資源簡介

10.1　隨機事件與概率
10.1.1　有限樣本空間與隨機事件
1.隨機試驗特點
(1)試驗可以在　　　　　　下重復進行;
(2)試驗的所有可能結果是明確可知的,并且　　　　個;
(3)每次試驗總是恰好出現這些可能結果中的一個,但事先　　　　　　出現哪一個結果.
2.如果一個隨機試驗有n個可能結果ω1,ω2,…,ωn,則稱樣本空間Ω=　　　　　　為有限樣本空間.
3.隨機試驗的結果能事先確定嗎
4.我們將樣本空間Ω的子集稱為隨機事件,簡稱事件,并把只包含　　　　　　的事件稱為基本事件.隨機事件一般用大寫字母A,B,C,…表示.在每次試驗中,當且僅當A中　　　　　　　出現時,稱為事件A發生.
一、單選題
1.袋中裝有標號分別為1,3,5,7的四個相同的小球,從中取出兩個,下列事件多于一個樣本點的是 (　　)
A.取出的兩球標號為3和7
B.取出的兩球標號的和為4
C.取出的兩球的標號都大于3
D.取出的兩球的標號的和為8
2.已知集合A={-9,-7,-5,-3,-1,0,2,4,6,8},從集合A中任取不相同的兩個數作為點P的坐標,則事件“點P落在x軸上”包含的樣本點共有 (　　)
A.7個 B.8個 C.9個 D.10個
3.(教材改編題)擲兩枚骰子,所得點數之和記為X,那么X=4表示的隨機試驗結果是 (　　)
A.一枚是3點,一枚是1點
B.一枚是3點,一枚是1點或兩枚都是2點
C.兩枚都是4點
D.兩枚都是2點
二、多選題
4.下列四種說法中正確的是 (　　)
A.“三個球全部放入兩個盒子,其中必有一個盒子有一個以上的球”是必然事件
B.“當x為某一實數時可使x2<0”是不可能事件
C.“一個三角形的大邊對的角小、小邊對的角大”是必然事件
D.“從100個燈泡(有10個是次品)中取出5個,5個都是次品”是隨機事件
5.從12本書(其中10本語文書,2本英語書)中任意抽取3本,則下列事件中的必然事件是(　　)
A.3本都是語文書
B.至多有2本是英語書
C.3本都是英語書
D.至少有一本是語文書
三、填空題
6.給出下面四個事件:
(1)某地2月3日將下雪;
(2)函數y=ax(a>0且a≠1)在定義域上是增函數;
(3)實數a,b都不為零,則a2+b2=0;
(4)a,b∈R,則ab=ba,
其中必然事件是　　　　;不可能事件是　　　　;隨機事件是　　　　　.
7.哥德巴赫猜想是“任何一個大于4的偶數都是兩個質數之和”,如16=3+13.現從不超過16的質數中隨機選取兩個不同的數(兩個數無序),則滿足條件的樣本點共有　　　　個.
四、解答題
8.同時轉動如圖所示的兩個轉盤,記轉盤①得到的數為x,轉盤②得到的數為y,結果為(x,y).
(1)寫出這個試驗的樣本空間;
(2)求這個試驗的樣本點的總數;
(3)“x+y=5”這一事件包含哪幾個樣本點 “x<3且y>1”呢
(4)“xy=4”這一事件包含哪幾個樣本點 “x=y”呢
9.從0,1,2這3個數字中,不放回地取兩次,每次取一個,構成有序數對(x,y),其中x為第1次取到的數字,y為第2次取到的數字.
(1)寫出樣本空間;
(2)寫出“第1次取出的數字是2”這一事件的集合表示.
一、選擇題
1.有一列北上的火車,已知停靠的車站由南至北分別為S1,S2,…,S10站.鐵路局需為該列車準備　　種北上的車票. (　　)
A.9 B.10 C.45 D.55
2.先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣,觀察落地后硬幣的正反面情況,則下列事件中包含3個樣本點的是 (　　)
A.至少一枚硬幣正面向上
B.只有一枚硬幣正面向上
C.兩枚硬幣都是正面向上
D.兩枚硬幣中一枚正面向上,另一枚反面向上
二、填空題
3.從1,2,3,4,5中隨機取三個不同的數,則事件“其和為奇數”包含的樣本點個數為　　　　　　.
4.將一個各個面上涂有顏色的正方體鋸成27個同樣大小的小正方體,從這些小正方體中任取1個,觀察取到的小正方體的情況,則事件A“從小正方體中任取1個,恰有兩面涂有顏色”含有　　　個樣本點.
三、解答題
5.袋子中有4個大小和質地相同的球,標號為1,2,3,4,從中隨機摸出一個球,記錄球的編號,先后摸兩次.
(1)若第一次摸出的球不放回,寫出試驗的樣本空間;
(2)若第一次摸出的球放回,寫出試驗的樣本空間.
6.從含有兩件正品a1,a2和一件次品b1的3件產品中每次任取1件,每次取出后不放回,連續取兩次.
(1)寫出這個試驗的樣本空間;
(2)設A為“取出的兩件產品中恰有一件次品”,寫出集合A;
(3)把“每次取出后不放回”這一條件換成“每次取出后放回”,其余條件不變,請繼續回答上述兩個問題.
第十章　概率
10.1　隨機事件與概率
10.1.1　有限樣本空間與隨機事件
必備知識·落實
1.(1)相同條件　(2)不止一　(3)不能確定
2.{ω1,ω2,…,ωn}
3.不能事先確定試驗的結果,但可確定有哪些可能結果.
4.一個樣本點　某個樣本點
知能素養·進階
【基礎鞏固組】
1.D　選項A,B,C都只含有一個樣本點,D中包含取出標號為1和7,3和5兩個樣本點,所以D不是一個樣本點.
2.C　“點P落在x軸上”包含的樣本點的特征是縱坐標為0,橫坐標不為0,因為A中有9個非零數,所以樣本點共有9個.
3.B　擲兩枚骰子,所得點數之和記為X,那么X=4表示的隨機試驗結果是一枚是3點,一枚是1點或兩枚都是2點.
4.ABD　A正確,因為無論怎么放,其中一個盒子的球的個數都不小于2;
B正確,因為無論x為何實數,x2<0均不可能發生;
C錯誤,三角形中大邊對大角,所以③是不可能事件;
D正確,因為“從100個燈泡(有10個是次品)中取出5個,5個都是次品”這件事有可能發生,也有可能不發生,是隨機事件.
5.BD　因為12本書中只有2本英語書,從中任取3本,必然至少有一本語文書,至多有2本是英語書.
6.【解析】(1)隨機事件,某地在2月3日可能下雪,也可能不下雪;
(2)隨機事件,函數y=ax,當a>1時在定義域上是增函數,當0(3)不可能事件;
(4)必然事件,若a,b∈R,則ab=ba恒成立.
答案:(4)　(3)　(1)(2)
7.【解析】用(x,y)表示從不超過16的質數2,3,5,7,11,13中隨機選取兩個不同的數,則樣本空間為
{(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),
(7,13),(11,13)}共含15個樣本點.
答案:15
8.【解析】(1)Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),
(4,3),(4,4)}.
(2)樣本點的總數為16.
(3)“x+y=5”包含以下4個樣本點:(1,4),(2,3),(3,2),(4,1);“x<3且y>1”包含以下6個樣本點:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).
(4)“xy=4”包含以下3個樣本點:(1,4),(2,2),(4,1);
“x=y”包含以下4個樣本點:(1,1),(2,2),(3,3),(4,4).
9.【解析】(1)用有序數對(x,y)表示事件,所以Ω={(0,1),(1,0),(0,2),(2,0),(1,2),(2,1)}.
(2)根據題意可知,0,1,2這3個數字中,不放回地取兩次,第一次取出2,則第二次取出的只能是0或1,所以“第1次取出的數字是2”這一事件的集合表示為{(2,0),(2,1)}.
【素養提升組】
C　鐵路局需要準備從S1站發車的車票共計9種,從S2站發車的車票共計
8種,…,從S9站發車的車票有1種,合計共9+8+…+2+1=45(種).
2.A　先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣各一次的基本事件有(正,正),(正,反),(反,正),(反,反)四個基本事件.
“至少一枚硬幣正面向上”包括“(正,正),(正,反),(反,正)”3個樣本點,故A正確;
“只有一枚硬幣正面向上”包括“(正,反),(反,正)”2個樣本點,故B錯誤;
“兩枚硬幣都是正面向上”包括“(正,正)”1個樣本點,故C錯誤;
“兩枚硬幣中一枚正面向上,另一枚反面向上”包括“(正,反),(反,正)”2個樣本點,故D錯誤.
3.【解析】從1,2,3,4,5中隨機取三個不同的數有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10個樣本點,其中(1,2,4),(1,3,5),(2,3,4),(2,4,5)三個數字之和為奇數,共有4個樣本點.
答案:4
4.【解析】每條棱的中間位置上有一個是兩個面涂有顏色的小正方體,共12個.
答案:12
5.【解析】用m表示第一次摸出的球的編號,用n表示第二次摸出的球的編號,則樣本點可用(m,n),m,n∈{1,2,3,4}表示.
(1)若第一次摸出的球不放回,則m≠n,此時的樣本空間可表示為Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},共有12個樣本點.
(2)若第一次摸出的球放回,則m,n可以相同.此時試驗的樣本空間可表示為Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4}},共有16個樣本點.
6.【解析】(1)樣本空間為Ω1={(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.
(2)A={(a1,b1),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.
(3)若改為取出后放回,則樣本空間為Ω2={(a1,a1),(a1,a2),(a1,b1),(a2,a1),(a2,a2),(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2),(b1,b1)},A={(a1,b1),
(a2,b1),(b1,a1),(b1,a2)}.10.1.2　事件的關系和運算
1.互斥事件
事件A與事件B　　　　　　.
2.對立事件
事件A和事件B在任何一次試驗中　　　　　　　　.事件A的對立事件記為.
3.互斥事件與對立事件有什么關系
4.并事件
事件A與事件B　　　　　　,也稱這個事件為事件A與事件B的和事件.
5.交事件
事件A與事件B　　　　　　,也稱這樣一個事件為事件A與事件B的積事件.
一、單選題
1.(教材改編題)奧林匹克會旗中央有5個互相套連的圓環,顏色自左至右,上方依次為藍、黑、紅,下方依次為黃、綠,象征著五大洲.在手工課上,老師將這5個環發給甲、乙、丙、丁、戊五位同學制作,每人分得1個,則事件“甲分得紅色”與“乙分得紅色” (　　)
A.是對立事件
B.互斥且對立
C.互斥但不對立
D.不是互斥事件
2.下列各組事件中不是互斥事件的是 (　　)
A.一個射手進行一次射擊,命中環數大于8與命中環數小于6
B.統計一個班的數學成績,平均分不低于90分與平均分不高于90分
C.播種100粒菜籽,發芽90粒與發芽80粒
D.檢驗某種產品,合格率高于70%與合格率低于70%
3.設H,E,F為三個事件,,,分別表示它們的對立事件,表示“H,E,F三個事件恰有一個發生”的表達式為 (　　)
A.H+E+F
B.H+E+F
C.HE+HF+EF
D.++
4.已知盒中有5個紅球,3個白球,從盒中任取2個球,下列說法中正確的是 (　　)
A.全是白球與全是紅球是對立事件
B.沒有白球與至少有一個白球是對立事件
C.只有一個白球與只有一個紅球是互斥關系
D.全是紅球與有一個紅球是包含關系
二、多選題
5.從剛生產的一批產品(既有正品也有次品)中取出3件產品,設A={3件產品全不是次品},B={3件產品全是次品},C={3件產品不全是次品},則下列結論正確的
是(　　)
A.A與B互斥 B.A與C互斥
C.A與B對立 D.B與C對立
6.一個人連續射擊2次,則下列各事件關系中,說法正確的是 (　　)
A.事件“兩次均擊中”與事件“至少一次擊中”互為對立事件
B.事件“恰有一次擊中”與事件“兩次均擊中”互為互斥事件
C.事件“第一次擊中”與事件“第二次擊中”互為互斥事件
D.事件“兩次均未擊中”與事件“至少一次擊中”互為對立事件
三、填空題
7.中國乒乓球隊中的甲、乙兩名隊員參加奧運會乒乓球女子單打比賽,“甲奪得冠軍”為事件A,“乙奪得冠軍”為事件B,那么“中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍”用事件A與B可表示為　　　　　　.
8.依次投擲兩枚硬幣的試驗中,設事件A={(正面,反面)},事件B={(正面,正面),(反面,正面)},則事件A與事件B的關系是　　　　　　.
四、解答題
9.設某人向一個目標射擊3次,用事件Ai表示隨機事件“第i次射擊擊中目標”(i=1,2,3),指出下列事件的含義:
(1)A1∩A2;
(2)A1∩A2∩;
(3)A1∪A2.
10.從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花,點數從1~10各10張)中,任取一張.
(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”;
(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”;
(3)“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”.
判斷上面給出的每對事件是否為互斥事件,是否為對立事件,并說明理由.
一、選擇題
1.某產品分為甲、乙、丙三級,其中乙、丙兩級均屬次品,從等級為甲、乙、丙的三件產品中任取一件,抽到甲、乙、丙三級產品分別為事件A,B,C,則抽取一件抽得次品為 (　　)
A.A B.B∩C C. D.
2.同時拋擲兩枚均勻的骰子,事件“都不是5點且不是6點”的對立事件為 (　　)
A.一個是5點,另一個是6點
B.一個是5點,另一個是4點
C.至少有一個是5點或6點
D.至多有一個是5點或6點
二、填空題
3.擲一枚質地均勻的骰子,記A為事件“落地時向上的數是奇數”,B為事件“落地時向上的數是偶數”,C為事件“落地時向上的數是3的倍數”.其中是互斥事件的是　　　,是對立事件的是　　　.
4.拋擲紅藍兩枚骰子,記“紅色骰子出現3點”為事件A,“藍色骰子出現4點”為事件B,事件A與事件AB　　　　互斥事件.(填“是”或“不是”)
三、解答題
5.某班要進行一次辯論比賽,現有4名男生和2名女生隨機分成甲、乙兩個辯論小組,每組3人.考慮甲組的人員組成情況,記事件Ak=“甲組有k名女生”.
(1)事件A1含有多少個樣本點
(2)若事件B=“甲組至少有一名女生”,則事件B與事件Ak有怎樣的運算關系
(3)判斷事件A2與事件∪A0是什么關系
6.盒子里有大小和質地均相同的6個紅球和4個白球,現從中任取3個球,設事件A={3個球中有1個紅球,2個白球},事件B={3個球中有2個紅球,1個白球},事件C={3個球中至少有1個紅球},事件D={3個球中既有紅球又有白球}.
(1)事件D與A,B是什么運算關系
(2)事件C與A的交事件是什么事件
10.1.2　事件的關系和運算
必備知識·落實
1.不能同時發生
2.有且僅有一個發生
3.對立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是對立事件.
4.至少有一個發生
5.同時發生
知能素養·進階
【基礎鞏固組】
1.C　甲、乙不能同時得到紅色,因而這兩個事件是互斥事件;又甲、乙可能都得不到紅色,即“甲或乙分得紅色”的事件不是必然事件,所以這兩個事件不是對立事件.
2.B　對于A,一個射手進行一次射擊,命中環數大于8與命中環數小于6,不可能同時發生,故A中兩事件為互斥事件;對于B,設事件A1為平均分不低于90分,事件A2為平均分不高于90分,則A1∩A2為平均分等于90分,A1,A2可能同時發生,故它們不是互斥事件;對于C,播種菜籽100粒,發芽90粒與發芽80粒,不可能同時發生,故C中兩事件為互斥事件;對于D,檢驗某種產品,合格率高于70%與合格率低于70%,不可能同時發生,故D中兩事件為互斥事件.
3.B　選項A表示H,E,F三個事件至少有一個發生;
選項B表示三個事件恰有一個發生;
選項C表示三個事件恰有一個不發生;
選項D表示H,E,F三個事件至少有一個不發生.
4.B　從盒中任取2球,出現球的顏色情況是,全是紅球,有一個紅球且有一個白球,全是白球,至少有一個的對立面是沒有一個.故選B.
5.AD　A={3件產品全不是次品},指的是3件產品全是正品,B={3件產品全是次品},C={3件產品不全是次品},它包括1件次品2件正品,2件次品1件正品,3件全是正品3個事件,由此知:A與B是互斥事件,但不對立;A與C的交事件不是 ,不是互斥事件,更不是對立事件;B與C是互斥事件,也是對立事件.
6.BD　對于A,事件“至少一次擊中”包含“一次擊中”和“兩次均擊中”,所以不是對立事件,A錯誤;對于B,事件“恰有一次擊中”是“一次擊中、一次不中”,與事件“兩次均擊中”是互斥事件,B正確;對于C,事件“第一次擊中”包含“第一次擊中、第二次擊中”和“第一次擊中、第二次不中”,所以與事件“第二次擊中”不是互斥事件,C錯誤;對于D,事件“兩次均未擊中”的對立事件是“至少一次擊中”,D正確.
7.【解析】因為“甲奪得冠軍”為事件A,“乙奪得冠軍”為事件B.由于事件“中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍”即“甲奪得冠軍”或“乙奪得冠軍”,因此事件“中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍”為事件A∪B或(A+B).
答案:A∪B或(A+B)
8.【解析】A∩B= ,A∪B≠Ω,所以事件A與事件B是互斥事件,但不是對立事件.
答案:互斥但不對立
9.【解析】(1)A1∩A2表示第1次和第2次射擊都擊中目標.
(2)A1∩A2∩表示第1次和第2次射擊都擊中目標,而第3次沒有擊中目標.
(3)A1∪A2表示第1次擊中目標或第2次擊中目標.
10.【解析】(1)是互斥事件,不是對立事件.
理由是:從40張撲克牌中任意抽取1張,“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時發生的,所以是互斥事件.同時,不能保證其中必有一個發生,這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”,因此,二者不是對立事件.
(2)既是互斥事件,又是對立事件.
理由是:從40張撲克牌中,任意抽取1張,“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”,兩個事件不可能同時發生,但其中必有一個發生,所以它們既是互斥事件,又是對立事件.
(3)不是互斥事件,當然不可能是對立事件.
理由是:從40張撲克牌中任意抽取1張,“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”這兩個事件可能同時發生,如抽出的牌點數為10,因此,二者不是互斥事件,當然不可能是對立事件.
【素養提升組】
1.D　事件A為抽到一件正品,故A錯誤.
事件B∩C為同時抽到乙、丙,不滿足題意,故B錯誤.
事件為抽到甲或乙,故C錯誤.
事件為抽取甲級產品的反面,即抽到次品.
2.C　設兩枚骰子分別為甲、乙,則其點數的可能值包括以下四種可能:甲是5點且乙是6點,甲是5點且乙不是6點,甲不是5點且乙是6點,甲不是5點且乙不是6點,事件“都不是5點且不是6點”為第四種情況,故其對立事件是前三種情況.
【誤區警示】解答本題容易忽視根據兩個骰子是否為5點或6點對所有可能出現的結果進行分析,導致錯誤.
3.【解析】A,B既是互斥事件,也是對立事件.
答案:A,B　A,B
4.【解析】由題意得,事件A={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)},事件B={(1,4),(2,4),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4)}.
事件AB={(3,4)},所以A∩(AB)={(3,4)}≠ ,所以事件A與事件AB不是互斥事件.
答案:不是
5.【解析】(1)用1,2,3,4表示4名男生,用a,b表示2名女生,因為事件A1=“甲組有1名女生”,所以A1={(1,2,a),(1,2,b),(1,3,a),(1,3,b),(1,4,a),(1,4,b),(2,3,a),(2,3,b),(2,4,a),(2,4,b),(3,4,a),(3,4,b)},共含12個樣本點.
(2)事件B=“甲組至少有一名女生”,其含義是甲組有一名女生或甲組有兩名女生,所以B=A1∪A2.
(3)因為A2與A0∪A1是對立事件,所以=A0∪A1,所以∪A0=A0∪A1,所以事件A2與事件∪A0是對立事件.
6.【解析】設“從10個球中任取3個球,得到i個紅球”為事件Ai(i=0,1,2,3).
(1)由題意得,事件A={3個球中有1個紅球,2個白球}=A1,事件B={3個球中有2個紅球,1個白球}=A2,事件D={3個球中既有紅球又有白球}=A1∪A2,由此可得D=A∪B.
(2)事件C={3個球中至少有1個紅球}=A1∪A2∪A3,事件A={3個球中有1個紅球,2個白球}=A1,所以C∩A=A.10.1.3　古典概型
1.概率
對隨機事件發生　　　　　　的度量(數值),事件A的概率用　　　　表示.
2.古典概型的特征
(1)樣本空間的樣本點只有　　　　;
(2)每個樣本點發生的可能性　　　　.
3.若一次試驗的結果所包含的樣本點的個數是有限個,則該試驗是古典概型嗎
4.概率公式
若試驗E是古典概型,樣本空間Ω包含n個樣本點,事件A包含其中的k個樣本點,n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數,則事件A的概率:P(A)=　　　　=　　　　.
一、單選題
1.下列是古典概型的是 (　　)
A.任意拋擲兩枚骰子,所得點數之和作為樣本點
B.求任意的一個正整數平方的個位數字是1的概率,將取出的正整數作為樣本點
C.從甲地到乙地共n條路線,求某人正好選中最短路線的概率
D.拋擲一枚均勻硬幣首次出現正面為止
2.從集合{2,4,6,8}中任取兩個不同元素,則這兩個元素相差2的概率為 (　　)
A. B. C. D.
3.甲、乙去同一家藥店各購一種醫用外科口罩,已知這家藥店出售A,B,C三種醫用外科口罩,則甲、乙購買的是同一種醫用外科口罩的概率為 (　　)
A. B. C. D.
二、多選題
4.在一個古典概型中,若兩個不同的隨機事件A,B發生的概率相等,則稱A和B是“等概率事件”,如:隨機拋擲一個骰子一次,事件“點數為奇數”和“點數為偶數”是“等概率事件”.關于“等概率事件”,以下判斷正確的是 (　　)
A.在同一個古典概型中,所有的基本事件之間都是“等概率事件”
B.若一個古典概型的事件總數大于2,則在這個古典概型中除基本事件外沒有其他“等概率事件”
C.因為所有必然事件的概率都是1,所以任意兩個必然事件都是“等概率事件”
D.同時拋擲三枚硬幣一次,則事件“僅有一個正面”和“僅有兩個正面”是“等概率事件”
5.從2名男同學和3名女同學中任選2人參加社區服務,記事件“選中的2人都是女同學”的概率為P1;事件“選中的2人都是男同學”的概率為P2;事件“選中1名男同學1名女同學”的概率為P3.則下列選項正確的是 (　　)
A.P1+P2=P3 B.2P1=P3
C.P1>2P2 D.=P2P3
三、填空題
6.某校有A,B兩個學生食堂,若a,b,c三名學生各自隨機選擇其中的一個食堂用餐,則事件A=“三人在同一個食堂用餐”包含的樣本點個數為　　　　.
四、解答題
7.袋子中放有大小和形狀相同的小球若干個,其中標號為0的小球1個,標號為1的小球1個,標號為2的小球n個.已知從袋子中隨機抽取1個小球,取到標號是2的小球的概率是.
(1)求n的值;
(2)從袋子中不放回地隨機抽取2個小球,記第一次取出的小球標號為a,第二次取出的小球標號為b.若事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率.
8.某涉外公司經理計劃從3個亞洲國家分公司A1,A2,A3和3個歐洲國家分公司B1,B2,B3中選擇2個公司去調研.
(1)若從這6個分公司中任選2個,求這2個公司都在亞洲國家的概率;
(2)若從亞洲國家分公司和歐洲國家分公司中各任選1個,求這2個公司包括A1但不包括B1的概率.
9.新高考數學試題中有多項選擇題,要求為:“在每小題給出的四個選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.”已知某多項選擇題的正確答案是BCD.
(1)若甲同學不會做該題,但他想猜對得5分,就隨機填寫了一個答案,求他得5分的概率.
(2)若乙同學也不會做該題,他只想得2分,就按單項選擇題處理,隨機填寫了一個答案,求他得2分的概率.
一、選擇題
1.安排甲,乙,丙三位志愿者到編號為1,2,3的三個教室打掃衛生,每個教室恰好安排一位志愿者,則甲恰好不安排到3號教室的概率為 (　　)
A. B. C. D.
2.2013年華人數學家張益唐證明了孿生素數猜想的一個弱化形式.孿生素數猜想是希爾伯特在1900年提出的23個問題之一,可以這樣描述:存在無窮多個素數p,使得p+2是素數.素數對(p,p+2)稱為孿生素數.從15以內的素數中任取2個構成素數對,其中是孿生素數的概率為 (　　)
A. B.
C. D.
二、填空題
3.一份調查問卷,共有5道題,其中有兩種題型,一種是選擇題,共3道,另一種是填空題,共2道.若某人從中任選2道題,每一次選1題(不放回),則所選的題不是同一種題型的概率為　　　　,若從中任選2道題,每一次選1題(有放回),則所選的題不是同一種題型的概率為　　　　.
4.設集合P={x,1},Q={y,1,2},P Q,x,y∈{1,2,3,…,9}.在直角坐標平面內,從所有滿足這些條件的有序實數對(x,y)所表示的點中任取一個,其落在圓x2+y2=r2內的概率恰為,則r2的一個可能整數值是　　　　(只需要寫出一個即可).
三、解答題
5.一個盒子里裝有完全相同的十個小球,分別標上1,2,3,…,10這10個數字,今隨機地抽取兩個小球,
如果:(1)小球是不放回的;
(2)小球是有放回的.
求兩個小球上的數字為相鄰整數的概率.
6.田忌和齊王賽馬是歷史上有名的故事,設齊王的三匹馬分別為A,B,C,田忌的三匹馬分別為a,b,c;三匹馬各比賽一次,勝兩場者獲勝.若這六匹馬比賽優、劣程度可以用以下不等式表示:A>a>B>b>C>c.
(1)正常情況下,求田忌獲勝的概率;
(2)為了得到更大的獲勝機會,田忌預先派出探子到齊王處打探實情,得知齊王第一場必出上等馬A,于是田忌采用了最恰當的應對策略,求這時田忌獲勝的概率.
10.1.3　古典概型
必備知識·落實
1.可能性大小　P(A)
2.(1)有限個　(2)相等
3.不一定是,還要看每個樣本點發生的可能性是否相同,若相同才是,否則不是.
4.　
知能素養·進階
【基礎鞏固組】
1.C　A項中由于點數的和出現的可能性不相等,故A不是;B項中的樣本空間是無限的,故B不是;C項滿足古典概型的有限性和等可能性,故C是;D項中樣本空間不是有限個,各個樣本點的發生也不具有等可能性,故D不是.
2.B　從集合{2,4,6,8}中任取兩個不同元素的取法有(2,4),(2,6),(2,8),(4,6),(4,8),(6,8)共6種,其中滿足兩個元素相差2的取法有(2,4),(4,6),(6,8)共3種.故這兩個元素相差2的概率為.
3.A　甲、乙在A,B,C三種醫用外科口罩中各購一種的基本事件有(B,A),(B,B),(B,C),(A,A),(A,B),(A,C),(C,A),(C,B),(C,C)共9種,
其中甲,乙購買的是同一種醫用外科口罩的基本事件有(A,A),(B,B)(C,C)共3種,則其概率為P==.
【誤區警示】求解時沒有考慮順序(A,B),(B,A)是兩種不同的取法而致錯.
4.AD　對于A,由古典概型的定義知,所有基本事件的概率都相等,故所有基本事件之間都是“等概率事件”,故A正確;對于B,如在1,3,5,7,9五個數中,任取兩個數,所得和為8和10這兩個事件發生的概率相等,故B錯誤;對于C,由題可知“等概率事件”是針對同一個古典概型的,故C不正確;對于D,同時拋擲三枚硬幣一次共有8種不同的結果,其中“僅有一個正面”包含3種結果,其概率為,“僅有兩個正面”包含3種結果,其概率為,故這兩個事件是“等概率事件”,故D正確.
5.BC　將2名男同學分別記為x,y,3名女同學分別記為a,b,c,則從5名同學中任選2人參加社區服務的所有可能情況有(x,y),(x,a),(x,b),(x,c),(y,a),(y,b),(y,c),(a,b),(a,c),(b,c)共10種,則P1=,P2=,P3==,因此2P1=P3,P1>2P2,P1+P2≠P3,≠P2P3.
6.【解析】a,b,c三名學生選擇食堂的結果有:(A,A,A),(A,A,B),(A,B,A),(A,B,B),(B,A,A),(B,A,B),(B,B,A),(B,B,B)共8個,三人在同一食堂用餐的結果有:(A,A,A),(B,B,B),共2個.
答案:2
7.【解析】(1)由題意可知:=,解得n=2.
(2)不放回地隨機抽取2個小球的樣本空間Ω= {(0,1),(0,21),(0,22),(1,0),(1,21),(1,22),(21,0),(21,1),(21,22),(22,0),(22,1),(22,21)},共12個,事件A包含的樣本點為:(0,21),(0,22),(21,0),(22,0),共4個.
所以P(A)==.
答案:(1)2　(2)
8.【解析】(1)由題意知,從6個公司中任選2個,其一切可能的結果組成的樣本點有:
{(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3)},共15個.
所選2個公司都在亞洲國家的事件所包含的樣本點有:{(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)},共3個,
則所求事件的概率為P==.
(2)從亞洲國家分公司和歐洲國家分公司中各任選1個,其一切可能的結果組成的樣本點有:
{(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3)},共9個.包括A1但不包括B1的事件所包含的樣本點有:{(A1,B2),(A1,B3)},共2個,則所求事件的概率為P=.
9.【解析】(1)該事件的樣本空間Ω={(AB),(AC),(AD),(BC),(BD),(CD),(ABC),(ABD),(ACD),(BCD),
(ABCD)},共11個樣本點,每個樣本點的發生是等可能的,故可以用古典概型計算概率.用A表示“甲同學得5分”,則A={(BCD)},含有1個樣本點,所以P(A)=.
(2)該事件的樣本空間Ω={(A),(B),(C),(D)},共4個樣本點,每個樣本點的發生是等可能的,故可以用古典概型計算概率.
用B表示“乙同學得2分”,則B={(B),(C),(D)},含有3個樣本點,所以P(B)=.
【素養提升組】
1.A　甲,乙,丙三位志愿者到編號為1,2,3的三個教室,每個教室恰好安排一位志愿者,則有
(甲,1),(乙,2),(丙,3);(甲,1),(乙,3),(丙,2);
(甲,2),(乙,1),(丙,3);(甲,2),(乙,3),(丙,1);
(甲,3),(乙,1),(丙,2);(甲,3),(乙,2),(丙,1),共6種,其中甲恰好不安排到3號教室:
(甲,1),(乙,2),(丙,3);(甲,1),(乙,3),(丙,2);
(甲,2),(乙,1),(丙,3);(甲,2),(乙,3),(丙,1),共4種,所以甲恰好不安排到3號教室的概率為P==.
2.C　15以內的素數有2,3,5,7,11,13,共6個,任取2個構成素數對,則有:(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(5,7),(5,11),(5,13),(7,11),(7,13),(11,13),共15種取法,是孿生素數的有(3,5),(5,7),(11,13),其概率P==.
3.【解析】將3道選擇題依次編號為1,2,3;2道填空題依次編號為4,5.從5道題中任選2道題解答,每一次選1題(不放回),則所有樣本點為(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),
(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),共20種,而且這些樣本點發生的可能性是相等的.設事件A為“所選的題不是同一種題型”,則事件A包含的樣本點有(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共12種,所以P(A)==0.6.
從5道題中任選2道題解答,每一次選1題(有放回),則所有樣本點為(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),共25種,而且這些樣本點發生的可能性是相等的.設事件B為“所選的題不是同一種題型”,故所選題不是同一種題型的樣本點共12種,所以P(B)==0.48.
答案:0.6　0.48
4.【解析】滿足條件的點有(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8),(2,9),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),(7,7),(8,8),(9,9),共14個.欲使其落在x2+y2=r2內的概率為,則這14個點中有4個點在圓內,所以只需29答案:30(或31或32)
5.【解析】設事件A:兩個小球上的數字為相鄰整數.則事件A包括的基本事件有:(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,10),(10,9),(9,8),(8,7),(7,6),(6,5),
(5,4),(4,3),(3,2),(2,1)共18個.
(1)不放回取球時,總的基本事件數為90,故P(A)==.
(2)有放回取球時,總的基本事件數為100,故P(A)==.
6.【解析】(1)比賽配對的基本事件共有6個,它們是:(Aa,Bb,Cc),(Aa,Bc,Cb),(Ab,Ba,Cc),(Ab,Bc,Ca),(Ac,Ba,Cb),(Ac,Bb,Ca).經分析:僅有配對為(Ac,Ba,Cb)時,田忌獲勝,且獲勝的概率為.
(2)田忌的策略是首場安排劣馬c出賽,基本事件有2個:(Ac,Ba,Cb),(Ac,Bb,Ca),配對為(Ac,Ba,Cb)時,田忌獲勝,則獲勝的概率為.10.1.4　概率的基本性質
1.概率的基本性質
性質1:對任意的事件A,都有　　　　　　;
性質2:必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Ω)=　　　,P( )=　　　.
性質3:如果事件A與事件B互斥,那么P(A∪B)=　　　　　　.
推廣　如果事件A1,A2,…,Am兩兩互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am發生的概率等于這m個事件分別發生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=　　　　　　　　　　　.
性質4:如果事件A與事件B互為對立事件,那么P(B)=　　　　,P(A)=1-P(B).
性質5:如果A B,那么　　　　　　　.
性質6:設A,B是一個隨機試驗中的兩個事件,我們有P(A∪B)=　　　　　　　　　.
2.若P(A)=1-P(B),事件A與B是對立事件嗎
一、單選題
1.小明需要從甲城市編號為1~14的14個工廠或乙城市編號為15~32的18個工廠中選擇一個去實習,設“小明在甲城市實習”為事件A,“小明在乙城市且編號為3的倍數的工廠實習”為事件B,則P(A+B)= (　　)
A. B. C. D.
2.某學校教務處決定對數學組的老師進行“評教”,根據數學成績從某班學生中任意找出一人,如果該同學的數學成績低于90分的概率為0.2,該同學的成績在[90,120]之間的概率為0.5,那么該同學的數學成績超過120分的概率為 (　　)
A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8
3.從1,2,3,…,30這30個數中任意摸出一個數,則事件“摸出的數是偶數或能被5整除的數”的概率是 (　　)
A. B. C. D.
4.從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球,則所取的3個球中至少有1個白球的概率是 (　　)
A. B. C. D.
二、多選題
5.某飲料公司對一名員工進行測試以便確定其考評級別.公司準備了兩種不同的飲料共5杯,其顏色完全相同,并且其中3杯為A飲料,另外2杯為B飲料,公司要求此員工一一品嘗后,從5杯飲料中選出3杯A飲料.若該員工3杯都選對,則評為優秀;若3杯選對2杯,則評為良好;否則評為不合格.假設此人對A和B兩種飲料沒有鑒別能力.則下列結論正確的是 (　　)
A.此人被評為優秀的概率為
B.此人被評為良好的概率為
C.此人被評為不合格的概率為
D.此人被評為良好及以上的概率為
6.大學新生軍訓時,小明射擊一次,成績為10環的概率為0.1,9環的概率為0.3,脫靶的概率為0.01.則 (　　)
A.小明不脫靶的概率為0.99
B.小明成績為9環或10環的概率為0.4
C.小明成績為7環的概率為0.7
D.小明成績在9環以下但不脫靶的概率為0.59
三、填空題
7.
如圖所示,靶子由一個中心圓面Ⅰ和兩個同心圓環Ⅱ,Ⅲ構成,射手命中Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別為0.35,0.30,0.25,則不命中靶的概率是　　　　.
8.事件A,B互斥,它們都不發生的概率為,且P(A)=2P(B),則P(A)=　　　　.
四、解答題
9.經統計,在某儲蓄所一個營業窗口等候的人數及相應的概率如下:
排隊 人數 0 1 2 3 4 5人及 5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
求:(1)至多2人排隊等候的概率是多少
(2)至少3人排隊等候的概率是多少
10.黃種人群中各種血型的人所占的比例如表所示.
血型 A B AB O
該血型的 人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35
已知同種血型的人互相可以輸血,O型血可以輸給任一種血型的人,其他不同血型的人不能互相輸血.小明是B型血,若小明因病需要輸血,則:
(1)任找一個人,其血可以輸給小明的概率是多少
(2)任找一個人,其血不能輸給小明的概率是多少
一、選擇題
1.拋擲一個質地均勻的骰子的試驗,事件A表示“小于5的偶數點出現”,事件B表示“小于5的點數出現”,則一次試驗中,事件A+發生的概率為 (　　)
A. B. C. D.
2.從一箱產品中隨機地抽取一件,設事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,則事件“抽到的產品不是一等品”的概率為 (　　)
A.0.2　　B.0.35　　C.0.5　　D.0.4
二、填空題
3.已知P(A)=0.4,P(B)=0.2.
(1)如果B A,則P(A∪B)=　　　　,P(AB)=　　　　;
(2)如果A,B互斥,則P(A∪B)=　　　　,P(AB)=　　　　.
4.某商店試銷某種商品20天,獲得如下數據:
日銷售量(件) 0 1 2 3
頻數 1 5 9 5
試銷結束后(假設該商品的日銷售量的分布規律不變),設某天開始營業時有該商品3件,當天營業結束后檢查存貨,若發現存貨少于2件,則當天進貨補充至3件,否則不進貨,將頻率視為概率.則當天商店不進貨的概率為　　　　.
三、解答題
5.某高級中學共有學生2 000名,各年級男、女生人數如下表:
高一年級 高二年級 高三年級
女生 373 x y
男生 377 370 z
已知在全校學生中隨機抽取1名,抽到高二年級女生的概率為0.19.
(1)求x的值;
(2)現用分層隨機抽樣的方法在全校抽取48名學生,問:應在高三年級中抽取多少名
(3)已知y≥245,z≥245,求高三年級中女生比男生少的概率.
6.(教材改編題)某商場有獎銷售中,購滿100元商品得一張獎券,多購多得,每1 000張獎券為一個開獎單位.設特等獎1個,一等獎10個,二等獎50個.設1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A,B,C,求:
(1)P(A),P(B),P(C);
(2)抽取1張獎券中獎概率;
(3)抽取1張獎券不中特等獎或一等獎的概率.
10.1.4　概率的基本性質
必備知識·落實
1.P(A)≥0　1　0　P(A)+P(B)
P(A1)+P(A2)+…+P(Am)　
1-P(A)　P(A)≤P(B)　P(A)+P(B)-P(A∩B)
2.不一定.當在一次試驗中只有事件A與B時才是對立事件.
知能素養·進階
【基礎鞏固組】
1.B　P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.
2.B　該同學數學成績超過120分(事件A)與該同學數學成績不超過120分(事件B)是對立事件,而不超過120分的事件為低于90分(事件C)和[90,120](事件D)兩事件的和事件,即P(A)=1-P(B)=1-[P(C)+P(D)]= 1-(0.2+0.5)=0.3.
3.B　設事件A“摸出的數為偶數”,事件B“摸出的數能被5整除”,則P(A)=,P(B)==,P(A∩B)==,所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=+-=.
4.D　記3個紅球分別為a1,a2,a3,2個白球分別為b1,b2.
從3個紅球、2個白球中任取3個,則所包含的基本事件有(a1,a2,a3),(a1,a2,b1),(a1,a2,b2),(a1,a3,b1),(a1,a3,b2),(a2,a3,b1),(a2,a3,b2),(a1,b1,b2),(a2,b1,b2),(a3,b1,b2),共10個.由于每個基本事件發生的機會均等,因此這些基本事件的發生是等可能的.
用A表示“所取的3個球中至少有1個白球”,則其對立事件表示“所取的3個球中沒有白球”,則事件包含的基本事件有1個:(a1,a2,a3),所以P()=.
故P(A)=1-P()=1-=.
5.ACD　將5杯飲料編號為:1,2,3,4,5,編號1,2,3表示A飲料,編號4,5表示B飲料,則從5杯飲料中選出3杯的所有可能情況為:(123),(124),(125),(134),(135),(145),(234),(235),(245),(345),共有10種.令D表示此人被評為優秀的事件,E表示此人被評為良好的事件,F表示此人被評為不合格的事件,G表示此人被評為良好及以上的事件.則:事件D含(123),只有1個樣本點,事件E含(124),(125),(134),(135),(234),(235),共6個樣本點,故P(D)=,P(E)=,P(F)=1-P(D)-P(E)=,
P(G)=P(D)+P(E)=.
6.ABD　因為脫靶的概率為0.01,所以不脫靶的概率為1-0.01=0.99,所以A正確;因為成績為10環的概率為0.1,9環的概率為0.3,由互斥事件的概率加法公式得小明成績為9環或10環的概率為0.1+0.3=0.4,所以B正確;由已知條件無法得到小明成績為7環的概率,所以C錯誤;由互斥事件與對立事件的概率公式得小明成績在9環以下但不脫靶的概率為1-0.1-0.3-0.01=0.59,所以D正確.
7.【解析】“射手命中圓面Ⅰ”為事件A,“命中圓環Ⅱ”為事件B,“命中圓環Ⅲ”為事件C,“不中靶”為事件D,則A,B,C彼此互斥,故射手中靶的概率為P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.35+0.30+0.25=0.90.因為中靶和不中靶是對立事件,故不命中靶的概率為P(D)=1-P(A∪B∪C)=1-0.90=0.10.
答案:0.10
8.【解析】因為事件A,B互斥,它們都不發生的概率為,所以P(A)+P(B)=1-=.
又因為P(A)=2P(B),所以P(A)+P(A)=,
所以P(A)=.
答案:
9.【解析】記“無人排隊等候”為事件A,“1人排隊等候”為事件B,“2人排隊等候”為事件C,“3人排隊等候”為事件D,“4人排隊等候”為事件E,“5人及5人以上排隊等候”為事件F,則事件A,B,C,D,E,F互斥.
(1)記“至多2人排隊等候”為事件G,則G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)方法一:記“至少3人排隊等候”為事件H,則H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)
=0.3+0.1+0.04=0.44.
方法二:記“至少3人排隊等候”為事件H,則其對立事件為事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.
10.【解析】(1)對任一個人,其血型為A,B,AB,O的事件分別為A',B',C',D',它們彼此互斥.由已知得P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35.
由于B,O型血可以輸給B型血的人,
因此“可以輸血給小明的人”為事件B'+D',
根據互斥事件的概率加法公式,得:
P(B'+D')=P(B')+P(D')=0.29+0.35=0.64.
(2)由于A,AB型血不能輸給B型血的人,
因此“不能輸血給小明的人”為事件A'+C',
所以P(A'+C')=P(A')+P(C')=0.28+0.08=0.36.
【素養提升組】
1.C　拋擲一個骰子的試驗有6種可能結果,依題意,得P(A)==,P(B)==,
所以P()=1-P(B)=1-=,
因為表示“出現5點或6點”的事件,所以事件A與互斥,從而P(A+)=P(A)+P()=+=.
2.B　事件“抽到的產品不是一等品”的對立事件是“抽到一等品”,而事件A={抽到一等品},且P(A)=0.65,
于是得1-P(A)=1-0.65=0.35,
所以事件“抽到的產品不是一等品”的概率為0.35.
【名師點睛】求復雜的互斥事件概率的兩種方法:一是直接求解法,將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和;二是間接法,先求該事件的對立事件的概率,再由P(A)=1-P()求解.
注:當題目涉及“至多”“至少”型問題,多考慮間接法.
3.【解析】(1)因為B A,所以P(A∪B)=P(A)=0.4,P(AB)=P(B)=0.2.
(2)如果A,B互斥,則P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4+0.2=0.6.P(AB)=P( )=0.
答案:(1)0.4　0.2　(2)0.6　0
4.【解析】商店不進貨即日銷售量少于2件,顯然“日銷售量為1件”與“日銷售量為0件”不可能同時發生,彼此互斥,分別計算兩事件發生的頻率,將其視作概率,利用概率加法公式可解.
記“當天商品銷售量為0件”為事件A,“當天商品銷售量為1件”為事件B,“當天商店不進貨”為事件C,則P(C)=P(A)+P(B)=+=.
答案:
5.【解析】(1)因為=0.19,所以x=380.
(2)高三年級人數為y+z=2 000-(373+377+380+370)=500,現用分層隨機抽樣的方法在全校抽取48名學生,應在高三年級抽取的人數為×48=12(名).
(3)設高三年級女生比男生少為事件A,則為高三年級女生比男生多或高三年級男生和女生同樣多.高三年級女生數、男生數記為(y,z),由(2)知y+z=500,y,z∈N.滿足題意的所有樣本點是(245,255),(246,254),(247,253),…,(255,245),共11個,事件包含的樣本點是(250,250),(251,249),(252,248),(253,247),(254,246),(255,245),共6個.所以P()=.因此,P(A)=1-=.
6.【解析】(1)因為每1 000張獎券中設特等獎1個,一等獎10個,二等獎50個,所以P(A)=,P(B)==,P(C)==.
(2)設“抽取1張獎券中獎”為事件D,則P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=++=.
(3)設“抽取1張獎券不中特等獎或一等獎”為事件E,
則P(E)=1-P(A)-P(B)=1--=.10.2　事件的相互獨立性
1.相互獨立事件
對任意兩個事件A與B,如果P(AB)=　　　　　　　成立,則稱事件A與事件B相互獨立,簡稱為　　　　.
2.相互獨立事件的性質
如果事件A與B相互獨立,那么A與　　　,　　　　與B,　　　　與　　　　也相互獨立.
3.相互獨立事件與互斥事件有什么區別
4.相互獨立事件同時發生的概率公式的推廣
如果事件A1,A2,…,An相互獨立,那么這n個事件同時發生的概率等于每個事件發生的概率的積,即P(A1A2…An)=　　　　　　　　　　　　.
一、單選題
1.壇子中放有3個白球,2個黑球,從中進行不放回地取球兩次,每次取一球,用A1表示第一次取得白球,A2表示第二次取得白球,則A1和A2是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.互斥事件
B.相互獨立事件
C.對立事件
D.不相互獨立的事件
2.某校在秋季運動會中安排了籃球投籃比賽,現有20名同學參加籃球投籃比賽,已知每名同學投進的概率均為0.4;每名同學有2次投籃機會,且各同學投籃之間沒有影響;現規定:投進兩個得4分,投進一個得2分,一個未進得0分,則其中一名同學得2分的概率為 (　　)
A.0.5 B.0.48 C.0.4 D.0.32
3.設兩個獨立事件A和B都不發生的概率為,A發生B不發生的概率與B發生A不發生的概率相同,則事件A發生的概率P(A)是 (　　)
A. B. C. D.
4.若P(AB)=,P()=,P(B)=,則事件A與B的關系是 (　　)
A.事件A與B互斥
B.事件A與B對立
C.事件A與B相互獨立
D.事件A與B既互斥又獨立
二、多選題
5.正四面體骰子的四個面上分別標有1,2,3,4,隨機地拋擲一次,記錄著地的一面上的數字.事件A={1,2},B={1,3},C={1,4},則(　　)
A.P(AB)=P(A)P(B)
B.P(AC)=P(A)P(C)
C.P(BC)=P(B)P(C)
D.P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
6.某商場推出二次開獎活動,凡購買一定價值的商品可以獲得一張獎券.獎券上有一個兌獎號碼,可以分別參加兩次抽獎方式相同的兌獎活動.如果兩次兌獎活動的中獎概率都是0.05,則兩次抽獎中 (　　)
A.都抽到某一指定號碼的概率為0.05
B.都沒有抽到某一指定號碼的概率為0.95
C.恰有一次抽到某一指定號碼的概率為0.095
D.至少有一次抽到某一指定號碼的概率為0.097 5
三、填空題
7.在某道路A,B,C三處設有交通燈,這三盞燈在一分鐘內開放綠燈的時間分別為25秒、35秒、45秒,某輛車在這條道路上勻速行駛,則三處都不停車的概率為　　　　.
8.周老師上數學課時,給班里同學出了兩道選擇題,她預估做對第一道題的概率為0.80,做對兩道題的概率為0.60,則預估做對第二道題的概率是　　　　.
四、解答題
9.某項選拔共有三輪考核,每輪設有一個問題,能正確回答問題者進入下一輪,否則被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為,,,且各輪問題能否正確回答互不影響.
(1)求該選手進入第三輪才被淘汰的概率;
(2)求該選手至多進入第二輪考核的概率.
10.某人忘記了電話號碼的最后一個數字,因而他隨意地撥號,假設撥過了的號碼不再重復,試求下列事件的概率:
(1)第3次撥號才接通電話;
(2)撥號不超過3次而接通電話.
一、選擇題
1.某種開關在電路中閉合的概率為p,現將4只這種開關并聯在某電路中(如圖所示),若該電路為通路的概率為,則p= (　　)
A. B. C. D.
2.甲、乙兩隊進行足球友誼賽,采取三局兩勝制,每局都要分出勝負,根據以往經驗,單局比賽中甲隊獲勝的概率為,設各局比賽相互間沒有影響,則甲隊戰勝乙隊的概率為 (　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
二、填空題
3.同學甲參加某科普知識競賽,需回答三個問題,競賽規則規定:答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分,答錯或不答均得零分.假設同學甲答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8,0.6,0.5,且各題答對與否相互之間沒有影響,則同學甲得分不低于300分的概率是　　　　.
4.某同學進行投籃訓練,在甲、乙、丙三個不同的位置投中的概率分別是,,p,該同學站在這三個不同的位置各投籃一次,恰好投中兩次的概率為,則p的值為　　　　　　.
三、解答題
5.A,B是治療同一種疾病的兩種藥,用若干試驗組進行對比試驗,每個試驗組由4只小白鼠組成,其中2只服用A,另2只服用B,然后觀察療效,若在一個試驗組中,服用A有效的白鼠的只數比服用B有效的多,就稱該試驗組為甲類組.設每只小白鼠服用A有效的概率為,服用B有效的概率為.
(1)求一個試驗組為甲類組的概率;
(2)觀察3個試驗組,求這3個試驗組中至少有一個甲類組的概率.
6.如圖所示,用A,B,C三類不同的元件連接成兩個系統N1,N2,當元件A,B,C都正常工作時,系統N1正常工作;當元件A正常工作且元件B,C至少有一個正常工作時,系統N2正常工作;系統N1,N2正常工作的概率分別為P1,P2.
(1)若元件A,B,C正常工作的概率依次為0.5,0.6,0.8,求P1,P2;
(2)若元件A,B,C正常工作的概率都是P(010.2　事件的相互獨立性
必備知識·落實
1.P(A)·P(B)　獨立
2.　　　
3.兩個事件互斥是指兩個事件不可能同時發生;兩個事件相互獨立是指一個事件的發生與否對另一事件發生的概率沒有影響.
一般地,兩個事件不可能既互斥又相互獨立,因為互斥事件不可能同時發生,而相互獨立事件是以它們能夠同時發生為前提.
4.P(A1)P(A2)…P(An)
知能素養·進階
【基礎鞏固組】
1.D　因為P(A1)=,若A1發生了,P(A2)==;若A1不發生,P(A2)=,所以A1發生的結果對A2發生的結果有影響,所以A1與A2不是相互獨立事件.
2.B　設事件A=“第一次投進球”,B=“第二次投進球”,則得2分的概率P=P(A)+P(B)=0.4×(1-0.4)+(1-0.4)×0.4=0.48.
3.D　由P(A)=P(B),得P(A)P()=P(B)·P(),
即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],
所以P(A)=P(B).又P()=,
所以P()=P()=,所以P(A)=.
4.C　因為P()=,所以P(A)=.
又P(B)=,P(AB)=,
所以P(AB)=P(A)P(B),
所以事件A與B相互獨立但不一定互斥.
5.ABC　因為樣本空間為Ω={1,2,3,4},
所以P(A)=P(B)=P(C)=,
因為A∩B=A∩C=B∩C=A∩B∩C={1},
所以P(AB)=P(AC)=P(BC)=P(ABC)=,所以ABC都正確,因為P(ABC)≠P(A)P(B)P(C),所以D錯誤.
6.BC　記“第一次抽獎抽到某一指定號碼”為事件A,“第二次抽獎抽到某一指定號碼”為事件B,則“兩次抽獎都抽到某一指定號碼”就是事件AB.由于兩次抽獎結果互不影響,因此A與B相互獨立.于是由獨立性可得,兩次抽獎都抽到某一指定號碼的概率P(AB)=P(A)P(B)=0.05×0.05=0.002 5.同理“兩次抽獎都沒有抽到某一指定號碼”的概率P()=P()P()=0.95×0.95=0.902 5;
“兩次抽獎恰有一次抽到某一指定號碼”可以用(A)∪(B)表示.由于事件A與B互斥,根據概率加法公式和相互獨立事件的定義,所求的概率為P(A)+P(B)=P(A)P()+ P()P(B)=0.05×(1-0.05)+(1-0.05)×0.05=0.095;“兩次抽獎至少有一次抽到某一指定號碼”可用(AB)∪(A)∪(B)表示.由于事件AB,A和B兩兩互斥,根據概率加法公式和相互獨立事件的定義,所求的概率為P(AB)+P(A)+P(B)=0.002 5+0.095=0.097 5.
7.【解析】由題意可知,每個交通燈開放綠燈的概率分別為,,.某輛車在這個道路上勻速行駛,則三處都不停車的概率為××=.
答案:
8.【解析】設“做對第一道題”為事件A,“做對第二道題”為事件B,則P(AB)=P(A)P(B)=0.8×P(B)=0.6,故P(B)=0.75.
答案:0.75
9.【解析】記“該選手正確回答第i輪問題”為事件Ai(i=1,2,3),則P(A1)=,P(A2)=,P(A3)=.
(1)該選手進入第三輪才被淘汰的概率為P(A1A2)=P(A1)P(A2)P()=××1-=.
(2)該選手至多進入第二輪考核的概率為
P(+A1)=P()+P(A1)P()=1-+×1-=.
10.【解析】設Ai={第i次撥號接通電話},i=1,2,3.
(1)第3次才接通電話可表示為A3,
于是所求概率為P(A3)=××=;
(2)撥號不超過3次而接通電話可表示為A1+A2+A3,由于事件A1,A2,A3兩兩互斥,于是所求概率為P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=+×+××=.
【素養提升組】
1.B　因為該電路為通路的概率為,所以該電路為不通路的概率為1-,只有當并聯的4只開關同時不閉合時該電路不通路,所以1-=(1-p)4,解得p=或p=(舍去).
2.C　甲、乙兩隊進行足球友誼賽,采取三局兩勝制,每局都要分出勝負,根據以往經驗,單局比賽中甲隊獲勝的概率為,設各局比賽相互間沒有影響,甲隊戰勝乙隊包含兩種情況:
①甲連勝2局,概率為P1=()2=.
②前兩局甲隊一勝一負,第三局甲隊勝,概率為
P2=××+××=.
則甲隊戰勝乙隊的概率為
P=P1+P2=+=.
3.【解析】設“同學甲答對第i個題”為事件Ai(i=1,2,3),則P(A1)=0.8,P(A2)=0.6,P(A3)=0.5,且A1,A2,A3相互獨立,同學甲得分不低于300分對應于事件A1A2A3∪A1A3∪A2A3發生,
故所求概率為P=P(A1A2A3∪A1A3∪A2A3)
=P(A1A2A3)+P(A1A3)+P(A2A3)
=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P()P(A3)+P()P(A2)P(A3)=0.8×0.6×0.5+0.8×0.4×0.5+0.2×0.6×0.5=0.46.
答案:0.46
4.【解析】在甲、乙、丙處投中分別記為事件A,B,C,恰好投中兩次為事件AB,AC,
BC發生,故恰好投中兩次的概率:P=××(1-p)+×(1-)×p+(1-)××p=,
解得p=.
答案:
5.【解析】(1)設Ai表示事件“一個試驗組中,服用A有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.Bi表示事件“一個試驗組中,服用B有效的小白鼠有i只”,i=0,1,2.據題意有:P(A0)=×=,P(A1)=2××=,P(A2)=×=,P(B0)=×=,P(B1)=2××=.
所求概率為P=P(B0A1)+P(B0A2)+P(B1A2)=×+×+×=.
(2)所求概率P'=1-=.
6.【解析】(1)設A=“元件A正常工作”,B=“元件B正常工作”,C=“元件C正常工作”,則A,B,C相互獨立.P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.8,
故P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.5×0.6×0.8=0.24,
P2=P(A)[1-P()]=0.5×(1-0.4×0.2)=0.46.
(2)P(A)=P(B)=P(C)=P,
P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=P3,
P2=P(A)[1-P()]=P[1-(1-P)2],
P1-P2=P3-P[1-(1-P)2]=2P3-2P2=2P2(P-1),
又010.3.1　頻率的穩定性
1.頻率的穩定性
隨著試驗次數n的增大,頻率偏離概率的幅度會　　　　,即事件A發生的頻率fn(A)會逐漸　　　　事件A發生的概率P(A),稱頻率的這個性質為頻率的穩定性.因此可以用頻率fn(A)估計概率P(A).
2.頻率與概率的范圍都是　　　　.
3.隨機事件在一次試驗中是否發生與概率的大小有什么關系
一、單選題
1.隨著互聯網的普及,網上購物已逐漸成為消費時尚,為了解消費者對網上購物的滿意情況,某公司隨機對4 500名網上購物消費者進行了調查(每名消費者限選一種情況回答),統計結果如表:
滿意狀況 不滿意 比較滿意 滿意 非常滿意
人數 200 n 2 100 1 000
根據表中數據,估計在網上購物的消費者群體中對網上購物“比較滿意”或“滿意”的概率是 (　　)
A. B. C. D.
2.甲、乙兩人做游戲,下列游戲中不公平的是 (　　)
A.擲一枚骰子,向上的點數為奇數則甲勝,向上的點數為偶數則乙勝
B.同時擲兩枚相同的骰子,向上的點數之和大于7則甲勝,否則乙勝
C.從一副不含大、小王的撲克牌中抽一張,撲克牌是紅色則甲勝,是黑色則乙勝
D.甲、乙兩人各寫一個數字,若是同奇或同偶則甲勝,否則乙勝
3.小明同學進行投球練習,連投了10次,恰好投進了8次.若用A表示“投進球”這一事件,則事件A發生的 (　　)
A.概率為 B.頻率為
C.頻率為8 D.以上均不正確
4.某個地區統計某年起幾年內的新生嬰兒數及其中的男嬰數如下表:
項目 1年內 2年內 3年內 4年內
新生嬰兒數 5 544 9 013 13 520 17 191
男嬰數 2 716 4 899 6 812 8 590
這一地區男嬰出生的概率約是 (　　)
A.0.4 B.0.5 C.0.6 D.0.7
二、多選題
5.年初,某市教研室對某暢銷書進行了5次“讀者問卷調查”,結果如下:
調查序號 1 2 3 4 5
被調查人數n 1 001 1 000 1 004 1 003 1 000
滿意人數m 999 998 1 002 1 002 997
則下列說法正確的是 (　　)
A.第5次調查讀者滿意的頻率最高
B.第1,2,3次調查讀者滿意的頻率各不相等
C.讀者對此暢銷書滿意的概率約為99.8%
D.5次調查該市讀者對此暢銷書滿意頻率均高于0.99
6.下列說法中正確的有 (　　)
A.做9次拋擲一枚質地均勻的硬幣的試驗,結果有5次出現正面,所以出現正面的概率是
B.盒子中裝有大小和形狀相同的3個紅球,3個黑球,2個白球,每種顏色的球被摸到的可能性相同
C.從-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一個數,取得的數小于0和不小于0的可能性不相同
D.設有一大批產品,已知其次品率為0.1,則從中任取100件,次品的件數可能不是10件
三、填空題
7.某中學為了了解初中部學生的某項行為規范的養成情況,在校門口按系統抽樣的方法:每2分鐘隨機抽取一名學生,登記佩戴胸卡的學生的名字.結果,150名學生中有60名佩戴胸卡.第二次檢查,調查了初中部的所有學生,有500名學生佩戴胸卡.據此估計該中學初中部一共有　　　　名學生.
8.某中學要在高一年級二班、三班、四班中任選一個班參加社區服務活動,有人提議用如下方法選班:擲兩枚硬幣,正面向上記作2點,反面向上記作1點,兩枚點數和是幾,就選幾班.按照這個規則,當選概率最大的是　　　　班.
四、解答題
9.歷史上曾有人做過拋擲硬幣的大量重復試驗,結果如表所示:
拋擲次數 正面向上的次數 正面向上的比例
2 048 1 061 0.518 1
4 040 2 048 0.506 9
12 000 6 019 0.501 6
24 000 12 012 0.500 5
30 000 14 984 0.499 5
72 088 36 124 0.501 1
(1)在上述拋擲硬幣的試驗中,你會發現怎樣的規律
(2)在拋擲硬幣試驗中,把正面向上的比例稱作正面向上的頻率,你能給頻率下個定義嗎
(3)拋擲硬幣試驗表明,正面朝上在每次試驗中是否發生是不能預知的,但是在大量重復試驗后,隨著試驗次數的增加,正面朝上發生的頻率呈現出一定的規律性,這個規律性是如何體現出來的
(4)在相同條件下,事件A在先后兩次試驗中發生的頻率fn(A)是否一定相等 事件A在先后兩次試驗中發生的概率P(A)是否一定相等
10.在英語中不同字母出現的頻率彼此不同且相差很大,但同一個字母的使用頻率相當穩定,有人統計了40多萬個單詞中5個元音字母的使用頻率,結果如表所示:
元音字母 A E I O U
頻率 7.88% 12.68% 7.07% 7.76% 2.80%
(1)從一本英文書(小說類)里隨機選一頁,統計在這一頁里元音字母出現的頻率;
(2)將你統計得出的頻率與上表中的頻率進行比較,結果是否比較接近 你認為存在差異的原因是什么.
一、選擇題
1.若經檢驗,某廠的產品合格率為98%,估算該廠8 000件產品中的次品件數為 (　　)
A.7 840 B.160
C.16 D.784
2.某中學舉辦電腦知識競賽,滿分為100分,80分以上為優秀(含80分),現將高一兩個班參賽學生的成績進行整理后分成五組:第一組[50,60),第二組[60,70),第三組[70,80),第四組[80,90),第五組[90,100],其中第一、三、四、五小組的頻率分別為0.30,0.15,0.10,0.05,而第二小組的頻數是40,則參賽的人數以及成績優秀的概率分別是 (　　)
A.50,0.15 B.50,0.75
C.100,0.15 D.100,0.75
二、填空題
3.從一堆蘋果中任取10個,稱得它們的質量如下(單位:g):125,120,122,105,130,114,116,95,120,134.從這一堆蘋果中,隨機取出一個,則估計得到的蘋果質量落在[114.5,124.5]內的概率為　　　　.
4.(教材改編題)小明和小展按如下規則做游戲:桌面上放有5支鉛筆,每次取1支或2支,最后取完鉛筆的人獲勝,你認為這個游戲規則　　　　.(填“公平”或“不公平”)
三、解答題
5.為了研究某種油菜籽的發芽率,科研人員在相同條件下做了10批試驗,油菜籽的發芽試驗相關數據如下表:
批次 每批粒數 發芽的粒數
1 2 2
2 5 4
3 10 9
4 70 60
5 130 116
續表
批次 每批粒數 發芽的粒數
6 700 637
7 1 500 1 370
8 2 000 1 780
9 3 000 2 709
10 5 000 4 490
問題:
(1)如何計算每批試驗中油菜籽發芽的頻率
(2)由各批油菜籽發芽的頻率,可以得到頻率具有怎樣的特征
(3)如何估計該油菜籽發芽的概率近似值
6.某射擊運動員為備戰奧運會,在相同條件下進行射擊訓練,結果如下:
射擊次數n 10 20 50 100 200 500
擊中靶心 次數m 8 19 44 92 178 455
擊中靶心的 頻率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
(1)該射擊運動員射擊一次,擊中靶心的概率大約是多少
(2)假如該射擊運動員射擊了300次,則擊中靶心的次數大約是多少
(3)假如該射擊運動員射擊了300次,前270次都擊中靶心,那么后30次一定都擊不中靶心嗎
10.3　頻率與概率
10.3.1　頻率的穩定性
必備知識·落實
1.縮小　穩定于
2.[0,1]
3.隨機事件的概率表明了隨機事件發生的可能性的大小,但并不表示概率大的事件一定發生,概率小的事件一定不發生.
知能素養·進階
【基礎鞏固組】
1.C　由題意得,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,所以隨機調查的消費者中對網上購物“比較滿意”或“滿意”的總人數為1 200+2 100=3 300,所以隨機調查的消費者中對網上購物“比較滿意”或“滿意”的概率為=.
由此估計在網上購物的消費者群體中對網上購物“比較滿意”或“滿意”的概率為.
2.B　對于A、C、D,甲勝,乙勝的概率都是,游戲是公平的;對于B,點數之和大于7和點數之和小于7的概率相等,但點數小于等于7時乙勝,所以甲勝的概率小,游戲不公平.
3.B　因為投球一次即進行一次試驗,投球10次,投進8次,即事件A發生的頻數為8,所以事件A發生的頻率為=.
4.B　由表可知,男嬰出生的頻率依次是0.49,0.54,0.50,0.50,故這一地區男嬰出生的概率約為0.5.
5.BC　計算表中1至5次調查讀者滿意的頻率依次是0.998,0.998,0.998,0.999,0.997,故AB不正確,D正確;
在5次“讀者問卷調查”中,收到的反饋信息是“讀者對此暢銷書滿意的概率約是P(A)=0.998”,用百分數表示就是P(A)=99.8%.
6.BC　對于A,應為出現正面的頻率是,故A錯誤;對于B,摸到白球的概率要小于摸到紅球或黑球的概率,故B錯誤;對于C,取得的數小于0的概率大于不小于0的概率,故C正確;對于D,任取100件產品,次品的件數是隨機的,故D正確.
7.【解析】設初中部有n名學生,
依題意得=,解得n=1 250.
所以該中學初中部共有學生大約1 250名.
答案:1 250
8.【解析】擲兩枚硬幣,所有可能的結果為(正,正),(正,反),(反,正),(反,反).
其點數和分別為4,3,3,2,所以選二班和選四班的概率都是,選三班的概率為=.
故選三班的概率最大.
答案:三
9.【解析】(1)當試驗次數很多時,出現正面的比例在0.5附近擺動.
(2)在相同的條件S下重復n次試驗,觀察某一事件A是否出現,稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數,稱事件A出現的比例fn(A)=為事件A出現的頻率.
(3)事件A發生的頻率趨于穩定,在某個常數附近擺動.
(4)頻率具有隨機性,做同樣次數的重復試驗,事件A發生的頻率可能不相同;概率是一個確定的數,是客觀存在的,與每次試驗無關.
10.【解析】(答案不唯一)(1)選取英文書籍任意一頁,一共637個字母,其中元音字母出現頻數和頻率如下:
A出現38次,頻率為:5.97%
E出現96次,頻率為:15.07%
I出現47次,頻率為:7.38%
O出現52次,頻率為:8.16%
U出現12次,頻率為:1.88%
(2)可以發現統計出來的頻率與上表中的頻率不是很接近,因為統計數據較小,有很強的偶然性,題表中的統計數據為40多萬個單詞.隨著試驗次數的增加,頻率偏離概率很大的可能性會越來越小.
【素養提升組】
1.B　由題意知合格率為98%,則次品率為1-98%=2%,故8 000件產品中的次品件數為8 000×2%=160(件).
2.C　由已知得第二小組的頻率是
1-0.30-0.15-0.10-0.05=0.40,頻數為40,設共有參賽學生x人,則x×0.4=40,所以x=100.因為成績優秀的頻率為0.10+0.05=0.15,所以估計成績優秀的概率為0.15.
3.【解析】10個蘋果中,質量落在區間[114.5,124.5]內的有4個,頻率為=0.4,所以蘋果質量落在區間[114.5,124.5]內的概率可估計為0.4.
答案:0.4
4.【解析】當第一個人第一次取2支時,還剩余3支,無論是第二個人取1支還是取2支,第一個人在第二次取鉛筆時,都可取完,即第一個人一定能獲勝,所以不公平.
答案:不公平
5.【解析】(1)利用公式:頻率=,可求出各批油菜籽發芽的頻率.
(2)批次1的頻率=1,批次2的頻率=0.8,批次3的頻率=0.9,批次4的頻率≈0.857,批次5的頻率≈0.892,批次6的頻率=0.91,批次7的頻率≈0.913,批次8的頻率=0.89,批次9的頻率=0.903,批次10的頻率=0.898,當試驗次數越來越多時,頻率越來越趨近于一個常數.
(3)由(2)可知,當試驗次數越來越多時,頻率在0.9附近波動,由此估計該油菜籽發芽的概率約為0.9.
6.【解析】(1)由題意得,擊中靶心的頻率與0.9接近,故擊中靶心的概率約為0.9.
(2)擊中靶心的次數大約為300×0.9=270(次).　
(3)由概率的意義,可知概率是個常數,不因試驗次數的變化而變化.后30次中,每次擊中靶心的概率仍是0.9,所以不一定擊不中靶心.10.3.2　隨機模擬
1.隨機數的概念
要產生1~n(n∈N*)之間的隨機整數,把n個　　　　　　　　相同的小球分別標上1,2,3,…,n,放入一個容器中,　　　　　　　后取出一個球,這個球上的數就稱為隨機數.
2.隨機模擬方法
利用計算機或計算器產生的隨機數來做模擬試驗,通過模擬試驗得到的
　　　　來估計　　　　,這種用計算機或計算器模擬試驗的方法稱為隨機模擬方法或蒙特卡洛方法.
3.用計算機模擬試驗來代替大量的重復試驗有什么優點
一、單選題
1.用隨機模擬方法得到的頻率 (　　)
A.大于概率
B.小于概率
C.等于概率
D.是概率的近似值
2.在一個袋子中裝有分別標注數字1,2,3,4,5的五個小球,這些小球除標注的數字外完全相同,現從中隨機取出兩個小球,則取出的小球標注的數字之和為3或6的概率是 (　　)
A. B. C. D.
3.下列關于隨機數的說法,正確的是 (　　)
A.計算器只能產生(0,1)之間的隨機數
B.計算機不能產生指定兩個整數之間的取整數值的隨機數
C.計算器或計算機產生的隨機數是完全等可能的
D.計算器或計算機產生的隨機數是偽隨機數
4.每道選擇題有四個選項,其中只有一個選項是正確的.某次數學考試共有12道選擇題,有位同學說:“每個選項正確的概率是,我每道題都選擇第一個選項,則一定有3道題選擇結果正確.”該同學的說法 (　　)
A.正確 B.錯誤
C.無法解釋 D.以上均不正確
二、多選題
5.下列說法中,正確的是 (　　)
A.頻率反映隨機事件的頻繁程度,概率反映隨機事件發生的可能性大小
B.頻率是不能脫離n次試驗的試驗值,而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數的理論值
C.做n次隨機試驗,事件發生m次,則事件發生的頻率就是事件的概率
D.頻率是概率的近似值,而概率是頻率的穩定值
三、填空題
6.在用隨機(整數)模擬“有4個男生和5個女生,從中選4個,求選出2個男生2個女生的概率”時,可讓計算機產生1~9的隨機整數,并用1~4代表男生,用5~9代表女生.因為是選出4個,所以每4個隨機數作為一組.若得到的一組隨機數為“4678”,則它代表的含義是　.
7.袋子中有四個小球,分別寫有“中、華、民、族”四個字,有放回地從中任取一個小球,直到“中”“華”兩個字都取到才停止.用隨機模擬的方法估計恰好抽取三次停止的概率,利用電腦隨機產生0到3之間取整數值的隨機數,分別用0,1,2,3代表“中、華、民、族”這四個字,以每三個隨機數為一組,表示取球三次的結果,經隨機模擬產生了以下18組隨機數:
232　321　230　023　123　021　132
220　001　231　130　133　231　031
320　122　103　233
由此可以估計,恰好抽取三次就停止的概率為　　　　　　.
四、解答題
8.某校高一年級共20個班,1 200名學生,期中考試時如何把學生分配到40個考場中去
9.甲盒中有紅、黑、白三種顏色的球各3個,乙盒中有黃、黑、白三種顏色的球各2個,從兩個盒子中各取1個球.
(1)求取出的兩個球是不同顏色的概率;
(2)請設計一種隨機模擬的方法,來近似計算(1)中取出的兩個球是不同顏色的概率(寫出模擬的步驟).
一、選擇題
1.某種心臟手術,成功率為0.6,現采用隨機模擬方法估計“3例心臟手術全部成功”的概率;先利用計算器或計算機產生0~9之間取整數值的隨機數,由于成功率是0.6,故我們用0,1,2,3表示手術不成功,4,5,6,7,8,9表示手術成功;再以每3個隨機數為一組,作為3例手術的結果,經隨機模擬產生如下10組隨機數:
812,832,569,683,271,989,730,537,925,907
由此估計“3例心臟手術全部成功”的概率為(　　)
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
2.從分別寫有A,B,C,D,E的5張卡片中任取2張,這2張卡片上的字母恰好是按字母順序相鄰的概率為 (　　)
A. B. C. D.
二、填空題
3.拋擲兩枚均勻的正方體骰子,用隨機模擬方法估計朝上面的點數的和是6的倍數的概率時,用1,2,3,4,5,6分別表示朝上面的點數是1,2,3,4,5,6.用計算器或計算機分別產生1到6的兩組整數隨機數各60個,每組第i個數組成一組,共組成60組數,其中有一組是16,這組數表示的結果是否滿足朝上面的點數的和是6的倍數:
　　　　(填“是”或“否”),滿足朝上面的點數的和是6的倍數的概率為　　　　.
4.假定某運動員每次投擲飛鏢正中靶心的概率為40%,現采用隨機模擬的方法估計該運動員兩次投擲飛鏢恰有一次命中靶心的概率:先由計算器產生0到9之間取整數值的隨機數,指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每兩個隨機數為一組,代表兩次的結果,經隨機模擬產生了20組隨機數:
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
據此估計,該運動員兩次擲飛鏢恰有一次正中靶心的概率為　　　　　　.
三、解答題
5.一個袋中有7個大小和質地相同的小球,其中6個白球,1個紅球,現任取1個,若為紅球就停止,若為白球就放回,攪拌均勻后再接著取.試設計一個模擬試驗估計恰好第三次摸到紅球的概率.
6.某籃球愛好者做投籃練習,如果他每次投籃投中的概率都是0.6,那么在連續三次投籃中,他三次都投中的概率是多少 試設計一個模擬試驗估計他三次都投中的概率.
10.3.2　隨機模擬
必備知識·落實
1.質地和大小　充分攪拌
2.頻率　概率
3.用頻率估計概率時,需做大量的重復試驗,費時費力,并且有些試驗具有破壞性,有些試驗無法真正進行.因此利用計算機進行隨機模擬試驗就成為一種很重要的替代方法,它可以在短時間內多次重復地來做試驗.
知能素養·進階
【基礎鞏固組】
1.D　因為實驗數據越多頻率就越接近概率,所以用隨機模擬方法得到的頻率,數據是有限的,接近概率.
2.A　隨機取出兩個小球有:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10種情況,和為3只有1種情況(1,2),和為6可以是(1,5),(2,4),共2種情況,所以P=.
3.D　A項,計算器也可以產生a~b上的整數隨機數;
B項,計算機能產生指定兩個整數之間的取整數值的隨機數;
C項,計算器或計算機產生的隨機數是偽隨機數,不能保證等可能.
4.B　解每一道選擇題都可看成一次試驗,每次試驗的結果都是隨機的,經過大量的試驗其結果呈現出一定的規律,即隨機選取一個選項選擇正確的概率是.12道選擇題做對3道題的可能性比較大,但并不能保證一定做對3道題,也有可能都選錯,因此該同學的說法錯誤.
5.ABD　頻率是在一次試驗中某一事件出現的次數與試驗總數的比值,隨某事件出現的次數而變化,概率指的是某一事件發生的可能程度,是個確定的理論值.
6.【解析】用1~4代表男生,用5~9代表女生,4 678表示一男三女.
答案:選出的4個人中,只有1個男生
7.【解析】由隨機產生的隨機數可知恰好抽取三次就停止的有021,001,130,031,共4組隨機數,恰好抽取三次就停止的概率約為=.
答案:
8.【解析】要把1 200人分到40個考場,每個考場30人,可用計算機完成.
(1)按班級、學號順序把學生檔案輸入計算機.
(2)用隨機函數按順序給每個學生一個隨機數(每人都不相同).
(3)使用計算機的排序功能按隨機數從小到大排列,可得到1 200名學生的考試號0001,0002,…,1200,然后0001~0030為第一考場,0031~0060為第二考場,依次類推.
9.【解析】(1)設A表示“取出的兩個球是相同顏色”,B表示“取出的兩個球是不同顏色”,則事件A的概率為:P(A)=×+×=.由于事件A與事件B是對立事件,所以事件B的概率為P(B)=1-P(A)=1-=.
(2)隨機模擬的步驟:第1步:利用抽簽法或計算機(計算器)產生1~3和2~4兩組取整數值的隨機數,每組各有N個隨機數.用“1”表示取到紅球,用“2”表示取到黑球,用“3”表示取到白球,用“4”表示取到黃球.第2步:統計兩組對應的N對隨機數中,每對中的兩個數字不同的對數n.第3步:計算的值.則就是取出的兩個球是不同顏色的概率的近似值.
【素養提升組】
1.A　由10組隨機數知,3個隨機數都在4~9中的有569,989兩組,故所求的概率為P==0.2.
2.B　用計算器產生1到5之間的隨機整數,用1~5分別代表A~E 5個字母.利用隨機模擬試驗產生N組隨機數,每2個數一組,從中數出兩個數按從小到大的順序相鄰的隨機數個數N1,可得≈.
【一題多解】本題還可用以下方法求解:從A,B,C,D,E的5張卡片中任取2張,基本事件有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE共10種結果,其中2張卡片上字母恰好按字母順序相鄰的有AB,BC,CD,DE共4種結果,
所以P==.
3.【解析】16表示第1枚骰子向上的點數是1,第二枚骰子向上的點數是6,則朝上面的點數的和是1+6=7,不表示和是6的倍數.該試驗共有36種不同結果,事件“點數的和是6的倍數”包含(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6)共6種情況,故概率為.
答案:否　
4.【解析】兩次擲鏢恰有一次正中靶心表示隨機數中有且只有一個數為1,2,3,4中的之一.它們分別是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35共10個,
因此所求的概率為=0.5.
答案:
5.【解析】用1,2,3,4,5,6表示白球,7表示紅球,利用計算器或計算機產生1~7之間取整數值的隨機數,因為要求恰好第三次摸到紅球,所以每三個隨機數作為一組.例如產生20組隨機數:
666　743　671　464　571　561　156　567　732　375　716　116　614　445　117　573　552　274　124　662
表示第一次、第二次摸到白球,第三次摸到紅球的是567和117,共2組,所以恰好第三次摸到紅球的概率約為=0.1.
6.【解析】通過設計模擬試驗的方法來解決問題,利用計算機或計算器可以產生0~9之間取整數值的隨機數.用1,2,3,4,5,6表示投中,用7,8,9,0表示未投中,這樣可以體現投中的概率是0.6.因為要投籃三次,所以每三個隨機數作為一組.例如產生20組隨機數:
812　932　569　683　271　989　730　537　925　834　907　113　966　191　432　256　393　027　556　755
在這組數中,表示三次都投中的分別是113,432,256,556,共有4組,故三次投籃都投中的概率近似為=0.2.

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