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專題04 雙曲線15種常見考法歸類
思維導(dǎo)圖
核心考點聚焦
考點一、求雙曲線的標準方程
考點二、雙曲線的焦點三角形
考點三、雙曲線定義的應(yīng)用
考點四、雙曲線的對稱性
考點五、與雙曲線有關(guān)的軌跡方程
考點六、雙曲線的離心率
(一)求雙曲線的離心率
(二)求雙曲線離心率的取值范圍
(三)由雙曲線的離心率求參數(shù)的取值范圍
考點七、與雙曲線的漸近線有關(guān)的問題
考點八、直線與雙曲線的位置關(guān)系
考點九、直線與雙曲線的弦長問題
考點十、直線與雙曲線的中點弦問題
考點十一、雙曲線中的向量問題
考點十二、雙曲線中參數(shù)范圍及最值問題
考點十三、雙曲線的定點、定值問題
考點十四、雙曲線的實際應(yīng)用
考點十五、雙曲線中的存在性(探索性)問題
知識點1 雙曲線的定義
把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．
注：1、集合語言表達式
雙曲線就是下列點的集合:.常數(shù)要小于兩個定點的距離．
2、對雙曲線定義中限制條件的理解
(1)當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|時，M的軌跡不存在．
(2)當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|時，M的軌跡是分別以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線．
(3)當(dāng)||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|時，M的軌跡是線段F1F2的垂直平分線．
(4)若將定義中的絕對值去掉，其余條件不變，則動點的軌跡為雙曲線的一支．具體是哪一支,取決于與的大小.
①若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支;
②若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支.
知識點2 雙曲線的方程及簡單幾何性質(zhì)
標準方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
性質(zhì) 圖形
焦點 F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范圍 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
軸 實軸：線段A1A2，長：； 虛軸：線段B1B2，長：； 半實軸長：，半虛軸長：
離心率 e＝∈(1，＋∞)
漸近線 y＝±x y＝±x
知識點3 雙曲線的焦點三角形
雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形稱為焦點三角形．解決焦點三角形問題常利用雙曲線的定義和正弦定理、余弦定理．
以雙曲線上一點P(x0，y0)(y0≠0)和焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則
(1)雙曲線的定義：
(2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
(3)面積公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，
重要結(jié)論：S△PF1F2=
推導(dǎo)過程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得
由三角形的面積公式可得
S△PF1F2=
=
知識點4 直線與雙曲線的位置關(guān)系
1、把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過消元后化為ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情況下考察方程的判別式．
(1)Δ>0時，直線與雙曲線有兩個不同的公共點．
(2)Δ＝0時，直線與雙曲線只有一個公共點．
(3)Δ<0時，直線與雙曲線沒有公共點．
當(dāng)a＝0時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個公共點．
注：直線與雙曲線的關(guān)系中：一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支．
弦長公式
直線被雙曲線截得的弦長公式，設(shè)直線與橢圓交于，兩點，則
（為直線斜率）
3、通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于、兩點，則弦長.
1、雙曲線方程的辨識方法
將雙曲線的方程化為標準方程的形式，假如雙曲線的方程為＋＝1，則當(dāng)mn<0時，方程表示雙曲線．若則方程表示焦點在x軸上的雙曲線；若則方程表示焦點在y軸上的雙曲線．　　
2、求雙曲線標準方程的步驟
(1)定位：是指確定與坐標系的相對位置，在標準方程的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以確定方程的形式．
(2)定量：是指確定a2，b2的數(shù)值，常由條件列方程組求解．
3、雙曲線標準方程的兩種求法
(1)定義法：根據(jù)雙曲線的定義得到相應(yīng)的a，b，c，再寫出雙曲線的標準方程．
(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出雙曲線的標準方程－＝1或－＝1(a，b均為正數(shù))，然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù)代入方程即可．
注：若焦點的位置不明確，應(yīng)注意分類討論，也可以設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1的形式，注意標明條件mn<0.　　　　
4、雙曲線漸近線的求法和設(shè)法
(1)若雙曲線方程為漸近線方程：
(2)若雙曲線方程為（，）漸近線方程：
(3)若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，
(4)若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點在軸上，，焦點在軸上）
5、求雙曲線離心率的兩種方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解．
(2)方程法：若無法求出a，b，c的具體值，但根據(jù)條件可確定a，b，c之間的關(guān)系，可通過b2＝c2－a2，將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程，借助于e＝，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的n次方程求解．如若得到的是關(guān)于a，c的齊次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r為常數(shù)，且p≠0)，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
6、直線和雙曲線的一些重要結(jié)論
(1)判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系時，通常是將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，方程組解的個數(shù)就是直線與雙曲線交點的個數(shù)，聯(lián)立方程消去x或y中的一個后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2項或y2項系數(shù)是否為零的情況，否則容易漏解．
(2)直線y＝kx＋b與雙曲線相交所得的弦長d＝·|x1－x2|＝ |y1－y2|.　　
(3)雙曲線中點弦的斜率公式
設(shè)為雙曲線弦（不平行軸）的中點，則有
證明：設(shè)，，則有， 兩式相減得：
整理得：，即，因為是弦的中點，
所以： ， 所以
7、雙曲線的實際應(yīng)用
(1)雙曲線在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，解答該類問題的關(guān)鍵是從實際問題中挖掘出所有相關(guān)條件，將實際問題轉(zhuǎn)化為求雙曲線的標準方程的問題．
(2)利用雙曲線解決實際問題的基本步驟如下：
①建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼担?br/>②求出雙曲線的標準方程．
③根據(jù)雙曲線的方程及定義解決實際應(yīng)用問題(注意實際意義)．
考點剖析
考點一、求雙曲線的標準方程
1.雙曲線過點，且離心率為2，則該雙曲線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
2.已知雙曲線的右焦點為，一條漸近線方程為，則C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
3.已知雙曲線過點，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的標準方程是（ ）
A． B．
C． D．
4.與雙曲線有相同漸近線，且與橢圓有共同焦點的雙曲線方程是（ ）
A． B． C． D．
5.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，，P為C上一點，的中點為Q，為等邊三角形，則雙曲線C的方程為（ ）．
A． B．
C． D．
6.已知點分別是等軸雙曲線的左、右焦點，為坐標原點，點在雙曲線上，，的面積為8，則雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
考點二、雙曲線的焦點三角形
7.雙曲線上一點P到它的一個焦點的距離等于6，那么點P到另一個焦點的距離為（ ）
A．2 B．10 C．14 D．2或10
8.設(shè)，是雙曲線C：的左、右焦點，過的直線與C的右支交于P，Q兩點，則（ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
9.設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點．若點P在雙曲線上，且，則_________，_________；
10.設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，且，則的大小為__________．
11.若是雙曲線的左、右焦點，點在該雙曲線上，且是等腰三角形，則的周長是________.
12.已知點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線=1的左、右焦點，若點P是雙曲線左支上的點，且，則△的面積為____.
13.已知分別是雙曲線的左、右焦點，P是C上位于第一象限的一點，且，則的面積為（ ）
A．2 B．4 C． D．
14.設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，離心率為．是上一點，且．若的面積為，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
15.【多選】已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點，P是C上一點，且位于第一象限，，則（ ）
A．P的縱坐標為 B．
C．的周長為 D．的面積為4
考點三、雙曲線定義的應(yīng)用
16.“，”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
17.“”是“為雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
18.已知曲線C：，則下列說法不正確的是（ ）
A．若，則C是橢圓，其焦點在y軸上
B．若，則C是雙曲線，其漸近線方程為
C．若，則C是圓，其半徑是
D．若，則C是兩條直線
19.若曲線表示雙曲線，那么實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
20.若，則“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
21.已知表示焦點在軸上的雙曲線有個，表示焦點在軸上的橢圓有個，則的值為（ ）
A．10 B．14 C．18 D．22
22.已知F是雙曲線C：的右焦點，P是C的左支上一點，，則的最小值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
23.已知，雙曲線的左、右焦點分別為，，點是雙曲線左支上一點，則的最小值為（　　）
A．5 B．7 C．9 D．11
24.已知雙曲線的下焦點為，，是雙曲線上支上的動點，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
考點四、雙曲線的對稱性
25.已知拋物線的焦點與雙曲線的焦點重合，的漸近線恰為矩形的邊，所在直線(為坐標原點)，則雙曲線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
26.已知雙曲線的離心率為，右焦點為，直線均過點且互相垂直，與雙曲線的右支交于兩點，與雙曲線的左支交于點，為坐標原點，當(dāng)三點共線時，（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
27.已知雙曲線M：的離心率為，A，B分別是它的兩條漸近線上的兩點（不與原點O重合），的外心為P，面積為12，若雙曲線M經(jīng)過點P，則該雙曲線的實軸長為（ ）
A． B． C． D．
考點五、與雙曲線有關(guān)的軌跡方程
28.一動圓過定點，且與已知圓：相切，則動圓圓心的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
29.已知是圓上的一動點，點，線段的垂直平分線交直線于點，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
30.設(shè)點，，為動點，已知直線與直線的斜率之積為定值，點的軌跡是（ ）
A． B．
C． D．
31.已知的兩個頂點A，B的坐標分別是、，且，所在直線的斜率之積等于2，則頂點C的軌跡方程是（ ）
A．（） B．
C． D．（）
考點六、雙曲線的離心率
求雙曲線的離心率
32.已知雙曲線的焦點在軸上，漸近線方程為，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
33.已知雙曲線C的中心在坐標原點，其中一個焦點為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，且AB的中點為，則C的離心率為( )
A． B． C． D．
34.已知分別為雙曲線的左 右焦點，過的直線與雙曲線交左支交于兩點，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
35.設(shè)分別是雙曲線的左 右焦點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
36.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，P是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
37.已知雙曲線，（，）的左、右焦點分別為，，過點作一條斜率為的直線與雙曲線在第一象限交于點M，且，則雙曲線C的離心率為 .
求雙曲線離心率的取值范圍
38.已知雙曲線（a＞0，b＞0）與直線y＝2x有交點，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A．（1，） B．（1，] C．（，＋∞） D．[ ，＋∞）
39.已知點F為雙曲線（，）的右焦點，若雙曲線左支上存在一點P，使直線與圓相切，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
40.已知雙曲線E：的左右焦點分別為，，A為其右頂點，P為雙曲線右支上一點，直線與軸交于Q點．若，則雙曲線E的離心率的取值范圍為 ．
41.已知過點可作雙曲線的兩條切線，若兩個切點分別在雙曲線的左、右兩支上，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
由雙曲線的離心率求參數(shù)的取值范圍
42.設(shè)k為實數(shù)，已知雙曲線的離心率，則k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
43.已知雙曲線的離心率大于，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
44.已知雙曲線的左 右焦點分別為，直線在第一象限交雙曲線C右支于點A.若雙曲線的離心率滿足，且，則k的取值范圍是 .
考點七、與雙曲線的漸近線有關(guān)的問題
45.已知雙曲線，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
46.若雙曲線經(jīng)過點，則該雙曲線的漸近線方程為 ．
47.雙曲線的右焦點到其漸近線的距離為（ ）
A． B． C． D．
48.雙曲線的離心率為，則的一條漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
49.已知F為雙曲線的左焦點，點，若直線與雙曲線僅有一個公共點，則（ ）
A． B．2 C． D．
50.設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上一點，若，，，則雙曲線的兩條漸近線的夾角為（ ）
A．90° B．45° C．60° D．30°
考點八、直線與雙曲線的位置關(guān)系
51.已知直線與雙曲線沒有公共點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C． D．
52.過點作直線，使與雙曲線有且僅有一個公共點，這樣的直線共有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
53.直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，則的取值范圍為（ ）
A．或 B．
C． D．
54.已知直線l： 和雙曲線C：，若l與C的上支交于不同的兩點，則t的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
55.已知直線與曲線僅有三個交點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
56.已知直線，曲線，則“l(fā)與C相切”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
考點九、直線與雙曲線的弦長問題
57.已知雙曲線，過點的直線l與雙曲線C交于M N兩點，若P為線段MN的中點，則弦長|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
58.已知雙曲線C：的一條漸近線方程是，過其左焦點作斜率為2的直線l交雙曲線C于A，B兩點，則截得的弦長（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
59.已知雙曲線：的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，.以線段為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點，且點在第一象限，與另一條漸近線平行.若，則的面積是（ ）
A． B． C． D．
考點十、直線與雙曲線的中點弦問題
60.過點作直線l與雙曲線交于點A，B，若P恰為AB的中點，則直線l的條數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能確定
61.已知雙曲線過點作一直線交雙曲線于A、B兩點，并使P為AB的中點，則直線AB的斜率為（　　）
A．3 B．4
C．5 D．6
62.已知雙曲線的離心率為2，過點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，且點P恰好是弦的中點，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
63.已知點A，B在雙曲線上，線段AB的中點為，則（ ）
A． B． C． D．
64.已知雙曲線與直線相交于A、B兩點，弦AB的中點M的橫坐標為，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
考點十一、雙曲線中的向量問題
65.已知，點P滿足，動點M，N滿足，，則的最小值是____________．
66.雙曲線：，已知是雙曲線上一點，分別是雙曲線的左右頂點，直線，的斜率之積為.
(1)求雙曲線的離心率；
(2)若雙曲線的焦距為，直線過點且與雙曲線交于、兩點，若，求直線的方程.
67.已知雙曲線（，）中，離心率，實軸長為4
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)已知直線：與雙曲線交于，兩點，且在雙曲線存在點，使得，求的值.
68.已知雙曲線C：的漸近線方程為，且過點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若F是雙曲線的右焦點，Q是雙曲線上的一點，過點F，Q的直線l與y軸交于點M，且，求直線l的斜率．
考點十二、雙曲線中參數(shù)范圍及最值問題
69.已知為焦點在軸上的雙曲線，其離心率為，為上一動點（除頂點），過點的直線，分別經(jīng)過雙曲線的兩個頂點，已知直線的斜率，則直線的斜率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
70.【多選】已知實數(shù)滿足，則下列正確的選項有（ ）
A．的最小值為
B．的取值范圍為
C．的最大值為
D．的最小值為
71.點是雙曲線上一動點，過做圓的兩條切線，切點為，，則的最小值為 .
72.已知雙曲線：（，）的離心率為，點到其左右焦點，的距離的差為2．
(1)求雙曲線的方程；
(2)在直線上存在一點，過作兩條相互垂直的直線均與雙曲線相切，求的取值范圍．
考點十三、雙曲線的定點、定值問題
73.已知雙曲線的左 右焦點分別為，離心率為，直線交于兩點，且.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若點，直線與軸分別相交于兩點，且為坐標原點，證明：直線過定點.
74.已知雙曲線C與橢圓有相同的焦點，是C上一點.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)記C的右頂點為M，與x軸平行的直線l與C交于A，B兩點，求證：以AB為直徑的圓過點M.
75.已知雙曲線：的離心率為，且右焦點到其漸近線的距離為．
(1)求雙曲線方程；
(2)設(shè)為雙曲線右支上的動點．在軸負半軸上是否存在定點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
76.已知雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為且過點
(1)求雙曲線方程；
(2)若過斜率的直線與該雙曲線相交于M，N兩點，且雙曲線與對應(yīng)的頂點為T.試探討直線MT與直線NT的斜率之積是否為定值.若是定值，請求出該值；若不是定值，請說明理由.
77.已知雙曲線的左、右頂點分別為，右焦點為，點P為C上一動點（異于兩點），直線和直線與直線分別交于M，N兩點，當(dāng)垂直于x軸時，的面積為2．
(1)求C的方程；
(2)求證：為定值，并求出該定值．
78.已知雙曲線：與雙曲線有相同的焦點；且的一條漸近線與直線平行.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線右支相切（切點不為右頂點），且分別交雙曲線的兩條漸近線于兩點，為坐標原點，試判斷的面積是否為定值，若是，請求出；若不是，請說明理由.
79.已知雙曲線：（，）的漸近線方程為，焦距為10，，為其左右頂點．
(1)求的方程；
(2)設(shè)點是直線：上的任意一點，直線、分別交雙曲線于點、，，垂足為，求證：存在定點，使得是定值．
考點十四、雙曲線的實際應(yīng)用
80.單葉雙曲面是最受設(shè)計師青睞的結(jié)構(gòu)之一，它可以用直的鋼梁建造，既能減少風(fēng)的阻力，又能用最少的材料來維持結(jié)構(gòu)的完整.如圖1，俗稱小蠻腰的廣州塔位于中國廣州市，它的外形就是單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.某市計劃建造類似于廣州塔的地標建筑，此地標建筑的平面圖形是雙曲線，如圖2，最細處的直徑為 ，樓底的直徑為，樓頂直徑為，最細處距樓底 ，則該地標建筑的高為（ ）
A． B． C． D．
81.如圖，某野生保護區(qū)監(jiān)測中心設(shè)置在點O處，正西、正東、正北處有3個監(jiān)測點A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生動物觀察員在保護區(qū)遇險，發(fā)出求救信號，3個監(jiān)測點均收到求救信號，A點接收到信號的時間比B點接收到信號的時間早（注：信號每秒傳播）
(1)求觀察員所有可能出現(xiàn)的位置的軌跡方程；
(2)若C點信號失靈，現(xiàn)立即以C為圓心進行“圓形”紅外掃描，為保證有救援希望，掃描半徑r至少是多少千米？
82.某市為改善市民出行，大力發(fā)展軌道交通建設(shè)，規(guī)劃中的軌道交通s號線線路示意圖如圖所示，已知M、N是東西方向主干道邊兩個景點，P、Q是南北方向主干道邊兩個景點，四個景點距離城市中心O均為，線路AB段上的任意一點N到景點M的距離比到景點的距離都多6km，線路BC段上任意一點到O的距離都相等，線路CD段上的任意一點到景點Q的距離比到景點P的距離都多6km，以O(shè)為原點建立平面直角坐標系xOy.
（1）求軌道交通s號線線路示意圖所在曲線的方程；
（2）規(guī)劃中的線路AB段上需建一站點G到景點Q的距離最近，問如何設(shè)置站點G位置？
考點十五、雙曲線中的存在性(探索性)問題
83.已知雙曲線的右焦點為，且點在雙曲線C上.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過點F的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點，在x軸上是否存在不與F重合的點P，使得點F到直線PA，PB的距離始終相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.
84.已知兩點、，動點M滿足直線MA與直線MB的斜率之積為3．，動點M的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)過點作直線交曲線C于P、Q兩點，且兩點均在y軸的右側(cè)，直線AP、BQ的斜率分別為、．
①證明：為定值；
②若點Q關(guān)于x軸的對稱點成點H，探究：是否存在直線l，使得的面積為，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．
過關(guān)檢測
一、單選題
1．（2023·四川甘孜·統(tǒng)考一模）已知圓與中心在原點 焦點在坐標軸上的雙曲線的一條漸近線相切，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．3 C．或 D．或
2．（2023上·安徽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等軸雙曲線的對稱軸為坐標軸，且經(jīng)過點，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·安徽蕪湖·高二校考期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，點是雙曲線上一點，若的面積為，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·河北承德·高二承德縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023上·重慶·高二重慶市育才中學(xué)校考期中）已知，為雙曲線的兩個焦點，為雙曲線上一點，且.則此雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·湖北孝感·高二校考期末）已知雙曲線，過點且被平分的弦所在的直線斜率為（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·江西宜春·高二校考期末）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，離心率為．是上一點，且．若的面積為4，則（ ）
A．81 B．42 C．2 D．1
8．（2023上·云南楚雄·高三統(tǒng)考期中）雙曲線C：的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，，過作直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點.若，且，則直線與的斜率之積為（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)校考一模）雙曲線，點A，B均在E上，若四邊形為平行四邊形，且直線OC，AB的斜率之積為3，則雙曲線E的漸近線的傾斜角為（ ）
A． B．或
C． D．或
二、多選題
10．（2023上·河南駐馬店·高二校聯(lián)考期末）已知曲線，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則為橢圓
B．若，則為雙曲線
C．若為橢圓，則其長軸長一定大于2
D．曲線不能表示圓
11．（2023上·湖北孝感·高二校考期末）已知點為雙曲線的左、右焦點，則下列說法正確的是（ ）
A．雙曲線的漸近線方程為
B．雙曲線的離心率為
C．以線段為直徑的圓的方程為
D．到其中一條漸近線的距離為
12．（2023上·江西上饒·高二上饒市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點P在雙曲線C：上，分別是雙曲線C的左、右焦點，若的面積為20，則（ ）
A． B．
C．點P到x軸的距離為4 D．
13．（2023下·湖南·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線：的右焦點到漸近線的距離為，為上一點，下列說法正確的是（ ）
A．的離心率為
B．的最小值為
C．若，為的左、右頂點，與，不重合，則直線，的斜率之積為
D．設(shè)的左焦點為，若的面積為，則
三、填空題
14．（2023上·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠縣第一中學(xué)校考期末）已知點分別為雙曲線的左 右焦點，若雙曲線上一點滿足，，則 ，雙曲線的標準方程為 .
15．（2023上·河北張家口·高二河北省尚義縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓與圓和圓均外切，則點的軌跡方程為 .
16．（2023上·陜西西安·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若點是雙曲線右支上的一點，點是圓上的一點，點是圓上的一點，則的最小值為 ．
17．（2023上·云南昆明·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線的左 右焦點分別為，點在的左支上，，，延長交的右支于點，點為雙曲線上任意一點（異于兩點），則直線與的斜率之積 .
18．（2023上·安徽滁州·高二校考期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，為雙曲線右支上一點，且滿足，則的周長為 .
四、解答題
19．（2023上·山東濰坊·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線：的一個焦點為，一條漸近線方程為，為坐標原點.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點，且線段的中點的縱坐標為4，求弦長.
20．（2023上·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中校考期末）已知平面內(nèi)兩個定點，，過動點作直線的垂線，垂足為，且.
(1)求點的軌跡E的方程；
(2)若直線與曲線交于兩點，且，，求實數(shù)的值.
21．（2023上·寧夏銀川·高二校考期末）橢圓：的焦點，是等軸雙曲線：的頂點，若橢圓與雙曲線的一個交點是，到橢圓兩個焦點的距離之和為4
(1)求橢圓的標準方程；
(2)點M是雙曲線上任意不同于其頂點的動點，設(shè)直線、的斜率分別為，，求證，的乘積為定值；
22．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的右焦點為，且C的一條漸近線恰好與直線垂直.
(1)求C的方程；
(2)直線l：與C的右支交于A，B兩點，點D在C上，且軸.求證：直線BD過點F.
23．（2023上·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）已知圓，，動圓與圓，均外切，記圓心的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)直線過點，且與曲線交于兩點，滿足，求直線的方程．專題04 雙曲線15種常見考法歸類
思維導(dǎo)圖
核心考點聚焦
考點一、求雙曲線的標準方程
考點二、雙曲線的焦點三角形
考點三、雙曲線定義的應(yīng)用
考點四、雙曲線的對稱性
考點五、與雙曲線有關(guān)的軌跡方程
考點六、雙曲線的離心率
(一)求雙曲線的離心率
(二)求雙曲線離心率的取值范圍
(三)由雙曲線的離心率求參數(shù)的取值范圍
考點七、與雙曲線的漸近線有關(guān)的問題
考點八、直線與雙曲線的位置關(guān)系
考點九、直線與雙曲線的弦長問題
考點十、直線與雙曲線的中點弦問題
考點十一、雙曲線中的向量問題
考點十二、雙曲線中參數(shù)范圍及最值問題
考點十三、雙曲線的定點、定值問題
考點十四、雙曲線的實際應(yīng)用
考點十五、雙曲線中的存在性(探索性)問題
知識點1 雙曲線的定義
把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距．
注：1、集合語言表達式
雙曲線就是下列點的集合:.常數(shù)要小于兩個定點的距離．
2、對雙曲線定義中限制條件的理解
(1)當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|時，M的軌跡不存在．
(2)當(dāng)||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|時，M的軌跡是分別以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線．
(3)當(dāng)||MF1|－|MF2||＝0，即|MF1|＝|MF2|時，M的軌跡是線段F1F2的垂直平分線．
(4)若將定義中的絕對值去掉，其余條件不變，則動點的軌跡為雙曲線的一支．具體是哪一支,取決于與的大小.
①若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支;
②若,則,點的軌跡是靠近定點的那一支.
知識點2 雙曲線的方程及簡單幾何性質(zhì)
標準方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0)
性質(zhì) 圖形
焦點 F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范圍 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈
對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點
頂點 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
軸 實軸：線段A1A2，長：； 虛軸：線段B1B2，長：； 半實軸長：，半虛軸長：
離心率 e＝∈(1，＋∞)
漸近線 y＝±x y＝±x
知識點3 雙曲線的焦點三角形
雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形稱為焦點三角形．解決焦點三角形問題常利用雙曲線的定義和正弦定理、余弦定理．
以雙曲線上一點P(x0，y0)(y0≠0)和焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為頂點的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，則
(1)雙曲線的定義：
(2)余弦定理：＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ.
(3)面積公式：S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ，
重要結(jié)論：S△PF1F2=
推導(dǎo)過程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos θ得
由三角形的面積公式可得
S△PF1F2=
=
知識點4 直線與雙曲線的位置關(guān)系
1、把直線與雙曲線的方程聯(lián)立成方程組，通過消元后化為ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情況下考察方程的判別式．
(1)Δ>0時，直線與雙曲線有兩個不同的公共點．
(2)Δ＝0時，直線與雙曲線只有一個公共點．
(3)Δ<0時，直線與雙曲線沒有公共點．
當(dāng)a＝0時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線有一個公共點．
注：直線與雙曲線的關(guān)系中：一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支．
弦長公式
直線被雙曲線截得的弦長公式，設(shè)直線與橢圓交于，兩點，則
（為直線斜率）
3、通徑的定義：過焦點且垂直于實軸的直線與雙曲線相交于、兩點，則弦長.
1、雙曲線方程的辨識方法
將雙曲線的方程化為標準方程的形式，假如雙曲線的方程為＋＝1，則當(dāng)mn<0時，方程表示雙曲線．若則方程表示焦點在x軸上的雙曲線；若則方程表示焦點在y軸上的雙曲線．　　
2、求雙曲線標準方程的步驟
(1)定位：是指確定與坐標系的相對位置，在標準方程的前提下，確定焦點位于哪條坐標軸上，以確定方程的形式．
(2)定量：是指確定a2，b2的數(shù)值，常由條件列方程組求解．
3、雙曲線標準方程的兩種求法
(1)定義法：根據(jù)雙曲線的定義得到相應(yīng)的a，b，c，再寫出雙曲線的標準方程．
(2)待定系數(shù)法：先設(shè)出雙曲線的標準方程－＝1或－＝1(a，b均為正數(shù))，然后根據(jù)條件求出待定的系數(shù)代入方程即可．
注：若焦點的位置不明確，應(yīng)注意分類討論，也可以設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1的形式，注意標明條件mn<0.　　　　
4、雙曲線漸近線的求法和設(shè)法
(1)若雙曲線方程為漸近線方程：
(2)若雙曲線方程為（，）漸近線方程：
(3)若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，
(4)若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點在軸上，，焦點在軸上）
5、求雙曲線離心率的兩種方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解，若已知a，b，可利用e＝ 求解．
(2)方程法：若無法求出a，b，c的具體值，但根據(jù)條件可確定a，b，c之間的關(guān)系，可通過b2＝c2－a2，將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程，借助于e＝，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的n次方程求解．如若得到的是關(guān)于a，c的齊次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r為常數(shù)，且p≠0)，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
6、直線和雙曲線的一些重要結(jié)論
(1)判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系時，通常是將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，方程組解的個數(shù)就是直線與雙曲線交點的個數(shù)，聯(lián)立方程消去x或y中的一個后，得到的形如二次方程的式子中，要注意x2項或y2項系數(shù)是否為零的情況，否則容易漏解．
(2)直線y＝kx＋b與雙曲線相交所得的弦長d＝·|x1－x2|＝ |y1－y2|.　　
(3)雙曲線中點弦的斜率公式
設(shè)為雙曲線弦（不平行軸）的中點，則有
證明：設(shè)，，則有， 兩式相減得：
整理得：，即，因為是弦的中點，
所以： ， 所以
7、雙曲線的實際應(yīng)用
(1)雙曲線在實際生活中有著廣泛的應(yīng)用，解答該類問題的關(guān)鍵是從實際問題中挖掘出所有相關(guān)條件，將實際問題轉(zhuǎn)化為求雙曲線的標準方程的問題．
(2)利用雙曲線解決實際問題的基本步驟如下：
①建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼担?br/>②求出雙曲線的標準方程．
③根據(jù)雙曲線的方程及定義解決實際應(yīng)用問題(注意實際意義)．
考點剖析
考點一、求雙曲線的標準方程
1.雙曲線過點，且離心率為2，則該雙曲線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】根據(jù)離心率可得，再由可得曲線方程為，然后將點代入即可求解．
【解答】解：雙曲線離心率，故，
將點代入雙曲線方程可得，，
故，雙曲線的方程為，
故選：A．
2.已知雙曲線的右焦點為，一條漸近線方程為，則C的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)焦點坐標與漸近線方程，列出方程組，求出，得到C的方程.
【詳解】由題意得：，解得：，
故C的方程為：.
故選：D
3.已知雙曲線過點，且與橢圓有公共焦點，則雙曲線的標準方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意求得，，得到，進而求得雙曲線的標準方程.
【詳解】由橢圓，可化為標準方程，可得，
因為雙曲線與橢圓有公共的焦點，所以，
又因為雙曲線過點，可得，則，
所以雙曲線的標準方程為.
故選：B.
4.與雙曲線有相同漸近線，且與橢圓有共同焦點的雙曲線方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)橢圓與雙曲線的性質(zhì)即可求解.
【詳解】因為橢圓的焦點在軸上，
所以設(shè)所求雙曲線方程為且，
雙曲線的漸近線方程為，所以，即
聯(lián)立，解得.
所以雙曲線方程為.
故選：B.
5.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，，P為C上一點，的中點為Q，為等邊三角形，則雙曲線C的方程為（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出，利用題干條件得到，，由雙曲線定義得到方程，求出，進而得到，，求出雙曲線方程.
【詳解】設(shè)雙曲線C的半焦距為．由題可知，即．
因為的中點為Q，為等邊三角形，
所以，所以，，
故，所以，，
所以，所以，所以，．
所以雙曲線C的方程為．
故選：A
6.已知點分別是等軸雙曲線的左、右焦點，為坐標原點，點在雙曲線上，，的面積為8，則雙曲線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由得，然后由三角形面積、雙曲線的定義、勾股定理聯(lián)立可求得得雙曲線方程．
【詳解】，是的中點，所以，
，則，
，解得，
所以雙曲線方程為．
故選：D．
考點二、雙曲線的焦點三角形
7.雙曲線上一點P到它的一個焦點的距離等于6，那么點P到另一個焦點的距離為（ ）
A．2 B．10 C．14 D．2或10
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線的定義即可求出答案.
【詳解】因為雙曲線，
所以，則，
因為點P到它的一個焦點的距離等于6，
設(shè)點P到另一個焦點的距離為，
所以，解得或
故選：D.
8.設(shè)，是雙曲線C：的左、右焦點，過的直線與C的右支交于P，Q兩點，則（ ）
A．5 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】由雙曲線的定義知，，則，即可得出答案.
【詳解】雙曲線C：，則，，
由雙曲線的定義知：，，
，
所以
.
故選：C.
9.設(shè)，分別是雙曲線的左、右焦點．若點P在雙曲線上，且，則_________，_________；
【答案】
【分析】由得為直角三角形，由可求出；根據(jù)雙曲線的定義以及勾股定理可求出.
【詳解】因為，所以，則為直角三角形，
所以(為原點)，
又，，所以，，
所以.
不妨設(shè)點在雙曲線的右支上，則，①
又，②
聯(lián)立①②解得，，
所以.
故答案為：；.
10.設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，，為雙曲線右支上一點，且，則的大小為__________．
【答案】/
【分析】根據(jù)雙曲線方程求出、、，再由雙曲線的定義求出、，最后由余弦定理計算可得.
【詳解】因為雙曲線，則，，所以，
因為為雙曲線右支上一點，所以，又，
所以，，，
由余弦定理，
即，解得，又，
所以.
故答案為：
11.若是雙曲線的左、右焦點，點在該雙曲線上，且是等腰三角形，則的周長是________.
【答案】16
【分析】根據(jù)條件首先可得，然后可得，即可求出周長.
【詳解】雙曲線的標準方程為，所以，
因為是等腰三角形，不設(shè)在雙曲線的右支上，則，
所以，所以的周長為6+6+10=16
故答案為：.
12.已知點F1，F(xiàn)2分別是雙曲線=1的左、右焦點，若點P是雙曲線左支上的點，且，則△的面積為____.
【答案】16
【分析】由雙曲線的定義可知，，再在△中利用由余弦定理可求出，從而求出△的面積．
【詳解】雙曲線，所以，，所以，，

是雙曲線左支上的點，，，
在△中，由余弦定理得，
，
△的面積為.
故答案為：.
13.已知分別是雙曲線的左、右焦點，P是C上位于第一象限的一點，且，則的面積為（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】利用勾股定理、雙曲線定義求出，再利用三角形的面積公式計算可得答案.
【詳解】因為，所以，
由雙曲線的定義可得，
所以，解得，
故的面積為．
故選：B.
14.設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，離心率為．是上一點，且．若的面積為，則（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】A
【分析】根據(jù)雙曲線的定義，余弦定理以及三角形的面積公式列出方程組，即可解出．
【詳解】設(shè)，，由，的面積為，
可得，∴①
由離心率為，可得，代入①式，可得.
故選：A.
15.【多選】已知，分別是雙曲線C：的左、右焦點，P是C上一點，且位于第一象限，，則（ ）
A．P的縱坐標為 B．
C．的周長為 D．的面積為4
【答案】ABD
【分析】結(jié)合、雙曲線的定義、三角形的面積和周長等知識進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】依題意，
因為，所以.
由雙曲線的定義可得①，兩邊平方得，
即，解得，
故的面積為，D正確.
設(shè)P的縱坐標為h，的面積，解得，A正確.
，解得②，
的周長為，C錯誤.
①＋②可得，B正確.
故選：ABD
考點三、雙曲線定義的應(yīng)用
16.“，”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)雙曲線的方程以及充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．
【詳解】由，可知方程表示焦點在軸上的雙曲線；
反之，若表示雙曲線，則，即，或，．
所以“，”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件．
故選：A．
17.“”是“為雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】先求方程表示雙曲線的條件，再根據(jù)兩者相等關(guān)系確定充要關(guān)系.
【詳解】因為方程表示雙曲線，所以，
又當(dāng)時，方程表示雙曲線，
因此“”是“方程表示雙曲線”的充要條件.
故選：C
18.已知曲線C：，則下列說法不正確的是（ ）
A．若，則C是橢圓，其焦點在y軸上
B．若，則C是雙曲線，其漸近線方程為
C．若，則C是圓，其半徑是
D．若，則C是兩條直線
【答案】C
【分析】把化成橢圓的標準方程并求其焦點所在軸，判斷選項A的正誤；
把化成雙曲線的標準方程并求其漸近線，判斷選項B的正誤；
把化成圓的標準方程并求其半徑，判斷選項C的正誤；
把化成直線的方程，判斷選項D的正誤.
【詳解】選項A: 時，可化為，
此時，C是橢圓，其焦點在y軸上，判斷正確；
選項B: 時分為兩種情況：
① 時，可化為
此時，C是雙曲線，其漸近線方程為，判斷正確；
② 時，可化為
此時，C是雙曲線，其漸近線方程為，判斷正確；
選項C: 時，可化為
此時C是圓，其半徑是，不是，判斷錯誤；
選項D: 時，可化為
即或，此時C是兩條直線，判斷正確.
故選：C
19.若曲線表示雙曲線，那么實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由方程表示雙曲線求解實數(shù)k的取值范圍即可.
【詳解】曲線表示雙曲線，所以即可.
解得或，
所以實數(shù)k的取值范圍是：.
故選：B.
20.若，則“”是“方程表示雙曲線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用方程為表示雙曲線的條件，求得的取值范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷條件和結(jié)論的關(guān)系.
【詳解】因為方程表示雙曲線，
所以，
解得或，
因為由可推出或，但是由或不能推出，
所以“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，
故選：A
21.已知表示焦點在軸上的雙曲線有個，表示焦點在軸上的橢圓有個，則的值為（ ）
A．10 B．14 C．18 D．22
【答案】D
【分析】根據(jù)方程表示雙曲線或橢圓的類型，確定參數(shù)的取值，確定m和n的值，即可得答案.
【詳解】由題意表示焦點在軸上的雙曲線，則，
故b的取值可取，a可取，故，
表示焦點在軸上的橢圓，則，
則可取，
即，故，
故選：D
22.已知F是雙曲線C：的右焦點，P是C的左支上一點，，則的最小值為（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】根據(jù)雙曲線的定義得，利用平面幾何的知識，兩點間線段最短，即可求出最值.
【詳解】由雙曲線方程可知，，，故右焦點，左焦點，
當(dāng)點在雙曲線左支上運動時，由雙曲線定義知，所以，
從而，又為定值，
所以，此時點在線段與雙曲線的交點處（三點共線距離最短），
故選：B.
23.已知，雙曲線的左、右焦點分別為，，點是雙曲線左支上一點，則的最小值為（　　）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】C
【分析】根據(jù)雙曲線的方程，求得焦點坐標，由雙曲線的性質(zhì)，整理，利用三角形三邊關(guān)系，可得答案.
【詳解】由雙曲線，則，即，且，
由題意，
，
當(dāng)且僅當(dāng)共線時，等號成立.
故選：C.
24.已知雙曲線的下焦點為，，是雙曲線上支上的動點，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)雙曲線定義得，則利用三角形任意兩邊之差小于第三邊求出的最小值即為.
【詳解】由題意得雙曲線焦點在軸上，，，，
所以下焦點，設(shè)上焦點為，則，
根據(jù)雙曲線定義：，在上支，
，,
在中兩邊之差小于第三邊，，
,
.
故選：D.
考點四、雙曲線的對稱性
25.已知拋物線的焦點與雙曲線的焦點重合，的漸近線恰為矩形的邊，所在直線(為坐標原點)，則雙曲線的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)四邊形為矩形以及雙曲線的漸近線關(guān)于軸對稱，可得，利用拋物線方程求出，再根據(jù)可求得，從而可得結(jié)果.
【詳解】因為四邊形為矩形，所以，即雙曲線的兩條漸近線垂直，
根據(jù)雙曲線的漸近線關(guān)于軸對稱，可得，
所以，即，
又拋物線的焦點，所以雙曲線中，
所以由可得，所以，
所以雙曲線的方程為.
故選：D
26.已知雙曲線的離心率為，右焦點為，直線均過點且互相垂直，與雙曲線的右支交于兩點，與雙曲線的左支交于點，為坐標原點，當(dāng)三點共線時，（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)題意作出圖形，由雙曲線的對稱性及雙曲線的定義，利用勾股定理建立方程求解可得.
【詳解】設(shè)雙曲線另一焦點為，連接，如圖，
因為三點共線，，
所以由雙曲線的對稱性知，四邊形為矩形，
設(shè)，則，，
在中，，即，
又，解得或（舍去），
在中，，即，
解得，即.
故選：B
27.已知雙曲線M：的離心率為，A，B分別是它的兩條漸近線上的兩點（不與原點O重合），的外心為P，面積為12，若雙曲線M經(jīng)過點P，則該雙曲線的實軸長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)雙曲線的離心率可得雙曲線的兩條漸近線是互相垂直的，然后利用雙曲線經(jīng)過的外心，同時結(jié)合雙曲線的對稱性和直角三角形的外心特點，通過的面積建立方程，然后解出方程即可
【詳解】離心率為，則有：
又有：可得：，此時兩條漸近線垂直，即，且直線和直線均與軸的夾角均為
則的外心為在線段的中點
若雙曲線M經(jīng)過點，根據(jù)雙曲線的對稱性可知：當(dāng)且僅當(dāng)軸時，且點為雙曲線的頂點
此時有：，
的面積為12，則有：
解得：
故雙曲線的實軸長為：
故選：C
考點五、與雙曲線有關(guān)的軌跡方程
28.一動圓過定點，且與已知圓：相切，則動圓圓心的軌跡方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由兩圓相切分析可知，符合雙曲線的定義，可得，，根據(jù)雙曲線中a，b，c的關(guān)系，即可求出動圓圓心的軌跡方程.
【詳解】解：已知圓：圓心，半徑為4，
動圓圓心為，半徑為，
當(dāng)兩圓外切時：，所以；
當(dāng)兩圓內(nèi)切時：，所以；
即，表示動點P到兩定點的距離之差為常數(shù)4，符合雙曲線的定義，
所以P在以M、N為焦點的雙曲線上，且，，
，
所以動圓圓心的軌跡方程為：，
故選：C.
29.已知是圓上的一動點，點，線段的垂直平分線交直線于點，則點的軌跡方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由題意有，從而有，根據(jù)雙曲線的定義得點的軌跡為是以F1、F2為焦點的雙曲線．再寫出其方程即可.
【詳解】如圖所示：
∵是圓上一動點，點的坐標為，線段的垂直平分線交直線于點，
∴，，
∵是圓上一動點，∴，∴，
∴，，，
∴點的軌跡為以F1、F2為焦點的雙曲線，且，，得，
∴點的軌跡方程為.
故選：C.
30.設(shè)點，，為動點，已知直線與直線的斜率之積為定值，點的軌跡是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)動點，根據(jù)已知條件，結(jié)合斜率公式，即可求解.
【詳解】解：設(shè)動點，則，
則，，，
直線與直線的斜率之積為定值，
，化簡可得，，
故點的軌跡方程為.
故選：C.
31.已知的兩個頂點A，B的坐標分別是、，且，所在直線的斜率之積等于2，則頂點C的軌跡方程是（ ）
A．（） B．
C． D．（）
【答案】A
【分析】首先設(shè)點，根據(jù)條件列式，再化簡求解.
【詳解】設(shè)，，
所以，整理為：，，
故選：A
考點六、雙曲線的離心率
求雙曲線的離心率
32.已知雙曲線的焦點在軸上，漸近線方程為，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知條件求得，從而求得雙曲線的離心率.
【詳解】由題意，雙曲線的焦點在軸上，
由于雙曲線的漸近線方程為，
所以，即，
所以.
故選：A
33.已知雙曲線C的中心在坐標原點，其中一個焦點為，過F的直線l與雙曲線C交于A、B兩點，且AB的中點為，則C的離心率為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用點差法即可．
【詳解】由F、N兩點的坐標得直線l的斜率．
∵雙曲線一個焦點為(-2，0)，∴c=2．
設(shè)雙曲線C的方程為，則．
設(shè)，，則，，．
由，得，
即，∴，易得，，，
∴雙曲線C的離心率．
故選：B．
34.已知分別為雙曲線的左 右焦點，過的直線與雙曲線交左支交于兩點，且，以為圓心，為半徑的圓經(jīng)過點，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由為圓心，為半徑為徑的圓經(jīng)過點，得，結(jié)合雙曲線的定義及勾股定理可得解．
【詳解】解：由題意得，
設(shè)，則，，，，
在中，
由勾股定理得，解得，
則，，
在中，
由勾股定理得，化簡得，
所以的離心率，
故選：B
35.設(shè)分別是雙曲線的左 右焦點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，若，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由雙曲線的方程可得兩焦點的坐標及漸近錢的方程，由題意求出 的方程，與漸近線聯(lián)立求出P的坐標，進而求出的值，由點到直線的距離公式，求的值，由由求出a，c的關(guān)系，進而求出離心率．
【詳解】由雙曲線的方程可得雙曲線漸近線方程：，右焦點，
到漸近線的距離，
由漸近線的對稱性，設(shè)漸近線為，①
則直線方程為∶ ②，
由①②可得， 則，
左焦點，所以 ，
由，有，得，
即 ， ，則的離心率為
故選∶C·
36.已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，，P是它們的一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，，則的最小值為（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【分析】利用橢圓和雙曲線的定義及可以列出關(guān)于，的方程，再利用均值定理即可得到的最小值
【詳解】設(shè)橢圓長軸長為，雙曲線實軸長為，
，，（） ，
則，解之得
又
則
則，則
則，則
（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）
則的最小值為
故選：B
37.已知雙曲線，（，）的左、右焦點分別為，，過點作一條斜率為的直線與雙曲線在第一象限交于點M，且，則雙曲線C的離心率為 .
【答案】/
【分析】由雙曲線的焦半徑公式結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)計算即可.
【詳解】
如圖所示，設(shè)，則，
所以，
又M在第一象限，即，故，
因為，過M作軸于D，，
故，
即，故，
解之得（負值舍去）.
故答案為：
求雙曲線離心率的取值范圍
38.已知雙曲線（a＞0，b＞0）與直線y＝2x有交點，則雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A．（1，） B．（1，] C．（，＋∞） D．[ ，＋∞）
【答案】C
【分析】根據(jù)漸近線的斜率的范圍可求離心率的范圍.
【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，由題意得，
所以雙曲線的離心率．
故選：C.
39.已知點F為雙曲線（，）的右焦點，若雙曲線左支上存在一點P，使直線與圓相切，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由題意求出直線的斜率為，然后列出不等式，轉(zhuǎn)化為求解雙曲線的離心率的范圍即可
【詳解】設(shè)直線為，
因為直線與圓相切，
所以，所以
解得，
因為點在雙曲線的右支上，
所以，
所以，所以，
所以，
所以，
故選：B
40.已知雙曲線E：的左右焦點分別為，，A為其右頂點，P為雙曲線右支上一點，直線與軸交于Q點．若，則雙曲線E的離心率的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意設(shè)點并解出Q點坐標為，再根據(jù)可得，即可解得，由P為雙曲線右支上一點可得，解不等式即可求得離心率的取值范圍.
【詳解】如下圖所示，根據(jù)題意可得，
設(shè)，則直線的方程為，
所以直線與軸的交點，
由可得，即，
整理得，即；
又因為P為雙曲線右支上一點，所以，
當(dāng)時，共線與題意不符，即；
可得，整理得，即，
解得或（舍）；
即雙曲線E的離心率的取值范圍為.
故答案為：
41.已知過點可作雙曲線的兩條切線，若兩個切點分別在雙曲線的左、右兩支上，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】要滿足題意，點必須在漸近線與軸圍成的區(qū)域，且不能在漸近線及軸上，即可得到，即可得到離心率的取值范圍.
【詳解】要滿足題意，點必須在漸近線與軸圍成的區(qū)域，且不能在漸近線及軸上.
所以必須滿足，得，，，，
又，.
故選：B
由雙曲線的離心率求參數(shù)的取值范圍
42.設(shè)k為實數(shù)，已知雙曲線的離心率，則k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由題意確定，根據(jù)雙曲線離心率的范圍可得不等式，即可求得答案.
【詳解】由題意雙曲線方程為,可得，
故實半軸，則，
由得，則，
即k的取值范圍為，
故選：A．
43.已知雙曲線的離心率大于，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)雙曲線方程，討論實軸位置，求出離心率，由已知離心率范圍列出不等式可解得的范圍．
【詳解】當(dāng)雙曲線實軸在軸上時，，解得，
此時，所以，
解得，所以，
當(dāng)雙曲線實軸在軸上時，，解得，不符合題意.
綜上，解得.
故選：A．
44.已知雙曲線的左 右焦點分別為，直線在第一象限交雙曲線C右支于點A.若雙曲線的離心率滿足，且，則k的取值范圍是 .
【答案】
【分析】由雙曲線的定義結(jié)合勾股定理得出，再由等面積法得出，，再由結(jié)合離心率公式以及范圍得出k的取值范圍.
【詳解】設(shè)，由題可知，∴.
∴，∴，∴.
又由，可知，∴，解得.
∵，，∴.
∴，依題意，，∴.
故答案為：
考點七、與雙曲線的漸近線有關(guān)的問題
45.已知雙曲線，則雙曲線的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)雙曲線幾何性質(zhì)解決即可.
【詳解】由題知，雙曲線中，，焦點在軸上，漸近線方程為，
所以雙曲線的漸近線方程為，
故選：A
46.若雙曲線經(jīng)過點，則該雙曲線的漸近線方程為 ．
【答案】
【分析】將點的坐標代入方程，求出，即可求出漸近線方程.
【詳解】雙曲線經(jīng)過點，
，，解得，所以雙曲線方程為，
又，則該雙曲線的漸近線方程為．
故答案為：．
47.雙曲線的右焦點到其漸近線的距離為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得焦點坐標及漸近線方程，運用點到直線的距離公式，計算即可.
【詳解】雙曲線，可得，，，
則右焦點到它的漸近線的距離為．
故選：．
48.雙曲線的離心率為，則的一條漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)離心率計算公式，即可容易求得結(jié)果.
【詳解】因為的離心率為，所以，
所以漸近線方程為.
故選：B.
49.已知F為雙曲線的左焦點，點，若直線與雙曲線僅有一個公共點，則（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意分析可得直線與漸近線平行，結(jié)合平行關(guān)系運算求解.
【詳解】由雙曲線可得，
則雙曲線的左焦點，漸近線為，
由題意可得：直線與漸近線平行，則，解得.
故選：C.
50.設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上一點，若，，，則雙曲線的兩條漸近線的夾角為（ ）
A．90° B．45° C．60° D．30°
【答案】C
【分析】根據(jù)題目條件求出雙曲線方程，得到漸近線方程，可得兩條漸近線的夾角.
【詳解】設(shè)，，由雙曲線的定義可知，
又，，，可得，，
即，解得，，
可得雙曲線的漸近線方程為，兩條漸近線的夾角為.
故選：C
考點八、直線與雙曲線的位置關(guān)系
51.已知直線與雙曲線沒有公共點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C． D．
【答案】C
【分析】將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去，利用判別式研究即可.
【詳解】聯(lián)立，消去得，
當(dāng)時，方程有解，即直線與雙曲線有公共點；
當(dāng)時，，解得或.
故選：C.
52.過點作直線，使與雙曲線有且僅有一個公共點，這樣的直線共有（ ）
A．1條 B．2條 C．3條 D．4條
【答案】D
【分析】利用直線與雙曲線聯(lián)立組成的方程組僅有一組解，即可求得滿足條件的直線共有4條.
【詳解】當(dāng)過點的直線斜率不存在時，其方程為，
直線與雙曲線有且僅有一個公共點，滿足要求；
當(dāng)過點的直線斜率存在時，其方程可設(shè)為，
由，整理得
當(dāng)時，方程可化為，方程僅有一根，
直線與雙曲線有且僅有一個公共點，符合題意；
當(dāng)時，方程可化為，方程僅有一根，
直線與雙曲線有且僅有一個公共點，符合題意；
當(dāng)時，若方程僅有一組解，
則，解之得
此時方程為，整理得，則
此時直線與雙曲線有且僅有一個公共點，符合題意
綜上，滿足條件的直線共有4條
故選：D
53.直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，則的取值范圍為（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】D
【分析】已知直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，將直線與雙曲線兩個方程聯(lián)立，得到的一元二次方程有一正一負根，即可得出結(jié)論．
【詳解】聯(lián)立，消y得，.
因為直線與雙曲線的左、右兩支各有一個交點，
所以方程有一正一負根，
所以，整理得，解得.
所以的取值范圍為.
故選：D．
54.已知直線l： 和雙曲線C：，若l與C的上支交于不同的兩點，則t的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)l與C的上支交于不同的兩點，聯(lián)立兩個方程，根據(jù)判別式和韋達定理列不等式，即可求出t的取值范圍
【詳解】解：由題意
在直線l：和雙曲線C：中，
若l與C的上支交于不同的兩點
∴即
∴解得：
∴t的取值范圍為
故選：D.
55.已知直線與曲線僅有三個交點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將曲線的表達式整理變形可知，其圖象是由上半橢圓和上半雙曲線組成的，再根據(jù)直線與雙曲線的漸近線平行，利用數(shù)形結(jié)合討論臨界位置結(jié)合交點個數(shù)即可求得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題意得曲線，即，可得；
當(dāng)時得到即；
當(dāng)時得到；
由以上可得曲線的如圖中所示，
易知直線與雙曲線的一條漸近線平行；
把直線向上平移到點時，即與曲線有兩個交點，此時；
繼續(xù)向上平移至與半橢圓相切前有3個交點．
當(dāng)直線與橢圓的上半部分相切時，
聯(lián)立直線與橢圓的方程代入整理得
即或（舍），由圖示可得；
綜上可知.
故選：C
56.已知直線，曲線，則“l(fā)與C相切”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】將曲線的方程兩邊平方，即可得到曲線表示雙曲線在軸及軸上方部分，求出雙曲線的漸近線，再結(jié)合圖象判斷即可.
【詳解】解：對于曲線，則，
所以，即，表示雙曲線在軸及軸上方部分，
雙曲線的漸近線為，
又直線與漸近線平行（重合），
由圖可知，當(dāng)時直線與曲線相切，
所以“與相切”是“”的既不充分也不必要條件；
故選：D
考點九、直線與雙曲線的弦長問題
57.已知雙曲線，過點的直線l與雙曲線C交于M N兩點，若P為線段MN的中點，則弦長|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)直線MN為，聯(lián)立雙曲線方程，應(yīng)用韋達定理及中點坐標公式求k值，利用弦長公式求解即可.
【詳解】由題設(shè)，直線l的斜率必存在，設(shè)過的直線MN為，聯(lián)立雙曲線：
設(shè)，則，所以，解得，
則，.
弦長|MN|.
故選：D.
58.已知雙曲線C：的一條漸近線方程是，過其左焦點作斜率為2的直線l交雙曲線C于A，B兩點，則截得的弦長（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】根據(jù)漸近線方程和焦點坐標可解得，再將直線方程代入雙曲線方程消元，由韋達定理和弦長公式可得.
【詳解】雙曲線C：的一條漸近線方程是，，即左焦點，，，，，雙曲線C的方程為易知直線l的方程為，設(shè)，，由，消去y可得，，
故選：D
59.已知雙曲線：的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，.以線段為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點，且點在第一象限，與另一條漸近線平行.若，則的面積是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)與漸近線平行，得到是等邊三角形，，從而求出各邊長，由勾股定理求出，結(jié)合漸近線斜率求出，從而求出，，從而求出的面積.
【詳解】過點M作MB⊥x軸于點B，
OM與ON是雙曲線的兩條漸近線，故，
因為與漸近線ON平行，所以，
故，
因為，所以，
所以是等邊三角形，，
故，，，
因為，
由勾股定理得：，即，
又因為，所以，
由得：，
從而，解得：，
所以，
則，，
故.
故選：A
考點十、直線與雙曲線的中點弦問題
60.過點作直線l與雙曲線交于點A，B，若P恰為AB的中點，則直線l的條數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能確定
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合一元二次方程根的判別式進行判斷即可.
【詳解】設(shè)直線l：，由，
得，（※）
設(shè)，，則，由，即，得，此時，（※）式為，由于，所以直線l與雙曲線無公共點，這樣的直線不存在.
故選：A
61.已知雙曲線過點作一直線交雙曲線于A、B兩點，并使P為AB的中點，則直線AB的斜率為（　　）
A．3 B．4
C．5 D．6
【答案】D
【分析】設(shè)出，，利用“點差法”即可求出結(jié)果.
【詳解】設(shè)，，則有與，兩式相減得：，即，
又因為為AB的中點，所以，得到，
即直線AB的斜率為6.
故選：D.
62.已知雙曲線的離心率為2，過點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，且點P恰好是弦的中點，則直線的方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】運用點差法即可求解
【詳解】由已知得，又，，可得.
則雙曲線C的方程為.設(shè)，，
則兩式相減得，
即.
又因為點P恰好是弦的中點，所以，，
所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，即.
經(jīng)檢驗滿足題意
故選：C
63.已知點A，B在雙曲線上，線段AB的中點為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先結(jié)合已知條件，利用點差法求出直線的斜率，進而得到直線的方程，然后聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合韋達定理和弦長公式求解即可.
【詳解】不妨設(shè)，，
從而，，
由兩式相減可得，，
又因為線段AB的中點為，從而，，
故，即直線AB的斜率為，
直線AB的方程為：，即，
將代入可得，，
從而，，
故.
故選：C.
64.已知雙曲線與直線相交于A、B兩點，弦AB的中點M的橫坐標為，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)，，利用點差法結(jié)合中點坐標可得，從而可求雙曲線C的漸近線方程.
【詳解】設(shè)，，則，由點差法得．
∵，∴，，∴，又，
∴，∴漸近線方程為.
故選：A．
考點十一、雙曲線中的向量問題
65.已知，點P滿足，動點M，N滿足，，則的最小值是____________．
【答案】3
【分析】以的中點O為坐標原點，的中垂線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，由雙曲線定義得點P的軌跡是以，為焦點，實軸長為6的雙曲線的左支，然后根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，數(shù)量積的運算律求解．
【詳解】以的中點O為坐標原點，的中垂線為y軸，建立如圖所示的直角坐標系，則，由雙曲線定義可知，點P的軌跡是以，為焦點，實軸長為6的雙曲線的左支，即點P的軌跡方程為．，由，
可得．
因為的最小值為，所以的最小值是3．
故答案為：3.
66.雙曲線：，已知是雙曲線上一點，分別是雙曲線的左右頂點，直線，的斜率之積為.
(1)求雙曲線的離心率；
(2)若雙曲線的焦距為，直線過點且與雙曲線交于、兩點，若，求直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由點在雙曲線上得到，再由，的斜率之積為得到，從而得到，由此可求得雙曲線的離心率；
（2）先由條件求得雙線曲方程，再聯(lián)立直線與雙曲線得到，又由得到，從而求得值，由此可得直線的方程.
【詳解】（1）因為是雙曲線E上一點，
可得，即為，
由題意可得，，
可得，即有.
（2）由題意可得，，則雙曲線的方程為，
易知直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立直線與雙曲線的方程，可得，
設(shè)，則，，①
又，可得，②
由①②可得， ，
代入①可得，解得，
則直線l的方程為.
67.已知雙曲線（，）中，離心率，實軸長為4
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)已知直線：與雙曲線交于，兩點，且在雙曲線存在點，使得，求的值.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)離心率以及實軸長即可求解的值，進而可求雙曲線方程，
（2）聯(lián)立直線與曲線的方程，得韋達定理，進而結(jié)合向量滿足的關(guān)系即可代入求值.
【詳解】（1）因為雙曲線的離心率，實軸長為4，
，解得，
因為
所以雙曲線的標準方程為
（2）將直線與曲線聯(lián)立 得，
設(shè)，，則，，
設(shè)，由得，
即 ，又因為，解得，
所以或.
68.已知雙曲線C：的漸近線方程為，且過點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若F是雙曲線的右焦點，Q是雙曲線上的一點，過點F，Q的直線l與y軸交于點M，且，求直線l的斜率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的漸近線方程為和雙曲線過點，聯(lián)立求解；
（2）由題意設(shè)直線方程為，令，得到M的坐標，設(shè)，根據(jù)，用k表示點Q的坐標，再根據(jù)點Q在雙曲線上，代入雙曲線方程求解.
【詳解】（1）解：因為雙曲線C：的漸近線方程為，
所以，
又因為雙曲線C：過點，
所以，解得，
所以雙曲線的方程為；
（2）由（1）知：，則，
由題意設(shè)直線方程為，令，得，則，
設(shè)，則，
因為，
所以，則，
解得，因為點Q在雙曲線上，
所以，解得，
所以直線l的斜率為.
考點十二、雙曲線中參數(shù)范圍及最值問題
69.已知為焦點在軸上的雙曲線，其離心率為，為上一動點（除頂點），過點的直線，分別經(jīng)過雙曲線的兩個頂點，已知直線的斜率，則直線的斜率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由離心率可得由題意可得，由斜率，即可得斜率的取值范圍.
【詳解】設(shè)雙曲線的方程為為上一動點，上頂點下頂點離心率為，即可得
直線為直線PA, 直線為直線PB,
則，
，又，，可得，
故選：C
70.【多選】已知實數(shù)滿足，則下列正確的選項有（ ）
A．的最小值為
B．的取值范圍為
C．的最大值為
D．的最小值為
【答案】ABD
【分析】對A，將雙曲線方程代入可得，再結(jié)合或求解最小值即可；對B，設(shè)，根據(jù)題意可得與有交點，再數(shù)形結(jié)合分析的范圍即可；對C，根據(jù)展開，結(jié)合基本不等式取等號的條件判斷即可；對D，注意到所求式為二次時，故可根據(jù)“1”的妙用，可得，再根據(jù)雙曲線性質(zhì)可得，再換元根據(jù)基本不等式求解即可.
【詳解】對A，因為，故，故，又由雙曲線性質(zhì)可得或，故當(dāng)時原式取最小值，故A正確；
對B，設(shè)，則與有交點，此時分析相切時的臨界條件.
聯(lián)立，即，故，解得，數(shù)形結(jié)合可得或，故B正確；
對C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，但代入可得無解，故的最大值不能取到，故C錯誤；
對D，由題，，由雙曲線的漸近線可得，，故可設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，此時，故的最小值為，故D正確.
故選：ABD
71.點是雙曲線上一動點，過做圓的兩條切線，切點為，，則的最小值為 .
【答案】
【分析】由于是直角三角形，且，所以當(dāng)取得最小值時，取得最小值，設(shè)出，，表達出，配方后求出最小值，從而得到答案.
【詳解】由題知：設(shè)，，則，
由于是直角三角形，且，所以當(dāng)取得最小值時，取得最小值，

則
，當(dāng)時，等號成立，
故，
故答案為:.
72.已知雙曲線：（，）的離心率為，點到其左右焦點，的距離的差為2．
(1)求雙曲線的方程；
(2)在直線上存在一點，過作兩條相互垂直的直線均與雙曲線相切，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)雙曲線離心率以及點到左、右焦點的距離之差為2，可求得a，b，c，進而求得雙曲線的標準方程；（2）根據(jù)過點作兩條相互垂直的直線與雙曲線相切，討論斜率不存在和斜率存在兩種情況，①若其中一條切線的斜率不存在，則另一條切線的斜率為0，則不滿足條件；②若切線的斜率存在，則設(shè)其斜率為，，從而得到切線方程，再根據(jù)切線與雙曲線相切，聯(lián)立方程組，得，進而可得關(guān)于的一元二次方程，再根據(jù)兩切線互相垂直有，即可得到，再結(jié)合在直線上，推出，求解即可得到的取值范圍．
【詳解】（1）依題意有雙曲線的左、右焦點為，，
則，得，
則，
所以雙曲線的方程為；
（2）①若其中一條切線的斜率不存在，則另一條切線的斜率為0，則不滿足條件；
②若切線的斜率存在，則設(shè)其斜率為，，則切線方程為，
聯(lián)立，消并整理得，
則，
化簡得，即，
化成關(guān)于的一元二次方程，
設(shè)該方程的兩根為，，即為兩切線的斜率，所以，即，
又點在直線上，所以直線與圓有交點，
所以，即，即，
故的取值范圍為．
考點十三、雙曲線的定點、定值問題
73.已知雙曲線的左 右焦點分別為，離心率為，直線交于兩點，且.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)若點，直線與軸分別相交于兩點，且為坐標原點，證明：直線過定點.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合離心率得，，進而得答案；
（2）設(shè)，則，進而求出直線，的方程，并與橢圓聯(lián)立方方程解得，進而得直線的方程為，并整理得即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）解：因為，
所以，解得，
設(shè)雙曲線的半焦距為，因為離心率為，
所以，解得，
則，
所以雙曲線的標準方程為.
（2）證明：設(shè)，則，，
直線的方程為，
直線的方程為.
聯(lián)立方程消去并整理得
顯然，即
所以，，
聯(lián)立方程消去并整理得，
顯然，即，
，
即當(dāng)時，直線的方程為，
將上面求得的的解析式代入得，
整理得，
所以直線過定點.
74.已知雙曲線C與橢圓有相同的焦點，是C上一點.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)記C的右頂點為M，與x軸平行的直線l與C交于A，B兩點，求證：以AB為直徑的圓過點M.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)出雙曲線標準方程，由共焦點得a2+b2=6，再將點代入標準方程聯(lián)立即可求解；
（2）要證以AB為直徑的圓過點M，即證AM⊥BM，設(shè)直線l為y=m（m≠0），結(jié)合雙曲線方程求出，證明即可.
(1)
由已知設(shè)雙曲線C的方程為，
由已知得a2+b2=12-6=6，且，
解得a2=b2=3，∴雙曲線C的方程為；
(2)
證明：設(shè)直線l的方程為y=m（m≠0），
與x2-y2=3聯(lián)立解得或，
不妨設(shè)，
由（1）知點，
∴AM，BM的斜率分別為，
，
所以AM⊥BM，
故以AB為直徑的圓過點M.
75.已知雙曲線：的離心率為，且右焦點到其漸近線的距離為．
(1)求雙曲線方程；
(2)設(shè)為雙曲線右支上的動點．在軸負半軸上是否存在定點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由雙曲線的性質(zhì)以及距離公式得出方程；
（2）由三角函數(shù)得出，，再由結(jié)合倍角公式得出.
【詳解】（1）由題意可知，，解得
即雙曲線方程為；
（2）設(shè)，，，
則，.
因為，所以
即，即，得.
所以，存在點滿足題意.
76.已知雙曲線的中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為且過點
(1)求雙曲線方程；
(2)若過斜率的直線與該雙曲線相交于M，N兩點，且雙曲線與對應(yīng)的頂點為T.試探討直線MT與直線NT的斜率之積是否為定值.若是定值，請求出該值；若不是定值，請說明理由.
【答案】(1)；
(2)是定值，定值為.
【分析】（1）由題可設(shè)雙曲線方程為，進而即得；
（2）利用直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理法表示出直線MT和直線NT的斜率乘積，結(jié)合條件即得.
【詳解】（1）由題意，可設(shè)雙曲線方程為，
又雙曲線過點，
所以，即，
故雙曲線方程為；
（2）由題知，設(shè)直線MN的方程為，且，
則由，得 ，
故 ，
故直線MT和直線NT的斜率乘積即可表示為：
，
即，
故直線MT和直線NT的斜率乘積為定值且該定值為.
77.已知雙曲線的左、右頂點分別為，右焦點為，點P為C上一動點（異于兩點），直線和直線與直線分別交于M，N兩點，當(dāng)垂直于x軸時，的面積為2．
(1)求C的方程；
(2)求證：為定值，并求出該定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析，90°
【分析】（1）由題意可得的方程組，從而得到結(jié)果；
（2）設(shè)，得到直線和直線的方程，解出M，N兩點坐標，可知，從而得到定值.
【詳解】（1）由題意知，則．當(dāng)軸時，，
故的面積，解得，
故C的方程為．
（2）由（1）得，設(shè)，
則直線，令，得；
直線，令得．
故，
因為，故，
又，則．
因此，
故，即．
78.已知雙曲線：與雙曲線有相同的焦點；且的一條漸近線與直線平行.
(1)求雙曲線的方程；
(2)若直線與雙曲線右支相切（切點不為右頂點），且分別交雙曲線的兩條漸近線于兩點，為坐標原點，試判斷的面積是否為定值，若是，請求出；若不是，請說明理由.
【答案】(1)
(2)是，2
【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，即可得方程；（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程由可得，根據(jù)題意求的坐標，即可求的面積，化簡整理即可.
【詳解】（1）設(shè)雙曲線的焦距為，
由題意可得：，則，
則雙曲線的方程為.
（2）由于直線與雙曲線右支相切（切點不為右頂點），則直線的斜率存在，
設(shè)直線的方程為，
則，消得：，
則，可得：①
設(shè)與軸交點為，
則，
∵雙曲線兩條漸近線方程為：，
聯(lián)立，解得，即，
同理可得：，
則（定值）.
79.已知雙曲線：（，）的漸近線方程為，焦距為10，，為其左右頂點．
(1)求的方程；
(2)設(shè)點是直線：上的任意一點，直線、分別交雙曲線于點、，，垂足為，求證：存在定點，使得是定值．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由雙曲線的漸近線方程及焦距求解雙曲線的方程即可；
（2）設(shè)出直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立得到韋達定理，與直線，，聯(lián)立最終得到點的軌跡方程，即可求解.
【詳解】（1）依題意：.
（2）證明：如圖：

設(shè)、，，
直線：，即：.
（記，）代入中得：
.
所以，.
又因為直線：、直線：聯(lián)立得：
.
.
.
.
即或（舍）.
所以.
所以，點軌跡為，以為圓心，2為半徑的圓上，所以，.
考點十四、雙曲線的實際應(yīng)用
80.單葉雙曲面是最受設(shè)計師青睞的結(jié)構(gòu)之一，它可以用直的鋼梁建造，既能減少風(fēng)的阻力，又能用最少的材料來維持結(jié)構(gòu)的完整.如圖1，俗稱小蠻腰的廣州塔位于中國廣州市，它的外形就是單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.某市計劃建造類似于廣州塔的地標建筑，此地標建筑的平面圖形是雙曲線，如圖2，最細處的直徑為 ，樓底的直徑為，樓頂直徑為，最細處距樓底 ，則該地標建筑的高為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標系，設(shè)雙曲線的方程是，
由已知可得 ，將點坐標代入解得 的值，從而得到雙曲線的方程，最后利用雙曲線的方程
解得 的坐標即可求得地標建筑的高.
【詳解】解：以地標建筑的最細處所在直線為 軸，雙曲線的虛軸為 軸，建立平面直角坐標系如圖所示.
由題意可得：，，
設(shè)，雙曲線的方程是，
則，解得 ，
所以雙曲線的方程是：，
將點代入得，
解得，
所以該地標建筑的高為： .
故選： .
81.如圖，某野生保護區(qū)監(jiān)測中心設(shè)置在點O處，正西、正東、正北處有3個監(jiān)測點A，B，C，且|OA|＝|OB|＝|OC|＝30km，一名野生動物觀察員在保護區(qū)遇險，發(fā)出求救信號，3個監(jiān)測點均收到求救信號，A點接收到信號的時間比B點接收到信號的時間早（注：信號每秒傳播）
(1)求觀察員所有可能出現(xiàn)的位置的軌跡方程；
(2)若C點信號失靈，現(xiàn)立即以C為圓心進行“圓形”紅外掃描，為保證有救援希望，掃描半徑r至少是多少千米？
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）設(shè)觀察員可能出現(xiàn)的位置為點,由題意可知,即可判斷出觀察員所有可能出現(xiàn)的位置為雙曲線的左支.結(jié)合，，即可求出其軌跡；
（2）設(shè)軌跡上一點為，利用兩點的距離公式則可表示出，再結(jié)合點在軌跡上，消元后利用二次函數(shù)的單調(diào)性，即可得出的最小值.即可寫出答案.
【詳解】（1）設(shè)觀察員可能出現(xiàn)的位置為點，
由題意，得，
故點的軌跡為雙曲線的左支，
設(shè)雙曲線方程為，又，，
所以，
故點的軌跡方程為；
（2）設(shè)軌跡上一點為，則，
又，所以，
所以|，
當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最小值，
故掃描半徑r至少是．
82.某市為改善市民出行，大力發(fā)展軌道交通建設(shè)，規(guī)劃中的軌道交通s號線線路示意圖如圖所示，已知M、N是東西方向主干道邊兩個景點，P、Q是南北方向主干道邊兩個景點，四個景點距離城市中心O均為，線路AB段上的任意一點N到景點M的距離比到景點的距離都多6km，線路BC段上任意一點到O的距離都相等，線路CD段上的任意一點到景點Q的距離比到景點P的距離都多6km，以O(shè)為原點建立平面直角坐標系xOy.
（1）求軌道交通s號線線路示意圖所在曲線的方程；
（2）規(guī)劃中的線路AB段上需建一站點G到景點Q的距離最近，問如何設(shè)置站點G位置？
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由題意結(jié)合雙曲線即圓的定義可得軌道交通s號線線路示意圖所在曲線的方程；
（2），由，寫出兩點間的距離，化為關(guān)于的函數(shù)，利用配方法求最值.
【詳解】解：（1）∵線路段上的任意一點到N景點的距離比到景點M的距離都多6，
∴線路段所在的的曲線是以定點M，N為左右焦點的雙曲線的左支，
則其方程為；
∵線路段上任意一點到O的距離都相等，
∴線路段所在的曲線是以O(shè)為圓心，以為半徑的圓，
則其方程為；
∵線路段上的任意一點到景點Q的距離比到景點P的距離都多6，
∴線路段所在的曲線是以定點Q，P為上下焦點的雙曲線的下支，
則其方程為.
故軌道交通s號線線路示意圖所在曲線的方程為；
（2）設(shè)，由，則，
由（1）得，，即.
則.
∴當(dāng)時，.
則站點為時，站點G到景點Q的距離最近.
考點十五、雙曲線中的存在性(探索性)問題
83.已知雙曲線的右焦點為，且點在雙曲線C上.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)過點F的直線與雙曲線C的右支交于A，B兩點，在x軸上是否存在不與F重合的點P，使得點F到直線PA，PB的距離始終相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.
【答案】(1)
(2)存在，，理由見解析
【分析】（1）首先得，再將點的坐標代入雙曲線方程，聯(lián)立方程求解，即可求雙曲線方程；
（2）假設(shè)存在點，據(jù)題意設(shè)，聯(lián)立方程得到，，再由點到直線的距離相等可得，由此代入式子即可求得點坐標，再考慮斜率不存在的情況即可
【詳解】（1）由題意得，，
所以，所以，，
所以雙曲線C的標準方程為；
（2）假設(shè)存在，設(shè)，，
由題意知，直線斜率不為0，設(shè)直線，
聯(lián)立，消去，得，
則，，
且，，
因為使得點F到直線PA，PB的距離相等，所以PF是的角平分線，
則，即，則，
整理得，故，
即，因為，所以，此時；
當(dāng)直線的斜率不存在時，根據(jù)拋物線的對稱性，易得也能讓點F到直線PA，PB的距離相等；
綜上所述，故存在滿足題意
84.已知兩點、，動點M滿足直線MA與直線MB的斜率之積為3．，動點M的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)過點作直線交曲線C于P、Q兩點，且兩點均在y軸的右側(cè)，直線AP、BQ的斜率分別為、．
①證明：為定值；
②若點Q關(guān)于x軸的對稱點成點H，探究：是否存在直線l，使得的面積為，若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)① 證明見解析；②存在；或
【分析】(1)根據(jù)條件列出方程化簡即可求出曲線方程；
(2) 設(shè)直線，，，聯(lián)立方程組，利用韋達定理得出的和、積. ①利用兩點的坐標直接表述出，將的和、積代入化簡即可求證為定值；②根據(jù)題意求出的直線方程，通過整理化簡得出直線過定點，根據(jù)三角形的面積求出的值，進而求解即可.
【詳解】（1）令，根據(jù)題意可知：，
化簡，可得：，
所以曲線C的方程為：.
（2）設(shè)，，可設(shè)直線，聯(lián)立方程
可得：，
則，
故且
①
．
②∵軸，∴，由兩點式方程可得的直線方程為：
，
∴，將，代入可得：
，
將代入上式，得到：
，
所以直線過定點，
∴
∴或（舍）
所以存在直線l，使得的面積為，
直線l的方程為：或．
過關(guān)檢測
一、單選題
1．（2023·四川甘孜·統(tǒng)考一模）已知圓與中心在原點 焦點在坐標軸上的雙曲線的一條漸近線相切，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B．3 C．或 D．或
【答案】D
【分析】分雙曲線的焦點在x軸上和y軸上，由圓心到漸近線的距離等于半徑列式求解即可.
【詳解】因為可化為，
則圓的圓心為，半徑為2，
當(dāng)雙曲線的焦點在x軸上時，設(shè)雙曲線方程為，則其漸近線方程為，
由題意得，即，所以，
所以，
當(dāng)雙曲線的焦點在y軸上時，設(shè)雙曲線方程為，則其漸近線方程為，
由題意得，即，所以，
則，
故選：D.
2．（2023上·安徽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等軸雙曲線的對稱軸為坐標軸，且經(jīng)過點，則雙曲線的標準方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)出等軸雙曲線的標準方程，將代入即可求解.
【詳解】設(shè)等軸雙曲線的方程為，
將點代入得，解得.
所以雙曲線的標準方程為.
故選:C.
3．（2023上·安徽蕪湖·高二校考期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，點是雙曲線上一點，若的面積為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】不妨設(shè)在右支上，則，利用余弦定理及面積公式得到，從而得解.
【詳解】雙曲線，則、，所以，不妨設(shè)在右支上，
則，，
由余弦定理，
即，
又，
，
所以，即，
所以，又，所以，
則.
故選：C
4．（2023上·河北承德·高二承德縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)雙曲線的離心率可求得的值，由此可得出雙曲線的漸近線方程.
【詳解】，，，
漸近線方程為，漸近線方程為．
故選：B．
5．（2023上·重慶·高二重慶市育才中學(xué)校考期中）已知，為雙曲線的兩個焦點，為雙曲線上一點，且.則此雙曲線離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題意，可得夾角的取值范圍，整理相關(guān)等式，進而可得離心率的函數(shù)表達式，利用不等式定義，可得答案.
【詳解】設(shè)，，，由，則，
顯然，則整理可得，由，
則，
解得，由雙曲線的定義可知：，
則，整理可得，
化簡可得，由，且，
則，可得或，
解得或，所以，解得.
故選：C.
6．（2023上·湖北孝感·高二校考期末）已知雙曲線，過點且被平分的弦所在的直線斜率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用點差法求出斜率即可.
【詳解】設(shè)，因為點在雙曲線上，
所以，
兩式相減得到，
因為過點且被平分，
所以，代入上式可得，
故選：C
7．（2023上·江西宜春·高二校考期末）設(shè)雙曲線的左、右焦點分別為，離心率為．是上一點，且．若的面積為4，則（ ）
A．81 B．42 C．2 D．1
【答案】D
【分析】由題得出，然后結(jié)合面積公式、雙曲線的定義和勾股定理得出答案.
【詳解】
因為，所以，
又P在雙曲線上，所以
又的面積為4，所以，
結(jié)合，解得，
又，所以，又，所以，
故選：D.
8．（2023上·云南楚雄·高三統(tǒng)考期中）雙曲線C：的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，，過作直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點.若，且，則直線與的斜率之積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)，利用雙曲線定義推出相關(guān)線段的長，進而在和中利用余弦定理，求出以及，繼而求得，再結(jié)合雙曲線方程推出，即可求得答案.
【詳解】由題意結(jié)合雙曲線定義可知，且，
不妨設(shè)，則，，，
.
在中，，由余弦定理得，
即，即，
解得.
在中，由余弦定理得，
即，即，結(jié)合，
即得，故得，即.
又可設(shè)，則，
而，故，
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于根據(jù)所給，分別在和中利用余弦定理，求出，繼而求得，再結(jié)合雙曲線方程推出，即可求解.
9．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)校考一模）雙曲線，點A，B均在E上，若四邊形為平行四邊形，且直線OC，AB的斜率之積為3，則雙曲線E的漸近線的傾斜角為（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】利用點差法，結(jié)合雙曲線漸近線方程、平行四邊形的性質(zhì)、中點坐標公式進行求解即可.
【詳解】設(shè)，顯然線段的中點坐標為，
因為四邊形為平行四邊形，
所以線段的中點坐標和線段的中點坐標相同，即為，
因此點坐標為，
因為直線OC，AB的斜率之積為3，
所以，
因為點A，B均在E上，
所以，
兩式相減得：，
所以兩條漸近線方程的傾斜角為或，
故選：B

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是應(yīng)用點差法和平行四邊形的性質(zhì).
二、多選題
10．（2023上·河南駐馬店·高二校聯(lián)考期末）已知曲線，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則為橢圓
B．若，則為雙曲線
C．若為橢圓，則其長軸長一定大于2
D．曲線不能表示圓
【答案】BC
【分析】A，B項，求出的范圍，即可判斷曲線的形狀；C項，求出為橢圓時的范圍，分類討論即可得出其長軸長的范圍；D項，通過A選項即可得出結(jié)論.
【詳解】由題意，
在曲線中，
A項，當(dāng)時，，
但當(dāng)即時，曲線為圓，故A錯誤；
B項，當(dāng)時，，為雙曲線，B正確；
C項，若為橢圓，由A選項知，，
當(dāng)時，，
∴長軸為，
當(dāng)時，
∴長軸為，故C正確；
D項，由A知當(dāng)時，曲線為圓，D錯誤.
故選：BC.
11．（2023上·湖北孝感·高二校考期末）已知點為雙曲線的左、右焦點，則下列說法正確的是（ ）
A．雙曲線的漸近線方程為
B．雙曲線的離心率為
C．以線段為直徑的圓的方程為
D．到其中一條漸近線的距離為
【答案】AB
【分析】根據(jù)雙曲線方程可得，根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)逐項判斷AB即可，根據(jù)圓心和半徑求解圓的方程判斷C，根據(jù)點到直線的距離公式即可求解D.
【詳解】由雙曲線可得：，所以，
故漸近線方程為，故A正確；
離心率為，故B正確；
因為的中點為，且，
所以以線段為直徑的圓的方程為，故C錯誤；
由題意左焦點為，到一條漸近線的距離為，故D錯誤.
故選：AB
12．（2023上·江西上饒·高二上饒市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點P在雙曲線C：上，分別是雙曲線C的左、右焦點，若的面積為20，則（ ）
A． B．
C．點P到x軸的距離為4 D．
【答案】BC
【分析】利用雙曲線的定義可判斷選項，取點P的坐標為即可判斷選項，利用三角形面積公式即可判斷選項，利用余弦定理即可判斷選項.
【詳解】由已知得雙曲線的實半軸長為，虛半軸長為，
則右焦點的橫坐標為，
由雙曲線的定義可知，，故錯誤；
設(shè)點，則，
所以，故C正確；
由雙曲線的對稱性，不妨取點P的坐標為，
得，
由雙曲線的定義，得，
所以，故B正確；
由余弦定理,得 ，
所以，故D錯誤．
故選：BC．
13．（2023下·湖南·高二校聯(lián)考期末）已知雙曲線：的右焦點到漸近線的距離為，為上一點，下列說法正確的是（ ）
A．的離心率為
B．的最小值為
C．若，為的左、右頂點，與，不重合，則直線，的斜率之積為
D．設(shè)的左焦點為，若的面積為，則
【答案】ACD
【分析】根據(jù)題意列關(guān)于的等式，從而可得雙曲線的方程，計算離心率，的最小值，結(jié)合動點滿足的方程，列式計算，在焦點三角形中，由雙曲線的定義，余弦定理以及三角形面積公式列式即可計算出.
【詳解】由已知可得，，所以，
則的方程為，離心率為，A正確；
因為的最小值為，所以B錯誤；
設(shè)，則，，
，所以C正確；
設(shè)，由
可得，得，
則，所以D正確．
故選：ACD
三、填空題
14．（2023上·甘肅白銀·高二甘肅省靖遠縣第一中學(xué)校考期末）已知點分別為雙曲線的左 右焦點，若雙曲線上一點滿足，，則 ，雙曲線的標準方程為 .
【答案】
【分析】由題意可得，即有；由雙曲線定義可得，結(jié)合余弦定理即可解得，又即可得.
【詳解】因為，，所以，
即，則，所以；
則，
設(shè)，所以，
由余弦定理知，解得，
因為，所以，即雙曲線的方程為.
故答案為：；.
15．（2023上·河北張家口·高二河北省尚義縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知圓與圓和圓均外切，則點的軌跡方程為 .
【答案】
【分析】根據(jù)兩圓外切時半徑與圓心的關(guān)系得出，即可得出，根據(jù)雙曲線的定義得出點的軌跡為雙曲線的上支，設(shè)出其方程為，根據(jù)雙曲線的定義列式解出與，即可得出答案.
【詳解】當(dāng)圓與圓均外切時，，
所以，
則點的軌跡為雙曲線的上支，設(shè)軌跡方程為，
則，
則，
所以軌跡方程為.
故答案為：.
16．（2023上·陜西西安·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若點是雙曲線右支上的一點，點是圓上的一點，點是圓上的一點，則的最小值為 ．
【答案】/
【分析】根據(jù)雙曲線方程求出、、，設(shè)右焦點為，再由雙曲線的定義計算可得.
【詳解】雙曲線，則，，所以，設(shè)右焦點為，
圓，圓心為，半徑，
圓，圓心為，半徑，
且恰為雙曲線的左焦點，，
又點是雙曲線右支上的一點，則，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線（在之間）時取等號.
故答案為：
17．（2023上·云南昆明·高三云南民族大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線的左 右焦點分別為，點在的左支上，，，延長交的右支于點，點為雙曲線上任意一點（異于兩點），則直線與的斜率之積 .
【答案】2
【分析】先利用平面向量加法的法則和雙曲線的性質(zhì)求出和的邊長，再分別利用余弦定理聯(lián)立可得，最后根據(jù)斜率公式求解即可.
【詳解】依題意，設(shè)雙曲線的半焦距為，則，
因為是的中點，所以，故由得，
又因為，所以，
在中，，
在中，，
所以，解得，所以，
所以雙曲線方程為，則，
設(shè)，，，
所以，

故答案為：2
18．（2023上·安徽滁州·高二校考期末）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，為雙曲線右支上一點，且滿足，則的周長為 .
【答案】/
【分析】由離心率求出、，再由雙曲線定義結(jié)合已知可得，從而求出的周長.
【詳解】由題意可得，，
，
，，
為雙曲線右支上一點，
，
又 ，
，
則的周長為．
故答案為：．

四、解答題
19．（2023上·山東濰坊·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知雙曲線：的一個焦點為，一條漸近線方程為，為坐標原點.
(1)求雙曲線的標準方程；
(2)已知傾斜角為的直線與雙曲線交于兩點，且線段的中點的縱坐標為4，求弦長.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的幾何性質(zhì)即可求解，
（2）根據(jù)點差法，結(jié)合中點弦可得直線方程，即可根據(jù)弦長公式求解.
【詳解】（1）由焦點可知，
又一條漸近線方程為，所以，
由可得，解得，
故雙曲線的標準方程為.
（2）設(shè)中點的坐標為，
則
兩式子相減得：，
化簡得，
即，又，所以，
所以中點的坐標為，
所以直線的方程為，即.
將代入得，，
則，
,
20．（2023上·黑龍江哈爾濱·高二哈師大附中校考期末）已知平面內(nèi)兩個定點，，過動點作直線的垂線，垂足為，且.
(1)求點的軌跡E的方程；
(2)若直線與曲線交于兩點，且，，求實數(shù)的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)點坐標為，結(jié)合，列出方程，即可求解；
（2）聯(lián)立方程組，根據(jù)直線與雙曲線交于兩點，求得且，設(shè)，，結(jié)合，得出，即可求解.
【詳解】（1）解：設(shè)點坐標為，則，
可得，，，
因為，可得，即，
所以點的軌跡方程為.
（2）解：聯(lián)立方程組，整理得，
因為直線與雙曲線交于兩點，可得，解得且，
設(shè)，，則，，
由，
又由，可得，
因為所以
所以，
所以，
化簡得即，解得或，
由且，所以.
21．（2023上·寧夏銀川·高二校考期末）橢圓：的焦點，是等軸雙曲線：的頂點，若橢圓與雙曲線的一個交點是，到橢圓兩個焦點的距離之和為4
(1)求橢圓的標準方程；
(2)點M是雙曲線上任意不同于其頂點的動點，設(shè)直線、的斜率分別為，，求證，的乘積為定值；
【答案】(1)
(2)，證明見解析
【分析】(1)根據(jù)雙曲線的方程確定的坐標，從而得出橢圓的焦距，再根據(jù)橢圓的定義可得橢圓的長軸為4，進而確定橢圓的方程.
(2)設(shè)點M的坐標，用點M,三點的坐標表示，再根據(jù)點M滿足雙曲線的方程，求解出的值.
【詳解】（1）解：根據(jù)題意，點的坐標分別為
從而橢圓的焦距，得
又橢圓上一點P到橢圓兩個焦點的距離之和為4，所以橢圓的長軸，即
從而得
故橢圓的方程為：
（2）設(shè)點，則
因為點M在雙曲線上，所以，代入上式得
故的乘積為定值1.
22．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線C：的右焦點為，且C的一條漸近線恰好與直線垂直.
(1)求C的方程；
(2)直線l：與C的右支交于A，B兩點，點D在C上，且軸.求證：直線BD過點F.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)焦點坐標及漸近線的斜率列式求解即可；
（2）設(shè)點的坐標，聯(lián)立直線與雙曲線方程，韋達定理，根據(jù)向量共線坐標運算得三點共線，即證.
【詳解】（1）由焦點坐標為得，所以，
又雙曲線C：的一條漸近線恰好與直線垂直，
得即，所以，
所以雙曲線C的方程為，即.
（2）由題意可知直線l的斜率存在且不為0，所以，
設(shè)，，則，由（1）可知，雙曲線C的漸近線為，
又直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點，則，即.
聯(lián)立，消去x得，
則，得，
，，則，
又，所以，，
所以，
所以，又，有公共點F，所以B，F(xiàn)，D三點共線，
所以直線BD過點F.

23．（2023上·河南駐馬店·高二統(tǒng)考期末）已知圓，，動圓與圓，均外切，記圓心的軌跡為曲線．
(1)求曲線的方程；
(2)直線過點，且與曲線交于兩點，滿足，求直線的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)兩圓的位置關(guān)系結(jié)合雙曲線的定義分析求解；
（2）不妨設(shè)，，，由可得，結(jié)合韋達定理運算求解.
【詳解】（1）由題意可知：圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，
由條件可得，即，
則根據(jù)雙曲線的定義可知，點是以，為焦點，以2為實軸長的雙曲線的右支，
則，可得，
所以曲線的方程為．
（2）由（1）可知：雙曲線的漸近線方程為，即，
由于且直線的斜率不等于0，
不妨設(shè)，，，
則，，
由可得，
聯(lián)立方程，消去x得
則，由韋達定理可得，
由，解得，
代入可得，
解得，即，
因此直線，即.

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