)所有向量的基底的是 (　　)
A.與 B.與
C.與 D.與
6.(教材改編題)如圖,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=,E,F分別為CD,BC的中點(diǎn),則正確的是 (　　)
A.=+
B.=+
C.·=25
D.·=·
三、填空題
7.已知a=e1+e2,b=2e1-e2,c=-2e1+4e2(e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量),則c=　　　　.(用a,b表示)
8.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)M,N分別為DC,BC邊上的中點(diǎn),已知=a,=b,用基底{a,b}表示=　　　　.
四、解答題
9.如圖所示,在 ABCD中,點(diǎn)E,F分別為BC,DC邊上的中點(diǎn),DE與BF交于點(diǎn)G,若=a,=b,試用基底{a,b}表示向量,.
10.如圖,在平行四邊形ABCD中,AD=AB,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),AF=AD,BG=BC,判斷EF與EG的位置關(guān)系并用向量方法證明.
一、選擇題
1.如圖所示,平面內(nèi)的兩條直線OP1和OP2將平面分割成四個(gè)部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包括邊界),若=a+b,且點(diǎn)P落在第Ⅰ部分,則實(shí)數(shù)a,b滿足 (　　)
A.a>0,b>0 B.a>0,b<0
C.a<0,b>0 D.a<0,b<0
1題圖
2題圖
2.如圖,在等腰梯形ABCD中,DC=AB,BC=CD=DA,DE⊥AC于點(diǎn)E,則= (　　)
A.- B.+
C.- D.+
二、填空題
3.如圖,平面內(nèi)有三個(gè)向量,,,其中與的夾角為120°,與的夾角為30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),則λ+μ的值等于　　　　.
4.若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足:=+.則△ABM與△ABC的面積之比為　　　　.
三、解答題
5.如圖所示,在平行四邊形ABCD中,M,N分別為DC,BC的中點(diǎn),已知=c,=d,試用c,d表示,.
6.如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC的中點(diǎn),DM=DE,若=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)若N為線段BC上的點(diǎn),且BN=BC,利用向量方法證明:A,M,N三點(diǎn)共線.
6.3　平面向量基本定理及坐標(biāo)表示
6.3.1　平面向量基本定理
必備知識(shí)·落實(shí)
1.(1)不共線　任一　有且只有一對(duì)　λ1e1+λ2e2
(2)不共線
2.平面向量基本定理告訴我們,平面內(nèi)任何一個(gè)向量都可以沿著兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量的和,并且這種分解是唯一的.
3.基底的性質(zhì)
(1)不共線性
平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量才可以作為一個(gè)基底,基底不同,表示也不同.
(2)不唯一性
對(duì)基底的選取不唯一.平面內(nèi)任一向量a都可被這個(gè)平面的一個(gè)基底{e1,e2}線性表示,且在基底確定后,這樣的表示是唯一的.
(3)若基底選取不同,則表示同一向量的實(shí)數(shù)λ1,λ2可以不同,也可以相同.
知能素養(yǎng)·進(jìn)階
【基礎(chǔ)鞏固組】
1.C　在△ABC中,D為BC的中點(diǎn),則=(+),又=3,所以=,所以=×(+)=+.
2.C　因?yàn)锳,B,D三點(diǎn)共線,所以存在實(shí)數(shù)t,使=t,
則-=t(-).
所以=+t(-)=(1-t)+t.
所以解得λ=-.
3.B　根據(jù)題意不妨取如圖所示的兩個(gè)互相垂直的單位向量e1,e2,
則a=-e1+e2,b=6e1+2e2,c=-e1-3e2.
因?yàn)閏=λa+μb(λ,μ∈R),
所以-e1-3e2=λ(-e1+e2)+μ(6e1+2e2)=(-λ+6μ)e1+(λ+2μ)e2,
所以解得所以=4.
4.B　如圖,a=(+),
b=(+),相減得b-a=(-),
所以=2(b-a).
5.AC　B中與共線,D中與共線,AC中兩向量不共線.
6.ABD　由題意可知,=+=+,=+=+,故A,B正確;
·-·=(-)·=·
=·=0,故D正確;
·=(+)·(+)
=+·+
=×42+×4×4×+×4×4=26,故C不正確.
7.【解析】設(shè)c=λa+μb,
則-2e1+4e2=λ(e1+e2)+μ(2e1-e2)
=(λ+2μ)e1+(λ-μ)e2,
因?yàn)閑1,e2不共線,
所以解得
故c=2a-2b.
答案:2a-2b
8.【解析】方法一:=-
=-b--a=a-b.
方法二:==(a-b).
答案:(a-b)
9.【解析】=++=-++
=-++=a-b.
=++=-++=b-a.
10.【解析】EF⊥EG,證明如下:
設(shè)=a,=b,由題意,
=-=-=b-a,
=+=+=a+b,所以·=-
=×-=0,
所以⊥,即EF⊥EG.
【素養(yǎng)提升組】
1.C　當(dāng)點(diǎn)P落在第Ⅰ部分時(shí),按向量與分解時(shí),一個(gè)與反向,一個(gè)與同向,故a<0,b>0.
2.A　因?yàn)镃D=DA,DE⊥AC,
所以E是AC 的中點(diǎn),
所以=+=+=-,
又因?yàn)镈C∥AB,DC=AB,
所以=,
所以=-.
3.【解析】如圖,以O(shè)A,OB所在射線為鄰邊,OC為對(duì)角線作平行四邊形ODCE,
則=+.
因?yàn)椤螮OA=120°,∠AOC=30°.
所以∠EOC=90°,所以∠DCO=90°.
在Rt△OCD中,因?yàn)閨|=2,∠COD=30°,∠OCD=90°,
所以||=4,||=2,
故=4,=2,
即λ=4,μ=2,
所以λ+μ=6.
答案:6
4.【解析】由=+可知M,B,C三點(diǎn)共線,如圖,
令=λ,則=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ λ=,所以=,
即△ABM與△ABC面積之比為1∶4.
答案:1∶4
5.【解析】設(shè)=a,=b,則=+=+=a+b,①
=+=+=a+b,②
由①②得解得
即=-c+d,=c-d.
6.【解析】(1)根據(jù)條件,=+
=+
=-+
=-+(-)
=-+=-a+b;
(2)=+=a+=a+b,
=+=+=+(-)=+=a+b,
所以=2,所以A,M,N三點(diǎn)共線.6.3.4　平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示
1.數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示
已知a=(x,y),則λa=　　　　.
2.平面向量共線的充要條件
設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,
(1)a,b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使a=　　　　b.
(2)若用坐標(biāo)表示,向量a,b(b≠0)共線的充要條件是　　　　　　　.
3.兩個(gè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共線的坐標(biāo)條件能表示成=嗎
4.中點(diǎn)坐標(biāo)公式
已知點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),若P是線段P1P2的中點(diǎn),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　.
一、單選題
1.設(shè)向量a=,b=,則3a-b= (　　)
A. B.
C. D.
2.(教材改編題)已知向量a=(2,x),b=(1,x-1),若(2a-b)∥a,則x= (　　)
A.-2 B.2
C. D.-
3.設(shè)點(diǎn)A(2,0),B(4,2),若點(diǎn)P在直線AB上,且||=2||,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (　　)
A.(3,1)
B.(1,-1)
C.(3,1)或(1,-1)
D.(3,1)或(1,1)
4.在 ABCD中,=(3,7),=(-2,3),對(duì)稱中心為O,則等于 (　　)
A. B.
C. D.
二、多選題
5.已知A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),則下列結(jié)論正確的是 (　　)
A.=-
B.+=
C.+=
D.=-2
6.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),則下列敘述中不正確的是 (　　)
A.存在實(shí)數(shù)x,使a∥b
B.存在實(shí)數(shù)x,使(a+b)∥a
C.存在實(shí)數(shù)x,m,使(ma+b)∥a
D.存在實(shí)數(shù)x,m,使(ma+b)∥b
三、填空題
7.已知向量a=,b=,則a與b的位置關(guān)系是　　　　.
8.已知e1,e2不共線,若向量ke1+2e2與向量e1+3ke2反向共線,則實(shí)數(shù)k的值為　　　　.
四、解答題
9.(教材改編題)已知向量a=(1,3),b=(-2,1).向量m=a-2b,n=a+b.
(1)求向量m,n的坐標(biāo);
(2)判斷向量m與n是否平行,并說明理由.
10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),=(1,1),=(3,-1),=(a,b).
(1)若A,B,C三點(diǎn)共線,求a,b的關(guān)系.
(2)若=2,求點(diǎn)C的坐標(biāo).
一、選擇題
1.設(shè)向量a=,b=,c=,用{a,b}作基底可將c表示為c=pa+qb,則實(shí)數(shù)p,q的值為(　　)
A.p=4,q=1 B.p=1,q=4
C.p=0,q=4 D.p=1,q=-4
2.已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),則下列說法正確的是 (　　)
A.A,B,C三點(diǎn)共線 B.A,C,D三點(diǎn)共線
C.AB∥CD D.AC∥BD
二、填空題
3.已知平面向量a=(m,-4),b=(-1,m+3),若存在實(shí)數(shù)λ<0,使得a=λb,則實(shí)數(shù)m的值為　　　　.
4.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m),若點(diǎn)A,B,C能構(gòu)成三角形,則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿足的條件為　　　　.
三、解答題
5.已知A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0),(3,-1),(1,2),并且=,=,求證:∥.
6.如圖所示,在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),=,=,AD與BC相交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
6.3.4　平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示
必備知識(shí)·落實(shí)
1.(λx,λy)
2.(1)λ　(2)x1y2-x2y1=0
3.不一定,x2,y2有一者為零時(shí),比例式?jīng)]有意義,只有x2y2≠0時(shí),才能使用.
4.
知能素養(yǎng)·進(jìn)階
【基礎(chǔ)鞏固組】
1.B　因?yàn)橄蛄縜=(-1,3),b=(-5,4),
所以3a-b=.
2.B　根據(jù)題意,向量a=(2,x),b=(1,x-1),則2a-b=(3,x+1),若(2a-b)∥a,
則有2(x+1)=3x,解得x=2.
3.C　因?yàn)锳(2,0),B(4,2),所以=(2,2),
因?yàn)辄c(diǎn)P在直線AB上,且||=2||,
所以=2或=-2,
所以=(1,1)或(-1,-1),
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,1)或(1,-1).
4.B　=-=-(+)=
-(1,10)=.
5.AD　因?yàn)?(-2,1),=(2,-1),
所以=-,所以A正確;
因?yàn)?=≠,所以B錯(cuò)誤;
因?yàn)?=≠,所以C錯(cuò)誤;
因?yàn)?(-4,0),-2=(0,2)-2(2,1)=(-4,0),所以D正確.
6.ABC　由a∥b得x2=-9,無實(shí)數(shù)解,故A中敘述錯(cuò)誤,符合題意;
a+b=(x-3,3+x),由(a+b)∥a得3(x-3)-x(3+x)=0,即x2=-9,無實(shí)數(shù)解,故B中敘述錯(cuò)誤,符合題意;
ma+b=(mx-3,3m+x),由(ma+b)∥a得(3m+x)x-
3(mx-3)=0,即x2=-9,無實(shí)數(shù)解,故C敘述錯(cuò)誤,符合題意;
由(ma+b)∥b得-3(3m+x)-x(mx-3)=0,即m(x2+9)=0,所以m=0,x∈R,故D中敘述正確,不符合題意.
7.【解析】因?yàn)橄蛄縜=(2,-1),b=,所以a=-3b,因此a與b平行.
答案:平行
8.【解析】因?yàn)閑1,e2不共線,所以e1+3ke2≠0.
又因?yàn)橄蛄縦e1+2e2與向量e1+3ke2反向共線,
所以存在實(shí)數(shù)λ,且λ<0,使ke1+2e2=λ(e1+3ke2)=λe1+3kλe2,即
解得k=(舍去)或k=-.
答案:-
9.【解析】(1)由a=(1,3),b=(-2,1),
得m=a-2b=(1,3)-(-4,2)=(5,1),
n=a+b=+(-2,1)=;
(2)m=(5,1),n=,
因?yàn)?×-1×=14≠0,
所以向量m與n不平行.
10.【解析】(1)因?yàn)橐阎?(1,1),=(3,-1),
=(a,b),
若A,B,C三點(diǎn)共線,則∥,
即=λ·,即(a-1,b-1)=λ (2,-2),
所以a-1=2λ,b-1=-2λ,即a+b=2.
(2)若=2,(a-1,b-1)=2(2,-2),
所以a=5,b=-3,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,-3).
【素養(yǎng)提升組】
1.B　由題得(3,-2)=p(-1,2)+q(1,-1)=(q-p,2p-q),
所以解得p=1,q=4.
2.C　因?yàn)?(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(1-(-1),5-(-1))=(2,6),
=(2-1,7-5)=(1,2),
=(2-1,7-3)=(1,4).
A不正確,因?yàn)?×6-4×2=4≠0,所以與不共線,所以A,B,C三點(diǎn)不共線.
B不正確,因?yàn)?×2-6×1=-2≠0,所以與不共線,所以A,C,D三點(diǎn)不共線.
C正確,因?yàn)?×2-4×1=0,所以∥.
又因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線,所以AB與CD不重合,所以AB∥CD.
D不正確,因?yàn)?×4-6×1=2≠0,所以與不共線,所以AC與BD不平行.
3.【解析】因?yàn)閍=λb,所以(m,-4)=λ(-1,m+3),
則
解得λ=4或λ=-1,
又λ<0,所以λ=-1,所以m=1.
答案:1
4.【解析】=-=(6,-3)-(3,-4)=(3,1),=-=(5-m,-3-m)-(3,-4)=(2-m,1-m),由于點(diǎn)A,B,C能構(gòu)成三角形,則與不共線,則3(1-m)-(2-m)≠0,解得m≠.
答案:m≠
5.【證明】設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2),
依題意有=(2,2),=(-2,3),=(4,-1).
因?yàn)?,所以=,
因?yàn)?,所以=.
因?yàn)?(x1+1,y1)=,
所以x1=-,y1=,
所以E.
因?yàn)?(x2-3,y2+1)=,
所以x2=,y2=0,
所以F,
所以=,
又因?yàn)?×-×(-1)=0,
所以∥.
6.【解析】因?yàn)?=(0,5)=,
所以C.
因?yàn)?=(4,3)=,所以D.
設(shè)M(x,y),則=(x,y-5),
==.
因?yàn)椤?所以-x-2(y-5)=0,
即7x+4y=20.①
又=,=,
因?yàn)椤?所以x-4=0,
即7x-16y=-20?、?聯(lián)立①②解得x=,y=2,
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為.6.3.5　平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
1.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a與b的夾角為θ.則:
(1)a·b=　　　　　　　　;
(2)|a|2=　　　　　　,或|a|=　　　　　　;
(3)a⊥b 　　　　　　　　;
(4)若a,b為非零向量,則cosθ==　　　　　　　　　　.
2.向量垂直與向量平行的坐標(biāo)表示有什么區(qū)別
一、單選題
1.(教材改編題)若向量a=(1,1),b=(2,5),c=(3,x),滿足條件(8a-b)·c=24,則x等于 (　　)
A.6 B.2
C.4 D.3
2.已知向量a=(2,-1),b=(3,-2),c=(1,m),若(a-b)⊥c,則|c|= (　　)
A.1 B.
C. D.2
3.在△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=2,D為BC的中點(diǎn),E,F都在線段AB上,且AE=EF=FB,則·= (　　)
A. B.
C.-2 D.2
4.已知向量a=,b=,且a與b的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 (　　)
A.
B.
C.
D.∪
二、多選題
5.已知兩個(gè)非零向量a,b滿足2a+b=(4,5),a-2b=(-3,5),則下列結(jié)論中正確的是 (　　)
A.a=(1,3) B.b=(3,2)
C.a·b=-1 D.a+b=(4,5)
6.設(shè)向量a=(1,-1),b=(2,0),則下列結(jié)論中成立的有(　　)
A.|a-b|=|a|
B.(a-b)∥a
C.(a-b)⊥a
D.a在b上的投影向量為(1,0)
三、填空題
7.設(shè)x,y∈R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,則x+y=　　　　.
8.已知向量a,b滿足a=(-1,1),|b|=2|a|,且a·b=1,則a,b夾角的余弦值為　　　　.
四、解答題
9.(教材改編題)已知向量a=(1,1),b=(-3,4).
(1)求的值;
(2)求向量a與a-b夾角的余弦值.
10.已知A(1,2),B(4,0),C(8,6),D(5,8),判斷由此四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的形狀.
一、選擇題
1.(教材改編題)已知A(2,1),B(3,2),C(-1,4),則△ABC是 (　　)
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.等腰三角形
2.(多選題)設(shè)向量a=,b=,則下列敘述錯(cuò)誤的是 (　　)
A.若k<-2,則a與b的夾角為鈍角
B.的最小值為2
C.與b共線的單位向量只有一個(gè)為,-
D.若=2,則k=2或-2
二、填空題
3.如圖,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)F在邊CD上,若·=,則·的值是　　　　.
4.已知點(diǎn)P(1,1),O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A,B分別在x軸和y軸上,且滿足PA⊥PB,則(+)·=　　　　,|+|的最小值為　　　　.
三、解答題
5.設(shè)平面向量a=(cosα,sin α)(0≤α<2π),b=-,.
(1)求證:向量a+b與a-b垂直;
(2)若向量a+b與a-b的模相等,求角α.
6.已知A(3,2),B(-2,1),C(1,-1)且=-2.
(1)證明:△ABC是等腰直角三角形;
(2)求cos∠APC.
6.3.5　平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示
必備知識(shí)·落實(shí)
1.(1)x1x2+y1y2　 (2)+　
(3)x1x2+y1y2=0　 (4)
2.向量垂直與向量平行的條件容易混淆,注意以下特點(diǎn):
項(xiàng)目 坐標(biāo)表示 記憶口訣
垂直 a⊥b x1x2+y1y2=0 對(duì)應(yīng)相乘和為0
平行 a∥b x1y2-x2y1=0 交叉相乘差為0
知能素養(yǎng)·進(jìn)階
【基礎(chǔ)鞏固組】
1.B　由題意得8a-b=(6,3),c=(3,x),
所以(8a-b)·c=18+3x=24,解得x=2.
2.B　由題設(shè)可得a-b=(-1,1),
因?yàn)?a-b)⊥c,故-1×1+1×m=0,
解得m=1,所以c=(1,1),故|c|=.
3.A　如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,
則D(0,1),E,F,
所以=,=,
所以·=2×1-×=2-=.
4.D　a與b的夾角為銳角,
,解得k>-且k≠2,
即k的取值范圍是∪(2,+∞).
5.AC　因?yàn)?a+b=(4,5),a-2b=(-3,5),所以5a=2(4,5)+(-3,5)=(5,15),所以a=(1,3),所以b=(4,5)-2(1,3)=(2,-1),所以a·b=2-3=-1,a+b=(3,2).
6.ACD　因?yàn)閍=(1,-1),b=(2,0),所以a-b=(-1,-1),
對(duì)A:|a-b|=,|a|=,所以|a-b|=|a|,故A正確;
對(duì)B:因?yàn)?×(-1)-(-1)×(-1)=-2≠0,所以a-b與a不平行,故B錯(cuò)誤;
對(duì)C:(a-b)·a=-1+1=0,所以(a-b)⊥a,故C正確;
對(duì)D:a在b上的投影為==1,則a在b上的投影向量為(1,0),故D正確.
7.【解析】因?yàn)橄蛄縜=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且a⊥c,b∥c,所以a·c=2x-4=0,得x=2,1×(-4)=2y,解得y=-2,所以x+y=2-2=0.
答案:0
8.【解析】由題意得|a|=,|b|=2,a·b=1,設(shè)a,b夾角為θ,則cosθ===.
答案:
9.【解析】(1)因?yàn)閍-b=(4,-3),所以|a-b|=5;
(2)由(1)知a·(a-b)=·
=1×4+1×=1,=,|a-b|=5,
所以cos===.
10.【解析】因?yàn)?(4,0)-(1,2)=(3,-2),=(8,6)-(5,8)=(3,-2),
所以=,所以四邊形ABCD是平行四邊形.
因?yàn)?(5,8)-(1,2)=(4,6),
所以·=3×4+(-2)×6=0,
所以⊥,所以四邊形ABCD是矩形.
因?yàn)閨|=,||=2,||≠|(zhì)|,所以四邊形ABCD不是正方形.
綜上,四邊形ABCD是矩形.
【素養(yǎng)提升組】
1.B　由已知=(1,1),=(-3,3),
所以cosA===0,則A=,所以△ABC是直角三角形.
2.CD　對(duì)于選項(xiàng)A,若a與b的夾角為鈍角,則a·b<0且a與b不共線,
則k-2<0且-k≠2,解得k<2且k≠-2,故選項(xiàng)A正確,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng)B,=≥2,當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí),等號(hào)成立,故選項(xiàng)B正確,不符合題意;
對(duì)于選項(xiàng)C,=,與b共線的單位向量為±,即與b共線的單位向量為,-或-,,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤,符合題意;
對(duì)于選項(xiàng)D,=2=2,即=2,解得k=±2,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤,符合題意.
3.【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸、AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,
則B(,0),D(0,2),C(,2),E(,1).
可設(shè)F(x,2),因?yàn)椤?(,0)·(x,2)=x=,
所以x=1,所以·=(,1)·(1-,2)=.
答案:
4.【解析】設(shè)A(a,0),B(0,b),則=(a-1,-1),
=(-1,b-1),
因?yàn)镻A⊥PB,所以·=(a-1)×(-1)+(-1)×(b-1)=0,
所以a+b=2,則(+)·=(a-2,b-2)·(-1,-1)=4-(a+b)=2,
|+|=
==
=,
所以當(dāng)a=1時(shí),|+|取得最小值.
答案:2　
5.【解析】(1)由題意,知a+b=,
a-b=cosα+,sin α-.
所以(a+b)·(a-b)=cos2α-+sin2α-=0,
所以(a+b)⊥(a-b).
(2)易得|a|=1,|b|=1.由題意,
知(a+b)2=(a-b)2,化簡得a·b=0,
所以-cos α+sin α=0,所以tan α=.
又0≤α<2π,所以α=或α=.
6.【解析】(1)由題意得=(2,3),=(-3,2),
因?yàn)椤?0,所以CA⊥CB,
所以△ABC是直角三角形,
又因?yàn)閨|==,||==,
所以||=||,所以△ABC是等腰直角三角形.
(2)設(shè)點(diǎn)P(x,y),則=(x-3,y-2),
=(-2-x,1-y),
因?yàn)?-2,所以x-3=4+2x且y-2=2y-2,解得x=-7,y=0,
所以P(-7,0),所以=(8,-1),=(10,2),
所以·=78,||=,||=2,
所以cos∠APC==.6.4.1　平面幾何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的應(yīng)用舉例
【基礎(chǔ)鞏固組】
一、單選題
1.若=3a,=-5a,且,則四邊形ABCD是 (　　)
A.平行四邊形 B.菱形
C.等腰梯形 D.直角梯形
2.△ABC的外接圓的圓心為O,半徑為1,=(+),且||=||,則·為 (　　)
A.1 B.
C.-1 D.-
3.已知D為△ABC的邊BC的中點(diǎn),△ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn)P,滿足=+,則的值為 (　　)
A.1 B. C. D.2
4.加強(qiáng)體育鍛煉是青少年生活學(xué)習(xí)中非常重要的組成部分.某學(xué)生做引體向上運(yùn)動(dòng),處于如圖所示的平衡狀態(tài)時(shí),若兩只胳膊的夾角為60°,每只胳膊的拉力大小均為400 N,則該學(xué)生的體重(單位:kg)約為 (　　)
(參考數(shù)據(jù):取重力加速度大小為g=10 m/s2,≈1.732)
A.63 B.69 C.75 D.81
二、多選題
5.已知O是四邊形ABCD內(nèi)一點(diǎn),若+++=0,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 (　　)
A.四邊形ABCD為正方形,點(diǎn)O是正方形ABCD的中心
B.四邊形ABCD為任意四邊形,點(diǎn)O是四邊形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)
C.四邊形ABCD為任意四邊形,點(diǎn)O是四邊形ABCD的外接圓的圓心
D.四邊形ABCD為任意四邊形,點(diǎn)O是四邊形ABCD對(duì)邊中點(diǎn)連線的交點(diǎn)
6.已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,D,E分別是AC,AB上的兩點(diǎn),且=,=2,BD與CE交于點(diǎn)O,則下列說法正確的是 (　　)
A.·=-1
B.+=0
C.=
D.在方向上的投影向量為
三、填空題
7.(教材改編題)力F=(-1,-2)作用于質(zhì)點(diǎn)P,使P產(chǎn)生的位移為s=(3,4),則力F對(duì)質(zhì)點(diǎn)P做的功是__________.
8.(教材改編題)一條兩岸平行的河流,水速為1 m/s,小船的速度為2 m/s,為使所走路程最短,小船應(yīng)朝與水速夾角為________的方向行駛.
四、解答題
9.如圖所示,在矩形ABCD中,AB=,BC=3,BE⊥AC,垂足為E,求ED的長.
10.已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC邊的中點(diǎn),BE⊥AD,垂足為E,延長BE交AC于點(diǎn)F,連接DF,求證:∠ADB=∠FDC.
【素養(yǎng)提升組】
一、選擇題
1.已知點(diǎn)A,B,C,則下列結(jié)論正確的是 (　　)
A.A,B,C三點(diǎn)共線
B.⊥
C.連接A,B,C構(gòu)成銳角三角形
D.連接A,B,C構(gòu)成鈍角三角形
2.已知平面向量a,b的夾角為,且=,=2.在△ABC中,=2a+2b,=2a-6b,D為BC的中點(diǎn),則AD的長等于 (　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
二、填空題
3.如圖所示,小船被繩索拉向岸邊,船在水中運(yùn)動(dòng)時(shí)設(shè)水的阻力大小不變,那么小船勻速靠岸過程中,下列說法中正確的是________.(寫出所有正確答案的序號(hào))
①繩子的拉力不斷增大;
②繩子的拉力不斷變小;
③船的浮力不斷變小;
④船的浮力保持不變.
4.已知平行四邊形ABCD,AB=4,AD=,∠BAD為銳角,且sin∠BAD=,點(diǎn)P0是邊CD上一定點(diǎn),點(diǎn)P是邊CD上一動(dòng)點(diǎn),若·≥·恒成立,則=________.
三、解答題
5.如圖所示,一個(gè)物體受到同一平面內(nèi)三個(gè)力F1,F2,F3的作用,沿北偏東45°的方向移動(dòng)了8 m,其中|F1|=2 N,方向?yàn)楸逼珫|30°;|F2|=4 N,方向?yàn)楸逼珫|60°;|F3|=6 N,方向?yàn)楸逼?0°,求合力F所做的功.
6.如圖,在 OACB中,BD=BC,OD與BA相交于點(diǎn)E.求證:BE=BA.
6.4　平面向量的應(yīng)用
6.4.1　平面幾何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的應(yīng)用舉例
知能素養(yǎng)·進(jìn)階
【基礎(chǔ)鞏固組】
1.C　因?yàn)?3a,=-5a,
所以∥,||≠|(zhì)|,因?yàn)閨|=||,所以四邊形ABCD是等腰梯形.
2.A　由題意知,O為BC的中點(diǎn),且∠ABC=60°,||=2,||=1,所以·=1×2×=1.
3.A　因?yàn)?+,所以PA必為以PB,PC為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線.因?yàn)镈為邊BC的中點(diǎn),所以D為PA的中點(diǎn),所以=1.
4.B　由題意知,|F1|=|F2|=400 N,夾角θ=60°,所以G+F1+F2=0,即G=-(F1+F2);
所以G2=(F1+F2)2=4002+2×400×400×cos 60°+4002=3×4002;|G|=400(N),則該學(xué)生的體重(單位:kg)約為40=40×1.732≈69(kg).
5.ABC　由+++=0知,+=-(+).設(shè)AB,CD的中點(diǎn)分別為E,F,由向量加法的平行四邊形法則,知+=0,O是EF的中點(diǎn).同理,設(shè)AD,BC的中點(diǎn)分別為M,N,則O是MN的中點(diǎn).所以O(shè)是EF,MN的交點(diǎn).
6.BCD　由題意知E為AB中點(diǎn),則CE⊥AB,
以E為原點(diǎn),,分別為x軸,y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示:
所以,E(0,0),A(1,0),B(-1,0),C(0,),D(,),
設(shè)O(0,y),y∈(0,),故=(1,y),=(-,y-),因?yàn)椤?所以y-=-y,解得y=,
即O是CE中點(diǎn),+=0,所以選項(xiàng)B正確;
===,所以選項(xiàng)C正確;
因?yàn)镃E⊥AB,·=0,所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤;
=(,),=(1,),在方向上的投影向量為==,所以選項(xiàng)D正確.
7.【解析】由題意得,W=F·s=(-1,-2)·(3,4)=-11.
答案:-11
8.【解析】如圖所示,為使小船所走路程最短,v水+v船應(yīng)與岸垂直,又==1,==2,∠ADC=90°,所以∠CAD=30°.所以小船應(yīng)朝與水速成120°角的方向行駛.
答案:120°
9.【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD,AB所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(0,),C(3,),
D(3,0),=(3,),
設(shè)=λ,則E的坐標(biāo)為,
故=.
因?yàn)锽E⊥AC,所以·=0,
即9λ+3λ-3=0,
解得λ=,所以E,
故=,||=,
即ED=.
10.【證明】如圖,以B為原點(diǎn),BC,BA所在直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系.
設(shè)A,C,則D,=.
設(shè)=λ,則=+=+=.
又因?yàn)?,⊥,所以·=0,
所以-2λ+2=0,解得λ=,所以=.所以=-=.
又因?yàn)?,所以cos∠ADB==,cos∠FDC==.
又因?yàn)椤螦DB,∠FDC∈,所以∠ADB=∠FDC.
【素養(yǎng)提升組】
1.D　由點(diǎn)A,B,C,可得=,=,
則·=-4<0,所以C是鈍角.
2.A　因?yàn)?(+)=(2a+2b+2a-6b)=2a-2b,所以||2=4(a-b)2=4(a2-2b·a+b2)=
4×=4,
則||=2,所以AD=2.
3.【解析】設(shè)水的阻力為f,繩的拉力為F,F與水平方向夾角為θ,則cos θ=,所以=.因?yàn)棣仍龃?所以cosθ減小,所以增大.因?yàn)閟in θ增大,所以船的浮力減小.
答案:①③
4.【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,
因?yàn)椤螧AD為銳角,且sin∠BAD=,則cos∠BAD=,
則sin∠BAD==,即yD=2,又cos∠BAD==,即xD=1,
所以D,可知A,B,C,
設(shè)P,1≤m≤5,所以·=·=m2-4m+4=,
當(dāng)m=2時(shí),·取得最小值為0,此時(shí)P,
若·≥·恒成立,則P0,所以=1.
答案:1
5.【解析】以O(shè)為原點(diǎn),正東方向?yàn)閤軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則F1=(1,),F2=(2,2),F3=(-3,3),所以F=F1+F2+F3=(2-2,2+4).
又=(4,4),
故F·=(2-2)×4+(2+4)×4
=4×6=24.
合力F所做的功為24 J.
6.【證明】因?yàn)镺,E,D三點(diǎn)共線,
所以向量與向量共線.
則存在實(shí)數(shù)λ1,使得=λ1.
而=+=+,
則=λ1+.
又因?yàn)锳,E,B三點(diǎn)共線,
所以與共線,
則存在實(shí)數(shù)λ2,使=λ2=λ2(-).
所以=λ2-λ2.而+=,
所以+λ2-λ2=λ1+.
即(1-λ2)+λ2=λ1+.
因?yàn)榕c不共線,
所以
所以λ2=.
所以=,即BE=BA.6.4.3　余弦定理、正弦定理
第1課時(shí)　余弦定理
1.余弦定理
a2=　　　　　　　　,
b2=　　　　　　　　,
c2=　　　　　　　　.
2.余弦定理和勾股定理有什么關(guān)系
3.余弦定理的推論
cosA=　　　　　　　　　　　　　　　,
cosB=　　　　　　　　　　　　　　　,
cosC=　　　　　　　　　　　　　　　.
4.利用余弦定理可以解的三角形的問題
(1)已知兩邊及其夾角,解三角形;
(2)已知三邊,解三角形.
5.已知三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角,能否利用余弦定理解三角形
一、單選題
1.在△ABC中,已知a=1,b=2,∠C=60°,則c等于 (　　)
A.3 B. C.5 D.
2.在△ABC中,C=,AB=7,BC=3,則AC= (　　)
A. B.5 C. D.6
3.(教材改編題)在△ABC中,已知a=3,b=5,c=,則最大角與最小角的和為 (　　)
A.90° B.120°
C.135° D.150°
4.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若>0,則△ABC是 (　　)
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.以上均有可能
二、多選題
5.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,b=15,c=16,B=60°,則a邊的值可以
是 (　　)
A.8+
B.8+
C.8-
D.8-
6.△ABC為鈍角三角形,a=3,b=4,c=x,則x的取值可以是 (　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
三、填空題
7.在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b-c),則A=　　　　　.
8.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形狀為　　　　　　.
四、解答題
9.在△ABC中,已知a=2,b=6+2,c=4,求A,B,C.
10.在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程x2-2x+2=0的兩根,2cos(A+B)=1.求:
(1)角C;
(2)AB的長.
一、選擇題
1.在△ABC中,tan A=,AC=,AB=4,則BC= (　　)
A. B.4 C. D.
2.(多選題)在△ABC中,滿足(a2+c2-b2)tan B=ac的角B的值為 (　　)
A. B. C. D.
二、填空題
3.在△ABC中,若a∶b∶c=2∶∶(+1),則△ABC的最大內(nèi)角的余弦值為　　　　.
4.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,則A=　　　,AC邊上的高為　　　.
三、解答題
5.在△ABC中,若B=60°,2b=a+c,試判斷△ABC的形狀.
6.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知cosC+(cosA-sin A)cosB=0.
(1)求角B的大小;
(2)若a+c=1,求b的取值范圍.
6.4.3　余弦定理、正弦定理
第1課時(shí)　余弦定理
必備知識(shí)·落實(shí)
1.b2+c2-2bccos A　a2+c2-2accos B
a2+b2-2abcos C
2.在△ABC中,由余弦定理c2=a2+b2-2abcos C,若角C=90°,則cosC=0,于是c2=a2+b2,這說明勾股定理是余弦定理的特例,余弦定理是勾股定理的推廣.
3.　　
5.能解三角形.當(dāng)已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角時(shí),如已知a,b,A,可用a2=b2+c2-2bccos A求解c,可能有兩解.
知能素養(yǎng)·進(jìn)階
【基礎(chǔ)鞏固組】
1.B　由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcos C=1+4-2×1×2×=3,所以c=.
2.B　在△ABC中,C=,AB=7,BC=3,如圖所示:
由余弦定理得72=AC2+32-2·3·AC·cos,
整理得AC2+3·AC-40=0,
解得AC=5或AC=-8(不合題意,舍去),
所以AC=5.
3.B　在△ABC中,因?yàn)閍=3,b=5,
c=,所以最大角為B,最小角為A,
所以cosC===,
所以C=60°,所以A+B=120°,
所以△ABC中的最大角與最小角的和為120°.
4.C　由>0得-cosC>0,
所以cosC<0,從而C為鈍角,因此△ABC一定是鈍角三角形.
5.AC　在△ABC中,b=15,c=16,B=60°,
由余弦定理:b2=a2+c2-2accosB,
即a2-16a+31=0,解得a=8±.
6.AC　若x>4,則x所對(duì)的角為鈍角,
所以<0且x<3+4=7,所以5若x<4,則4對(duì)的角為鈍角,
所以<0且3+x>4,所以1所以x的取值范圍是(1,)∪(5,7),故AC選項(xiàng)滿足.
7.【解析】因?yàn)?a+c)(a-c)=b(b-c),
所以b2+c2-a2=bc,
所以cosA==.
因?yàn)锳∈(0,π),所以A=.
答案:
8.【解析】因?yàn)閎cosC+ccosB=asinA,
所以由余弦定理得b·+c·=asinA,
整理,得a=asinA.
所以sin A=1.
又A∈(0,π),所以A=.
故△ABC為直角三角形.
答案:直角三角形
9.【解析】根據(jù)余弦定理,cosA===.
因?yàn)锳∈(0,π),
所以A=,cos C=
=,
因?yàn)镃∈(0,π),所以C=.
所以B=π-A-C=π--=,
所以A=,B=,C=.
10.【解析】(1)因?yàn)閏osC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-,且C∈(0,π),所以C=.
(2)因?yàn)閍,b是方程x2-2x+2=0的兩根,所以
所以AB2=b2+a2-2abcos =(a+b)2-ab=10,所以AB=.
【素養(yǎng)提升組】
1.C　設(shè)AC=b,AB=c,BC=a,則b=,c=4,
因?yàn)閠an A=>0,A∈(0,π),
所以=,A∈,
又因?yàn)閟in2A+cos2A=1,
解得cosA=,
由余弦定理得:a2=b2+c2-2bccos A
=()2+42-2××4×=5,所以BC=.
2.BD　因?yàn)?a2+c2-b2)tan B=ac,
所以·tan B=,
即cosB·tanB=sin B=.
因?yàn)?所以角B的值為或.
3.【解析】因?yàn)閍∶b∶c=2∶∶(+1),
不妨設(shè)a=2k,b=k,c=(+1)k,顯然a所以△ABC的最大內(nèi)角為C,
則cosC=
=
===.
答案:
4.【解析】由余弦定理,可得cosA===.
又0則AC邊上的高h(yuǎn)=ABsinA=3×=.
答案:　
5.【思路探求】根據(jù)三角形三邊的關(guān)系,用a,c表示邊b,再結(jié)合角B等于60°,利用余弦定理即可求出三角形三邊的關(guān)系.
【解析】由余弦定理,得b2=a2+c2-2accos B.
因?yàn)锽=60°且b=,
所以=a2+c2-2accos 60°.
整理,得(a-c)2=0,所以a=c,所以a=b=c,
所以△ABC為正三角形.
6.【解析】(1)由已知得-cos(A+B)+cosAcosB-sin A·cosB=0,即有sin AsinB-sin AcosB=0.
因?yàn)閟in A≠0,所以sin B-cos B=0.
又cosB≠0,所以tan B=.
又0(2)由余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B.
因?yàn)閍+c=1,cos B=,有b2=3(a-)2+.
又01.基線
在測量過程中,根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線,一般來說,基線　　　　,測量的精確度越高.
2.測量時(shí)是否一定要選取基線
3.方向角
以觀測者為中心,　　　　　　　與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角.
一、單選題
1.海上A,B兩個(gè)小島相距10海里,從A島望C島和B島成60°的視角,A,C兩島相距20海里,則B島與C島間的距離是 (　　)
A.10海里　　 B.10海里
C.300海里 D.700海里
2.如圖所示,為了測定河的寬度,在一岸邊選定兩點(diǎn)A,B,望對(duì)岸標(biāo)記物C,測得
∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120 m,則河的寬度為 (　　)
A.230 m　 B.240 m　 C.50 m　 D.60 m
3.如圖所示為起重機(jī)裝置示意圖.支桿BC=10 m,吊桿AC=15 m,吊索AB=5 m,起吊的貨物與岸的距離AD為 (　　)
A.30 m B.m
C.15 m D.45 m
4.(教材改編題)如圖,地面有四個(gè)5G中基站A,B,C,D,已知CD=(+)km,
∠ADB=∠CDB=30°,∠DCA=45°,∠ACB=60°,則A,B兩個(gè)中基站的距離是(　　)
A.4 km B.2 km
C. km D.6 km
二、多選題
5.如圖所示,為了測量某湖泊兩側(cè)A,B間的距離,李寧同學(xué)首先選定了與A,B不共線的一點(diǎn)C,然后給出了下列測量方案(△ABC的角A,B,C所對(duì)的邊分別記為a,b,c),則一定能確定A,B間距離的方案為 (　　)
A.測量A,B,b B.測量a,b,C
C.測量A,B,a D.測量A,B,C
6.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,∠ABC=,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D,且BD=,則下列說法正確的是 (　　)
A.ac的最小值是4
B.ac的最大值是4
C.a+3c的最小值是3+2
D.a+3c的最小值是4+2
三、填空題
7.學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形,如圖,測得AC的長度為4 m,∠A=30°,則其跨度AB的長為　　　　　.
8.有一個(gè)長為1千米的斜坡,它的傾斜角為75°,現(xiàn)要將其傾斜角改為30°,則坡底要伸長　　　　千米.
四、解答題
9.如圖,A,B兩點(diǎn)之間隔著一座小山,現(xiàn)要測量A,B兩點(diǎn)間的距離,選擇在同一水平面上且均能直線到達(dá)的C點(diǎn),經(jīng)測量AC=50 m,BC=40 m,B在C北偏東45°方向上,A在C北偏西75°方向上,求AB的長.
10.海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°,距離為12海里;在A處看燈塔C,在貨輪的北偏西30°,距離為8海里;貨輪向正北由A處航行到D處時(shí)看燈塔B在南偏東60°,求:
(1)A處與D處之間的距離;
(2)燈塔C與D處之間的距離.
一、選擇題
1.如圖,某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120°的扇形AOB,C是該小區(qū)的一個(gè)出入口,且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD,已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘,從D沿著DC走到C用了3分鐘,若此人步行的速度為每分鐘50米,則該扇形的半徑為 (　　)
A.50米 B.50米
C.50米 D.50米
2.(教材改編題)臺(tái)風(fēng)中心從A地以每小時(shí)20千米的速度向東北方向移動(dòng),離臺(tái)風(fēng)中心30千米內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū),城市B在A的正東40千米處,B城市處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的持續(xù)時(shí)間為(　　)
A.0.5小時(shí) B.1小時(shí)
C.1.5小時(shí) D.2小時(shí)
二、填空題
3.某船開始看見一座燈塔在南偏東30°方向,該船沿南偏東60°方向航行45 km后,看見燈塔在正西方向,則這時(shí)船與燈塔的距離是　　　km.
4.如圖,為了測量兩座山峰上P,Q兩點(diǎn)之間的距離,選擇山坡上一段長度為
300 m且和P,Q兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)的路段AB的兩個(gè)端點(diǎn)作為觀測點(diǎn),現(xiàn)測得
∠PAB=90°,∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60°,則P,Q兩點(diǎn)間的距離為　　　　m.
三、解答題
5.一次機(jī)器人足球比賽中,甲隊(duì)1號(hào)機(jī)器人由A點(diǎn)開始做勻速直線運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)B時(shí),發(fā)現(xiàn)足球在點(diǎn)D處正以自己速度的兩倍向點(diǎn)A做勻速直線滾動(dòng),如圖所示,已知AB=4 dm,AD=17 dm,∠BAD=45°,若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間,則該機(jī)器人最快可在何處截住足球
6.如圖,某測量人員為了測量西江北岸不能到達(dá)的兩點(diǎn)A,B之間的距離,她在西江南岸找到一點(diǎn)C,從C點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A,B;找到一個(gè)點(diǎn)D,從D點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A,C;找到一個(gè)點(diǎn)E,從E點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)B,C.測量得到數(shù)據(jù):∠ACD=90°,∠ADC=60°,∠ACB=15°,∠BCE=105°,∠CEB=45°,DC=CE=1.
(1)求△CDE的面積;
(2)求A,B之間的距離.
第3課時(shí)　余弦定理、正弦定理
應(yīng)用舉例——距離問題
必備知識(shí)·落實(shí)
1.越長
2.測量時(shí)必須選取基線,因?yàn)闊o論應(yīng)用正弦定理還是余弦定理解三角形時(shí),至少應(yīng)已知一邊的長度.
3.指北或指南的方向線
知能素養(yǎng)·進(jìn)階
【基礎(chǔ)鞏固組】
1.A　如圖,由已知得,在△ABC中,AB=10海里,AC=20海里,∠BAC=60°,
由余弦定理,可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 60°=102+202-2×10×20×=300.
故BC=10海里.
2.D　在△ABC中∠CAB=30°,∠CBA=75°,
所以∠ACB=75°,∠ACB=∠ABC.
所以AC=AB=120 m.如圖,
作CD⊥AB,垂足為D,則CD即為河的寬度.
在Rt△ACD中,由正弦定理,得
=,
所以=,
所以CD=60 m,所以河的寬度為60 m.
3.B　在△ABC中,cos∠ABC==,∠ABC∈(0,π),
所以sin∠ABC==,
所以在Rt△ABD中,AD=AB·sin∠ABC=5×=(m).
4.C　由題意可得∠DAC=75°,∠DBC=45°,
在△ADC中,由正弦定理得AC===2,
在△BDC中,由正弦定理得BC===+1,在△ACB中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2×AC×BC·cos ∠ACB=(2)2+(+1)2-2×2×(+1)×=10,所以AB= km.
5.ABC　對(duì)于A,利用內(nèi)角和定理先求出C=π-A-B,再利用正弦定理=解出c;
對(duì)于B,直接利用余弦定理c2=a2+b2-2abcos C即可解出c;
對(duì)于C,先利用內(nèi)角和定理求出C=π-A-B,再利用正弦定理=解出c;
對(duì)于D,解不出c.
6.AD　由題意知S△ABC=S△ABD+S△BDC,由角平分線的性質(zhì)以及面積公式可得ac·sin60°=a·sin30°+c·sin30°,化簡得ac=a+c,所以ac=a+c≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)成立,解得ac≥4,故A正確,B錯(cuò)誤;因?yàn)閍c=a+c,所以1=+,所以a+3c=(a+3c)=4++≥4+2=4+2,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=c時(shí)等號(hào)成立,故C錯(cuò)誤,D正確.
7.【解析】方法一:由題意知,∠A=∠B=30°,
所以∠C=180°-30°-30°=120°,
由正弦定理得,=,
即AB===4m.
答案:4m
方法二:過點(diǎn)C作CD⊥AB,由等腰三角形性質(zhì)可知D為AB的中點(diǎn),AD=AC·cosA=4×=2(m),
所以AB=2AD=4m.
答案:4m
8.【解析】如圖,∠BAO=75°,∠C=30°,AB=1千米,
所以∠ABC=∠BAO-∠C=75°-30°=45°.
在△ABC中,=,所以AC===(千米).
答案:
9.【解析】依題意知∠ACB=120°,AC=50 m,BC=40 m,
應(yīng)用余弦定理得AB=
=
=10(m),
故AB的長為10m.
10.【解析】由題意,畫出示意圖.
(1)在△ABD中,由已知∠ADB=60°,B=45°,AB=12海里.
由正弦定理得AD=·sin45°=24(海里).
(2)在△ADC中,由余弦定理得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos30°=242+(8)2-2×24×8×=(8)2,
所以CD=8(海里).
【素養(yǎng)提升組】
1.D　設(shè)該扇形的半徑為r米,連接CO,如圖所示.
由題意得OD=100米,DC=150米,
因?yàn)镈C∥OA,∠AOB=120°,所以∠ODC=60°,
在△CDO中,由余弦定理得:
CD2+OD2-2CD·OD·cos60°=OC2,
即1502+1002-2×150×100×=r2,
解得:r=50,所以該扇形的半徑為50米.
2.B　設(shè)t小時(shí)后,B城市恰好處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi),則由余弦定理得:(20t)2+402-2×20t×40cos 45°=302.
化簡得:4t2-8t+7=0,
所以t1+t2=2,t1t2=.
從而|t1-t2|==1.
3.【解析】設(shè)燈塔位于A處,船開始的位置為B,航行45 km后到C處,如圖所示,延長CA,與BD交于點(diǎn)D.
∠DBC=60°,∠ABD=30°,BC=45 km,
所以∠ABC=60°-30°=30°,∠BAC=180°-60°=120°.
△ABC中,由正弦定理=,
可得AC===15(km).
即此時(shí)船與燈塔的距離是15 km.
答案:15
4.【解析】因?yàn)椤螾AB=90°,∠PAQ=60°,
所以∠BAQ=30°,
在△ABQ中,因?yàn)椤螾BA=∠PBQ=60°,
所以∠ABQ=120°,又∠BAQ=30°,
所以∠AQB=180°-120°-30°=30°,
由正弦定理,得=,AQ=900 m.
在Rt△ABP中,解得AP=900 m.
因?yàn)锳Q=AP=900 m,又∠PAQ=60°,
所以△APQ是等邊三角形,所以PQ=900 m,
所以P,Q兩點(diǎn)間的距離為900 m.
答案:900
5.【解析】設(shè)機(jī)器人最快可在點(diǎn)C處截住足球,點(diǎn)C在線段AD上,連接BC,如圖所示,
設(shè)BC=xdm,由題意知CD=2xdm,AC=AD-CD=(17-2x)dm.
在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A,
即x2=(4)2+(17-2x)2-8(17-2x)cos 45°,
解得x1=5,x2=.
所以AC=17-2x=7(dm)或AC=-(dm)(舍去).
所以該機(jī)器人最快可在線段AD上離A點(diǎn)7 dm的點(diǎn)C處截住足球.
6.【解析】(1)∠DCE=360°-90°-15°-105°=150°,
所以S△CDE=×|CD|×|CE|×sin150°=×1×1×=;
(2)由題可得在Rt△ACD中,
|AC|=|DC|·tan∠ADC=1×tan60°=,
在△BCE中,∠CBE=180°-105°-45°=30°,
由正弦定理可得=,即=,
解得|BC|=,
因?yàn)閏os15°=cos(60°-45°)=cos60°cos45°+sin60°sin45°=,則在△ABC中,由余弦定理可得|AB|2=()2+()2-2××=2-,
所以|AB|=.第4課時(shí)　余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例——高度、角度問題
1.視角
視角是指觀察物體的兩端　　　　張開的角度.
2.仰角和俯角
與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的　　　　　　和目標(biāo)視線的夾角.目標(biāo)視線在　　　　　　　時(shí)叫仰角,目標(biāo)視線在　　　　　　時(shí)叫俯角.
3.方位角
從指北方向　　　轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的水平角.其取值范圍為　　　　.
4.方向角與方位角是相同的角嗎
一、單選題
1.從地面上觀察一建在山頂上的建筑物,測得其視角為α,同時(shí)測得建筑物頂部仰角為β,則山頂?shù)难鼋菫?(　　)
A.α+β B.α-β
C.β-α D.α
2.如圖所示,飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂面內(nèi),若飛機(jī)的高度為18 km,速度為1 000 km/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?0°,經(jīng)過1 min后又看到山頂?shù)母┙菫?5°,則山頂?shù)母叨葹?精確到0.1 km,參考數(shù)據(jù):≈1.732)(　　)
A.11.4 km B.6.6 km
C.6.5 km D.5.6 km
3.如圖所示,在坡度一定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對(duì)于山坡的斜度為15°,向山頂前進(jìn)100 m到達(dá)B處,又測得C對(duì)于山坡的斜度為45°,若CD=50 m,山坡對(duì)于地平面的坡角為θ,則cosθ= (　　)
A.　　B.2-　　C.-1　　D.
4.如圖,無人機(jī)在離地面高200 m的A處,觀測到山頂M處的仰角為15°、山腳C處的俯角為45°,已知∠MCN=60°,則山的高度MN為 (　　)
A.150 m B.200 m
C.300 m D.300 m
二、多選題
5.甲、乙兩樓相距20米,從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°,從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°,則 (　　)
A.甲樓高20米
B.甲樓高米
C.乙樓高米
D.乙樓高40米
6.一艘客船上午9:30在A處,測得燈塔S在它的北偏東30°方向,之后它以每小時(shí)32 nmile的速度繼續(xù)沿正北方向勻速航行,上午10:00到達(dá)B處,此時(shí)測得客船與燈塔S相距8 nmile,則燈塔S可能在B處的 (　　)
A.北偏東75°
B.南偏東15°
C.東北方向
D.東南方向
三、填空題
7.如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時(shí)測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600 m后到達(dá)B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=　　　　　　m.
8.(教材改編題)甲船在A處觀察乙船,乙船在它的北偏東60°方向的B處,兩船相距a n mile,乙船向正北行駛,若甲船的速度是乙船的倍,則甲船應(yīng)沿　　　　　方向行駛才能追上乙船;追上時(shí)甲船行駛了　　　n mile.
四、解答題
9.(教材改編題)在山頂鐵塔上B處測得地面上一點(diǎn)A的俯角α=60°,在塔底C處測得點(diǎn)A的俯角β=45°,已知鐵塔BC部分高32米,求山高CD.
10.如圖,某市郊外景區(qū)內(nèi)一條筆直的公路經(jīng)過三個(gè)景點(diǎn)A,B,C.為增加景區(qū)人民的收入,景區(qū)管委會(huì)又開發(fā)了風(fēng)景優(yōu)美的景點(diǎn)D.經(jīng)測量景點(diǎn)D位于景點(diǎn)A的北偏東30°方向8 km處,位于景點(diǎn)B的正北方向上,還位于景點(diǎn)C的北偏西75°方向上,已知AB=5 km,AD>BD.
(1)景區(qū)管委會(huì)準(zhǔn)備由景點(diǎn)D向景點(diǎn)B修建一條筆直的公路,不考慮其他因素,求出這條公路的長;
(2)求∠ACD的正弦值.
一、選擇題
1.飛機(jī)的航線和山頂在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi),已知飛機(jī)的高度為海拔15 000 m,速度為1 000 km/h,飛行員先看到山頂?shù)母┙菫?8°,經(jīng)過108 s后又看到山頂?shù)母┙菫?8°,則山頂?shù)暮０胃叨葹?(　　)
A. km
B. km
C. km
D. km
2.在燈塔A的正東方向,相距40海里的B處,有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營救.海警船在燈塔A的南偏西30°,相距20海里的C處.現(xiàn)海警船要沿直線CB方向,盡快前往B處救援,則sin∠ACB等于 (　　)
A.　B.　C.　D.
二、填空題
3.(教材改編題)如圖,測量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)C與D,測得∠BCD=15°,∠BDC=30°,CD=30米,并在點(diǎn)C測得塔頂A的仰角為60°,則塔高為　　　　米.
4.如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90°,四邊形ABHL,ACFG,BCDE都是正方形,AN⊥DE于點(diǎn)N,交BC于點(diǎn)M.可證△ABE與△HBC全等,進(jìn)而得到矩形BENM與正方形ABHL面積相等;同理可得到矩形CDNM與正方形ACFG面積相等.在該圖中,若tan∠BAE=,則sin∠BEA=　　　　.
三、解答題
5.如圖所示,在地面上共線的三點(diǎn)A,B,C處測得一建筑物的仰角分別為30°,45°,60°,且AB=BC=60 m,求建筑物的高度.
6.如圖,某運(yùn)動(dòng)員從A市出發(fā)沿海岸一條筆直公路以每小時(shí)15 km的速度向東進(jìn)行長跑訓(xùn)練,長跑開始時(shí),在A市南偏東方向距A市75 km,且與海岸距離為45 km的海上B處有一艘劃艇與運(yùn)動(dòng)員同時(shí)出發(fā),要追上這位運(yùn)動(dòng)員.
(1)劃艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運(yùn)動(dòng)員
(2)求劃艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與AB所成的角.
(3)若劃艇每小時(shí)最快行駛11.25 km,劃艇全速行駛,應(yīng)沿何種路線行駛才能盡快追上這名運(yùn)動(dòng)員,最快需多長時(shí)間
第4課時(shí)　余弦定理、正弦定理
應(yīng)用舉例——高度、角度問題
必備知識(shí)·落實(shí)
1.視線
2.水平視線　水平視線上方　水平視線下方
3.順時(shí)針　0°~360°({θ|0°≤θ<360°})
4.方向角和方位角不是相同的角.方向角是指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角,而方位角是從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角.
知能素養(yǎng)·進(jìn)階
【基礎(chǔ)鞏固組】
1.C　如圖可知,山頂?shù)难鼋菫棣?α.
2.B　因?yàn)锳B=1 000×=(km),C=75°-30°=45°,
所以BC=·sin 30°=(km).
所以航線離山頂?shù)木嚯xh=BC·sin 75°=×sin 75°=×sin(45°+30°)≈11.4(km).
所以山頂?shù)母叨燃s為18-11.4=6.6(km).
3.C　在△ABC中,由正弦定理得:
BC===50(-)m,
在△BCD中,由正弦定理得:
sin∠BDC=
==-1,
因?yàn)棣?∠BDC-90°,
所以cosθ=cos(∠BDC-90°)=sin∠BDC=-1.
4.D　因?yàn)锳D∥BC,
所以∠ACB=∠DAC=45°,
所以AC=AB=200 m,
又∠MCA=180°-60°-45°=75°,∠MAC=15°+45°=60°,
所以∠AMC=45°,
在△AMC中,=,
所以MC==200 m,
所以MN=MCsin∠MCN=200sin60°=300 m.
5.AC　甲樓的高為20tan 60°=20×=20(米);乙樓的高為20-20tan 30°=20-20×=(米).
6.AB　畫出示意圖如圖,
客船半小時(shí)航行的路程為32×=16(n mile),所以AB=16 n mile.
又BS=8 n mile,∠BAS=30°,
所以=,
所以sin ∠ASB=,所以∠ASB=45°或∠ASB=135°.
當(dāng)船在B處時(shí),∠ASB=45°,∠B'BS=75°;
當(dāng)船在B'處時(shí),∠ASB'=135°,∠AB'S=15°.
綜上,燈塔S在B處的北偏東75°或南偏東15°.
7.【解析】由題意,在△ABC中,∠BAC=30°,∠ABC=180°-75°=105°,故∠ACB=45°.
又AB=600 m,故由正弦定理得=,
解得BC=300 m.
在Rt△BCD中,CD=BC·tan 30°=300×=100 m.
答案:100
8.【解析】如圖所示,設(shè)在C處甲船追上乙船,乙船到C處用的時(shí)間為t,乙船的速度為v,則BC=tv,AC=tv,又B=120°,則由正弦定理=,得=,
所以sin ∠CAB=,所以∠CAB=30°,
所以甲船應(yīng)沿北偏東30°方向行駛.
又∠ACB=180°-120°-30°=30°,
所以BC=AB=a n mile,
所以AC=
==a(n mile).
答案:北偏東30°　a
9.【解析】由α=60°,β=45°易得∠BAD=60°,∠CAD=45°,
設(shè)AD=x米,則CD=AD·tan∠CAD=AD·tan45°=x,
BD=AD·tan∠BAD=AD·tan60°=x,
所以BC=BD-CD=x-x=32,
所以x==16(+1).
即山高為16(+1)米.
10.【解析】(1)在△ABD中,∠ADB=30°,AD=8 km,AB=5 km,設(shè)DB=x km,
則由余弦定理得52=82+x2-2×8×x×cos30°,
即x2-8x+39=0,
解得x=4±3,
而4+3>8,舍去,所以x=4-3,
所以這條公路的長為(4-3)km.
(2)在△ADB中,=,
所以sin∠DAB==,
所以cos∠DAB=,
在△ACD中,∠ADC=∠ADB+∠BDC=30°+75°=105°,
所以cos∠ADC=cos105°=cos(60°+45°)
=cos60°cos45°-sin60°sin45°=,
sin∠ADC=sin105°=sin(60°+45°)=,
所以sin∠ACD=sin[180°-(∠DAC+∠ADC)]
=sin(∠DAC+∠ADC)
=sin∠DAC·cos∠ADC+cos∠DAC·sin∠ADC
=×+×=.
【素養(yǎng)提升組】
1.D　如圖,作CD⊥AB于點(diǎn)D,
∠A=18°,∠ACB=78°-18°=60°,
因?yàn)?08 s=0.03 h,所以AB=1 000×0.03=30(km).
在△ABC中,由正弦定理可得=,
可得BC==20sin18°,
因?yàn)镃D⊥AD,所以C到AB邊的距離為CD=BCsin∠CBD=BCsin78°=20sin18°sin78°,
所以山頂?shù)暮０胃叨葹?15-20sin18°sin78°)km.
2.A　在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°
=1 600+400-2×40×20×(-)=2 800,
所以BC=20,由正弦定理得sin∠ACB=·sin∠BAC=×=.
3.【解析】在△BCD中,∠CBD=180°-15°-30°=135°,
由正弦定理得=,
所以BC==15.
在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=15tan 60°=15(米).
所以塔高AB=15米.
答案:15
4.【解析】設(shè)AB=k,AC=m,BC=n,可得k2+m2=n2,
又△ABE≌△HBC,
可得AE=CH==,
在△ABE中,tan∠BAE==,
又sin2∠BAE+cos2∠BAE=1,
解得sin∠BAE=,cos∠BAE=,
由cos∠BAE=
=
===,
化為8k2-2km-m2=0,解得m=2k,
又k2+m2=n2,可得n=k,
在△ABE中,=,即=,
可得sin∠BEA=.
答案:
5.【解析】設(shè)建筑物的高度為h,
由題圖知,PA=2h,PB=h,PC=h,
所以在△PBA和△PBC中,分別由余弦定理,
得cos∠PBA=,①
cos∠PBC=.②
因?yàn)椤螾BA+∠PBC=180°,
所以cos∠PBA+cos∠PBC=0.③
由①②③,解得h=30或h=-30(舍去),
即建筑物的高度為30m.
6.【解析】(1)設(shè)劃艇以v km/h的速度從B處出發(fā),沿BC方向(如圖),t h后與運(yùn)動(dòng)員在C處相遇,過B作AC的垂線BD,則BD=45,AD=60,
在△ABC中,AB=75,AC=15t,BC=vt,
則sin∠BAC==,cos∠BAC=.
由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AB·ACcos∠BAC,
得v2t2=(15t)2+752-2×75×15t×.
整理得:v2=-+225
=5 625(-)2+81.
當(dāng)=,即t=時(shí),v2取得最小值81,即vmin=9 km/h,
所以劃艇至少以9 km/h的速度行駛才能追上這位運(yùn)動(dòng)員.
(2)當(dāng)v=9 km/h時(shí),
在△ABC中,AB=75,AC=15×=,BC=9×=,
由余弦定理得cos∠ABC=
==0,
所以∠ABC=90°,所以劃艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與AB所成的角為90°.
(3)劃艇每小時(shí)最快行駛11.25 km,全速行駛,假設(shè)劃艇沿著垂直于海岸的方向,即BD方向行駛,而BD=45,此時(shí)到海岸距離最短,需要的時(shí)間最少,所以需要=4(h),而4 h時(shí)運(yùn)動(dòng)員向東跑了15×4=60(km),而AD=60,
即4 h時(shí),劃艇和運(yùn)動(dòng)員相遇在點(diǎn)D.
所以劃艇應(yīng)垂直于海岸向北的方向行駛才能盡快追上這名運(yùn)動(dòng)員,最快需要4 h.

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