資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第一章 數與式
第一節 實數及其運算
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 實數的相關概念 ☆☆☆ 實數這一考點在中考數學中屬于較為簡單的一類考點，在中考，實數的分類及相關概念主要以選擇題或填空題形式考查，比較簡單；科學記數法、近似數多以選擇題或填空題形式考查，有大數和小數兩種形式，有時帶“億”“萬”“千萬”等單位，做題時要仔細審題，切忽略單位；實數的大小比較常以選擇題形式出現，常與數軸結合考查；實數的運算考查形式多樣，多數以解答題形式出現，結合絕對值、銳角三函數、二次根式、平方根、立方根等知識考查. 對于實數的復習，需要學生熟練掌握實數相關概念及其性質的應用、實數運算法則和順序等考點.
考點2 科學記數法與近似數 ☆☆☆
考點3數軸、相反數、絕對值、倒數 ☆
考點4 平方根、算術平方根、立方根 ☆☆☆
考點5實數的大小比較 ☆☆☆
考點6實數的運算 ☆☆☆
1．實數的分類：
（1）按實數的定義分類：
（2） 按實數的性質分類：
2.實數的有關概念
(1)數軸：規定了 、 和 的直線叫做數軸．
與數軸上的點一一對應．
(2)相反數：如果兩個數只有 不同，那么我們稱其中一個數是另一個數的相反數．0的相反數是 ．若a，b互為相反數，則a＋b＝ ．在數軸上，表示相反數的兩個數的點位于原點左右兩側，且到原點的距離相等
(3)倒數：1 一個不等于零的實數所得的商，叫做這個數的倒數．若a，b互為倒數，則ab＝ ． 沒有倒數．倒數等于本身的數是
(4)絕對值：一個數在數軸上對應的點到原點的 叫做這個數的絕對值．
|a|是一個非負數，即|a| ．
(5)平方根、算術平方根、立方根：
若x2＝a(a≥0)，則x是a的平方根，正數a有兩個平方根，記做±，0的平方根是 ，負數沒有平方根．其中是a的算術平方根，0的算術平方根是 ．
若x3＝a，則x是a的立方根，任何數都有立方根，a的立方根是3，正數有一個正立方根；0的立方根是0；負數有一個負立方根.
3.科學記數法與近似數
(1)科學記數法：
科學記數法就是把一個數表示成 的形式．
當原數絕對值大于10時，寫成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數的整數位數減1；
當原數絕對值小于1時，寫成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數左邊第一個非零的數字前的所有零的個數（包括小數點前面的零）.
(2)近似數：一個近似數 到哪一位，就說這個數精確到哪一位．
注：近似數小數點后的末位數是0的，不能去掉0
4.實數的運算
(1)運算律：
加法交換律：a＋b＝ ；
加法結合律：(a＋b)＋c＝ ；
乘法交換律：ab＝ ；
乘法結合律：(ab)c＝ ；
分配律：a(b＋c)＝ ．
(2)實數的運算順序：
實數的運算順序是先算 ，再算 ，最后算 ．如果有括號，一般先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算 ，同級運算應 依次進行．
(3)零指數冪、負整數指數冪：
任何不等于零的數的零次冪都等于1，即a0＝ (a≠0)．任何不等于零的數的－p(p是正整數)次冪，等于這個數的p次冪的倒數，即a－p＝ (a≠0，p是正整數)．
5.實數的大小比較
(1)數軸比較法：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的 ．
(2)作差比較法：設a，b是任意實數，則a－b＞0 ；a－b<0 ；a－b＝0 ．
■考點一　實數的相關概念
◇典例1：（2023 老河口市模擬）下列實數中，是有理數的是（　?。?br/>A．π B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023 云南）中國是最早使用正負數表示具有相反意義的量的國家．若向東走60米記作+60米，則向西走80米可記作（　?。?br/>A．﹣80米 B．0米 C．80米 D．140米
2.（2023 沭陽縣模擬）在3.14，﹣，，0這四個數中，屬于無理數的是（　?。?br/>A．3.14 B．﹣ C． D．0
（2023 武漢）寫出一個小于4的正無理數是　 　．
■考點二 科學記數法與近似數
◇典例2：（2023 湖州）國家互聯網信息辦公室2023年5月23日發布的《數字中國發展報告（2022年）》顯示，2022年我國數字經濟規模達502000億元．用科學記數法表示502000，正確的是（　　）
A．0.502×106 B．5.02×106 C．5.02×105 D．50.2×104
◆變式訓練
1.（2023 溫州）蘇步青來自“數學家之鄉”，為紀念其卓越貢獻，國際上將一顆距地球約218000000公里的行星命名為“蘇步青星”．數據218000000用科學記數法表示為（　　）
A．0.218×109 B．2.18×108 C．21.8×102 D．218×106
2.（2023 日照）芯片內部有數以億計的晶體管，為追求更高質量的芯片和更低的電力功耗，需要設計體積更小的晶體管．目前，某品牌手機自主研發了最新型號芯片，其晶體管柵極的寬度為0.000000014米，將數據0.000000014用科學記數法表示為（　?。?br/>A．1.4×10﹣8 B．14×10﹣7 C．0.14×10﹣6 D．1.4×10﹣9
■考點三 數軸、相反數、絕對值、倒數
◇典例3：1.（2023 廣州）﹣（﹣2023）＝（　?。?br/>A．﹣2023 B．2023 C． D．
2.（2023 哈爾濱）﹣的絕對值是（　?。?br/>A． B．10 C．﹣ D．﹣10
◆變式訓練
1．（2023 青海）﹣3的絕對值是 　?。?br/>2．（2023 岳陽）2023的相反數是（　　）
A． B． C．2023 D．﹣2023
3．（2023 自貢）如圖，數軸上點A表示的數是2023，OA＝OB，則點B表示的數是（　?。?br/>A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
■考點四　 平方根、立方根及實數的估算
◇典例4：（1） （2023 淄博）實數25的平方根是 　 ?。?br/>（2）（2023 湖州）已知a，b是兩個連續整數，，則a+b的值是 　?。?br/>◆變式訓練
1．（2022 攀枝花）2的平方根是（　?。?br/>A．2 B．±2 C． D．
2．（2023 浙江）﹣8的立方根是（　?。?br/>A．﹣2 B．2 C．±2 D．不存在
3．（2023 鄂州）計算：＝　4　．
4．（2023 寧夏）估計的值應在（　　）
A．3.5和4之間 B．4和4.5之間 C．4.5和5之間 D．5和5.5之間
■考點五　 實數的大小比較
◇典例5：（2023 綿陽）在實數0，，﹣π，中，最小的數是（　?。?br/>A．﹣π B．0 C． D．
◆變式訓練
1．（2023 揚州）已知a＝，b＝2，c＝，則a、b、c的大小關系是（　?。?br/>A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a
■考點六　 實數的運算
◇典例5：（2023 臺州）計算：．
◆變式訓練
1．（2023 廣西）計算：（﹣1）×（﹣4）+22÷（7﹣5）．
2.（2023 天津）的值等于（　　）
A．1 B． C． D．2
1．（2022 寧波）﹣2022的相反數是（　?。?br/>A．﹣ B． C．﹣2022 D．2022
2．（2023 衢州）手機信號的強弱通常采用負數來表示，絕對值越小表示信號越強（單位：dBm），則下列信號最強的是（　　）
A．﹣50 B．﹣60 C．﹣70 D．﹣80
3．（2023 蕭山區二模）的倒數是（　?。?br/>A． B． C．﹣2023 D．2023
4．（2023 溫州）如圖，比數軸上點A表示的數大3的數是（　?。?br/>A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．（2023 湖州）國家互聯網信息辦公室2023年5月23日發布的《數字中國發展報告（2022年）》顯示，2022年我國數字經濟規模達502000億元．用科學記數法表示502000，正確的是（　　）
A．0.502×106 B．5.02×106 C．5.02×105 D．50.2×104
6．（2023 平湖市一模）近期爆發的流感病毒形狀一般為球形，直徑大約為0.000 000 102米，數0.000 000 102用科學記數法可表示為（　?。?br/>A．1.02×10﹣7 B．1.02×107 C．1.02×10﹣8 D．1.02×108
7．（2021 湖州）化簡的正確結果是（　　）
A．4 B．±4 C．2 D．±2
8．（2023 嘉興）下面四個數中，比1小的正無理數是（　?。?br/>A． B．﹣ C． D．
9．（2022 舟山）估計的值在（　?。?br/>A．4和5之間 B．3和4之間 C．2和3之間 D．1和2之間
10．（2023 麗水）計算：|﹣|+（﹣2023）0+2﹣1．
11．（2023 西湖區三模）計算6+（），嘉琪同學的計算過程如下，原式＝6+（）+6+＝﹣12+18＝6．請你判斷嘉琪的計算過程是否正確，若不正確，請你寫出正確的計算過程．
12．（2023 東陽市三模）計算：|﹣2|﹣（﹣2）0+tan45°+．
1．（2023 大同模擬）公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派認為“萬物皆數”，意思是一切量都可以用整數或整數的比（分數）表示．后來，這一學派的希帕索斯發現，邊長為1的正方形的對角線的長度不能用整數或整數的比表示，由此引發了第一次數學危機．這里“不能用整數或整數的比表示的數”是指（　?。?br/>A．質數 B．負數 C．無理數 D．有理數
2．（2023 遼寧）2的絕對值是（　?。?br/>A．﹣ B． C．﹣2 D．2
3．（2023 青島）的相反數是（　?。?br/>A．﹣ B． C．﹣7 D．7
4．（2023 懷化）2023年4月12日21時，正在運行的中國大科學裝置“人造太陽”——世界首個全超導托卡馬克東方超環（EAST）裝置取得重大成果，在第122254次實驗中成功實現了403秒穩態長脈沖高約束模式等離子體運行，創造了托卡馬克裝置高約束模式運行新的世界紀錄．數據122254用科學記數法表示為（　?。?br/>A．12.2254×104 B．1.22254×104 C．1.22254×105 D．0.122254×106
5．（2023 遂寧）納米是表示微小距離的單位，1納米＝0.000001毫米，而1毫米相當于我們通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1納米是多么的小．中科院物理所研究員解思深領導的研究組研制出世界上最細的碳納米管一一直徑0.5納米．0.5納米相當于0.0000005毫米，數據0.0000005用科學記數法可以表示為（　?。?br/>A．0.5×10﹣6 B．0.5×10﹣7 C．5×10﹣6 D．5×10﹣7
6．（2023 淄博）﹣|﹣3|的運算結果等于（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
7．（2023 常州）下列實數中，其相反數比本身大的是（　?。?br/>A．﹣2023 B．0 C． D．2023
8．（2023 錦江區二模）的算術平方根是（　?。?br/>A．±6 B．6 C． D．
9．（2023 梧州一模）若，則a+b的值是（　　）
A．8 B．2 C．﹣8 D．﹣2
10．（2023 邵陽）的立方根是 　　．
11．（2023 衢州）計算：﹣1＝　?。?br/>12．（2023 常州）計算：（﹣1）0+2﹣1＝　?。?br/>13．（2023 扎蘭屯市一模）如果，那么x+2y的算術平方根為 　　．
14．（2022 杭州）計算：（﹣6）×（﹣■）﹣23．
圓圓在做作業時，發現題中有一個數字被墨水污染了．
（1）如果被污染的數字是，請計算（﹣6）×（﹣）﹣23．
（2）如果計算結果等于6，求被污染的數字．
15．（2023 衡水模擬）已知算式“（﹣9）×2﹣5”．
（1）嘉嘉將數字“5”抄錯了，所得結果為﹣21，則嘉嘉把“5”錯寫成了 　?。?br/>（2）淇淇不小心把運算符號“×”錯看成了“+”，求淇淇的計算結果比原題的正確結果大多少？
16．（2023 上海）計算：+﹣（）﹣2+|﹣3|．
17．（2023 北京）計算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．
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第一章 數與式
第一節 實數及其運算
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 實數的相關概念 ☆☆☆ 實數這一考點在中考數學中屬于較為簡單的一類考點，在中考，實數的分類及相關概念主要以選擇題或填空題形式考查，比較簡單；科學記數法、近似數多以選擇題或填空題形式考查，有大數和小數兩種形式，有時帶“億”“萬”“千萬”等單位，做題時要仔細審題，切忽略單位；實數的大小比較常以選擇題形式出現，常與數軸結合考查；實數的運算考查形式多樣，多數以解答題形式出現，結合絕對值、銳角三函數、二次根式、平方根、立方根等知識考查. 對于實數的復習，需要學生熟練掌握實數相關概念及其性質的應用、實數運算法則和順序等考點.
考點2 科學記數法與近似數 ☆☆☆
考點3數軸、相反數、絕對值、倒數 ☆
考點4 平方根、算術平方根、立方根 ☆☆☆
考點5實數的大小比較 ☆☆☆
考點6實數的運算 ☆☆☆
1．實數的分類：
（1）按實數的定義分類：
（2） 按實數的性質分類：
2.實數的有關概念
(1)數軸：規定了原點、單位長度和正方向的直線叫做數軸．
實數與數軸上的點一一對應．
(2)相反數：如果兩個數只有符號不同，那么我們稱其中一個數是另一個數的相反數．0的相反數是__0 ．若a，b互為相反數，則a＋b＝ 0 ．在數軸上，表示相反數的兩個數的點位于原點左右兩側，且到原點的距離相等
(3)倒數：1除以一個不等于零的實數所得的商，叫做這個數的倒數．若a，b互為倒數，則ab＝1． 0 沒有倒數．倒數等于本身的數是1或－1
(4)絕對值：一個數在數軸上對應的點到原點的距離叫做這個數的絕對值．
|a|是一個非負數，即|a|≥0．
(5)平方根、算術平方根、立方根：
若x2＝a(a≥0)，則x是a的平方根，正數a有兩個平方根，記做±，0的平方根是0，負數沒有平方根．其中是a的算術平方根，0的算術平方根是0．
若x3＝a，則x是a的立方根，任何數都有立方根，a的立方根是3，正數有一個正立方根；0的立方根是0；負數有一個負立方根.
3.科學記數法與近似數
(1)科學記數法：
科學記數法就是把一個數表示成 (1≤|a|＜10)的形式．
當原數絕對值大于10時，寫成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數的整數位數減1；
當原數絕對值小于1時，寫成a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原數左邊第一個非零的數字前的所有零的個數（包括小數點前面的零）.
(2)近似數：一個近似數四舍五入到哪一位，就說這個數精確到哪一位．
注：近似數小數點后的末位數是0的，不能去掉0
4.實數的運算
(1)運算律：
加法交換律：a＋b＝b＋a；
加法結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
乘法交換律：ab＝ba；
乘法結合律：(ab)c＝a(bc)；
分配律：a(b＋c)＝ab＋ac．
(2)實數的運算順序：
實數的運算順序是先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減．如果有括號，一般先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算大括號里面的，同級運算應從左到右依次進行．
(3)零指數冪、負整數指數冪：
任何不等于零的數的零次冪都等于1，即a0＝1(a≠0)．任何不等于零的數的－p(p是正整數)次冪，等于這個數的p次冪的倒數，即a－p＝(a≠0，p是正整數)．
5.實數的大小比較
(1)數軸比較法：在數軸上表示的兩個數，右邊的數總比左邊的 大 ．
(2)作差比較法：設a，b是任意實數，則a－b＞0 a>b；a－b<0 a■考點一　實數的相關概念
◇典例1：（2023 老河口市模擬）下列實數中，是有理數的是（　?。?br/>A．π B． C． D．
【考點】實數．
【答案】B
【點撥】根據有理數和無理數的意義，逐一判斷即可解答．
【解析】解：π，，是無理數，是有理數．
故選：B．
【點睛】本題考查了實數，熟練掌握實數的分類是解題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023 云南）中國是最早使用正負數表示具有相反意義的量的國家．若向東走60米記作+60米，則向西走80米可記作（　　）
A．﹣80米 B．0米 C．80米 D．140米
【考點】正數和負數．
【答案】A
【點撥】正數和負數可以表示具有相反意義的量，據此即可得出答案．
【解析】解：∵向東走60米記作+60米，
∴向西走80米可記作﹣80米，
故選：A．
【點睛】本題考查正數與負數的實際意義，明確正數和負數是一對具有相反意義的量最為關鍵．
2.（2023 沭陽縣模擬）在3.14，﹣，，0這四個數中，屬于無理數的是（　　）
A．3.14 B．﹣ C． D．0
【考點】無理數；算術平方根．
【答案】C
【點撥】根據無理數的定義判斷即可．
【解析】解：在3.14，﹣，，0這四個數中，屬于無理數的是．
故選：C．
【點睛】本題考查了無理數，掌握無限不循環小數是無理數是解題的關鍵．
3.（2023 武漢）寫出一個小于4的正無理數是?。ù鸢覆晃ㄒ唬。?br/>【考點】無理數．
【答案】（答案不唯一）．
【點撥】由于無理數是無限不循環小數，根據此定義即可找出一個比4小的無理數．
【解析】解：一個小于4的正無理數是（答案不唯一）．
故答案為： （答案不唯一）．
【點睛】此題主要考查了實數大小比較的方法，以及無理數的特征和應用，解答此題的關鍵是要明確：無限不循環小數叫做無理數．
■考點二 科學記數法與近似數
◇典例2：（2023 湖州）國家互聯網信息辦公室2023年5月23日發布的《數字中國發展報告（2022年）》顯示，2022年我國數字經濟規模達502000億元．用科學記數法表示502000，正確的是（　　）
A．0.502×106 B．5.02×106 C．5.02×105 D．50.2×104
【考點】科學記數法．
【答案】C
【點撥】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值大于10時，n是正整數；當原數的絕對值小于1時，n是負整數．
【解析】解：502000＝5.02×105，
故選：C．
【點睛】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，正確確定a的值以及n的值是解決問題的關鍵．
◆變式訓練
1.（2023 溫州）蘇步青來自“數學家之鄉”，為紀念其卓越貢獻，國際上將一顆距地球約218000000公里的行星命名為“蘇步青星”．數據218000000用科學記數法表示為（　　）
A．0.218×109 B．2.18×108 C．21.8×102 D．218×106
【考點】科學記數法
【答案】B
【點撥】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．
【解析】解：將218000000用科學記數法表示為2.18×108．
故選：B．
【點睛】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．
2.（2023 日照）芯片內部有數以億計的晶體管，為追求更高質量的芯片和更低的電力功耗，需要設計體積更小的晶體管．目前，某品牌手機自主研發了最新型號芯片，其晶體管柵極的寬度為0.000000014米，將數據0.000000014用科學記數法表示為（　?。?br/>A．1.4×10﹣8 B．14×10﹣7 C．0.14×10﹣6 D．1.4×10﹣9
【考點】科學記數法．
【答案】A
【點撥】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正整數；當原數的絕對值＜1時，n是負整數．
【解析】解：0.000000014＝1.4×10﹣8．
故選：A．
【點睛】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
■考點三 數軸、相反數、絕對值、倒數
◇典例3：1.（2023 廣州）﹣（﹣2023）＝（　?。?br/>A．﹣2023 B．2023 C． D．
【考點】相反數．
【答案】B
【點撥】根據負數的相反數是正數解答即可．
【解析】解：﹣（﹣2023）＝2023，
故選：B．
【點睛】本題考查相反數等知識，掌握相反數的概念是解題的關鍵．正數的相反數是負數，負數的相反數是正數，0的相反數數是0．
2.（2023 哈爾濱）﹣的絕對值是（　　）
A． B．10 C．﹣ D．﹣10
【考點】絕對值．
【答案】A
【點撥】負數的絕對值等于它的相反數，據此即可求得答案．
【解析】解：|﹣|＝﹣（﹣）＝，
故選：A．
【點睛】本題考查絕對值，熟練掌握絕對值的定義及性質是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023 青海）﹣3的絕對值是 　3?。?br/>【考點】絕對值．
【答案】3．
【點撥】根據絕對值的定義即可求得答案．
【解析】解：|﹣3|＝3．
故答案為：3．
【點睛】本題考查絕對值，掌握絕對值的定義是解題關鍵．
2．（2023 岳陽）2023的相反數是（　?。?br/>A． B． C．2023 D．﹣2023
【考點】相反數．
【答案】D
【點撥】只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，由此即可得到答案．
【解析】解：2023的相反數是﹣2023．
故選：D．
【點睛】本題考查相反數，關鍵是掌握相反數的定義．
3．（2023 自貢）如圖，數軸上點A表示的數是2023，OA＝OB，則點B表示的數是（　?。?br/>A．2023 B．﹣2023 C． D．﹣
【考點】數軸．
【答案】B
【點撥】結合已知條件，根據實數與數軸的對應關系即可求得答案．
【解析】解：∵OA＝OB，點A表示的數是2023，
∴OB＝2023，
∵點B在O點左側，
∴點B表示的數為：0﹣2023＝﹣2023，
故選：B．
【點睛】本題主要考查實數與數軸的對應關系，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
■考點四　 平方根、立方根及實數的估算
◇典例4：（1） （2023 淄博）實數25的平方根是 　±5?。?br/>【考點】平方根．
【答案】±5
【點撥】根據平方根的定義求解即可．
【解析】解：∵（±5）2＝25，
∴25的平方根是±5．
故答案為：±5．
【點睛】本題考查了平方根的知識，屬于基礎題，關鍵是熟練掌握基礎概念．
（2）（2023 湖州）已知a，b是兩個連續整數，，則a+b的值是 　9　．
【考點】估算無理數的大小．
【答案】9．
【點撥】a與b為整數，且＜＜，故可以得到a與b的值．
【解析】解：由題可知，
∵4＜＜5，
∴a＝4，b＝5，
故a+b＝9．
故答案為：9．
【點睛】本題考查估算無理數的大小，掌握無理數的取值方法是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2022 攀枝花）2的平方根是（　　）
A．2 B．±2 C． D．
【考點】平方根．
【答案】D
【點撥】根據平方根的定義即可求解．
【解析】解：因為（±）2＝2，
所以2的平方根是，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了平方根，掌握平方根的定義是解題的關鍵．
2．（2023 浙江）﹣8的立方根是（　?。?br/>A．﹣2 B．2 C．±2 D．不存在
【考點】立方根．
【答案】A
【點撥】根據立方根的定義求出的值，即可得出答案．
【解析】解：﹣8的立方根是＝＝﹣2，
故選：A．
【點睛】本題考查了對立方根的定義的理解和運用，明確a的立方根是是解題的關鍵．
3．（2023 鄂州）計算：＝　4　．
【考點】算術平方根．
【答案】4
【點撥】根據算術平方根的概念去解即可．算術平方根的定義：一個非負數的正的平方根，即為這個數的算術平方根，由此即可求出結果．
【解析】解：∵42＝16，
∴＝4，
故答案為4．
【點睛】此題主要考查了算術平方根的定義，算術平方根的概念易與平方根的概念混淆而導致錯誤．
4．（2023 寧夏）估計的值應在（　?。?br/>A．3.5和4之間 B．4和4.5之間 C．4.5和5之間 D．5和5.5之間
【考點】估算無理數的大?。?br/>【答案】C
【點撥】運用算術平方根的知識進行估算、求解．
【解析】解：∵4.52＝20.25，52＝25，
且20.25＜23＜25，
∴4.5＜＜5，
故選：C．
【點睛】此題考查了無理數的估算能力，關鍵是能準確理解并運用算術平方根進行求解．
■考點五　 實數的大小比較
◇典例5：（2023 綿陽）在實數0，，﹣π，中，最小的數是（　　）
A．﹣π B．0 C． D．
【考點】實數大小比較；算術平方根．
【答案】A
【點撥】正實數都大于0，負實數都小于0，正實數大于一切負實數，兩個負實數絕對值大的反而小，據此判斷即可．
【解析】解：根據實數比較大小的方法，可得：﹣π＜0＜＜，
所以在實數0，，﹣π，中，最小的數是﹣π．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了實數大小比較的方法，明確正實數＞0＞負實數，兩個負實數絕對值大的反而小是解答的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023 揚州）已知a＝，b＝2，c＝，則a、b、c的大小關系是（　　）
A．b＞a＞c B．a＞c＞b C．a＞b＞c D．b＞c＞a
【考點】實數大小比較；算術平方根．
【答案】C
【點撥】一個正數越大，其算術平方根越大，據此進行判斷即可．
【解析】解：∵3＜4＜5，
∴＜＜，
即＜2＜，
則a＞b＞c，
故選：C．
【點睛】本題考查實數的大小比較，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
■考點六　 實數的運算
◇典例5：（2023 臺州）計算：．
【考點】實數的運算．
【答案】2．
【點撥】根據有理數的乘方，絕對值的性質，算術平方根進行計算即可．
【解析】解：22+|﹣3|﹣
＝4+3﹣
＝4+3﹣5
＝7﹣5
＝2．
【點睛】本題考查實數的運算，實數的相關運算法則是基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
◆變式訓練
1．（2023 廣西）計算：（﹣1）×（﹣4）+22÷（7﹣5）．
【考點】有理數的混合運算．
【答案】6
【點撥】先算括號里面的，再算乘方，乘除，最后算加減即可．
【解析】解：原式＝（﹣1）×（﹣4）+4÷2
＝4+2
＝6．
【點睛】本題考查的是有理數的混合運算，熟知有理數混合運算的順序是解題的關鍵．
2.（2023 天津）的值等于（　?。?br/>A．1 B． C． D．2
【考點】實數的運算所有
【答案】B
【點撥】根據特殊銳角的三角函數值及二次根式的加法法則計算即可．
【解析】解：原式＝+
＝，
故選：B．
【點睛】本題考查二次根式的運算及特殊銳角的三角函數，其相關運算法則是基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
1．（2022 寧波）﹣2022的相反數是（　　）
A．﹣ B． C．﹣2022 D．2022
【考點】相反數．
【答案】D
【點撥】根據相反數的定義直接求解．
【解析】解：﹣2022的相反數是2022，
故選：D．
【點睛】本題主要考查相反數的定義，熟練掌握相反數的定義是解答此題的關鍵．
2．（2023 衢州）手機信號的強弱通常采用負數來表示，絕對值越小表示信號越強（單位：dBm），則下列信號最強的是（　　）
A．﹣50 B．﹣60 C．﹣70 D．﹣80
【考點】正數和負數；絕對值．
【答案】A
【點撥】先求出各個選項中數的絕對值，然后進行比較，根據絕對值越小表示信號越強，找出信號最強的即可．
【解析】解：∵|﹣50|＝50，|﹣60|＝60，|﹣70|＝70，|﹣80|＝80，50＜60＜70＜80，
∴信號最強的是﹣50，
故答案為：A．
【點睛】本題主要考查了絕對值，解題關鍵是熟練掌握絕對值的性質．
3．（2023 蕭山區二模）的倒數是（　　）
A． B． C．﹣2023 D．2023
【考點】倒數．
【答案】D
【點撥】乘積是1的兩數互為倒數，由此即可得到答案．
【解析】解：的倒數是2023．
故選：D．
【點睛】本題考查倒數，關鍵是掌握倒數的定義．
4．（2023 溫州）如圖，比數軸上點A表示的數大3的數是（　?。?br/>A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考點】有理數的加法；數軸．
【答案】D
【點撥】結合數軸得出A對應的數，再利用有理數的加法計算得出答案．
【解析】解：由數軸可得：A表示﹣1，則比數軸上點A表示的數大3的數是：﹣1+3＝2．
故選：D．
【點睛】此題主要考查了有理數的加法以及數軸，正確掌握有理數的加法是解題關鍵．
5．（2023 湖州）國家互聯網信息辦公室2023年5月23日發布的《數字中國發展報告（2022年）》顯示，2022年我國數字經濟規模達502000億元．用科學記數法表示502000，正確的是（　　）
A．0.502×106 B．5.02×106 C．5.02×105 D．50.2×104
【考點】科學記數法．
【答案】C
【點撥】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值大于10時，n是正整數；當原數的絕對值小于1時，n是負整數．
【解析】解：502000＝5.02×105，
故選：C．
【點睛】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，正確確定a的值以及n的值是解決問題的關鍵．
6．（2023 平湖市一模）近期爆發的流感病毒形狀一般為球形，直徑大約為0.000 000 102米，數0.000 000 102用科學記數法可表示為（　　）
A．1.02×10﹣7 B．1.02×107 C．1.02×10﹣8 D．1.02×108
【考點】科學記數法—表示較小的數．
【答案】A
【點撥】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負整數指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
【解析】解：0.000 000 102＝1.02×10﹣7．
故選：A．
【點睛】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
7．（2021 湖州）化簡的正確結果是（　?。?br/>A．4 B．±4 C．2 D．±2
【考點】算術平方根．
【答案】C
【點撥】根據二次根式的性質化簡即可．
【解析】解：＝＝×＝2，
故選：C．
【點睛】本題考查了二次根式的化簡，算術平方根，解題時注意：算術平方根與平方根的區別．
8．（2023 嘉興）下面四個數中，比1小的正無理數是（　?。?br/>A． B．﹣ C． D．
【考點】實數大小比較；算術平方根；無理數．
【答案】A
【點撥】無理數即無限不循環的小數，結合實數比較大小的方法進行判斷即可．
【解析】解：A．∵1＞，
∴＞，
即1＞，且是正無理數，
則A符合題意；
B．﹣是負數，
則B不符合題意；
C．是分數，不是無理數，
則C不符合題意；
D．∵π＞3，
∴＞1，
則D不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查無理數的定義及實數的大小比較，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
9．（2022 舟山）估計的值在（　　）
A．4和5之間 B．3和4之間 C．2和3之間 D．1和2之間
【考點】估算無理數的大?。?br/>【答案】C
【點撥】根據無理數的估算分析解題．
【解析】解：∵4＜6＜9，
∴＜＜，
∴2＜＜3，
故選：C．
【點睛】本題考查無理數的估算，理解算術平方根的概念是解題關鍵．
10．（2023 麗水）計算：|﹣|+（﹣2023）0+2﹣1．
【考點】實數的運算；零指數冪；負整數指數冪．
【答案】2．
【點撥】根據實數的相關運算法則進行計算即可．
【解析】解：原式＝+1+
＝1+1
＝2．
【點睛】本題考查實數的運算，實數運算的相關運算法則是基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
11．（2023 西湖區三模）計算6+（），嘉琪同學的計算過程如下，原式＝6+（）+6+＝﹣12+18＝6．請你判斷嘉琪的計算過程是否正確，若不正確，請你寫出正確的計算過程．
【考點】有理數的加減混合運算．
【答案】5
【點撥】先判斷嘉琪的做法是否正確，然后根據去括號的法則和有理數加減法的法則可以解答本題．
【解析】解：嘉琪的計算過程錯誤，
正確的過程如下：
6+（）
＝
＝5．
【點睛】本題考查有理數的加減混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數加減混合運算的計算方法．
12．（2023 東陽市三模）計算：|﹣2|﹣（﹣2）0+tan45°+．
【考點】實數的運算；零指數冪；特殊角的三角函數值．
【答案】5．
【點撥】先化簡各式，然后再進行計算即可解答．
【解析】解：|﹣2|﹣（﹣2）0+tan45°+
＝2﹣1+1+3
＝5．
【點睛】本題考查了實數的運算，零指數冪，特殊角的三角函數值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
1．（2023 大同模擬）公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派認為“萬物皆數”，意思是一切量都可以用整數或整數的比（分數）表示．后來，這一學派的希帕索斯發現，邊長為1的正方形的對角線的長度不能用整數或整數的比表示，由此引發了第一次數學危機．這里“不能用整數或整數的比表示的數”是指（　?。?br/>A．質數 B．負數 C．無理數 D．有理數
【考點】實數．
【答案】C
【點撥】根據實數的分類及無理數的定義解答即可．
【解析】解：不能用整數或整數的比表示的數”是指無理數．
故選：C．
【點睛】本題考查的是實數，熟知無限不循環小數叫無理數是解題的關鍵．
2．（2023 遼寧）2的絕對值是（　?。?br/>A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【考點】絕對值．
【答案】D
【點撥】計算絕對值要根據絕對值的定義求解．第一步列出絕對值的表達式；第二步根據絕對值定義去掉這個絕對值的符號．
【解析】解：∵2＞0，
∴|2|＝2．
故選：D．
【點睛】本題考查了絕對值的意義，任何一個數的絕對值一定是非負數，所以2的絕對值是2．部分學生易混淆相反數、絕對值、倒數的意義．
3．（2023 青島）的相反數是（　?。?br/>A．﹣ B． C．﹣7 D．7
【考點】相反數．
【答案】A
【點撥】根據實數a的相反數是﹣a進行求解．
【解析】解：的相反數是﹣，
故選：A．
【點睛】此題考查了實數相反數的求解能力，關鍵是能準確理解并運用以上知識．
4．（2023 懷化）2023年4月12日21時，正在運行的中國大科學裝置“人造太陽”——世界首個全超導托卡馬克東方超環（EAST）裝置取得重大成果，在第122254次實驗中成功實現了403秒穩態長脈沖高約束模式等離子體運行，創造了托卡馬克裝置高約束模式運行新的世界紀錄．數據122254用科學記數法表示為（　?。?br/>A．12.2254×104 B．1.22254×104 C．1.22254×105 D．0.122254×106
【考點】科學記數法．
【答案】C
【點撥】將一個數表示為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，這種記數方法叫做科學記數法，據此即可得出答案．
【解析】解：122254＝1.22254×105，
故選：C．
【點睛】本題考查科學記數法表示較大的數，科學記數法是基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
5．（2023 遂寧）納米是表示微小距離的單位，1納米＝0.000001毫米，而1毫米相當于我們通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1納米是多么的?。锌圃何锢硭芯繂T解思深領導的研究組研制出世界上最細的碳納米管一一直徑0.5納米．0.5納米相當于0.0000005毫米，數據0.0000005用科學記數法可以表示為（　　）
A．0.5×10﹣6 B．0.5×10﹣7 C．5×10﹣6 D．5×10﹣7
【考點】科學記數法．
【答案】D
【點撥】絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10﹣n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負整數指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
【解析】解：將0.0000005用科學記數法表示為5×10﹣7．
故選：D．
【點睛】本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．
6．（2023 淄博）﹣|﹣3|的運算結果等于（　　）
A．3 B．﹣3 C． D．
【考點】絕對值；相反數．
【答案】B
【點撥】利用絕對值的性質可得出答案．
【解析】解：﹣|﹣3|＝﹣3，
故選：B．
【點睛】本題考查了絕對值，掌握絕對值的性質是解題的關鍵．
7．（2023 常州）下列實數中，其相反數比本身大的是（　?。?br/>A．﹣2023 B．0 C． D．2023
【考點】實數大小比較；相反數．
【答案】A
【點撥】求得各項的相反數后與原數比較大小即可．
【解析】解：﹣2023的相反數為2023＞﹣2023，則A符合題意；
0的相反數為0，則B不符合題意；
的相反數為﹣＜，則C不符合題意；
2023的相反數為﹣2023＜2023，則D不符合題意；
故選：A．
【點睛】本題考查有理數的大小比較及相反數，熟練掌握比較有理數大小的方法是解題的關鍵．
8．（2023 錦江區二模）的算術平方根是（　?。?br/>A．±6 B．6 C． D．
【考點】算術平方根．
【答案】D
【點撥】先求出36的算術平方根＝6，然后再求6的算術平方根即可．
【解析】解：∵＝6，
∴6的算術平方根為．
故選：D．
【點睛】本題考查了算術平方根的定義：一個正數的正的平方根叫這個數的算術平方根．
9．（2023 梧州一模）若，則a+b的值是（　?。?br/>A．8 B．2 C．﹣8 D．﹣2
【考點】非負數的性質．
【答案】B
【點撥】根據算術平方根和絕對值的非負性即可求出a和b的值，再代入a+b中求解即可．
【解析】解：∵，a+3≥0，|b﹣5|≥0，
∴a+3＝0，b﹣5＝0，
∴a＝﹣3，b＝5，
∴a+b＝﹣3+5＝2．
故選：B．
【點睛】本題考查非負數的性質，代數式求值．掌握算術平方根和絕對值的非負性是解題關鍵．
10．（2023 邵陽）的立方根是 　2　．
【考點】立方根；算術平方根．
【答案】2．
【點撥】先求出的值，再根據立方根的定義解答即可．
【解析】解：＝8，
＝2．
故答案為：2．
【點睛】本題考查的是立方根及算術平方根，熟知如果一個數的立方等于a，那么這個數叫做a的立方根或三次方根是解題的關鍵．
11．（2023 衢州）計算：﹣1＝　1　．
【考點】實數的運算．
【答案】1．
【點撥】先計算＝2，再進行計算即可．
【解析】解：﹣1＝2﹣1＝1．
【點睛】本題考查實數的運算，掌握二次根式的定義是解題的關鍵．
12．（2023 常州）計算：（﹣1）0+2﹣1＝　1?。?br/>【考點】實數的運算．
【答案】1．
【點撥】先計算零指數冪和負整數指數冪，再合并即可．
【解析】解：原式＝1+＝1．
【點睛】此題考查的是實數的運算、零指數冪、負整數指數冪，掌握其運算法則是解決此題的關鍵．
13．（2023 扎蘭屯市一模）如果，那么x+2y的算術平方根為 　　．
【考點】非負數的性質．
【答案】
【點撥】先根據非負數的性質求出x，y的值，再代入x+2y求值，根據算術平方根的定義即可得出結論．
【解析】解：由題意得，x+5＝0，y﹣6＝0，
∴x＝﹣5，y＝6，
∴x+2y＝﹣5+12＝7，
∴x+2y的算術平方根為．
【點睛】本題考查的是算術平方根和非負數的性質，熟知任意一個數的偶次方都是非負數，當幾個數或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0是解題的關鍵．
14．（2022 杭州）計算：（﹣6）×（﹣■）﹣23．
圓圓在做作業時，發現題中有一個數字被墨水污染了．
（1）如果被污染的數字是，請計算（﹣6）×（﹣）﹣23．
（2）如果計算結果等于6，求被污染的數字．
【考點】有理數的混合運算；一元一次方程的應用．
【答案】（1）﹣9；
（2）3．
【點撥】（1）將被污染的數字代入原式，根據有理數的混合運算即可得出答案；
（2）設被污染的數字為x，根據計算結果等于6列出方程，解方程即可得出答案．
【解析】解：（1）（﹣6）×（﹣）﹣23
＝（﹣6）×﹣8
＝﹣1﹣8
＝﹣9；
（2）設被污染的數字為x，
根據題意得：（﹣6）×（﹣x）﹣23＝6，
解得：x＝3，
答：被污染的數字是3．
【點睛】本題考查了有理數的混合運算，一元一次方程的應用，體現了方程思想，設被污染的數字為x，根據計算結果等于6列出方程是解題的關鍵．
15．（2023 衡水模擬）已知算式“（﹣9）×2﹣5”．
（1）嘉嘉將數字“5”抄錯了，所得結果為﹣21，則嘉嘉把“5”錯寫成了 　3　；
（2）淇淇不小心把運算符號“×”錯看成了“+”，求淇淇的計算結果比原題的正確結果大多少？
【考點】有理數的混合運算．
【答案】（1）3 （2）11
【點撥】（1）將數字“5”改成空格，采用有理數的運算可以得到結果．
（2）重新計算得結果，再作差運算得到結果．
【解析】解：（1）（﹣9）×2﹣——＝﹣21
——＝（﹣9）×2﹣（﹣21）
——＝﹣18+21
——＝3，
所以把“5”錯寫成了“3”，
故答案為：3；
（2）原題正確結果（﹣9）×2﹣5＝﹣18﹣5＝﹣23，
淇淇的結果：（﹣9）+2﹣5＝﹣12，
﹣12﹣（﹣23）＝﹣12+23＝11，
所以結果比原題的正確結果大11．
【點睛】本題考查了有理數的混合運算，掌握有理數的混合運算法則是解題的關鍵．
16．（2023 上海）計算：+﹣（）﹣2+|﹣3|．
【考點】實數的運算．
【答案】﹣6．
【點撥】根據立方根定義，二次根式的化簡，負整數指數冪，絕對值的性質進行計算即可．
【解析】解：原式＝2+﹣9+3﹣
＝2+﹣2﹣9+3﹣
＝﹣6．
【點睛】本題考查實數的運算，其相關運算法則是基礎且重要知識點，必須熟練掌握．
17．（2023 北京）計算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．
【考點】實數的運算．
【答案】5．
【點撥】根據特殊角的三角函數值、負整數指數冪的運算法則、絕對值的性質、二次根式的性質計算．
【解析】解：原式＝4×+3+2﹣2
＝2+3+2﹣2
＝5．
【點睛】本題考查的是實數的運算，熟記特殊角的三角函數值、負整數指數冪的運算法則、絕對值的性質、二次根式的性質是解題的關鍵．
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