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7.1　復數的概念
7.1.1　數系的擴充和復數的概念
1.復數的定義
(1)形如a+bi(a,b∈R)的數叫做復數,其中i叫做　　　　　,規定i·i=i2=　　　　.
(2)全體復數所構成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做　　　　.
(3)z=a+bi(a,b∈R)稱為復數的代數形式,其中的a與b分別叫做復數z的　　　　　　　　　　　　.
2.復數的分類
已知復數z=a+bi(a,b∈R),
z為實數 　　　　　　　.
z為虛數 　　　　　　　.
z為純虛數 　　　　　　　　.
z為非純虛數 　　　　　　　.
3.你能用圖畫出復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系嗎
4.復數相等的充要條件
在復數集C={a+bi|a,b∈R}中任取兩個數a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),規定:a+bi與c+di相等當且僅當　　　　　　　　.
一、單選題
1.(教材改編題)(1+)i的實部與虛部分別是 (　　)
A.1, B.1+,0
C.0,1+ D.0,(1+)i
2.以3i-的虛部為實部,以3i2+i的實部為虛部的復數是 (　　)
A.3-3i B.3+i
C.-+i D.+i
3.(教材改編題)若復數z=(x2-1)+(x-1)i為純虛數,則實數x的值為 (　　)
A.1　 　B.0　 　C.-1　　 D.-1或1
4.若x,y∈R,且(3x+2y)+(x-y)i=i(i為虛數單位),則的值是 (　　)
A.-5 B.5 C.- D.
二、多選題
5.下列結論錯誤的是 (　　)
A.(-i)2=-1
B.-i2=-1
C.2i的實部是0
D.若z∈C,則z2>0
6.設全集U=C,實數集為R,純虛數集為M,那么 (　　)
A.M∪R=U B.(UM)∪R=U
C.M∩R= D.(UM)∩R=R
三、填空題
7.若復數2-bi(b∈R)的實部與虛部互為相反數,則b的值為　　　　.
8.若復數a2+am+2+(2a+m)i=0(m∈R),則實數a=　　　　.
四、解答題
9.(教材改編題)已知復數z=m(m-1)+(m2+2m-3)i,當m取何實數值時:
(1)z是純虛數
(2)z=2+5i
10.已知集合P={5,(m2-2m)+(m2+m-2)i},Q={4i,5},其中m∈R,i為虛數單位,若P=Q,求實數m的值.
一、選擇題
1.若a∈R,i為虛數單位,則“a=1”是“復數(a-1)(a+2)+(a+3)i為純虛數”的 (　　)
A.充要條件
B.必要不充分條件
C.充分不必要條件
D.既不充分又不必要條件
2.下列命題正確的是 (　　)
A.若x+yi=0,則x=y=0
B.若a+bi=3+8i,則a=3,b=8
C.若x為實數,且(x2-4)+(x2+2x)i是純虛數,則x=±2
D.若x,m∈R且3x+mi<0,則有x<0
二、填空題
3.若a+bi=i2,其中a,b∈R,i是虛數單位,則a+b=　　　　.
4.復數z=cos+sini,且θ∈,若z是實數,則θ的值為　　　　;若z為純虛數,則θ的值為　　　　　.
三、解答題
5.(教材改編題)實數x分別取什么值時,
復數z=+(x2-2x-15)i是:
①實數 ②虛數 ③純虛數
6.已知復數x2-1+(y+1)i大于復數2x+3+(y2-1)i,試求實數x,y的取值范圍.
第七章　復數
7.1　復數的概念
7.1.1　數系的擴充和復數的概念
必備知識·落實
1.(1)虛數單位　-1　(2)復數集　(3)實部與虛部
2.b=0　b≠0　a=0且b≠0　a≠0且b≠0
3.能.復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系如圖所示:
4.a=c且b=d
知能素養·進階
【基礎鞏固組】
1.C　(1+)i可看作0+(1+)i=a+bi,所以實部a=0,虛部b=1+.
2.A　3i-的虛部為3,3i2+i的實部為-3,所以所求復數為3-3i.
3.C　因為z=(x2-1)+(x-1)i為純虛數,所以x2-1=0且x-1≠0,故有x=-1.
4.A　由題意知
所以所以==-5.
5.BD　(-i)2=i2=-1,A正確,不符合題意;-i2=-(-1)=1,B錯誤,符合題意;2i=0+2i,其實部是0,C正確,不符合題意;若z=i,則z2=-1<0,D錯誤,符合題意.
6.CD　復數包括實數和虛數,故A選項錯誤,B選項錯誤;M∩R= ,故C選項正確;UM包括a+bi(a≠0,b≠0)和實數({z|z=a+bi,a,b∈R,b=0}),故UM∩R=R,D選項正確.
7.【解析】復數2-bi的實部為2,虛部為-b,由題意知2=-(-b),即b=2.
答案:2
8.【解析】因為a,m∈R,由題意,
可得
解得或
所以a=±.
答案:±
9.【解題指南】(1)利用m(m-1)=0,m2+2m-3≠0,即可求解.
(2)利用復數相等的條件實部與虛部分別相等,則m(m-1)=2,m2+2m-3=5即可求解.
【解析】(1)若復數是純虛數,則
解得所以m=0.
(2)利用復數相等的條件實部與虛部分別相等可得
解得即m=2.
10.【解析】因為P=Q,所以(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,
所以解得m=2.
【素養提升組】
1.C　當a=1時,復數(a-1)(a+2)+(a+3)i=4i為純虛數,當復數(a-1)(a+2)+(a+3)i為純虛數時,a=1或a=-2.
2.D　A,B都是錯誤的,原因是沒有x,y∈R,a,b∈R的限制條件,因此相應結論都是錯誤的;
C也是錯誤的,事實上,當(x2-4)+(x2+2x)i是純虛數時,應有所以x=2;
D正確,因為由3x+mi<0
可得即x<0.
3.【解析】由a+bi=i2 a+bi=-1 a=-1,b=0 a+b=-1.
答案:-1
4.【解析】z=cos+sini=-sin θ+icosθ.
當z是實數時, cosθ=0,因為θ∈,
所以θ=±;當z為純虛數時
又θ∈,所以θ=0.
答案:±　0
5.【解析】①當x滿足
即x=5時,是實數.
②當x滿足即x≠-3且x≠5時,是虛數.
③當x滿足
即x=-2或x=3時,是純虛數.
6.【解析】因為x2-1+(y+1)i>2x+3+(y2-1)i,
所以且x2-1>2x+3,
解得y=-1且x<1-或x>1+,
即實數x,y的取值范圍是x<1-或x>1+,
y=-1.7.1.2　復數的幾何意義
1.虛軸上的點都表示純虛數嗎
2.復數的幾何意義
復數z=a+bi(a,b∈R)與復平面上的點Z　　　　　一一對應,
與向量一一對應.
3.復數與復平面上的向量都是一一對應的關系嗎
4.復數的模
　　　稱為復數z=a+bi的模或絕對值,記作|z|或|a+bi|.
即|z|=|a+bi|=　　　　　　　　,其中a,b∈R.
5.|z|的幾何意義是什么
6.共軛復數
復數z的共軛復數用表示,即如果z=a+bi,a,b∈R,那么=　　　　　.
一、單選題
1.(教材改編題)如圖,在復平面內,復數Z對應的點為P,則復數Z的虛部為 (　　)
A.-1 B.2i
C.2 D.-i
2.(教材改編題)在復平面內,復數z=2+i,則對應的點位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(教材改編題)在復平面內,O為原點,向量表示的復數為-1+2i,若點A關于直線y=-x的對稱點為B,則向量表示的復數為(　　)
A.-2-i B.-2+i
C.1+2i D.-1+2i
4.若z=(m+1)+(m-1)i(i是虛數單位)在復平面內對應的點位于第四象限,則實數m的取值范圍為 (　　)
A.(-∞,-1) B.(-∞,1)
C.(-1,1) D.(-1,+∞)
二、多選題
5.已知復數z=1+i(其中i為虛數單位),則以下說法正確的有 (　　)
A.復數z的虛部為i
B.|z|=
C.復數z的共軛復數=1-i
D.復數z在復平面內對應的點在第一象限
6.已知z=(m+3)+(m-1)i(m∈R)在復平面內對應的點為P,則P點可能在 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
三、填空題
7.復平面上,已知實軸上的點A(3,0)與虛軸上的點B(0,-4),則向量對應的復數的實部為　　　　　,虛部為　　　　　.
8.設z為純虛數,且|z-1|=|-1+i|,則復數z=　　　　　　.
四、解答題
9.在復平面內,點A,B,C對應的復數分別為1+4i,-3i,2,O為復平面的坐標原點.
(1)求向量+和對應的復數;
(2)求平行四邊形ABCD的頂點D對應的復數.
10.已知復數z1=+i,z2=-+i.
(1)求|z1|及|z2|并比較大小;
(2)設z∈C,滿足條件|z|=|z1|的復數z對應的點Z的軌跡是什么圖形
一、選擇題
1.設復數z1=a+2i,z2=-2+i且|z1|<|z2|,則實數a的取值范圍是 (　　)
A.{a|-11}
C.{a|a>1} D.{a|a>0}
2.(教材改編題)已知復數z滿足|z|2-2|z|-3=0,則復數z對應點的集合是 (　　)
A.1個圓 B.線段
C.2個點 D.2個圓
二、填空題
3.寫出一個同時滿足下列條件的復數z=　　　　.
①|z|=1;②復數z在復平面內對應的點在第四象限.
4.已知復數z=a+i(a∈R).若|z|<,則(a-1)+i在復平面內對應的點位于第　　　　象限.
三、解答題
5.實數m取什么值時,復平面內表示復數z=(m-3)+(m2-5m-14)i的點:
(1)位于第四象限
(2)位于第一、三象限
(3)位于直線y=x上
6.已知復數z1=cosθ+isin 2θ,z2=sin θ+icosθ,求當θ滿足什么條件時:
(1)z1,z2在復平面內對應的點關于實軸對稱;
(2)|z2|<.
7.1.2　復數的幾何意義
必備知識·落實
1.不是,除了原點外,虛軸上的點都表示純虛數.
2.(a,b)
3.不是,復數與以原點為起點的向量一一對應,并非復平面上的所有向量.
4.向量的模　
5.|z|表示復平面內的點Z到原點的距離.
6.a-bi
知能素養·進階
【基礎鞏固組】
1.C　由題意得,z=-1+2i,所以復數Z的虛部為2.
2.D　因為復數z=2+i,所以=2-i,則在復平面內對應的點的坐標為(2,-1),位于第四象限.
3.B　由題意得A(-1,2),則B(-2,1),所以向量表示的復數為-2+i.
4.C　z=(m+1)+(m-1)i對應的點為(m+1,m-1),因為對應的點位于第四象限,
得
解得-15.BCD　因為復數z=1+i,所以其虛部為1,即A錯誤;|z|==,故B正確;復數z的共軛復數=1-i,故C正確;復數z在復平面內對應的點為(1,1),顯然位于第一象限,故D正確.
6.ACD　由z=(m+3)+(m-1)i(m∈R),得P(m+3,m-1),
由得m>1;由得m∈ ;
由得m<-3;由
得-3由上可知,P點可能在第一、三、四象限.
7.【解析】復平面上,實軸上的點A(3,0)與虛軸上的點B(0,-4),則=(-3,-4),對應的復數z=-3-4i的實部為-3,虛部為-4.
答案:-3　-4
8.【解析】因為z為純虛數,所以設z=ai(a∈R,且a≠0),
則|z-1|=|ai-1|=.
又因為|-1+i|=,所以=,即a2=1,
所以a=±1,即z=±i.
答案:±i
9.【解析】(1)由已知得,,所對應的復數分別為1+4i,-3i,2,則=(1,4),=(0,-3),=(2,0),
因此+=(1,1),=-=(1,-4),
故+對應的復數為1+i,對應的復數為1-4i.
(2)方法一:由已知得點A,B,C的坐標分別為(1,4),(0,-3),(2,0),
則AC的中點為,
由平行四邊形的性質知BD的中點也是,
若設D(x0,y0),則有解得
故D(3,7).點D對應的復數為3+7i.
方法二:由已知得=(1,4),=(0,-3),=(2,0),
所以=(1,7),=(2,3),
由平行四邊形的性質得=+=(3,10),
所以=+=(3,7),于是D(3,7).點D對應的復數為3+7i.
10.【解析】(1)|z1|=|+i|==2,
|z2|==1,所以|z1|>|z2|.
(2)由|z|=|z1|=2知||=2(O為坐標原點),
故點Z到原點的距離為2.
所以點Z的軌跡是以原點為圓心,2為半徑的圓.
【素養提升組】
1.A　由題意得<,即<(a∈R),所以-12.A　由題意知(|z|-3)(|z|+1)=0,
即|z|=3或|z|=-1.因為|z|≥0,所以|z|=3,所以復數z對應點的集合是以坐標原點為圓心,3為半徑的圓.
3.【解析】不妨令z=-i,
則|z|==1,復數z在復平面內對應的點,位于第四象限,滿足①②,故z=-i符合題意.
答案:-i(答案不唯一)
4.【解析】因為z=a+i(a∈R),|z|<,所以<,
所以a2<1,所以-1所以(a-1)+i在復平面內對應的點(a-1,1)位于第二象限.
答案:二
5.【解析】(1)由題意得解得3(2)由題意得或
所以m>7或-2此時復數z對應的點位于第一、三象限.
(3)要使復數z對應的點在直線y=x上,只需m2-5m-14=m-3,所以m2-6m-11=0,所以m=3±2,
此時復數z對應的點位于直線y=x上.
6.【解析】(1)在復平面內,z1與z2對應的點關于實軸對稱,
則
(k∈Z),所以θ=2kπ+(k∈Z).
(2)由|z2|<,得<,
即3sin2θ+cos2θ<2,所以sin2θ<,
所以kπ-<θ7.2.1　復數的加、減運算及其幾何意義
1.復數加法、減法的運算法則
設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意兩個復數,則有:
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=　　　　　　;
z1-z2=(a+bi)-(c+di)=　　　　　　.
2.復數加法的運算律
設z1,z2,z3∈C,則有:
交換律:z1+z2=　　　　;
結合律:(z1+z2)+z3=　　　　　　　　.
3.復數加減法的幾何意義
如圖所示,設復數z1,z2對應向量分別為,,四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形,向量與復數　　　對應,向量與復數　　　對應.
4.|z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義是什么
一、單選題
1.已知z1=2+i,z2=1-2i,則復數z=z2-z1對應的點位于 (　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.(教材改編題)a,b為實數,設z1=2+bi,z2=a+i,當z1+z2=0時,復數a+bi為 (　　)
A.1+i　　B.2+i　　C.3　　D.-2-i
3.如圖,在復平面上,一個正方形的三個頂點A,B,O對應的復數分別是1+2i,-2+i,0,那么這個正方形的第四個頂點C對應的復數為(　　)
A.3+i B.3-i C.1-3i D.-1+3i
4.(教材改編題)已知復數z對應的向量如圖所示,則復數z+1所對應的向量正確的是 (　　)
二、多選題
5.對任意復數z=a+bi(a,b∈R),i為虛數單位,則下列結論中正確的是 (　　)
A.z-=2a B.|z|=||
C.z+=2a D.z+=2bi
6.|(3+2i)-(1+i)|可以表示 (　　)
A.點(3,2)與點(1,1)之間的距離
B.點(3,2)與點(-1,-1)之間的距離
C.點(2,1)到原點的距離
D.坐標為(-2,-1)的向量的模
三、填空題
7.(教材改編題)已知復數z滿足z+1-3i=5-2i,則z=　　　　.
8.在復平面內,O是原點,若向量,,表示的復數分別為-2+i,3+2i,1+5i,則向量表示的復數為　　　　　　　.
四、解答題
9.計算:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)].
10.如圖,平行四邊形OABC的頂點O,A,C對應復數分別為0,3+2i,-2+4i,試求:
(1)所表示的復數,所表示的復數;
(2)對角線所表示的復數;
(3)對角線所表示的復數及的長度.
一、選擇題
1.若復數z與其共軛復數滿足2z-=1+3i,則|z|= (　　)
A. B. C.2 D.
2.A,B分別是復數z1,z2在復平面內對應的點,O是原點,若|z1+z2|=|z1-z2|,則△AOB一定是 (　　)
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等邊三角形 D.等腰直角三角形
二、填空題
3.若復數z1=4-3i,z2=4+3i(其中i為虛數單位)所對應的向量分別為與,則△OZ1Z2的周長為　　　　.
4.設z∈C,且|z-i|=|z-1|,則復數z在復平面內的對應點Z(x,y)的軌跡方程是　　　　　　,|z+i|的最小值是　　　　.
三、解答題
5.在復平面內,A,B,C三點分別對應復數1,2+i,-1+2i.
(1)求,,對應的復數;
(2)判斷△ABC的形狀.
6.已知|z2|=|z1|=1,|z1-z2|=1,求|z1+z2|.
7.2　復數的四則運算
7.2.1　復數的加、減運算及其幾何意義
必備知識·落實
1.(a+c)+(b+d)i　(a-c)+(b-d)i
2.z2+z1　z1+(z2+z3)
3.z1+z2　z1-z2
4.|z-z0|(z,z0∈C)的幾何意義是復平面內點Z到點Z0的距離.
知能素養·進階
【基礎鞏固組】
1.C　z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i.故z對應的點為(-1,-3),它位于第三象限.
2.D　因為z1=2+bi,z2=a+i,
所以z1+z2=2+bi+(a+i)=0,
所以a=-2,b=-1,
即a+bi=-2-i.
3.D　因為=+ ,
所以對應的復數為1+2i-2+i=-1+3i,
所以點C對應的復數為-1+3i.
4.A　由題圖可知,z=-2+i,所以z+1=-1+i,則復數z+1所對應的向量的坐標為(-1,1).
5.BC　由已知=a-bi,因此z-=2bi,z+=2a,|z|==||.
6.ACD　由復數的幾何意義,知復數3+2i,1+i分別對應復平面內的點(3,2)與點(1,1),所以|(3+2i)-(1+i)|表示點(3,2)與點(1,1)之間的距離,故A說法正確;B說法錯誤;
|(3+2i)-(1+i)|=|2+i|,|2+i|可表示點(2,1)到原點的距離,故C說法正確;|(3+2i)-(1+i)|=|(1+i)-(3+2i)|=|-2-i|,|-2-i|可表示點(-2,-1)到原點的距離,即坐標為(-2,-1)的向量的模,故D說法正確.
7.【解析】方法一:設z=x+yi(x,y∈R),
因為z+1-3i=5-2i,
所以x+yi+(1-3i)=5-2i,
即x+1=5且y-3=-2,
解得x=4,y=1,所以z=4+i.
方法二:因為z+1-3i=5-2i,
所以z=(5-2i)-(1-3i)=4+i.
答案:4+i
8.【解析】因為復數與復平面內的點一一對應,且,,表示的復數分別為-2+i,3+2i,1+5i,所以=(-2,1),=(3,2),=(1,5),則=-=(5,1),而=-=(4,-4),故向量表示的復數為4-4i.
答案:4-4i
9.【解析】(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)
=(1+3-5)+(2-4-6)i=-1-8i.
(2)5i-[(3+4i)-(-1+3i)]=5i-(4+i)=-4+4i.
10.【解題指南】要求某個向量對應的復數,只要找出所求向量的始點和終點,或者用向量的相等直接給出所求的結論.
【解析】(1)=-,所以所表示的復數為-3-2i.
因為=,所以所表示的復數為-3-2i.
(2)=-.
所以所表示的復數為(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.
(3)對角線=+,它所對應的復數z=(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,||==.
【素養提升組】
1.A　設復數z=a+bi(a,b∈R),則=a-bi,因為2z-=1+3i,所以2(a+bi)-(a-bi)=1+3i,即a+3bi=1+3i,所以a=1,b=1,所以z=1+i,所以|z|=.
2.B　復數z1對應向量,復數z2對應向量.則|z1+z2|=|+|,|z1-z2|=|-|,
依題意有|+|=|-|.
所以以,為鄰邊所作的平行四邊形是矩形,所以△AOB是直角三角形.
3.【解題指南】由已知可得=(4,-3),=(4,3),=-=(0,6),再求出復數的模,從而可得△OZ1Z2的周長.
【解析】因為=(4,-3),=(4,3),=-=(0,6),所以||==5,||==5,||==6.
所以△OZ1Z2的周長為5+5+6=16.
答案:16
4.【解析】|z-i|=|z-1|表示復數z在復平面內的對應點Z到點A(0,1),B(1,0)的距離相等,是線段AB的垂直平分線,所以點Z的軌跡方程是x-y=0.
|z+i|的最小值為點(0,-1)到直線x-y=0的距離,
所以|z+i|min=.
答案:x-y=0　
5.【解析】(1)因為A,B,C三點對應的復數分別為1,2+i,-1+2i,
所以,,對應的復數分別為1,2+i,-1+2i(O為坐標原點),
所以=(1,0),=(2,1),=(-1,2).
所以=-=(1,1),=-=(-2,2),
=-=(-3,1).
即對應的復數為1+i,對應的復數為-2+2i,對應的復數為-3+i.
(2)因為||==,||==2,
||==,
所以||2+||2=10=||2.
又因為||≠||,
所以△ABC是以角A為直角的直角三角形.
6.【解析】設向量表示的復數為z1-z2,O為坐標原點,
所以||=1,則△AOB為等邊三角形,所以∠AOC=30°,則||=,所以||=,表示的復數為z1+z2,
所以|z1+z2|=.7.2.2　復數的乘、除運算
1.復數的乘法法則
設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則z1·z2=(a+bi)(c+di)=________________.
2.復數的乘法與多項式乘法有何異同
3.復數乘法的運算律
對于任意復數z1,z2,z3∈C,有
交換律 z1z2=____
結合律 (z1z2)z3=______
分配律 z1(z2+z3)=________
4.復數的除法法則
(a+bi)÷(c+di)==______________(a,b,c,d∈R,且c+di≠0).
5.你認為復數除法運算的實質是什么 它與我們以前學習的什么運算較類似
6.兩個共軛復數的和一定是實數嗎 兩個共軛復數的差一定是純虛數嗎
【基礎鞏固組】
一、單選題
1.(教材改編題)已知復數(a-i)(1+2i)的實部為0,其中i為虛數單位,則實數a的值是 (　　)
A. B.- C.-2 D.2
2.如圖所示,在復平面內,復數z1,z2對應的向量分別是,,則復數對應的點位于 (　　)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.若1+2i(i為虛數單位)是關于x的實系數方程x2+bx+c=0的一個復數根,則 (　　)
A.b=2,c=-3 B.b=2,c=5
C.b=-2,c=-3 D.b=-2,c=5
4.已知復數z滿足·z+2i=3+ai,a∈R,則實數a的值不可能是 (　　)
A.1 B.-4 C.0 D.5
二、多選題
5.下面是關于復數z=(i為虛數單位)的說法,其中正確的為 (　　)
A.|z|=2 　　 B.z2=2i
C.z的共軛復數為1+i 　　 D.z的虛部為-1
6.設i為虛數單位,復數z=(a+i)(1+2i),則下列命題正確的是 (　　)
A.若z為純虛數,則實數a的值為2
B.若z在復平面內對應的點在第三象限,則實數a的取值范圍是
C.實數a=-是z=(為z的共軛復數)的充要條件
D.若z+|z|=x+5i(x∈R),則實數a的值為2
三、填空題
7.(教材改編題)若復數z滿足(1+i)z=4+2i,則z的虛部為________.
8.計算···…·=________.
四、解答題
9.計算:
(1)+;(2).
10.已知z∈C,為z的共軛復數,若z·-3=1+3i,求z.
【素養提升組】
一、選擇題
1.(教材改編題)方程x2+6x+13=0的一個根是 (　　)
A.-3-2i B.3+2i
C.-2+3i D.2+3i
2.已知復數z=,是z的共軛復數,則z·等于 (　　)
A. B. C.1 D.2
二、填空題
3.在復平面內,復數z=+(1-i)2對應的點位于第________象限;||=________.
4.若=1-bi,其中a,b都是實數,i是虛數單位,則|a+bi|=________.
三、解答題
5.已知復數z=.
(1)求z的實部與虛部;
(2)若z2+m+n=1-i(m,n∈R,是z的共軛復數),求m和n的值.
6.已知m∈R,一元二次方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的一個根z是純虛數,求|z+m|.
7.2.2　復數的乘、除運算
必備知識·落實
1.(ac-bd)+(ad+bc)i
2.復數的乘法與多項式乘法是類似的,有一點不同即必須在所得結果中把i2換成-1,再把實部、虛部分別合并.
3.z2z1　z1(z2z3)　z1z2+z1z3
4.+i
5.復數的除法是把分子、分母同乘分母的共軛復數c-di,化簡后即得結果,這個過程實際上就是把分母實數化,這與根式除法的分母“有理化”很類似.
6.若z=a+bi(a,b∈R),則=a-bi,則z+=2a∈R.因此,兩個共軛復數的和一定是實數;而z-=2bi.當b=0時,兩個共軛復數的差是實數,而當b≠0時,兩個共軛復數的差是純虛數.
知能素養·進階
【基礎鞏固組】
1.C　因為(a-i)(1+2i)=(a+2)+(2a-1)i且實部為0,所以a+2=0,解得a=-2.
2.B　由復數的幾何意義知,z1=-2-i,z2=i,
所以==-1+2i,對應的點在第二象限.
3.D　因為1+2i是關于x的實系數方程x2+bx+c=0的一個復數根,所以方程的另一個根為x=1-2i,由根與系數的關系,得-b=2,c=(1+2i)(1-2i),所以b=-2,c=5.
4.D　設z=x+yi(x,y∈R),則=x-yi,
所以x2+y2+2i(x-yi)=3+ai,
所以 y2+2y+-3=0,
所以Δ=4-4(-3)≥0,解得-4≤a≤4,
所以實數a的值不可能是5.
5.BD　因為z===-1-i,所以|z|=,A錯誤;z2=2i,B正確;
z的共軛復數為-1+i,C錯誤;
z的虛部為-1,D正確.
6.ACD　z=(a+i)(1+2i)=a-2+(1+2a)i.
所以選項A:z為純虛數,有可得a=2,故正確;選項B:z在復平面內對應的點在第三象限,
有解得a<-,故錯誤;選項C:a=-時,z==-;z=時,1+2a=0,即a=-,它們互為充要條件,故正確;選項D:z+|z|=x+5i(x∈R)時,有1+2a=5,即a=2,故正確.
7.【解析】因為(1+i)z=4+2i,
所以z====3-i.
答案:-1
8.【解析】因為=i,所以原式=i·i2·i3·…·i10=i1+2+3+…+10=i55=i3=-i.
答案:-i
9.【解析】(1)+=+
=i-i=0.
(2)=
====-1+i.
10.【解析】設z=a+bi(a,b∈R),則=a-bi,(a,b∈R),
由題意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,
即a2+b2-3b-3ai=1+3i,
則有解得或
所以z=-1或z=-1+3i.
【素養提升組】
1.A　因為Δ=36-4×13=-16,
所以x==-3±2i.
2.【思路探求】可以化簡成復數的代數形式,再利用復數的運算性質求解;也可以利用共軛復數的性質求解.
A　方法一:因為z======-+,
所以=--,所以z·=.
方法二:因為z=,
所以|z|====,
所以z·=.
3.【解析】由z=+(1-i)2=i(1-i)-2i=1-i,
所以對應的點的坐標為(1,-1),位于第四象限,=1+i,所以||=.
答案:四　
4.【解析】因為a,b∈R,且=1-bi,
則a=(1-bi)(1-i)=(1-b)-(1+b)i,
所以所以
所以|a+bi|=|2-i|==.
答案:
5.【解析】(1)z===2+i,
所以z的實部為2,虛部為1.
(2)把z=2+i代入z2+m+n=1-i,
得(2+i)2+m(2-i)+n=1-i,
即2m+n+3+(4-m)i=1-i,
所以
解得m=5,n=-12.
6.【解析】由題意可設復數z=bi,b∈R且b≠0,
因為z是一元二次方程x2-(2m-1)x+m2+1=0的復數根,
所以(bi)2-(2m-1)bi+m2+1=0,
即(-b2+1+m2)-(2m-1)bi=0,
所以
解得m=,b2=,b=±,
所以z=±i,z+m=±i,
所以|z+m|==.

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