資源簡介

專題2 求數列的前n項和
數列求和是數列問題中的基本題型，是數列部分的重點內容，在高考中也占據重要地位，它具有復雜多變、綜合性強、解法靈活等特點．數列求和的方法主要有公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分組求和法、并項求和法等．
一、公式法
（1）直接利用公式求和：
等差數列的前n項和；等比數列的前n項和.
（2）特殊數列的前項和：
①；②；
③；④.
【典例1】設為等差數列，為正項等比數列，，，，分別求出及的前10項的和及．
二、倒序相加法
如果一個數列首末兩端等“距離”的兩項的和相等，那么求這個數列的前項和即可用倒序相加法，類比推導等差數列的前項和公式，將數列反序，再與原數列相加.
【典例1】已知函數滿足，若數列滿足，則數列的前20項的和為（）
A．230 B．115 C．110 D．100
【變式1】已知函數，求．
【變式2】德國大數學家高斯被譽為數學界的王子．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規律生成．因此，此方法也稱為高斯算法．現有函數，求的值.
【變式3】設函數，設，．求數列的通項公式．
三、錯位相減法
若數列是等差數列,數列是等比數列,求數列的前項和時,將的各項乘等比數列的公比寫出和,然后將兩式錯項對齊,同次項對應相減寫出，轉化為特殊數列的求和.
【典例1】等比數列的各項均為正數，且，.
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和.
【變式1】（2023全國甲卷）設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
【典例2】（2021全國乙卷）設是首項為1的等比數列，數列滿足．已知，，成等差數列．
（1）求和的通項公式；
（2）記和分別為和的前n項和．證明：．
四、裂項相消法
（1）適用數列：形如(bn－an＝d，d為常數)的數列可以用裂項求和.
（2）常見裂項：
等差型裂項：
①；②；③.
根式型裂項：
①；②；③.
指數型裂項：
①；②.
【典例1】設數列滿足.
（1）求的通項公式；
（2）求數列的前項和．
【變式1】等差數列各項均為正數，，前n項和為，等比數列中，，且．
(1)求與；
(2)證明：．
【典例2】設數列的前n項和為，滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)記，求數列的前n項和.
【典例3】已知為等比數列的前n項和，若，，成等差數列，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，且數列的前n項和為，證明：.
五、分組求和法
某些數列，通過適當分組，可得出兩個或幾個等差數列或等比數列，進而利用等差數列或等比數列的求和公式分別求和，從而得出原數列的和．
【典例1】等差數列中，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求的值．
六、并項求和法
當通項中含有或或含有時，數列中相鄰兩項的符號異號，可以考慮使用奇偶并項法將相鄰兩項合并后求和，對項數的奇偶分別進行求和.
【典例1】已知數列的前項和為，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和.
【典例2】1．已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，．
七、通項含絕對值的數列求和
【典例1】記為等差數列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前項和．專題2 求數列的前n項和
數列求和是數列問題中的基本題型，是數列部分的重點內容，在高考中也占據重要地位，它具有復雜多變、綜合性強、解法靈活等特點．數列求和的方法主要有公式法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分組求和法、并項求和法等．
一、公式法
（1）直接利用公式求和：
等差數列的前n項和；等比數列的前n項和.
（2）特殊數列的前項和：
①；②；
③；④.
【典例1】設為等差數列，為正項等比數列，，，，分別求出及的前10項的和及．
【答案】；．
【分析】利用等差等比數列的性質，．結合已知條件求得，．進而求得等差數列的公差和等比數列的公比，進而利用求和公式求和.
【詳解】解：∵為等差數列，為等比數列，，．
又∵，，∴，，即，
又∵，∴，則．
由知，為公差為的等差數列．
∴．
由知，為公比為的等比數列，
.
二、倒序相加法
如果一個數列首末兩端等“距離”的兩項的和相等，那么求這個數列的前項和即可用倒序相加法，類比推導等差數列的前項和公式，將數列反序，再與原數列相加.
【典例1】已知函數滿足，若數列滿足，則數列的前20項的和為（）
A．230 B．115 C．110 D．100
【答案】B
【分析】利用倒序相加法即可求得前20項的和.
【詳解】，①
，②
兩式相加，又因為
故，所以
所以的前20項的和為
故選：B
【變式1】已知函數，求．
【答案】/
【解析】，
，
設①，
則②，
①+②得
，.
【變式2】德國大數學家高斯被譽為數學界的王子．在其年幼時，對的求和運算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數據前后對應項的和呈現一定的規律生成．因此，此方法也稱為高斯算法．現有函數，求的值.
【答案】1009
【分析】根據給定的函數式，求出，再利用倒序相加法求和作答.
【詳解】由函數，得，
令，
則，
兩式相加得，解得，
所以所求值為1009.
故答案為：1009
【變式3】設函數，設，．求數列的通項公式．
【答案】
【分析】通過，將已知倒序相加得出的式子，注意是否滿足即可.
【詳解】；
時，，
，
相加得，
所以，又，
所以對一切正整數，有；
三、錯位相減法
若數列是等差數列,數列是等比數列,求數列的前項和時,將的各項乘等比數列的公比寫出和,然后將兩式錯項對齊,同次項對應相減寫出，轉化為特殊數列的求和.
【典例1】等比數列的各項均為正數，且，.
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據等比數列的通項公式，結合等比數列的下標性質進行求解即可；
（2）利用錯位相減法進行求解即可.
【詳解】解：（1）設數列的公比為，
則，由
得：，所以.
由，得到
所以數列的通項公式為.
（2）由條件知，
又
將以上兩式相減得
所以.
【變式1】（2023全國甲卷）設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據即可求出；
（2）根據錯位相減法即可解出．
【詳解】（1）因為，
當時，，即；
當時，，即，
當時，，所以，
化簡得：，當時，，即，
當時都滿足上式，所以．
（2）因為，所以，
，
兩式相減得，
，
，即，．
【典例2】（2021全國乙卷）設是首項為1的等比數列，數列滿足．已知，，成等差數列．
（1）求和的通項公式；
（2）記和分別為和的前n項和．證明：．
【答案】（1），；（2）證明見解析.
【分析】（1）利用等差數列的性質及得到，解方程即可；
（2）利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.
【詳解】（1）因為是首項為1的等比數列且，，成等差數列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）證明：由（1）可得，
，①
，②
①②得，
所以，
所以，所以.
四、裂項相消法
（1）適用數列：形如(bn－an＝d，d為常數)的數列可以用裂項求和.
（2）常見裂項：
等差型裂項：
①；②；③.
根式型裂項：
①；②；③.
指數型裂項：
①；②.
【典例1】設數列滿足.
（1）求的通項公式；
（2）求數列的前項和．
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）利用遞推公式,作差后即可求得的通項公式.
（2）將的通項公式代入,可得數列的表達式.利用裂項法即可求得前項和.
【詳解】（1）數列滿足
時,
∴
∴
當時,,上式也成立
∴
（2）
∴數列的前n項和
【變式1】等差數列各項均為正數，，前n項和為，等比數列中，，且．
(1)求與；
(2)證明：．
【答案】(1);
(2)證明見詳解.
【詳解】（1）設公差為，公比為，
則，
解得或（舍去），
則；
（2）由（1）得，
則，
則，
則
.
【典例2】設數列的前n項和為，滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)記，求數列的前n項和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據與的關系即可求出數列的通項公式
（2），利用裂項相消法即可求出數列的和.
【詳解】（1）當時，，解得，
當時，，，
即，即，
所以數列是首項為2，公比為2的等比數列，所以.
（2）由（1）知，
，
所以
.
【典例3】已知為等比數列的前n項和，若，，成等差數列，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，且數列的前n項和為，證明：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）首先列方程，求公比；其次，列方程，求首項；最后求出數列的通項公式；
（2）求出，然后運用裂項相消法求出可得結論.
【詳解】（1）設數列的公比為q，
由，，成等差數列可得，
故，解得，
由可得，
解得，故，即數列的通項公式為.
（2）由（1）可得，
故.
當時，取得最大值，當時，
，
故.
五、分組求和法
某些數列，通過適當分組，可得出兩個或幾個等差數列或等比數列，進而利用等差數列或等比數列的求和公式分別求和，從而得出原數列的和．
【典例1】等差數列中，，．
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求的值．
【答案】（1）；（2）
【詳解】（Ⅰ）設等差數列的公差為．
由已知得，
解得．
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．
所以
．
六、并項求和法
當通項中含有或或含有時，數列中相鄰兩項的符號異號，可以考慮使用奇偶并項法將相鄰兩項合并后求和，對項數的奇偶分別進行求和.
【典例1】已知數列的前項和為，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）當時，，所以；
當時，因為，所以，
兩式作差得，即，
因為，所以數列是首項為3，公比為3的等比數列，
故.
（2），
當為偶數時，前項和；
當為奇數時，前項和，
則
【典例2】1．已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，．
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）設等差數列的公差為，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的結論求出，，再分奇偶結合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結論求出，，再分奇偶借助等差數列前n項和公式求出，并與作差比較作答.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，而，
則，
于是，解得，，
所以數列的通項公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
當為偶數時，，
，
當時，，因此，
當為奇數時，，
當時，，因此，
所以當時，.
方法2：由（1）知，，，
當為偶數時，，
當時，，因此，
當為奇數時，若，則
，顯然滿足上式，因此當為奇數時，，
當時，，因此，
所以當時，.
七、通項含絕對值的數列求和
【典例1】記為等差數列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前項和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意列式求解，進而可得結果；
（2）先求，討論的符號去絕對值，結合運算求解.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，
由題意可得，即，解得，
所以，
（2）因為，
令，解得，且，
當時，則，可得；
當時，則，可得
；
綜上所述：.

展開更多......

收起↑