資源簡介

專題53 雙曲線及其性質
知識梳理 考綱要求
考點預測
常用結論
方法技巧
題型歸類 題型一：雙曲線的定義與標準方程
題型二：雙曲線的焦點與焦距
題型三：雙曲線的范圍與對稱性
題型四：雙曲線的頂點、實軸、虛軸
題型五：雙曲線的漸近線
題型六：雙曲線的離心率
題型七：雙曲線的應用
培優訓練 訓練一：
訓練二：
訓練三：
訓練四：
訓練五：
訓練六：
強化測試 單選題：共8題
多選題：共4題
填空題：共4題
解答題：共6題
一、【知識梳理】
【考綱要求】
1.了解雙曲線的定義，幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質.2.通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數形結合的思想.
【考點預測】
1.雙曲線的定義
平面內與兩個定點F1，F2的距離差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫雙曲線.這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.其數學表達式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數且a>0，c>0.
(1)若a(2)若a＝c，則集合P為兩條射線；
(3)若a>c，則集合P為空集.
2.雙曲線的標準方程和幾何性質
標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
圖　形
性　質 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線 y＝±x y＝±x
離心率 e＝，e∈(1，＋∞)
實虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長度|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長度|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長
a，b，c的關系 c2＝a2＋b2
【常用結論】
1.過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為.
2.離心率e＝＝＝.
3.等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.
4.若漸近線方程為y＝±x，則雙曲線方程可設為－＝λ(λ≠0).
5.雙曲線的焦點到漸近線的距離為b.
6.若P是雙曲線右支上一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
7.焦點三角形的面積：P為雙曲線上的點，F1，F2為雙曲線的兩個焦點，且∠F1PF2＝θ，則△F1PF2的面積為.
【方法技巧】
1.在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯系.
2.用待定系數法求雙曲線的標準方程時，先確定焦點在x軸還是y軸上，設出標準方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點的位置不好確定，可將雙曲線的方程設為－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根據條件求解.
3.與雙曲線－＝1有相同漸近線時可設所求雙曲線方程為－＝λ(λ≠0).
4.求雙曲線離心率或其取值范圍的方法：
(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉化為含有e的方程(或不等式)求解.
5.雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線可由－＝0即得兩漸近線方程±＝0.
6.雙曲線幾何性質的綜合應用涉及知識較寬，如雙曲線定義、標準方程、對稱性、漸近線、離心率等多方面的知識，在解決此類問題時要注意與平面幾何知識的聯系.
7.與雙曲線有關的取值范圍問題的解題思路
(1)若條件中存在不等關系，則借助此關系直接變換轉化求解.
(2)若條件中沒有不等關系，要善于發現隱含的不等關系或借助曲線中不等關系來解決.
二、【題型歸類】
【題型一】雙曲線的定義與標準方程
【典例1】（多選）（2023·山東濰坊·統考模擬預測）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，右頂點為，過的直線交雙曲線的右支于，兩點（其中點在第一象限內），設，分別為，的內心，則（ ）
A．點的橫坐標為2
B．當時，
C．當時，內切圓的半徑為
D．
【解析】【答案】BCD
【分析】根據雙曲線方程有，利用雙曲線定義及圓切線性質求圓在x軸上的切點橫坐標即可判斷A；根據，結合雙曲線定義、勾股定理求判斷B；利用圓的切線性質得內切圓半徑判斷C；由內切圓圓心性質得，結合直角三角形性質有判斷D.
【詳解】由雙曲線方程知：，令圓在x軸上的切點橫坐標為，
結合雙曲線定義及圓切線性質有，即，
所以圓在x軸上的切點與右頂點為重合，又軸，則的橫坐標為1，A錯；
由，則，故，
而，所以，故，得，
所以，B對；
若為內切圓圓心且知：以直角邊切點和為頂點的四邊形為正方形，
結合雙曲線定義：內切圓半徑
由B分析知：，C對；
由分別是的角平分線，又，
所以，結合A分析易知，
在中，D對.
故選：BCD
【典例2】（2023·上海浦東新·統考三模）已知曲線是焦點在軸上的雙曲線，則實數的取值范圍是 ．
【解析】【答案】．
【分析】根據雙曲線標準方程的特點求解.
【詳解】 是焦點在x軸的雙曲線，
，即 ；
故答案為： .
【典例3】（2019·河北·模擬預測）已知雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于3，且經過點（-3,8），直線與雙曲線交于點A、B．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）求△的面積.
【解析】【答案】（1）（2）
【詳解】解:(1)設代入(-3，8)得
∴方程為:
(2)聯立的
【題型二】雙曲線的焦點與焦距
【典例1】（多選）（2023·重慶·統考模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點作x軸的垂線與雙曲線交于A，B兩點，若為直角三角形，則（ ）
A．
B．雙曲線的離心率
C．雙曲線的焦距為
D．的面積為
【解析】【答案】BD
【分析】畫圖分析，由雙曲線的相關性質計算判斷即可.
【詳解】如圖所示：

若為直角三角形，由雙曲線的對稱性可知：
，且.
設，則由雙曲線的定義得：，.
所以在直角三角形中，由勾股定理得：.
解得：，所以，
所以的面積為：.故D正確；
，所以，故C不正確；
由可知，，，
所以，故A不正確；
，故B正確.
故選：BD.
【典例2】（2023·湖南郴州·統考一模）已知雙曲線和橢圓有相同的焦點，則的最小值為 .
【解析】【答案】9
【分析】求出橢圓的焦點坐標，進而求出，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【詳解】的焦點坐標為，故，
故，
當且僅當，即時，等號成立，
故的最小值為9.
故答案為：9
【典例3】（2022·全國·高考模擬）給定橢圓方程，求與這個橢圓有公共焦點的雙曲線，使得以它們的交點為頂點的四邊形面積最大，并求相應的四邊形的頂點坐標．
【解析】【答案】雙曲線方程為：.
四個點坐標為，，，.
【分析】設雙曲線方程為，四個交點一個坐標為，則四邊形面積為，
由等號成立的條件，求出四邊形頂點坐標，代入雙曲線方程，解出即得雙曲線的方程.
【詳解】因為雙曲線與橢圓有相同的焦點，
設雙曲線方程為，
設四個交點其中一個坐標為，四邊形面積為S，由橢圓及雙曲線的對稱性，其他三個點分別為，，，，
當且僅當時，等號成立，代入橢圓方程，得，，
所以四個點坐標為，，，，
將其中一點代入雙曲線方程，得
，因為，所以，
雙曲線方程為：.
【題型三】雙曲線的范圍與對稱性
【典例1】（多選）（2021·湖南衡陽·衡陽市八中校考模擬預測）已知雙曲線的上下兩個頂點分別是，上下兩個焦點分別是，P是雙曲線上異于的任意一點，給出下列命題，其中是真命題的有（ ）
A．漸近線方程為
B．直線的斜率之積等于定值
C．使為等腰三角形的點P有且僅有4個
D．焦點到漸近線的距離等于b
【解析】【答案】BD
【分析】對A：由雙曲線焦點在軸上，可得A錯誤；對B：設，則化簡可得B正確；對C：若點在第一象限，可以分別以焦點，為頂點構成等腰三角形，根據對稱性，C錯誤；對D：由點到直線距離公式可得D正確.
【詳解】解：對A：因為雙曲線方程為，所以焦點在軸上，
所以漸近線方程為，所以選項A錯誤；
對B：設，則，
所以，所以選項B正確；
對C：若點在第一象限，可以分別以焦點，為頂點構成等腰三角形，根據對稱性，點有且僅有8個，故選項C錯誤；
對D：設焦點坐標為，漸近線方程為，
則焦點到漸近線的距離，故選項D正確；
故選：BD.
【點睛】關鍵點點睛：對B：利用兩點間的斜率公式及點在雙曲線上進行化簡；對C：利用雙曲線的對稱性分析判斷.
【典例2】（2022·全國·高三專題練習）若點依次為雙曲線的左、右焦點，且，，. 若雙曲線C上存在點P，使得，則實數b的取值范圍為 .
【解析】【答案】
【分析】已知雙曲線C上存在點P，使得，設，則，將點P代入雙曲線方程，綜合可得，根據，，，即可求出實數b的取值范圍.
【詳解】錯解：
設雙曲線上的點滿足，即，
又，
，即，
，且，
，
實數b的取值范圍是.
錯因：
忽略了雙曲線中.
正解：
設雙曲線上的點滿足，即，
又，
，即，
，且，
，
又，實數b的取值范圍是.
故答案為：.
【典例3】（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學校考模擬預測）已知雙曲線M：的離心率為，點，分別為其左、右焦點，點為雙曲線M在第一象限內一點，設的平分線PQ交y軸于點Q，當時，.
(1)求雙曲線M的方程；
(2)若，此時直線交雙曲線M于A、B兩點，求面積的最大值.
【解析】【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據橢圓的離心率及可求出得出方程；
（2）寫出直線PQ的方程，聯立橢圓方程，由根與系數的關系及三角形的面積公式得出面積表達式，換元后利用二次函數求最值.
【詳解】（1）根據題意可得，∴，
當時，將代入雙曲線方程中，易得，
∴，∴，
∴雙曲線M的方程為；
（2）設PQ與x軸交于點N，如圖，

則，
又，∴，
∵PQ為的平分線，∴，
∴，∴直線PQ的方程為：，
令，得，
∴直線的方程為，即，
聯立，可得，
易得，設，，則，，
又，∴，
∴，
令，則，
∴面積的最大值為.
【題型四】雙曲線的頂點、實軸、虛軸
【典例1】（多選）（2023·河北滄州·校考三模）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上第一象限內一點，且，，關于的平分線的對稱點恰好在上，則（ ）
A．的實軸長為2
B．的離心率為
C．的面積為
D．的平分線所在直線的方程為
【解析】【答案】ACD
【分析】求出雙曲線的解析式，即可求出實軸長和離心率，求出焦點即可得出面積，利用傾斜角即可求出的平分線所在直線的方程.
【詳解】由題意，
在中，
∵關于的平分線的對稱點恰好在上，
∴，，三點共線，且，
∵，∴.
設，，
根據雙曲線定義可得，，
解得，，即，∴.
在中，根據勾股定理可得，，解得，
∴的實軸長為2，所以A正確；
又，，∴的離心率為，所以B不正確；
的面積為，∴C正確；
∵，∴，
∵，易得的平分線的傾斜角為，
∴的平分線所在直線的方程為，即，所以D正確.
故選：ACD.
【典例2】（2022·浙江·模擬）已知圓．以圓與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點，則適合上述條件的雙曲線的標準方程為 ．
【解析】【答案】
【分析】根據題意求圓與坐標軸的交點得，，進而得雙曲線的焦點為，頂點為，即，進而得答案.
【詳解】解：對于圓，
令，得圓與坐標軸的交點分別為，，
令，由于，故無解.
所以圓與坐標軸的交點為，，
所以，根據題意得，雙曲線的焦點為，頂點為
所以，
所以雙曲線的標準方程為．
故答案為：
【典例3】（2023·江西·校聯考二模）已知橢圓方程：，其離心率為，且分別是其左頂點和上頂點，坐標原點到直線的距離為.
(1)求該橢圓的方程；
(2)已知直線交橢圓于兩點，雙曲線：的右頂點與交雙曲線左支于兩點，求證：直線的斜率為定值，并求出定值.
【解析】【答案】(1)，
(2)證明見解析，
【分析】（1）易得兩點坐標，在中利用等面積法可得，再結合離心率即可求得標準方程；（2）易知，設出直線方程并于雙曲線聯立，再結合在橢圓上，即可得兩點的坐標表示，利用兩點間斜率公式以及直線，化簡變形整理即可得.
【詳解】（1）由已知可知，所以，
在中，等面積可得
又因為該橢圓離心率為，即
解得
所以該橢圓方程為.
（2）設，
由，可設直線方程：，直線BE方程：
將直線AE與雙曲線聯立可得，，
又因為，代入上式中可得
解得，代入直線方程：，
所以點坐標為
同理可得點坐標為：
所以直線的斜率.
所以直線的斜率為定值，該定值為
【題型五】雙曲線的漸近線
【典例1】（多選）（2024·浙江臺州·統考一模）已知為雙曲線：上位于第一象限內一點，過點作x軸的垂線，垂足為，點與點關于原點對稱，點為雙曲線的左焦點，則（ ）
A．若，則
B．若，則的面積為9
C．
D．的最小值為8
【解析】【答案】ABD
【分析】根據題意結合四邊形的形狀分析A，B；將轉化成直線斜率，借助漸近線斜率判斷C；由雙曲線定義，利用與之間的關系求最值判斷選項D.
【詳解】設雙曲線右焦點為，由題意可知，四邊形為平行四邊形，如圖：
由雙曲線：可知：，，，
對于A，因為，
所以，
所以四邊形為矩形，
所以，故A正確；
對于B，據雙曲線定義可知：，，
若，則四邊形為矩形，
則，所以，
即，
所以，所以，
所以，故B正確；
對于C，由雙曲線的方程可知，
在中，
又因為雙曲線漸近線方程為：，
所以
所以，即，故C錯誤；
對于D，，
當且僅當時，取到最小值為8，故D正確.
故選：ABD
【典例2】（2023上·四川成都·高三石室中學校考期中）已知點在雙曲線上，直線是雙曲線的漸近線，則雙曲線的標準方程是
【解析】【答案】
【分析】由漸近線方程可設雙曲線的方程為：，根據雙曲線經過點代入即可求解．
【詳解】由題意得：雙曲線的漸近線為：，所以可設雙曲線的方程為：，
因為點在雙曲線上，所以代入得：，即：，
所以：雙曲線的方程為：.
故答案為：.
【典例3】（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線：的離心率為，左 右焦點分別為，，兩條漸近線為，，垂直于點，直線交于點，為坐標原點.
(1)求的值.
(2)若雙曲線的實軸長為，過點作斜率為的直線（與軸不重合）交于，兩點，是的右頂點，設直線，的斜率分別為，，判斷是否為定值.若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
【解析】【答案】(1)
(2)是定值，為定值
【分析】（1）已知離心率，可以求出漸近線方程，根據直線與垂直，求出直線，直線與直線聯立求出點坐標，進而求出、、，進而求出結果.
（2）設直線直線的方程為，交點，，則可表示為，直線和雙曲線聯立得到根與系數的關系代入，解得.
【詳解】（1）
因為雙曲線的離心率，所以，所以，
所以雙曲線的漸近線方程為，
不妨令：，：，
因為直線垂直，所以，
故，又，所以，
所以點到直線：的距離，
所以，
因為，，
所以直線的方程為，與的方程聯立可得，則，
解得，
故，則，
在中，由勾股定理可得，
故，
所以.
（2）是定值.
由題意知，得，，
所以雙曲線的方程為，
所以，，直線的方程為，
設交點，，
由消去得，
則有，，
因為，，
所以
，
所以，為定值.
【題型六】雙曲線的離心率
【典例1】（多選）（2023·海南·統考模擬預測）已知雙曲線的焦點分別為，則下列結論正確的是（ ）
A．漸近線方程為
B．雙曲線與橢圓的離心率互為倒數
C．若雙曲線上一點滿足，則的周長為28
D．若從雙曲線的左 右支上任取一點，則這兩點的最短距離為6
【解析】【答案】CD
【分析】根據橢圓、雙曲線的定義與性質逐項分析判斷.
【詳解】設雙曲線的實軸長為，虛軸長為，焦距，
由題意可知：，且焦點在x軸上，
對于選項A：雙曲線的漸近線方程為，即，故A錯誤；
對于選項B：雙曲線的離心率，
設橢圓的長軸長為，短軸長為，焦距，
則，可得橢圓的離心率，
且，所以雙曲線與橢圓的離心率不互為倒數，故B錯誤；
對于選項C：由雙曲線的定義可知：，
可得，所以的周長為，故C正確；
對于選項D：若從雙曲線的左 右支上任取一點，由雙曲線的對稱性可知這兩點的最短距離為，故D正確；
故選：CD.
【典例2】（2023·四川綿陽·統考二模）已知雙曲線C的方程為：，離心率為，過C的右支上一點，作兩條漸近線的平行線，分別交x軸于M，N兩點，且．過點P作的角平分線，在角平分線上的投影為點H，則的最大值為 ．
【解析】【答案】/
【分析】根據離心率及可求出雙曲線方程，再由雙曲線的定義及中線的向量表示運算即可得解.
【詳解】，
，即，
兩漸近線方程為，
設為右支上一點，則，
設，，
分別令，可得，，
又，
，即，
，
所以雙曲線方程為，故，
延長交于，如圖，

因為平分且，所以，
又，，為中點，
，
，
，
，
即的最大值為.
故答案為：
【典例3】（2023·廣東茂名·茂名市第一中學校考三模）已知雙曲線的離心率為2.
(1)求雙曲線的漸近線方程；
(2)若雙曲線的右焦點為，若直線與的左，右兩支分別交于兩點，過作的垂線，垂足為，試判斷直線是否過定點，若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.
【解析】【答案】(1)；
(2)直線是否過定點，證明見解析.
【分析】（1）根據題意可得，即可得出答案；
（2）設直線的方程，直線與雙曲線的左右兩支分別交于點，則，聯立直線與雙曲線的方程，設，結合韋達定理可得，寫出直線的方程，令，解得,即可得出答案．
【詳解】（1）由雙曲線的離心率為2，
所以，所以，
所以雙曲線的漸近線方程為.
（2）由題意可得直線的斜率不為0，設直線的方程，
因為直線與雙曲線的左右兩支分別交于點，
則，
聯立，得，
設，
則，直線的方程，
令，得
，
所以直線過定點.

【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.
【題型七】雙曲線的應用
【典例1】（多選）（2023·山東濰坊·統考一模）雙曲線的光學性質：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點的切線.平分該點與兩焦點連線的夾角.已知分別為雙曲線的左，右焦點，過右支上一點作直線交軸于點，交軸于點.則（ ）
A．的漸近線方程為 B．點的坐標為
C．過點作，垂足為，則 D．四邊形面積的最小值為4
【解析】【答案】ACD
【分析】根據方程，可直接求出漸近線方程，即可判斷A項；由已知可得，進而結合雙曲線方程，即可得出點的坐標，即可判斷B項；根據雙曲線的光學性質可推得，點為的中點.進而得出，結合雙曲線的定義，即可判斷C項；由，代入利用基本不等式即可求出面積的最小值，判斷D項.
【詳解】對于A項，由已知可得，，所以的漸近線方程為，故A項正確；
對于B項，設，則，整理可得.
又，所以，所以有，解得，所以點的坐標為，故B項錯誤；
對于C項，如上圖，顯然為雙曲線的切線.
由雙曲線的光學性質可知，平分，延長與的延長線交于點.
則垂直平分，即點為的中點.
又是的中點，所以，，故C項正確；
對于D項，，
當且僅當，即時，等號成立.
所以，四邊形面積的最小值為4，故D項正確.
故選：ACD.
【點睛】思路點睛：C項中，結合已知中，給出的雙曲線的光學性質，即可推出.
【典例2】（2022·遼寧·東北育才學校校聯考二模）青花瓷，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一.如圖是一個落地青花瓷，其外形稱為單葉雙曲面，且它的外形左右對稱，可以看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為16，上瓶口圓的直徑為20，上瓶口圓與最小圓圓心間的距離為12，則該雙曲線的離心率為 .
【解析】【答案】
【分析】由題意作出軸截面，最短直徑為，根據已知條件點在雙曲線上，代入雙曲線的標準方程，結合，，的關系可求得離心率的值．
【詳解】由題意作出軸截面如圖：以花瓶最細處橫截面圓的直徑為x軸，的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，
設雙曲線的方程為：，
花瓶最細處橫截面圓直徑為，設B為花瓶上瓶口軸截面上的點，
則由已知可得是雙曲線上的點，且,
故,解得，故
故，
故答案為：．
【典例3】（2021·上海·統考模擬預測）（1）團隊在點西側、東側20千米處設有、兩站點，測量距離發現一點滿足千米，可知在、為焦點的雙曲線上，以點為原點，東側為軸正半軸，北側為軸正半軸，建立平面直角坐標系，在北偏東60°處，求雙曲線標準方程和點坐標.
（2）團隊又在南側、北側15千米處設有、兩站點，測量距離發現千米，千米，求（精確到1米）和點位置（精確到1米，1°）
【解析】【答案】（1），；（2），點位置北偏東.
【分析】（1）求出，，的值即可求得雙曲線方程，求出直線的方程，與雙曲線方程聯立，即可求得點坐標；
（2）分別求出以、為焦點，以，為焦點的雙曲線方程，聯立即可求得點的坐標，從而求得，及點位置．
【詳解】（1）由題意可得，，所以，
所以雙曲線的標準方程為，
直線，聯立雙曲線方程，可得，，
即點的坐標為，．
（2）①，則，，所以，
雙曲線方程為；
②，則，，所以，
所以雙曲線方程為，
兩雙曲線方程聯立，得，，
所以米，設與軸夾角為，則，利用計算器求得，
∴點位置北偏東．
三、【培優訓練】
【訓練一】（2021·安徽馬鞍山·統考三模）在平面直角坐標系中，拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）若直線過拋物線焦點，與拋物線相交于，兩點，求證：；
（3）若直線與拋物線相交于，兩點，且，那么直線是否一定過焦點，請說明理由．
【解析】【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）直線不一定過焦點，理由見解析.
【分析】（1）利用拋物線焦點與雙曲線右焦點重合列方程，化簡求得，從而求得拋物線的標準方程.
（2）設出直線的方程，聯立直線的方程與拋物線方程，化簡寫出根與系數關系，由此計算證得.
（3）設出直線的方程，聯立直線的方程和拋物線方程，結合進行化簡，由此證得直線不一定過焦點.
【詳解】（1）拋物線焦點為，
雙曲線可化為，，故其右焦點為，
所以，解得，
所以拋物線方程為.
（2）設直線的方程為，設，
，消去并化簡得，
所以，，
所以.
（3）依題意可知與不平行，設直線的方程為，,
，消去并化簡得，
，，
依題意，
解得或，所以直線過或，不一定過拋物線焦點.
【點睛】圓錐曲線中，求解與向量坐標運算有關的問題，可考慮利用根與系數關系來求解.
【訓練二】（2023·江蘇南京·校考一模）在平面直角坐標系中，已知橢圓的左、右焦點分別、焦距為2，且與雙曲線共頂點．P為橢圓C上一點，直線交橢圓C于另一點Q．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若點P的坐標為，求過P、Q、三點的圓的方程；
(3)若，且，求的最大值．
【解析】【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由焦距為2得到，再由雙曲線的頂點求出，得到，橢圓方程；
（2）求出的方程，與橢圓方程聯立后得到點Q的坐標，待定系數法求出圓的方程；
（3）設，，由向量共線得到，將兩點坐標代入橢圓方程中，求出，從而表達出，結合基本不等式求出最值.
【詳解】（1）雙曲線的頂點坐標為，故，
由題意得，故，
故橢圓的方程為．
（2）因為，，所以的方程為，
由，解得點Q的坐標為．
設過P，Q，三點的圓為，
則，解得，，，
所以圓的方程為；
（3）設，，
則，，
因為，所以，即，
所以，解得，
所以
，
因為，所以，當且僅當，
即時，取等號．最大值為．
【訓練三】（2023·浙江寧波·統考一模）已知雙曲線C：的焦距為6，其中一條漸近線的斜率為，過點的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點，M為線段PQ上與端點不重合的任意一點，過點M且與平行的直線分別交另一條漸近線和C于點
(1)求C的方程；
(2)求的取值范圍.
【解析】【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由漸近線斜率得，結合求得得雙曲線方程；
（2）設.直線的方程為，代入雙曲線方程應用韋達定理得，同時由兩交點在右支得出，然后求出各點坐標計算出并代入韋達定理的結論化此式為關于的函數，從而可求得其取值范圍．
【詳解】（1）由的焦距為6，知，即；
又漸近線方程為，則，
故，即，從而，
因此，雙曲線的方程為.
（2）設.直線的方程為，則.
將直線的方程代入得有兩正根，
則,且，
又，解上述不等式組，得.
因為的方程為，則與的交點橫坐標為
將的方程代入得即為點的橫坐標，
故，
所以，，
即的取值范圍為.
【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線相交中范圍問題，一般設交點坐標為，設直線方程為（或），代入圓錐曲線方程后應用韋達定理得，由相交得出參數范圍，計算出要求范圍的量交代入韋達定理的結論化為所設參數的函數，從而求得其取值范圍，
【訓練四】（2023·云南·云南師大附中校考模擬預測）已知雙曲線：（，）的離心率是，實軸長是2，為坐標原點.設點為雙曲線上任意一點，過點的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，的面積為.
(1)當的方程為時，求的值；
(2)設，求證：為定值.
【解析】【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）首先求雙曲線方程，直線方程與雙曲線方程聯立，得到，并利用兩
角和的正切公式表示，并求，最后代入三角形面積公式，
即可求解；（2）利用向量的坐標表示關系，點的坐標用點的坐標表示，并代入雙曲線方程求，再代入面積公式，即可證明定值.
【詳解】（1）由題意可知，，，，
則，.雙曲線C的方程為.
設，，，
把：代入，得，又，
，，
，.
，
.
（2）證明：雙曲線漸近線方程為，則，.
由，得，.
，，
化簡可得.
，
為定值.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線與雙曲線相交的綜合應用，重點考查弦長公式，
三角恒等變換，以及韋達定理，本題的關鍵是利用點的坐標，正確表示.
【訓練五】（2023上·江蘇連云港·高三統考階段練習）在平面直角坐標系中，已知橢圓：的左，右焦點分別為，，過點且不與軸重合的直線與橢圓交于，兩點（點在點，之間）.
(1)記直線，的斜率分別為，，求的值；
(2)設直線與交于點，求的值.
【解析】【答案】(1)0
(2)1
【分析】（1）設直線l的方程為，聯立方程組，利用韋達定理求參數，從而得的值；
（2）設由對稱關系得的方程和的方程，聯立方程組得，代入橢圓方程，得點在雙曲線上運動，且，恰好為該雙曲線的焦點，從而得的值.
【詳解】（1）設直線l的方程為，，.
聯立方程組，整理得，
則，即，
所以
；
（2）由（1）可知，，故直線與關于直線對稱，
設直線與橢圓的另一個交點為，則與關于軸對稱，
設，則.
所以直線的方程為，直線的方程為，
故點滿足方程組，解得，
因為點在橢圓C上，所以，
即，整理得，
所以點在雙曲線上運動，且，恰好為該雙曲線的焦點，
依題意，點在，之間，所以，得，點在雙曲線的右支上運動，
所以.

【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為；
（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
【訓練六】（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學校考模擬預測）已知雙曲線的離心率為2，右焦點與拋物線的焦點重合，雙曲線的左、右頂點分別為，，點為第二象限內的動點，過點作雙曲線左支的兩條切線，分別與雙曲線的左支相切于兩點，，已知，的斜率之比為.

(1)求雙曲線的方程；
(2)直線是否過定點？若過定點請求出定點坐標，若不過定點請說明理由.
(3)設和的面積分別為和，求的取值范圍.
參考結論：點為雙曲線上一點，則過點的雙曲線的切線方程為.
【解析】【答案】(1)
(2)過定點，定點坐標為
(3)
【分析】（1）由條件確定雙曲線的焦點位置，設其方程，再列出關于的方程，解方程可得雙曲線方程，
（2）設，由條件，的斜率之比為可得，設，，，結合所給結論求切線，方程，由此可得直線的方程，由此判斷結論；
（3）先證明，設，結合設而不求法表示，再通過換元，利用函數的單調性求其取值范圍.
【詳解】（1）由已知雙曲線為焦點在軸上，中心為原點的雙曲線，
設其方程為，
因為雙曲線的離心率為2，
所以，，
又雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的焦點坐標為，
所以，所以，
雙曲線的標準方程為；
（2）知，，設，
所以，，
因為，的斜率之比為，即，
解得，所以點在直線上，
設，，，
則切線方程為：，
則切線方程為：，
因為點既在直線上又在直線上，
即：，，
所以直線的方程為：，化簡可得，
所以直線過定點；

（3）由（2）得直線過定點，所以，，，
所以，點到直線的距離為點到直線的距離的3倍，所以，，
因為，所以，，
若直線的斜率為，則直線與雙曲線的左支的交點為與已知矛盾，
若直線的斜率不存在，則直線的方程為，
直線與雙曲線的交點坐標為，
故切線的方程為，切線的方程為，
此時點的坐標為，與點在第二象限矛盾，
設，
將代入雙曲線中得
，由已知，
方程的判別式，
所以，，，
由已知，
所以，，
所以，，
化簡可得，又，
所以或，
所以的取值范圍為
所以
令，則，
所以
函數在上單調遞增，
所以，
所以，的取值范圍為.

【點睛】關鍵點點睛：解決直線與雙曲線的綜合問題時，要注意：
(1)注意觀察應用題設中的每一個條件，明確確定直線、雙曲線的條件；
(2)強化有關直線與雙曲線聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
四、【強化測試】
【單選題】
1. （2023·全國·模擬預測）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【解析】【答案】A
【分析】由橢圓和雙曲線的定義及條件可求，根據雙曲線離心率的定義可得結果.
【詳解】因為，，依題意，由橢圓及雙曲線的定義得：
，，
由，
解得，而，所以雙曲線的離心率．
故選：A．
2. （2023·遼寧·大連二十四中校聯考模擬預測）已知是橢圓的長軸上的兩個頂點，點是橢圓上異于長軸頂點的任意一點，點與點關于軸對稱，則直線與直線的交點所形成的軌跡為（ ）
A．雙曲線 B．拋物線
C．橢圓 D．兩條互相垂直的直線
【解析】【答案】A
【分析】由題意設出點，坐標，然后求出直線與直線的方程，根據直線方程的特點，兩方程相乘，從而得到點的軌跡方程，進而得解.
【詳解】
由于是橢圓的長軸上的兩個頂點，所以，
設，則，
所以直線的方程為①，直線的方程為②，
①②得，
又因為在橢圓上，所以，即，
所以，即，
即直線與直線的交點在雙曲線上.
故選：A.
3. （2023·福建泉州·統考模擬預測）已知雙曲線的焦距為，則的漸近線方程是（ ）
A． B． C． D．
【解析】【答案】A
【分析】根據雙曲線的性質得到，，即可解得，從而求得答案.
【詳解】由題意得：，解得：，
即雙曲線的方程為，所以的漸近線方程是.
故選：A.
4. （2023上·安徽·高二合肥市第六中學校聯考期中）若雙曲線的焦點與橢圓的焦點重合，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
【解析】【答案】B
【分析】先求出橢圓的焦點，再由兩曲線的焦點重合，列方程可求出的值.
【詳解】因為橢圓的焦點為，
所以雙曲線的焦點為，
故，解得.
故選：B.
5. （2022·新疆·統考模擬預測）已知點是雙曲線上的動點，，分別為其左，右焦點，為坐標原點.則的最大值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【解析】【答案】D
【分析】設在右支上，根據雙曲線的性質求得、且，由已知雙曲線有，結合的范圍求范圍，即可得結果.
【詳解】由雙曲線的對稱性，假設在右支上，即，
由到的距離為，而，
所以，
綜上，，同理，則，
對于雙曲線，有且，
所以，而，即.
故選：D
【點睛】關鍵點點睛：雙曲線上點到焦點距離與到距離的比值為，求焦半徑、，進而結合已知雙曲線求目標式范圍.
6. （2023·甘肅隴南·統考一模）已知雙曲線：的左頂點為，右焦點為，焦距為6，點在雙曲線上，且，，則雙曲線的實軸長為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解析】【答案】A
【分析】運用代入法，結合已知等式進行求解即可.
【詳解】把代入中，得，即，
因為，，
所以，
又，所以，解得，舍去，則.
故選：A
7. （2023·全國·模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與該雙曲線的一條漸近線交于點．若，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【解析】【答案】C
【分析】求出直線與漸近線交點，利用得出關系，即可得解.
【詳解】聯立，可解得，所以，
所以，
．
由，可得，
即，即．
又因為，所以，
所以雙曲線的離心率，
故選：．
8. （2023·全國·模擬預測）圓錐曲線的光學性質在實際生活中有著廣泛的應用．我國首先研制成功的“雙曲線電瓶新聞燈”就是利用了雙曲線的光學性質，即從雙曲線的一個焦點射出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都經過雙曲線的另一個焦點．如圖，已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，當入射光線和反射光線PE互相垂直時（其中P為入射點），，則該雙曲線的離心率為（ ）

A． B．2 C． D．
【解析】【答案】B
【分析】根據三角函數的定義表示出，利用勾股定理表示出，根據雙曲線的定義得到，即得離心率.
【詳解】設雙曲線C的焦距為，因為，，
所以，，
所以，故該雙曲線的離心率為．
故選：B
【多選題】
9. （2023·廣東廣州·統考模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點別為，，過點的直線l與雙曲線的右支相交于兩點，則（ ）
A．若的兩條漸近線相互垂直，則
B．若的離心率為，則的實軸長為
C．若，則
D．當變化時，周長的最小值為
【解析】【答案】ACD
【分析】根據雙曲線的漸近線、離心率、定義、三角形的周長等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】依題意，，
A選項，若雙曲線的兩條漸近線相互垂直，所以，故A正確；
B選項，若的離心率為，
解得，所以實軸長，故B錯誤；
C選項，若，則，
整理得，故C正確；
D選項，根據雙曲線的定義可知，，
兩式相加得，
所以周長為，
當時，取得最小值，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
所以周長的最小值為，故D正確.
故選：ACD
10. （2023·河北衡水·衡水市第二中學校考三模）已知曲線是頂點分別為的雙曲線，點（異于）在上，則（ ）
A．
B．的焦點為
C．的漸近線可能互相垂直
D．當時，直線的斜率之積為1
【解析】【答案】ACD
【分析】根據雙曲線方程的形式特征判斷A、B；求出漸近線，利用漸近線互相垂直求解即可判斷C；設點的坐標，求解斜率之積即可判斷D.
【詳解】若是雙曲線，則，解得，
此時曲線表示焦點在軸上的雙曲線，
其焦點為，，故選項A正確、選項B錯誤；
的漸近線方程為，當時，的漸近線的斜率為，此時兩條漸近線互相垂直，
滿足題意，故選項C正確；
當時，，其頂點坐標分別為，，
設，則，故選項D正確.
故選：ACD.
11. （2023·全國·模擬預測）已知是定圓（為圓心）上的一個動點，是不在圓上的一個定點.若點滿足，且，則點的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線（單支）
【解析】【答案】AB
【分析】由題設可得且在直線上，討論與圓的位置關系，結合橢圓、雙曲線、圓的定義判斷的軌跡.
【詳解】由，得，故，所以.
由知，點在直線上.
當與圓心重合時，為線段的中點，故軌跡是以為圓心的圓（半徑為的一半）.
當在圓內（不與重合）時，，所以的軌跡是以為焦點，為長軸長的橢圓.
當在圓外時，，
所以的軌跡是以為焦點，為實軸長的雙曲線.
若在之間時，軌跡在靠近焦點的分支上；
若在之間時，軌跡在靠近焦點的分支上；
故選：AB.
12. （2023·江蘇蘇州·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的右焦點為，過且傾斜角為的直線分別交的左、右兩支于點，，直線交于另一點，連接，，，則（ ）
A． B． C． D．
【解析】【答案】ABD
【分析】確定直線方程，計算交點坐標，得到，A正確，根據兩點間距離公式得到，B正確，計算，C錯誤，計算到兩直線的距離不相等，正確，得到答案.
【詳解】雙曲線的右焦點為，直線，

，解得或，
即，，根據對稱性知.
對選項A：，故，正確；
對選項B：，，故，正確；
對選項C：，，，
，錯誤；
對選項D：直線，到的距離為，
到的距離為，兩者不相等，，正確；
故選：ABD.
【填空題】
13. （2023·安徽合肥·統考一模）已知雙曲線E：的左右焦點分別為，，A為其右頂點，P為雙曲線右支上一點，直線與軸交于Q點．若，則雙曲線E的離心率的取值范圍為 ．
【解析】【答案】
【分析】根據題意設點并解出Q點坐標為，再根據可得，即可解得，由P為雙曲線右支上一點可得，解不等式即可求得離心率的取值范圍.
【詳解】如下圖所示，根據題意可得，
設，則直線的方程為，
所以直線與軸的交點，
由可得，即，
整理得，即；
又因為P為雙曲線右支上一點，所以，
當時，共線與題意不符，即；
可得，整理得，即，
解得或（舍）；
即雙曲線E的離心率的取值范圍為.
故答案為：
14. （2023·遼寧撫順·校考模擬預測）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，C的離心率為，過且傾斜角為120°的直線l與C交于A，B兩點，若的內切圓的面積為，則C的虛軸長為 ．
【解析】【答案】6
【分析】由題意可得， C的漸近線方程為，的內切圓的半徑為，結合雙曲線的定義可得，聯立直線和雙曲線方程，由韋達定理及弦長公式可得，從而有，求解即可得答案.
【詳解】解：由C的離心率為可知，則，所以C的漸近線方程為．
經過的直線l的傾斜角為120°，
所以A，B都在C的左支上．

因為的內切圓的面積為，
所以的內切圓的半徑為，
所以的面積為，
由雙曲線的定義可知，
所以．
又，
所以，解得，
由題可知，
所以直線l的方程為，
聯立得，
所以，，
則，
所以，解得，則，故C的虛軸長為．
故答案為：6
【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線綜合性問題要緊扣圓錐曲線的定義、韋達定理及弦長公式求解.
15. （2023·海南·校聯考模擬預測）已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的焦距為 .
【解析】【答案】
【分析】利用雙曲線的性質計算即可.
【詳解】由題意可知的漸近線方程，
故雙曲線的焦距為.
故答案為：
16. （2023上·吉林長春·高二校考期末）已知，是雙曲線：的左、右兩個焦點，若直線與雙曲線交于，兩點，且四邊形為矩形，則雙曲線的離心率為 ．
【解析】【答案】
【分析】根據題意由矩形的對角線相等建立方程求出的關系即可求出雙曲線的離心率.
【詳解】因為點在直線上，設，
又因為點在雙曲線上，則，解得，
所以，
整理得：，解得或（舍去），
所以.
故答案是：.
【解答題】
17. （2023·全國·模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，點，且的面積為．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)直線交軸于點，與雙曲線的左、右兩支分別交于點E，F（不同于點A），記直線AE，AF分別與直線交于點M，N，證明：是的中點．
【解析】【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由題意可得關于的方程組，求解方程組可得雙曲線的標準方程；
（2）聯立方程得到一元二次方程，判別式，利用韋達定理，表達出直線方程，,求出，從而判斷為中點.
【詳解】（1）由題知
解得
所以雙曲線的標準方程為．
（2）聯立，
可得．
設，，
則，，
則，．
直線的方程為，
令，得，
直線的方程為，
令，得．
因為
，
所以，
所以，
即是的中點．
18. （2023·四川涼山·三模）已知雙曲線T：的離心率為，且過點．若拋物線C：的焦點F與雙曲線T的右焦點相同．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過點且斜率為正的直線l與拋物線C相交于A，B兩點（A在M，B之間），點N滿足：，求與面積之和的最小值，并求此時直線l的方程．
【解析】【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根據條件先計算雙曲線方程，再根據焦點計算拋物線方程即可；
（2）設l的方程與拋物線聯立，利用韋達定理及線段比例關系將兩個三角形的面積之和轉化為A、B兩點的坐標關系式，再利用基本不等式求最值即可得A、B坐標.
【詳解】（1）由題意得：，解之得，即雙曲線的右焦點為，
，所以；
（2）
根據題意不妨設直線l的方程為，，，，
則由得
∴
∵，∴，
又，
同理，
∴，
當且僅當，時，“＝”成立，
即，
此時，直線l的方程為．
19. （2023·全國·模擬預測）已知雙曲線的虛軸長為，左焦點為F．
(1)設O為坐標原點，若過F的直線l與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，當時，求的面積；
(2)設過F的直線l與C交于M，N兩點，若x軸上存在一點P，使得為定值，求出點P的坐標及該定值．
【解析】【答案】(1)
(2)P的坐標為，定值為0
【分析】（1）由雙曲線C的虛軸長得出的值，再求出雙曲線C的標準方程，從而得出焦點坐標和漸近線方程，設直線l的方程為與雙曲線方程聯立得出點的坐標，得的長，再根據得出的長即可求出的面積；
（2）設，分別求出直線l的斜率不存在和斜率為0時的值，并建立方程求出m的值，為探求一般情況下的值做準備，再根據直線l與坐標軸垂直時求出的m及的值直接研究當時的值是否為0即可．
【詳解】（1）由題意可知，，得，
所以雙曲線C的標準方程為，
則，雙曲線C的漸近線方程為，
由對稱性可知，直線l與垂直和直線l與垂直這兩種情況下的面積是相等，
不妨設直線l與垂直，則直線l的方程為，
則點A在漸近線上，點B在漸近線上，
由，解得，
則，
所以，
易知，
所以，
故的面積．
（2）設，
當軸時，直線l的方程為，代入，解得，
不妨取，，則，
當軸時，直線l的方程為，代入，解得，
不妨取，，則，
令，解得，此時，
當直線l與坐標軸不垂直時，設直線l的方程為，
代入，得，，
設，，則，，
當點P的坐標為時，
．
綜上可知，當點P的坐標為時，為定值0．
20. （2023·全國·模擬預測）已知雙曲線的右頂點為，右焦點為，點到的一條漸近線的距離為，動直線與在第一象限內交于B，C兩點，連接，.
(1)求E的方程；
(2)若，證明：動直線過定點.
【解析】【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據雙曲線的方程寫出漸近線方程以及焦點F的坐標，利用點到直線距離公式求得，即可得到雙曲線的方程；
（2）聯立直線l與雙曲線E的方程，根據韋達定理得到B，C的橫坐標滿足，，由題中條件結合斜率定義及兩角和差的正切公式可得，整理后得到m與k的關系，即可得證.
【詳解】（1）由題可得，雙曲線的一條漸近線方程為，，
則點到的一條漸近線的距離，解得，
所以的方程為.
（2）證明：由（1）可得，，
依題意，直線的斜率一定存在，
所以設直線，，.
因為動直線與在第一象限內交于B，C兩點，且E的一條漸近線斜率為1，所以.
聯立整理得，
則，
根據韋達定理得，，.
由斜率定義得，，.
因為，
所以，
化簡得，，即，
變形得，，①
將代入①整理可得，，②
將，代入②得，
，
化簡得，，即，解得或.
當時，直線，此時直線過點，不符合題意；
當時，直線，此時直線過點.
綜上，動直線過定點.
【點睛】關鍵點點睛：本題第（2）小問中，解題關鍵在于利用斜率與傾斜角的關系及兩角和差的正切公式，將題中條件轉化成與的關系，進而利用韋達定理化簡求解.
21. （2023·全國·模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，A為雙曲線C左支上一點，．
(1)求雙曲線C的離心率；
(2)設點A關于x軸的對稱點為B，D為雙曲線C右支上一點，直線與x軸交點的橫坐標分別為，且，求雙曲線C的方程．
【解析】【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）利用雙曲線定義結合條件中等式，即可求得答案；
（2）設，，，從而表示出直線的方程，繼而求得的表達式，利用即可求得a的值，即得答案.
【詳解】（1）由于A為雙曲線C左支上一點，
由雙曲線的定義可知，
所以．
整理，得，所以，
所以雙曲線C的離心率為．
（2）由（1）可設雙曲線C的標準方程為．

設，，．
直線AD的方程為．
令，則．
直線BD的方程為，
令，則．
所以．
因為，滿足方程，
所以，,
所以,
所以雙曲線C的方程為．
【點睛】關鍵點睛：求解雙故曲線方程時，關鍵在于利用的方程求出的表達式，進而利用求出參數a.
22. （2022·上海浦東新·統考一模）已知雙曲線：的左、右焦點分別是、，左、右兩頂點分別是、，弦AB和CD所在直線分別平行于x軸與y軸，線段BA的延長線與線段CD相交于點如圖)．
⑴若是的一條漸近線的一個方向向量，試求的兩漸近線的夾角；
⑵若，，，，試求雙曲線的方程；
⑶在⑴的條件下，且，點C與雙曲線的頂點不重合，直線和直線與直線l：分別相交于點M和N，試問：以線段MN為直徑的圓是否恒經過定點？若是，請求出定點的坐標；若不是，試說明理由．
【解析】【答案】⑴ ⑵ ⑶圓過x軸上兩個定點和
【分析】⑴ 可得，從而，，即
⑵ 求得即，從而得，代入雙曲線方程知：即可；
⑶ 可得的方程為：，求得，，
令，所以，
以MN為直徑的圓的方程為：，
于是，
即可得圓過x軸上兩個定點．
【詳解】解：⑴ 雙曲線的漸近線方程為：
即，所以，
從而，，
所以
⑵ 設，則由條件知：，，即
所以，，
代入雙曲線方程知：
雙曲線的方程：
⑶ 因為，所以，由⑴知，，所以的方程為：，
令，所以，，令，所以，，令，所以，
故以MN為直徑的圓的方程為：，
即，
即，
若以MN為直徑的圓恒經過定點
于是
所以圓過x軸上兩個定點和
【點睛】本題考查了雙曲線的方程與性質，以及圓過定點問題，屬于中檔題．專題53 雙曲線及其性質
知識梳理 考綱要求
考點預測
常用結論
方法技巧
題型歸類 題型一：雙曲線的定義與標準方程
題型二：雙曲線的焦點與焦距
題型三：雙曲線的范圍與對稱性
題型四：雙曲線的頂點、實軸、虛軸
題型五：雙曲線的漸近線
題型六：雙曲線的離心率
題型七：雙曲線的應用
培優訓練 訓練一：
訓練二：
訓練三：
訓練四：
訓練五：
訓練六：
強化測試 單選題：共8題
多選題：共4題
填空題：共4題
解答題：共6題
一、【知識梳理】
【考綱要求】
1.了解雙曲線的定義，幾何圖形和標準方程，以及它們的簡單幾何性質.2.通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數形結合的思想.
【考點預測】
1.雙曲線的定義
平面內與兩個定點F1，F2的距離差的絕對值等于非零常數(小于|F1F2|)的點的軌跡叫雙曲線.這兩個定點叫雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距.其數學表達式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數且a>0，c>0.
(1)若a(2)若a＝c，則集合P為兩條射線；
(3)若a>c，則集合P為空集.
2.雙曲線的標準方程和幾何性質
標準方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
圖　形
性　質 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a)
漸近線 y＝±x y＝±x
離心率 e＝，e∈(1，＋∞)
實虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實軸，它的長度|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長度|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長
a，b，c的關系 c2＝a2＋b2
【常用結論】
1.過雙曲線的一個焦點且與實軸垂直的弦的長為.
2.離心率e＝＝＝.
3.等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.
4.若漸近線方程為y＝±x，則雙曲線方程可設為－＝λ(λ≠0).
5.雙曲線的焦點到漸近線的距離為b.
6.若P是雙曲線右支上一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，則|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a.
7.焦點三角形的面積：P為雙曲線上的點，F1，F2為雙曲線的兩個焦點，且∠F1PF2＝θ，則△F1PF2的面積為.
【方法技巧】
1.在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結合||PF1|－|PF2||＝2a，運用平方的方法，建立與|PF1|·|PF2|的聯系.
2.用待定系數法求雙曲線的標準方程時，先確定焦點在x軸還是y軸上，設出標準方程，再由條件確定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦點的位置不好確定，可將雙曲線的方程設為－＝λ(λ≠0)或mx2－ny2＝1(mn>0)，再根據條件求解.
3.與雙曲線－＝1有相同漸近線時可設所求雙曲線方程為－＝λ(λ≠0).
4.求雙曲線離心率或其取值范圍的方法：
(1)直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解.
(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉化為含有e的方程(或不等式)求解.
5.雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線可由－＝0即得兩漸近線方程±＝0.
6.雙曲線幾何性質的綜合應用涉及知識較寬，如雙曲線定義、標準方程、對稱性、漸近線、離心率等多方面的知識，在解決此類問題時要注意與平面幾何知識的聯系.
7.與雙曲線有關的取值范圍問題的解題思路
(1)若條件中存在不等關系，則借助此關系直接變換轉化求解.
(2)若條件中沒有不等關系，要善于發現隱含的不等關系或借助曲線中不等關系來解決.
二、【題型歸類】
【題型一】雙曲線的定義與標準方程
【典例1】（多選）（2023·山東濰坊·統考模擬預測）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，右頂點為，過的直線交雙曲線的右支于，兩點（其中點在第一象限內），設，分別為，的內心，則（ ）
A．點的橫坐標為2
B．當時，
C．當時，內切圓的半徑為
D．
【典例2】（2023·上海浦東新·統考三模）已知曲線是焦點在軸上的雙曲線，則實數的取值范圍是 ．
【典例3】（2019·河北·模擬預測）已知雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于3，且經過點（-3,8），直線與雙曲線交于點A、B．
（1）求雙曲線的標準方程；
（2）求△的面積.
【題型二】雙曲線的焦點與焦距
【典例1】（多選）（2023·重慶·統考模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，過點作x軸的垂線與雙曲線交于A，B兩點，若為直角三角形，則（ ）
A．
B．雙曲線的離心率
C．雙曲線的焦距為
D．的面積為
【典例2】（2023·湖南郴州·統考一模）已知雙曲線和橢圓有相同的焦點，則的最小值為 .
【典例3】（2022·全國·高考模擬）給定橢圓方程，求與這個橢圓有公共焦點的雙曲線，使得以它們的交點為頂點的四邊形面積最大，并求相應的四邊形的頂點坐標．
【題型三】雙曲線的范圍與對稱性
【典例1】（多選）（2021·湖南衡陽·衡陽市八中校考模擬預測）已知雙曲線的上下兩個頂點分別是，上下兩個焦點分別是，P是雙曲線上異于的任意一點，給出下列命題，其中是真命題的有（ ）
A．漸近線方程為
B．直線的斜率之積等于定值
C．使為等腰三角形的點P有且僅有4個
D．焦點到漸近線的距離等于b
【典例2】（2022·全國·高三專題練習）若點依次為雙曲線的左、右焦點，且，，. 若雙曲線C上存在點P，使得，則實數b的取值范圍為 .
【典例3】（2023·江蘇淮安·江蘇省鄭梁梅高級中學校考模擬預測）已知雙曲線M：的離心率為，點，分別為其左、右焦點，點為雙曲線M在第一象限內一點，設的平分線PQ交y軸于點Q，當時，.
(1)求雙曲線M的方程；
(2)若，此時直線交雙曲線M于A、B兩點，求面積的最大值.
【題型四】雙曲線的頂點、實軸、虛軸
【典例1】（多選）（2023·河北滄州·校考三模）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線上第一象限內一點，且，，關于的平分線的對稱點恰好在上，則（ ）
A．的實軸長為2
B．的離心率為
C．的面積為
D．的平分線所在直線的方程為
【典例2】（2022·浙江·模擬）已知圓．以圓與坐標軸的交點分別作為雙曲線的一個焦點和頂點，則適合上述條件的雙曲線的標準方程為 ．
【典例3】（2023·江西·校聯考二模）已知橢圓方程：，其離心率為，且分別是其左頂點和上頂點，坐標原點到直線的距離為.
(1)求該橢圓的方程；
(2)已知直線交橢圓于兩點，雙曲線：的右頂點與交雙曲線左支于兩點，求證：直線的斜率為定值，并求出定值.
【題型五】雙曲線的漸近線
【典例1】（多選）（2024·浙江臺州·統考一模）已知為雙曲線：上位于第一象限內一點，過點作x軸的垂線，垂足為，點與點關于原點對稱，點為雙曲線的左焦點，則（ ）
A．若，則
B．若，則的面積為9
C．
D．的最小值為8
【典例2】（2023上·四川成都·高三石室中學校考期中）已知點在雙曲線上，直線是雙曲線的漸近線，則雙曲線的標準方程是
【典例3】（2023·全國·模擬預測）已知雙曲線：的離心率為，左 右焦點分別為，，兩條漸近線為，，垂直于點，直線交于點，為坐標原點.
(1)求的值.
(2)若雙曲線的實軸長為，過點作斜率為的直線（與軸不重合）交于，兩點，是的右頂點，設直線，的斜率分別為，，判斷是否為定值.若是，求出該定值；若不是，請說明理由.
【題型六】雙曲線的離心率
【典例1】（多選）（2023·海南·統考模擬預測）已知雙曲線的焦點分別為，則下列結論正確的是（ ）
A．漸近線方程為
B．雙曲線與橢圓的離心率互為倒數
C．若雙曲線上一點滿足，則的周長為28
D．若從雙曲線的左 右支上任取一點，則這兩點的最短距離為6
【典例2】（2023·四川綿陽·統考二模）已知雙曲線C的方程為：，離心率為，過C的右支上一點，作兩條漸近線的平行線，分別交x軸于M，N兩點，且．過點P作的角平分線，在角平分線上的投影為點H，則的最大值為 ．
【典例3】（2023·廣東茂名·茂名市第一中學校考三模）已知雙曲線的離心率為2.
(1)求雙曲線的漸近線方程；
(2)若雙曲線的右焦點為，若直線與的左，右兩支分別交于兩點，過作的垂線，垂足為，試判斷直線是否過定點，若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由.
【題型七】雙曲線的應用
【典例1】（多選）（2023·山東濰坊·統考一模）雙曲線的光學性質：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經過雙曲線的另一個焦點.由此可得，過雙曲線上任意一點的切線.平分該點與兩焦點連線的夾角.已知分別為雙曲線的左，右焦點，過右支上一點作直線交軸于點，交軸于點.則（ ）
A．的漸近線方程為 B．點的坐標為
C．過點作，垂足為，則 D．四邊形面積的最小值為4
【典例2】（2022·遼寧·東北育才學校校聯考二模）青花瓷，中華陶瓷燒制工藝的珍品，是中國瓷器的主流品種之一.如圖是一個落地青花瓷，其外形稱為單葉雙曲面，且它的外形左右對稱，可以看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為16，上瓶口圓的直徑為20，上瓶口圓與最小圓圓心間的距離為12，則該雙曲線的離心率為 .
【典例3】（2021·上海·統考模擬預測）（1）團隊在點西側、東側20千米處設有、兩站點，測量距離發現一點滿足千米，可知在、為焦點的雙曲線上，以點為原點，東側為軸正半軸，北側為軸正半軸，建立平面直角坐標系，在北偏東60°處，求雙曲線標準方程和點坐標.
（2）團隊又在南側、北側15千米處設有、兩站點，測量距離發現千米，千米，求（精確到1米）和點位置（精確到1米，1°）
三、【培優訓練】
【訓練一】（2021·安徽馬鞍山·統考三模）在平面直角坐標系中，拋物線的焦點與雙曲線的右焦點重合．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）若直線過拋物線焦點，與拋物線相交于，兩點，求證：；
（3）若直線與拋物線相交于，兩點，且，那么直線是否一定過焦點，請說明理由．
【訓練二】（2023·江蘇南京·校考一模）在平面直角坐標系中，已知橢圓的左、右焦點分別、焦距為2，且與雙曲線共頂點．P為橢圓C上一點，直線交橢圓C于另一點Q．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若點P的坐標為，求過P、Q、三點的圓的方程；
(3)若，且，求的最大值．
【訓練三】（2023·浙江寧波·統考一模）已知雙曲線C：的焦距為6，其中一條漸近線的斜率為，過點的直線l與雙曲線C的右支交于P，Q兩點，M為線段PQ上與端點不重合的任意一點，過點M且與平行的直線分別交另一條漸近線和C于點
(1)求C的方程；
(2)求的取值范圍.
【訓練四】（2023·云南·云南師大附中校考模擬預測）已知雙曲線：（，）的離心率是，實軸長是2，為坐標原點.設點為雙曲線上任意一點，過點的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，的面積為.
(1)當的方程為時，求的值；
(2)設，求證：為定值.
【訓練五】（2023上·江蘇連云港·高三統考階段練習）在平面直角坐標系中，已知橢圓：的左，右焦點分別為，，過點且不與軸重合的直線與橢圓交于，兩點（點在點，之間）.
(1)記直線，的斜率分別為，，求的值；
(2)設直線與交于點，求的值.
【訓練六】（2023·湖南邵陽·邵陽市第二中學校考模擬預測）已知雙曲線的離心率為2，右焦點與拋物線的焦點重合，雙曲線的左、右頂點分別為，，點為第二象限內的動點，過點作雙曲線左支的兩條切線，分別與雙曲線的左支相切于兩點，，已知，的斜率之比為.

(1)求雙曲線的方程；
(2)直線是否過定點？若過定點請求出定點坐標，若不過定點請說明理由.
(3)設和的面積分別為和，求的取值范圍.
參考結論：點為雙曲線上一點，則過點的雙曲線的切線方程為.
四、【強化測試】
【單選題】
1. （2023·全國·模擬預測）已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
2. （2023·遼寧·大連二十四中校聯考模擬預測）已知是橢圓的長軸上的兩個頂點，點是橢圓上異于長軸頂點的任意一點，點與點關于軸對稱，則直線與直線的交點所形成的軌跡為（ ）
A．雙曲線 B．拋物線
C．橢圓 D．兩條互相垂直的直線
3. （2023·福建泉州·統考模擬預測）已知雙曲線的焦距為，則的漸近線方程是（ ）
A． B． C． D．
4. （2023上·安徽·高二合肥市第六中學校聯考期中）若雙曲線的焦點與橢圓的焦點重合，則的值為（ ）
A．2 B．3 C．6 D．7
5. （2022·新疆·統考模擬預測）已知點是雙曲線上的動點，，分別為其左，右焦點，為坐標原點.則的最大值是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
6. （2023·甘肅隴南·統考一模）已知雙曲線：的左頂點為，右焦點為，焦距為6，點在雙曲線上，且，，則雙曲線的實軸長為（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7. （2023·全國·模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與該雙曲線的一條漸近線交于點．若，則該雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
8. （2023·全國·模擬預測）圓錐曲線的光學性質在實際生活中有著廣泛的應用．我國首先研制成功的“雙曲線電瓶新聞燈”就是利用了雙曲線的光學性質，即從雙曲線的一個焦點射出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都經過雙曲線的另一個焦點．如圖，已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，當入射光線和反射光線PE互相垂直時（其中P為入射點），，則該雙曲線的離心率為（ ）

A． B．2 C． D．
【多選題】
9. （2023·廣東廣州·統考模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點別為，，過點的直線l與雙曲線的右支相交于兩點，則（ ）
A．若的兩條漸近線相互垂直，則
B．若的離心率為，則的實軸長為
C．若，則
D．當變化時，周長的最小值為
10. （2023·河北衡水·衡水市第二中學校考三模）已知曲線是頂點分別為的雙曲線，點（異于）在上，則（ ）
A．
B．的焦點為
C．的漸近線可能互相垂直
D．當時，直線的斜率之積為1
11. （2023·全國·模擬預測）已知是定圓（為圓心）上的一個動點，是不在圓上的一個定點.若點滿足，且，則點的軌跡是（ ）
A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線（單支）
12. （2023·江蘇蘇州·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的右焦點為，過且傾斜角為的直線分別交的左、右兩支于點，，直線交于另一點，連接，，，則（ ）
A． B． C． D．
【填空題】
13. （2023·安徽合肥·統考一模）已知雙曲線E：的左右焦點分別為，，A為其右頂點，P為雙曲線右支上一點，直線與軸交于Q點．若，則雙曲線E的離心率的取值范圍為 ．
14. （2023·遼寧撫順·校考模擬預測）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，C的離心率為，過且傾斜角為120°的直線l與C交于A，B兩點，若的內切圓的面積為，則C的虛軸長為 ．
15. （2023·海南·校聯考模擬預測）已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的焦距為 .
16. （2023上·吉林長春·高二校考期末）已知，是雙曲線：的左、右兩個焦點，若直線與雙曲線交于，兩點，且四邊形為矩形，則雙曲線的離心率為 ．
【解答題】
17. （2023·全國·模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，點，且的面積為．
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)直線交軸于點，與雙曲線的左、右兩支分別交于點E，F（不同于點A），記直線AE，AF分別與直線交于點M，N，證明：是的中點．
18. （2023·四川涼山·三模）已知雙曲線T：的離心率為，且過點．若拋物線C：的焦點F與雙曲線T的右焦點相同．
(1)求拋物線C的方程；
(2)過點且斜率為正的直線l與拋物線C相交于A，B兩點（A在M，B之間），點N滿足：，求與面積之和的最小值，并求此時直線l的方程．
19. （2023·全國·模擬預測）已知雙曲線的虛軸長為，左焦點為F．
(1)設O為坐標原點，若過F的直線l與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點，當時，求的面積；
(2)設過F的直線l與C交于M，N兩點，若x軸上存在一點P，使得為定值，求出點P的坐標及該定值．
20. （2023·全國·模擬預測）已知雙曲線的右頂點為，右焦點為，點到的一條漸近線的距離為，動直線與在第一象限內交于B，C兩點，連接，.
(1)求E的方程；
(2)若，證明：動直線過定點.
21. （2023·全國·模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，A為雙曲線C左支上一點，．
(1)求雙曲線C的離心率；
(2)設點A關于x軸的對稱點為B，D為雙曲線C右支上一點，直線與x軸交點的橫坐標分別為，且，求雙曲線C的方程．
22. （2022·上海浦東新·統考一模）已知雙曲線：的左、右焦點分別是、，左、右兩頂點分別是、，弦AB和CD所在直線分別平行于x軸與y軸，線段BA的延長線與線段CD相交于點如圖)．
⑴若是的一條漸近線的一個方向向量，試求的兩漸近線的夾角；
⑵若，，，，試求雙曲線的方程；
⑶在⑴的條件下，且，點C與雙曲線的頂點不重合，直線和直線與直線l：分別相交于點M和N，試問：以線段MN為直徑的圓是否恒經過定點？若是，請求出定點的坐標；若不是，試說明理由．

展開更多......

收起↑