資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第一章 數(shù)與式
第二節(jié) 整式與因式分解
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 代數(shù)式相關(guān)概念 ☆☆☆ 中考數(shù)學(xué)中，整式這個(gè)考點(diǎn)一般會(huì)考學(xué)生對(duì)整式化簡(jiǎn)計(jì)算的應(yīng)用，偶爾考察整式的基本概念，對(duì)整式的復(fù)習(xí)，重點(diǎn)是要理解并掌握整式的加減法則、乘除法則及冪的運(yùn)算，難度一般不大. 因式分解作為整式乘法的逆運(yùn)算，在數(shù)學(xué)中考中占比不大，但是依然屬于必考題，常以簡(jiǎn)單選擇、填空題的形式出現(xiàn)，而且一般只考察因式分解的前兩步， 拓展延伸部分基本不考，所以學(xué)生在復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，除了要扎實(shí)掌握好基礎(chǔ)，更需要甄別好主次，合理安排復(fù)習(xí)方向.
考點(diǎn)2 整式的相關(guān)概念 ☆☆☆
考點(diǎn)3 整式的運(yùn)算 ☆
考點(diǎn)4 整式的化簡(jiǎn)求值 ☆☆☆
考點(diǎn)5 因式分解 ☆☆☆
1.代數(shù)式及相關(guān)概念
（1）代數(shù)式：用基本的運(yùn)算符號(hào)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子叫做代數(shù)式.
（2）代數(shù)式的值：一般地，用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.
整式及相關(guān)概念
（1）單項(xiàng)式：由 或 相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也叫單項(xiàng)式．一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的 ，單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的 ．
（2）多項(xiàng)式：由幾個(gè) 組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式，多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式的 ，不含字母的項(xiàng)叫做 ．
（3）整式： ．
3.整式的加減
（1）同類項(xiàng)：多項(xiàng)式中，所含 相同，并且 也相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng)．所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng).
（2）合并同類項(xiàng)的法則：同類項(xiàng)的系數(shù) ，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的 ．
（3）添（去）括號(hào)法則：括號(hào)外是“+”，添(去) 括號(hào)不變號(hào)，括號(hào)外是“-”，添(去) 括號(hào)都變號(hào).
（4）整式的加減法則：幾個(gè)整式相加減，如有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)
4.整式的乘除
（1）冪的運(yùn)算性質(zhì)：
①同底數(shù)冪相乘：am·an＝ (m，n都是整數(shù)，a≠0)．
②冪的乘方：(am)n＝ (m，n都是整數(shù)，a≠0)．
③積的乘方：(ab)n＝ (n是整數(shù)，a≠0，b≠0)．
④同底數(shù)冪相除：am÷an＝ (m，n都是整數(shù)，a≠0)．
（2）整式乘法：①單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式．
②單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：m(a＋b)＝ ．
③多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：(a＋b)(c＋d)＝ ．
（3）乘法公式：
①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝ ． ②完全平方公式：(a±b)2＝ ．
③乘法公式的常見(jiàn)恒等變形：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab
(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
（4）整式除法：
①單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別 ，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．
②多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的 除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．
3.因式分解
（1）因式分解的概念：
把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè) 的形式，叫做因式分解．因式分解與 是互逆變形．
（2）因式分解的基本方法：
①提取公因式法：ma＋mb＋mc＝ ．
②公式法：運(yùn)用平方差公式：a2－b2＝ ．
運(yùn)用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝ ．
（3）因式分解的一般步驟：
①如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式．
②如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，那么盡可能嘗試用公式法來(lái)分解；如果項(xiàng)數(shù)較多，要分組分解．
③分解因式必須分解到不能再分解為止，每個(gè)因式的內(nèi)部不再有括號(hào)，且同類項(xiàng)合并完畢，若有相同因式需寫(xiě)成冪的形式．
④意題中因式分解要求的范圍，如在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式，x4－9＝(x2＋3)(x2－3)；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，x4－9＝(x2＋3)(x＋)(x－)，題目不作說(shuō)明的，一般是指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式．
■考點(diǎn)一　代數(shù)式的相關(guān)概念
◇典例1： 1．（2023 永嘉縣三模）買(mǎi)一個(gè)足球需m元，買(mǎi)一個(gè)籃球需n元，則買(mǎi)5個(gè)足球和4個(gè)籃球共需（　　）元．
A．9mn B．20mn C．5m+4n D．4m+5n
2．（2023 常德）若a2+3a﹣4＝0，則2a2+6a﹣3＝（　　）
A．5 B．1 C．﹣1 D．0
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 上城區(qū)二模）某商品打九折后的價(jià)格為a元，則原價(jià)為（　　）
A．a(chǎn)元 B．元 C．0.3a元 D．元
2．（2023 甌海區(qū)二模）小李家住房的結(jié)構(gòu)如圖所示，小李打算把臥室和客廳鋪上木地板，請(qǐng)你幫他算一算，他至少需買(mǎi)多少平方米的木地板（　　）
A．12ab B．10ab C．8ab D．6ab
3．（2021 自貢）已知x2﹣3x﹣12＝0，則代數(shù)式﹣3x2+9x+5的值是（　　）
A．31 B．﹣31 C．41 D．﹣41
■考點(diǎn)二 整式的相關(guān)概念
◇典例2： （2022 鄞州區(qū)模擬）下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．3πxy的系數(shù)是3 B．3πxy的次數(shù)是3
C．﹣xy2的系數(shù)是﹣ D．﹣xy2的次數(shù)是2
◆變式訓(xùn)練
1．（2022 攀枝花）下列各式不是單項(xiàng)式的為（　　）
A．3 B．a(chǎn) C． D．x2y
2．（2021 綿陽(yáng)）整式﹣3xy2的系數(shù)是（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣3x D．3x
3．（2022 荷塘區(qū)二模）多項(xiàng)式3x2y2﹣2xy2﹣xy的二次項(xiàng)系數(shù)為 　 　．
■考點(diǎn)三 整式的加減
◇典例3： 1．（2023 新昌縣模擬）下列運(yùn)算正確的是（　　）
A．2x﹣x＝2 B．2m+3m＝5m2 C．5xy﹣4xy＝xy D．2a+3b＝5ab
2．（2021 常州）計(jì)算：2a2﹣（a2+2）＝　 　．
◆變式訓(xùn)練
1．（2021 西湖區(qū)二模）計(jì)算2a2﹣a2的結(jié)果是（　　）
A．1 B．a(chǎn) C．a(chǎn)2 D．2a
2．（2023 婺城區(qū)一模）如圖是一道關(guān)于整式運(yùn)算的例題及正確的解答過(guò)程，其中A，B是兩個(gè)關(guān)于x的二項(xiàng)式．
【例題】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)：2（）﹣3（） 解：原式＝4x﹣6﹣9x﹣15＝　 　
（1）二項(xiàng)式A為 　 　，二項(xiàng)式B為 　 　．
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，A與B的值相等？
■考點(diǎn)四　 整式的乘除
◇典例4：1．（2022 寧波）下列計(jì)算正確的是（　　）
A．a(chǎn)3+a＝a4 B．a(chǎn)6÷a2＝a3 C．（a2）3＝a5 D．a(chǎn)3 a＝a4
2．（2023 寧波）計(jì)算：（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022 溫州）化簡(jiǎn)（﹣a）3 （﹣b）的結(jié)果是（　　）
A．﹣3ab B．3ab C．﹣a3b D．a(chǎn)3b
2．（2022 湖州）下列各式的運(yùn)算，結(jié)果正確的是（　　）
A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．a(chǎn)2 a3＝a6 C．a(chǎn)3﹣a2＝a D．（2a）2＝4a2
3．（2021 臺(tái)州）已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，則ab＝（　　）
A．24 B．48 C．12 D．2
4．（2021 湖州）計(jì)算：x（x+2）+（1+x）（1﹣x）．
■考點(diǎn)五　 整式的化簡(jiǎn)求值
◇典例4：（2022 麗水）先化簡(jiǎn)，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2），其中x＝．
◆變式訓(xùn)練
1．（2021 金華）已知x＝，求（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．
2．（2023 嘉興、舟山）已知a2+3ab＝5，求（a+b）（a+2b）﹣2b2的值．
3．（2023 內(nèi)蒙古）先化簡(jiǎn)，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝﹣1，y＝+1．
■考點(diǎn)六　 因式分解
◇典例5：（2023 濟(jì)寧）下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（　　）
A．（a+3）2＝a2+6a+9
B．a(chǎn)2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y）
D．a(chǎn)2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 金華模擬）下列代數(shù)式變形中，是因式分解的是（　　）
A．a(chǎn)b（b﹣2）＝ab2﹣ab B．3x﹣6y+3＝3（x﹣2y）
C．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1 D．﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2
2．（2023 溫州）分解因式：2a2﹣2a＝　 ）　．
3．（2022 富陽(yáng)區(qū)二模）分解因式4y2+4y+1結(jié)果正確的是（　　）
A．（2y+1）2 B．（2y﹣1）2 C．（4y+1）2 D．（4y﹣1）2
4．（2021 杭州）因式分解：1﹣4y2＝（　　）
A．（1﹣2y）（1+2y） B．（2﹣y）（2+y）
C．（1﹣2y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y）
1．（2021 溫州）某地居民生活用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：每月用水量不超過(guò)17立方米，每立方米a元；超過(guò)部分每立方米（a+1.2）元．該地區(qū)某用戶上月用水量為20立方米，則應(yīng)繳水費(fèi)為（　　）
A．20a元 B．（20a+24）元 C．（17a+3.6）元 D．（20a+3.6）元
2．（2021 金華）某超市出售一商品，有如下四種在原標(biāo)價(jià)基礎(chǔ)上調(diào)價(jià)的方案，其中調(diào)價(jià)后售價(jià)最低的是（　　）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提價(jià)50%，再打六折
C．先提價(jià)30%，再降價(jià)30% D．先提價(jià)25%，再降價(jià)25%
3．（2022 麗水）計(jì)算﹣a2 a的正確結(jié)果是（　　）
A．﹣a2 B．a(chǎn) C．﹣a3 D．a(chǎn)3
4．（2023 杭州）分解因式：4a2﹣1＝（　　）
A．（2a﹣1）（2a+1） B．（a﹣2）（a+2） C．（a﹣4）（a+1） D．（4a﹣1）（a+1）
5．（2022 義烏市模擬）下列各組式子中，是同類項(xiàng)的為（　　）
A．2a與2b B．2ab與﹣3ba C．a(chǎn)2b與2ab2 D．3a2b與a2bc
6．（2021 富陽(yáng)區(qū)二模）計(jì)算﹣m2+4m2的結(jié)果為（　　）
A．3m2 B．﹣3m2 C．5m2 D．﹣5m2
7．（2022 臺(tái)州）下列運(yùn)算正確的是（　　）
A．a(chǎn)2 a3＝a5 B．（a2）3＝a8 C．（a2b）3＝a2b3 D．a(chǎn)6÷a3＝a2
8．（2023 臺(tái)州）下列運(yùn)算正確的是（　　）
A．2（a﹣1）＝2a﹣2 B．（a+b）2＝a2+b2 C．3a+2a＝5a2 D．（ab）2＝ab2
9．（2021 寧波模擬）下列因式分解正確的是（　　）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4） B．x2+xy+x＝x（x+y）
C．x2﹣4x+4＝（x+2）（x﹣2） D．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2
10．（2022 金華模擬）下列各式能用公式法因式分解的是（　　）
A．x2﹣xy+y2 B．x2+2xy﹣y2 C．x2+xy+y2 D．﹣x2﹣y2
11．（2023 湖州）計(jì)算：（a+1）（a﹣1）＝　 　．
12．（2023 濱江區(qū)一模）以下是小明化簡(jiǎn)整式3x﹣2（x+y）的解答過(guò)程：
解：3x﹣2（x+y）＝3x﹣2x+y＝1+y，
小明的解答過(guò)程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．
13．（2023 金華）已知，求（2x+1）（2x﹣1）+x（3﹣4x）的值．
14.（2023 嘉興市、舟山市）觀察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）寫(xiě)出192﹣172的結(jié)果；
（2）按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）；
（3）請(qǐng)運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，推理說(shuō)明這個(gè)結(jié)論是正確的．
15．（2023 麗水）如圖，分別以a，b，m，n為邊長(zhǎng)作正方形，已知m＞n且滿足am﹣bn＝2，an+bm＝4．
（1）若a＝3，b＝4，則圖1陰影部分的面積是 　 　；
（2）若圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形ABCD的面積為5，則圖2陰影部分的面積是 　　．
1．（2021 麗水）計(jì)算（﹣a）2 a4的結(jié)果是（　　）
A．a(chǎn)6 B．﹣a6 C．a(chǎn)8 D．﹣a8
2．（2023 鄂倫春自治旗一模）下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．0不是單項(xiàng)式 B．﹣abc的系數(shù)是﹣1，次數(shù)是3
C．﹣的系數(shù)是﹣ D．x2y的系數(shù)是0，次數(shù)是2
3．（2023 甌海區(qū)二模）某企業(yè)今年1月份產(chǎn)值為a萬(wàn)元，2月份比1月份減少了10%，3月份比2月份增加了15%，則3月份的產(chǎn)值是（　　）
A．（a﹣10%）（a+15%）萬(wàn)元 B．a(chǎn)（1﹣90%）（1+85%）萬(wàn)元
C．a(chǎn)（1﹣10%）（1+15%）萬(wàn)元 D．a(chǎn)（1﹣10%+15%）萬(wàn)元
4．（2023 蕭山區(qū)一模）植樹(shù)節(jié)，某校需完成一定的植樹(shù)任務(wù)，其中九年級(jí)共種了任務(wù)數(shù)的一半，八年級(jí)種了剩下任務(wù)數(shù)的，七年級(jí)共種了a棵樹(shù)苗．則該校植樹(shù)的任務(wù)數(shù)為（　　）棵．
A．6a B．5a C．4a D．3a
5．（2023 南通）若a2﹣4a﹣12＝0，則2a2﹣8a﹣8的值為（　　）
A．24 B．20 C．18 D．16
6．（2022 紹興）下列計(jì)算正確的是（　　）
A．（a2+ab）÷a＝a+b B．a(chǎn)2 a＝a2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a3）2＝a5
7．（2022 錢(qián)塘區(qū)二模）下列說(shuō)法中：（1）整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；（2）如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)相等；（3）多項(xiàng)式2x2y﹣xy是五次二項(xiàng)式；（4）倒數(shù)等于它本身的數(shù)是±1；（5）3m2n與﹣nm2是同類項(xiàng)，其中正確的有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
8．（2023 玉溪三模）探索規(guī)律：觀察下面的一列單項(xiàng)式：x、﹣2x2、4x3、﹣8x4、16x5、…，根據(jù)其中的規(guī)律得出的第8個(gè)單項(xiàng)式是（　　）
A．﹣64x8 B．64x8 C．128x8 D．﹣128x8
9．（2023 河北）若k為任意整數(shù)，則（2k+3）2﹣4k2的值總能（　　）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
10．（2023 平遠(yuǎn)縣一模）單項(xiàng)式的系數(shù)是　　．
11．（2023 鄞州區(qū)模擬）分解因式：﹣x2y+6xy﹣9y＝　 　．
12．（2023 遼寧）分解因式：2m2﹣18＝　 　．
13．（2023 天臺(tái)縣一模）如表是某同學(xué)對(duì)式子6（x﹣2）﹣（2x+2）的化簡(jiǎn)過(guò)程：
解：原式＝6x﹣12﹣2x﹣2 ① ＝4x﹣14 ② ＝2x﹣7 ③
上面的化簡(jiǎn)過(guò)程中開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的是第 　　步，正確答案應(yīng)該是 　 ．
14．（2021 衡陽(yáng)）計(jì)算：（x+2y）2+（x﹣2y）（x+2y）+x（x﹣4y）．
15．（2022 金華）如圖1，將長(zhǎng)為2a+3，寬為2a的矩形分割成四個(gè)全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”（如圖2），得到大小兩個(gè)正方形．
（1）用關(guān)于a的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長(zhǎng)．
（2）當(dāng)a＝3時(shí)，該小正方形的面積是多少？
16．（2022 麗水二模）如圖1，將一個(gè)邊長(zhǎng)為10的正方形紙片剪去兩個(gè)全等小長(zhǎng)方形，得到圖2，再將剪下的兩個(gè)小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（圖3），若圖3的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為30，則b的值為 　　．
17．（2023 金華）如圖是一塊矩形菜地ABCD，AB＝a（m），AD＝b（m），面積為s（m2），現(xiàn)將邊AB增加1m．
（1）如圖1，若a＝5，邊AD減少1m，得到的矩形面積不變，則b的值是　　．
（2）如圖2，若邊AD增加2m，有且只有一個(gè)a的值，使得到的矩形面積為2s（m2），則s的值是　 　．
18．（2022 嘉興）設(shè)是一個(gè)兩位數(shù)，其中a是十位上的數(shù)字（1≤a≤9）．例如，當(dāng)a＝4時(shí)，表示的兩位數(shù)是45．
（1）嘗試：
①當(dāng)a＝1時(shí)，152＝225＝1×2×100+25；
②當(dāng)a＝2時(shí)，252＝625＝2×3×100+25；
③當(dāng)a＝3時(shí)，352＝1225＝　 　；
…
（2）歸納：與100a（a+1）+25有怎樣的大小關(guān)系？試說(shuō)明理由．
（3）運(yùn)用：若與100a的差為2525，求a的值．
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第一章 數(shù)與式
第二節(jié) 整式與因式分解
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 代數(shù)式相關(guān)概念 ☆☆☆ 中考數(shù)學(xué)中，整式這個(gè)考點(diǎn)一般會(huì)考學(xué)生對(duì)整式化簡(jiǎn)計(jì)算的應(yīng)用，偶爾考察整式的基本概念，對(duì)整式的復(fù)習(xí)，重點(diǎn)是要理解并掌握整式的加減法則、乘除法則及冪的運(yùn)算，難度一般不大. 因式分解作為整式乘法的逆運(yùn)算，在數(shù)學(xué)中考中占比不大，但是依然屬于必考題，常以簡(jiǎn)單選擇、填空題的形式出現(xiàn)，而且一般只考察因式分解的前兩步， 拓展延伸部分基本不考，所以學(xué)生在復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，除了要扎實(shí)掌握好基礎(chǔ)，更需要甄別好主次，合理安排復(fù)習(xí)方向.
考點(diǎn)2整式的相關(guān)概念 ☆☆☆
考點(diǎn)3整式的運(yùn)算 ☆
考點(diǎn)4 整式的化簡(jiǎn)求值 ☆☆☆
考點(diǎn)5因式分解 ☆☆☆
1.代數(shù)式及相關(guān)概念
（1）代數(shù)式：用基本的運(yùn)算符號(hào)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子叫做代數(shù)式.
（2）代數(shù)式的值：一般地，用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，按照代數(shù)式中的運(yùn)算關(guān)系計(jì)算得出的結(jié)果叫做代數(shù)式的值.
整式及相關(guān)概念
（1）單項(xiàng)式：由數(shù)與字母或字母與字母相乘組成的代數(shù)式叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也叫單項(xiàng)式．一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)，單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)．
（2）多項(xiàng)式：由幾個(gè)單項(xiàng)式相加組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式，多項(xiàng)式里次數(shù)最高的項(xiàng)的次數(shù)就是這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)，不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)．
（3）整式：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式．
3.整式的加減
（1）同類項(xiàng)：多項(xiàng)式中，所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)，叫做同類項(xiàng)．所有的常數(shù)項(xiàng)都是同類項(xiàng).
（2）合并同類項(xiàng)的法則：同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得的結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．
（3）添（去）括號(hào)法則：括號(hào)外是“+”，添(去) 括號(hào)不變號(hào)，括號(hào)外是“-”，添(去) 括號(hào)都變號(hào).
（4）整式的加減法則：幾個(gè)整式相加減，如有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)
4.整式的乘除
（1）冪的運(yùn)算性質(zhì)：
①同底數(shù)冪相乘：am·an＝am＋n(m，n都是整數(shù)，a≠0)．
②冪的乘方：(am)n＝amn(m，n都是整數(shù)，a≠0)．
③積的乘方：(ab)n＝an·bn(n是整數(shù)，a≠0，b≠0)．
④同底數(shù)冪相除：am÷an＝am－n(m，n都是整數(shù)，a≠0)．
（2）整式乘法：①單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式．
②單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：m(a＋b)＝ma＋mb．
③多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式：(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd．
（3）乘法公式：
①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2． ②完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2．
③乘法公式的常見(jiàn)恒等變形：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab
(a－b)2＝(a＋b)2－4ab
（4）整式除法：
①單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．
②多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式，再把所得的商相加．
3.因式分解
（1）因式分解的概念：
把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫做因式分解．因式分解與整式的乘法是互逆變形．
（2）因式分解的基本方法：
①提取公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．
②公式法：運(yùn)用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．
運(yùn)用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2．
（3）因式分解的一般步驟：
①如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式．
②如果各項(xiàng)沒(méi)有公因式，那么盡可能嘗試用公式法來(lái)分解；如果項(xiàng)數(shù)較多，要分組分解．
③分解因式必須分解到不能再分解為止，每個(gè)因式的內(nèi)部不再有括號(hào)，且同類項(xiàng)合并完畢，若有相同因式需寫(xiě)成冪的形式．
④意題中因式分解要求的范圍，如在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式，x4－9＝(x2＋3)(x2－3)；在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式，x4－9＝(x2＋3)(x＋)(x－)，題目不作說(shuō)明的，一般是指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解因式．
■考點(diǎn)一　代數(shù)式的相關(guān)概念
◇典例1： 1．（2023 永嘉縣三模）買(mǎi)一個(gè)足球需m元，買(mǎi)一個(gè)籃球需n元，則買(mǎi)5個(gè)足球和4個(gè)籃球共需（　　）元．
A．9mn B．20mn C．5m+4n D．4m+5n
【考點(diǎn)】列代數(shù)式．
【答案】C
【點(diǎn)撥】根據(jù)單價(jià)×數(shù)量＝金額表示出足球與籃球各自的費(fèi)用，再將兩個(gè)費(fèi)用求和便可得總費(fèi)用．
【解析】解：根據(jù)題意知買(mǎi)5個(gè)足球和4個(gè)籃球共需（5m+4n）元，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了列代數(shù)式，關(guān)鍵熟記單價(jià)×數(shù)量＝金額．
2．（2023 常德）若a2+3a﹣4＝0，則2a2+6a﹣3＝（　　）
A．5 B．1 C．﹣1 D．0
【考點(diǎn)】代數(shù)式求值．
【答案】A
【點(diǎn)撥】將已知條件變形可得a2+3a＝4，然后將2a2+6a﹣3變形為2（a2+3a）﹣3后代入數(shù)值計(jì)算即可．
【解析】解：∵a2+3a﹣4＝0，
∴a2+3a＝4，
∴2a2+6a﹣3
＝2（a2+3a）﹣3
＝2×4﹣3
＝5，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，將2a2+6a﹣3變形為2（a2+3a）﹣3是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 上城區(qū)二模）某商品打九折后的價(jià)格為a元，則原價(jià)為（　　）
A．a(chǎn)元 B．元 C．0.3a元 D．元
【考點(diǎn)】列代數(shù)式．
【答案】D
【點(diǎn)撥】根據(jù)原價(jià)×打折＝售價(jià)可得原價(jià)＝售價(jià)÷打折，再代入相應(yīng)數(shù)據(jù)可得答案．
【解析】解：根據(jù)題意知：a÷0.9＝（元），
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了列代數(shù)式，關(guān)鍵是掌握原價(jià)、售價(jià)、打折之間的關(guān)系，注意代數(shù)式的寫(xiě)法．
2．（2023 甌海區(qū)二模）小李家住房的結(jié)構(gòu)如圖所示，小李打算把臥室和客廳鋪上木地板，請(qǐng)你幫他算一算，他至少需買(mǎi)多少平方米的木地板（　　）
A．12ab B．10ab C．8ab D．6ab
【考點(diǎn)】列代數(shù)式．
【答案】A
【點(diǎn)撥】將住房的平面圖分割，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形，即臥室、客廳都是矩形，再根據(jù)矩形的面積計(jì)算公式分別計(jì)算即可．
【解析】解：客廳的面積為：4b×2a＝8ab．
臥室的面積為：2a×2b＝4ab．
所以需買(mǎi)木地板的面積為：8ab+4ab＝12ab．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)幾何圖形列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是求出臥室的長(zhǎng)，然后代入矩形的面積計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算．
3．（2021 自貢）已知x2﹣3x﹣12＝0，則代數(shù)式﹣3x2+9x+5的值是（　　）
A．31 B．﹣31 C．41 D．﹣41
【考點(diǎn)】代數(shù)式求值．
【答案】B
【點(diǎn)撥】由已知可得：x2﹣3x＝12，將代數(shù)式適當(dāng)變形，利用整體代入的思想進(jìn)行運(yùn)算即可得出結(jié)論．
【解析】解：∵x2﹣3x﹣12＝0，
∴x2﹣3x＝12．
原式＝﹣3（x2﹣3x）+5＝﹣3×12+5＝﹣36+5＝﹣31．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了求代數(shù)式的值．利用整體代入的方法可使運(yùn)算簡(jiǎn)便．
■考點(diǎn)二 整式的相關(guān)概念
◇典例2： （2022 鄞州區(qū)模擬）下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．3πxy的系數(shù)是3 B．3πxy的次數(shù)是3
C．﹣xy2的系數(shù)是﹣ D．﹣xy2的次數(shù)是2
【考點(diǎn)】單項(xiàng)式．
【答案】C
【點(diǎn)撥】根據(jù)單項(xiàng)式的系數(shù)和指數(shù)的定義解答即可．
【解析】解：A．系數(shù)應(yīng)該是3π，不符合題意；
B．π是數(shù)字，次數(shù)應(yīng)該是2，不符合題意；
C．正確，符合題意；
D．次數(shù)應(yīng)該是3，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的系數(shù)和指數(shù)的定義，注意π是數(shù)字．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022 攀枝花）下列各式不是單項(xiàng)式的為（　　）
A．3 B．a(chǎn) C． D．x2y
【考點(diǎn)】單項(xiàng)式．
【答案】C
【點(diǎn)撥】根據(jù)單項(xiàng)式的概念判斷即可．
【解析】解：A、3是單項(xiàng)式，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、a是單項(xiàng)式，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、不是單項(xiàng)式，故本選項(xiàng)符合題意；
D、x2y是單項(xiàng)式，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是單項(xiàng)式的概念，數(shù)或字母的積組成的式子叫做單項(xiàng)式，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或字母也是單項(xiàng)式．
2．（2021 綿陽(yáng)）整式﹣3xy2的系數(shù)是（　　）
A．﹣3 B．3 C．﹣3x D．3x
【考點(diǎn)】單項(xiàng)式．
【答案】A
【點(diǎn)撥】單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，依此即可求解．
【解析】解：整式﹣3xy2的系數(shù)是﹣3．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式，在判別單項(xiàng)式的系數(shù)時(shí)，要注意包括數(shù)字前面的符號(hào)，而形如a或﹣a這樣的式子的系數(shù)是1或﹣1，不能誤以為沒(méi)有系數(shù)，一個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)是幾，通常稱這個(gè)單項(xiàng)式為幾次單項(xiàng)式．
3．（2022 荷塘區(qū)二模）多項(xiàng)式3x2y2﹣2xy2﹣xy的二次項(xiàng)系數(shù)為 　﹣　．
【考點(diǎn)】多項(xiàng)式．
【答案】﹣．
【點(diǎn)撥】直接利用多項(xiàng)式的定義得出二次項(xiàng)進(jìn)而得出答案．
【解析】解：∵多項(xiàng)式3x2y2﹣2xy2﹣xy的二次項(xiàng)是﹣xy，
∴二次項(xiàng)系數(shù)為：﹣．
故答案為：﹣．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了多項(xiàng)式，正確找出二次項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．
■考點(diǎn)三 整式的加減
◇典例3： 1．（2023 新昌縣模擬）下列運(yùn)算正確的是（　　）
A．2x﹣x＝2 B．2m+3m＝5m2 C．5xy﹣4xy＝xy D．2a+3b＝5ab
【考點(diǎn)】合并同類項(xiàng)．
【答案】C
【點(diǎn)撥】根據(jù)合并同類項(xiàng)法則：合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)之和，且字母連同它的指數(shù)不變即可求解．
【解析】解：A．2x﹣x＝x，選項(xiàng)A不符合題意；
B．2m+3m＝5m，選項(xiàng)B不符合題意；
C．5xy﹣4xy＝xy，選項(xiàng)C符合題意；
D．2a+3b不是同類項(xiàng)，不能合并，選項(xiàng)D不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了合并同類項(xiàng)，掌握同類項(xiàng)的法則是解題的關(guān)鍵．
2．（2021 常州）計(jì)算：2a2﹣（a2+2）＝　a2﹣2　．
【考點(diǎn)】整式的加減．
【答案】a2﹣2．
【點(diǎn)撥】整式的加減混合運(yùn)算，先去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)進(jìn)行化簡(jiǎn)．
【解析】解：原式＝2a2﹣a2﹣2＝a2﹣2，
故答案為：a2﹣2．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的加減運(yùn)算，掌握去括號(hào)法則是解題基礎(chǔ)．
◆變式訓(xùn)練
1．（2021 西湖區(qū)二模）計(jì)算2a2﹣a2的結(jié)果是（　　）
A．1 B．a(chǎn) C．a(chǎn)2 D．2a
【考點(diǎn)】合并同類項(xiàng)．
【答案】C
【點(diǎn)撥】根據(jù)合并同類項(xiàng)的法則：系數(shù)相加作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變，即可求解．
【解析】解：2a2﹣a2＝（2﹣1）a2＝a2．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)的法則，理解法則是關(guān)鍵．
2．（2023 婺城區(qū)一模）如圖是一道關(guān)于整式運(yùn)算的例題及正確的解答過(guò)程，其中A，B是兩個(gè)關(guān)于x的二項(xiàng)式．
【例題】先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)：2（）﹣3（） 解：原式＝4x﹣6﹣9x﹣15＝　﹣5x﹣21　
（1）二項(xiàng)式A為 　2x﹣3　，二項(xiàng)式B為 　3x+5　．
（2）當(dāng)x為何值時(shí)，A與B的值相等？
【考點(diǎn)】整式的加減．
【答案】﹣5x﹣21．
（1）2x﹣3；3x+5．
（2）x＝﹣8．
【點(diǎn)撥】（1）逆運(yùn)用乘法的分配律，確定A、B；
（2）解一元一次方程即可．
【解析】解：4x﹣6﹣9x﹣15＝﹣5x﹣21．
故答案為：﹣5x﹣21．
（1）4x﹣6﹣9x﹣15
＝（4x﹣6）﹣（9x+15）
＝2（2x﹣3）﹣3（3x+5）．
∴A＝2x﹣3，B＝3x+5．
故答案為：2x﹣3；3x+5．
（2）2x﹣3＝3x+5，
移項(xiàng)，得﹣x＝8．
∴x＝﹣8．
答：當(dāng)x＝﹣8時(shí)，A與B的值相等．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了與整式相關(guān)的運(yùn)算，掌握提公因式法和一元一次方程的解法是解決本題的關(guān)鍵．
■考點(diǎn)四　 整式的乘除
◇典例4：1．（2022 寧波）下列計(jì)算正確的是（　　）
A．a(chǎn)3+a＝a4 B．a(chǎn)6÷a2＝a3 C．（a2）3＝a5 D．a(chǎn)3 a＝a4
【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的除法；合并同類項(xiàng)；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．
【答案】D
【點(diǎn)撥】根據(jù)合并同類項(xiàng)判斷A選項(xiàng)；根據(jù)同底數(shù)冪的除法判斷B選項(xiàng)；根據(jù)冪的乘方判斷C選項(xiàng)；根據(jù)同底數(shù)冪的乘法判斷D選項(xiàng)．
【解析】解：A選項(xiàng)，a3與a不是同類項(xiàng)，不能合并，故該選項(xiàng)不符合題意；
B選項(xiàng)，原式＝a4，故該選項(xiàng)不符合題意；
C選項(xiàng)，原式＝a6，故該選項(xiàng)不符合題意；
D選項(xiàng)，原式＝a4，故該選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪的乘除法，冪的乘方與積的乘方，掌握am an＝am+n是解題的關(guān)鍵．
2．（2023 寧波）計(jì)算：（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）．
【考點(diǎn)】平方差公式；單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式．
【答案】）a﹣9．
【點(diǎn)撥】根據(jù)平方差公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可．
【解析】（a+3）（a﹣3）+a（1﹣a）
＝a2﹣9+a﹣a2
＝a﹣9．
【點(diǎn)睛】整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式以及單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022 溫州）化簡(jiǎn)（﹣a）3 （﹣b）的結(jié)果是（　　）
A．﹣3ab B．3ab C．﹣a3b D．a(chǎn)3b
【考點(diǎn)】單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式．
【答案】D
【點(diǎn)撥】先化簡(jiǎn)乘方，再根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的法則計(jì)算即可．
【解析】解：原式＝﹣a3 （﹣b）
＝a3b．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式，掌握單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式是解題的關(guān)鍵．
2．（2022 湖州）下列各式的運(yùn)算，結(jié)果正確的是（　　）
A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．a(chǎn)2 a3＝a6 C．a(chǎn)3﹣a2＝a D．（2a）2＝4a2
【考點(diǎn)】?jī)绲某朔脚c積的乘方；合并同類項(xiàng)；同底數(shù)冪的乘法．
【答案】D
【點(diǎn)撥】直接利用合并同類項(xiàng)法則以及同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則、積的乘方運(yùn)算法則，分別計(jì)算得出答案．
【解析】解：A．a(chǎn)2+a3，無(wú)法合并，故此選項(xiàng)不合題意；
B．a(chǎn)2 a3＝a5，故此選項(xiàng)不合題意；
C．a(chǎn)3﹣a2，無(wú)法合并，故此選項(xiàng)不合題意；
D．（2a）2＝4a2，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了合并同類項(xiàng)以及同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算、積的乘方運(yùn)算，正確掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．
3．（2021 臺(tái)州）已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，則ab＝（　　）
A．24 B．48 C．12 D．2
【考點(diǎn)】完全平方公式．
【答案】C
【點(diǎn)撥】根據(jù)題中條件，結(jié)合完全平方公式，先計(jì)算出2ab的值，然后再除以2即可求出答案．
【解析】解：（a+b）2＝a2+2ab+b2，將a2+b2＝25，（a+b）2＝49代入，可得
2ab+25＝49，
則2ab＝24，
所以ab＝12，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，根據(jù)題中條件，變換形式即可．
4．（2021 湖州）計(jì)算：x（x+2）+（1+x）（1﹣x）．
【考點(diǎn)】平方差公式；單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式．
【答案】2x+1
【點(diǎn)撥】根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式和平方差公式化簡(jiǎn)即可．
【解析】解：原式＝x2+2x+1﹣x2
＝2x+1．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，牢記平方差公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
■考點(diǎn)五　 整式的化簡(jiǎn)求值
◇典例4：（2022 麗水）先化簡(jiǎn)，再求值：（1+x）（1﹣x）+x（x+2），其中x＝．
【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值．
【答案】1+2x；2．
【點(diǎn)撥】先根據(jù)平方差公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再把x＝代入計(jì)算即可．
【解析】解：（1+x）（1﹣x）+x（x+2）
＝1﹣x2+x2+2x
＝1+2x，
當(dāng)x＝時(shí)，原式＝1+＝1+1＝2．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的混合運(yùn)算，掌握相關(guān)公式與運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2021 金華）已知x＝，求（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）的值．
【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值．
【答案】﹣6x+2，1．
【點(diǎn)撥】根據(jù)完全平方公式、平方差公式可以化簡(jiǎn)題目中的式子，然后將x的值代入化簡(jiǎn)后的式子即可解答本題．
【解析】解：（3x﹣1）2+（1+3x）（1﹣3x）
＝9x2﹣6x+1+1﹣9x2
＝﹣6x+2，
當(dāng)x＝時(shí)，原式＝﹣6×+2＝﹣1+2＝1．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值，解答本題的關(guān)鍵是明確整式化簡(jiǎn)求值的方法．
2．（2023 嘉興、舟山）已知a2+3ab＝5，求（a+b）（a+2b）﹣2b2的值．
【考點(diǎn)】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式
【答案】5．
【點(diǎn)撥】將原代數(shù)式化簡(jiǎn)整理后結(jié)合已知條件即可求得答案．
【解析】∵a2+3ab＝5，
∴（a+b）（a+2b）﹣2b2
＝a2+2ab+ab+2b2﹣2b2
＝a2+3ab
＝5．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的化簡(jiǎn)求值，整式的運(yùn)算法則是基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
3．（2023 內(nèi)蒙古）先化簡(jiǎn)，再求值：（2x+y）2+（x﹣y）（x+y）﹣5x（x﹣y），其中x＝﹣1，y＝+1．
【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值；分母有理化．
【答案】9xy，45．
【點(diǎn)撥】根據(jù)完全平方公式、平方差公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則以及合并同類項(xiàng)法則把原式化簡(jiǎn)，把x、y的值代入計(jì)算即可．
【解析】解：原式＝4x2+4xy+y2+x2﹣y2﹣5x2+5xy
＝9xy，
當(dāng)x＝﹣1，y＝﹣1時(shí)，原式＝9（﹣1）（+1）＝9×（6﹣1）＝45．
【點(diǎn)睛】本題考查的是整式的化簡(jiǎn)求值，掌握整式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
■考點(diǎn)六　 因式分解
◇典例5：（2023 濟(jì)寧）下列各式從左到右的變形，因式分解正確的是（　　）
A．（a+3）2＝a2+6a+9
B．a(chǎn)2﹣4a+4＝a（a﹣4）+4
C．5ax2﹣5ay2＝5a（x+y）（x﹣y）
D．a(chǎn)2﹣2a﹣8＝（a﹣2）（a+4）
【考點(diǎn)】因式分解﹣十字相乘法等；提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．
【答案】C
【點(diǎn)撥】本題考查因式分解﹣十字相乘，提公因式等相關(guān)知識(shí)．
【解析】解：A：（a+3）2＝a2+6a+9是完全平方公式，不是因式分解的形式，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
B：a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，
C：5ax2﹣5ay2＝5a（x2﹣y2）＝5a（x+y）（x﹣y），故選項(xiàng)C正確，
D：a2﹣2a﹣8＝（a+2）（a﹣4），故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故答案為：C．
【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，提公因式等相關(guān)知識(shí)．解題的關(guān)鍵是能夠熟悉因式分解的定義，熟練運(yùn)用因式分解中的提公因式，十字相乘等方法．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 金華模擬）下列代數(shù)式變形中，是因式分解的是（　　）
A．a(chǎn)b（b﹣2）＝ab2﹣ab B．3x﹣6y+3＝3（x﹣2y）
C．x2﹣3x+1＝x（x﹣3）+1 D．﹣x2+2x﹣1＝﹣（x﹣1）2
【考點(diǎn)】因式分解的意義．
【答案】D
【點(diǎn)撥】根據(jù)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式乘積的形式，可得答案．
【解析】解：A、是整式的乘法，故A錯(cuò)誤；
B、左邊不等于右邊，故B錯(cuò)誤；
C、沒(méi)把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式乘積的形式，故C錯(cuò)誤；
D、把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式乘積的形式，故D正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的意義，把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化成幾個(gè)整式乘積的形式是解題關(guān)鍵．
2．（2023 溫州）分解因式：2a2﹣2a＝　2a（a﹣1）　．
【考點(diǎn)】因式分解﹣提公因式法．
【答案】2a（a﹣1）．
【點(diǎn)撥】直接提取公因式2a，進(jìn)而分解因式即可．
【解析】解：2a2﹣2a＝2a（a﹣1）．
故答案為：2a（a﹣1）．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．
3．（2022 富陽(yáng)區(qū)二模）分解因式4y2+4y+1結(jié)果正確的是（　　）
A．（2y+1）2 B．（2y﹣1）2 C．（4y+1）2 D．（4y﹣1）2
【考點(diǎn)】因式分解﹣運(yùn)用公式法．
【答案】A
【點(diǎn)撥】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【解析】解：4y2+4y+1＝（2y+1）2．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了公式法分解因式，正確運(yùn)用完全平方公式分解因式是解題關(guān)鍵．
4．（2021 杭州）因式分解：1﹣4y2＝（　　）
A．（1﹣2y）（1+2y） B．（2﹣y）（2+y）
C．（1﹣2y）（2+y） D．（2﹣y）（1+2y）
【考點(diǎn)】因式分解﹣運(yùn)用公式法．
【答案】A
【點(diǎn)撥】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解析】解：1﹣4y2
＝1﹣（2y）2
＝（1﹣2y）（1+2y）．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了公式法分解因式，正確應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵．
1．（2021 溫州）某地居民生活用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：每月用水量不超過(guò)17立方米，每立方米a元；超過(guò)部分每立方米（a+1.2）元．該地區(qū)某用戶上月用水量為20立方米，則應(yīng)繳水費(fèi)為（　　）
A．20a元 B．（20a+24）元 C．（17a+3.6）元 D．（20a+3.6）元
【考點(diǎn)】列代數(shù)式．
【答案】D
【點(diǎn)撥】應(yīng)繳水費(fèi)＝17立方米的水費(fèi)+（20﹣17）立方米的水費(fèi)．
【解析】解：根據(jù)題意知：17a+（20﹣17）（a+1.2）＝（20a+3.6）（元）．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查列代數(shù)式，掌握收費(fèi)的分段以及總費(fèi)用的求法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
2．（2021 金華）某超市出售一商品，有如下四種在原標(biāo)價(jià)基礎(chǔ)上調(diào)價(jià)的方案，其中調(diào)價(jià)后售價(jià)最低的是（　　）
A．先打九五折，再打九五折 B．先提價(jià)50%，再打六折
C．先提價(jià)30%，再降價(jià)30% D．先提價(jià)25%，再降價(jià)25%
【考點(diǎn)】列代數(shù)式．
【答案】B
【點(diǎn)撥】設(shè)商品原標(biāo)價(jià)為a，然后分別計(jì)算每種調(diào)價(jià)方案后的售價(jià)，進(jìn)行比較求解．
【解析】解：設(shè)商品原標(biāo)價(jià)為a元，
A．先打九五折，再打九五折的售價(jià)為：0.95×0.95a＝0.9025a（元）；
B．先提價(jià)50%，再打六折的售價(jià)為：（1+50%）×0.6a＝0.9a（元）；
C．先提價(jià)30%，再降價(jià)30%的售價(jià)為：（1+30%）（1﹣30%）a＝0.91a（元）；
D．先提價(jià)25%，再降價(jià)25%的售價(jià)為：（1+25%）（1﹣25%）a＝0.9375a（元）；
∵0.9a＜0.9025a＜0.91a＜0.9375a，
∴B選項(xiàng)的調(diào)價(jià)方案調(diào)價(jià)后售價(jià)最低，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是能夠表示出降價(jià)或漲價(jià)后的量，難度不大．
3．（2022 麗水）計(jì)算﹣a2 a的正確結(jié)果是（　　）
A．﹣a2 B．a(chǎn) C．﹣a3 D．a(chǎn)3
【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法．
【答案】C
【點(diǎn)撥】同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加．據(jù)此判斷即可．
【解析】解：﹣a2 a＝﹣a3，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法，掌握冪的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
4．（2023 杭州）分解因式：4a2﹣1＝（　　）
A．（2a﹣1）（2a+1） B．（a﹣2）（a+2） C．（a﹣4）（a+1） D．（4a﹣1）（a+1）
【考點(diǎn)】因式分解﹣運(yùn)用公式法．
【答案】A
【點(diǎn)撥】直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解析】解：4a2﹣1＝（2a）2﹣12
＝（2a﹣1）（2a+1）．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了公式法分解因式，正確運(yùn)用平方差公式分解因式是解題關(guān)鍵．
5．（2022 義烏市模擬）下列各組式子中，是同類項(xiàng)的為（　　）
A．2a與2b B．2ab與﹣3ba C．a(chǎn)2b與2ab2 D．3a2b與a2bc
【考點(diǎn)】同類項(xiàng)．
【答案】B
【點(diǎn)撥】根據(jù)同類項(xiàng)的概念判斷即可．
【解析】解：A、2a與2b，所含字母不相同，不是同類項(xiàng)，不符合題意；
B、2ab與﹣3ba是同類項(xiàng)，符合題意；
C、a2b與2ab2，相同字母的指數(shù)不相同，不是同類項(xiàng)，不符合題意；
D、3a2b與a2bc，所含字母不相同，不是同類項(xiàng)，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是同類項(xiàng)的概念，掌握所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，這樣的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．
6．（2021 富陽(yáng)區(qū)二模）計(jì)算﹣m2+4m2的結(jié)果為（　　）
A．3m2 B．﹣3m2 C．5m2 D．﹣5m2
【考點(diǎn)】合并同類項(xiàng)．
【答案】A
【點(diǎn)撥】合并同類項(xiàng)時(shí)要注意以下三點(diǎn)：
①要掌握同類項(xiàng)的概念，會(huì)辨別同類項(xiàng)，并準(zhǔn)確地掌握判斷同類項(xiàng)的兩條標(biāo)準(zhǔn)：帶有相同系數(shù)的代數(shù)項(xiàng)；字母和字母指數(shù)；
②明確合并同類項(xiàng)的含義是把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)，經(jīng)過(guò)合并同類項(xiàng)，式的項(xiàng)數(shù)會(huì)減少，達(dá)到化簡(jiǎn)多項(xiàng)式的目的；
③“合并”是指同類項(xiàng)的系數(shù)的相加，并把得到的結(jié)果作為新的系數(shù)，要保持同類項(xiàng)的字母和字母的指數(shù)不變．
【解析】解：原式＝（﹣1+4）m2＝3m2，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了合并同類項(xiàng)，合并同類項(xiàng)的法則：把同類項(xiàng)的系數(shù)相加，所得結(jié)果作為系數(shù)，字母和字母的指數(shù)不變．正確運(yùn)用合并同類項(xiàng)的法則是解題的關(guān)鍵．
7．（2022 臺(tái)州）下列運(yùn)算正確的是（　　）
A．a(chǎn)2 a3＝a5 B．（a2）3＝a8 C．（a2b）3＝a2b3 D．a(chǎn)6÷a3＝a2
【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的除法；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．
【答案】A
【點(diǎn)撥】根據(jù)同底數(shù)的冪的乘除，冪的乘方與積的乘方法則逐項(xiàng)判斷．
【解析】解：a2 a3＝a5，故A正確，符合題意；
（a2）3＝a6，故B錯(cuò)誤，不符合題意；
（a2b）3＝a6b3，故C錯(cuò)誤，不符合題意；
a6÷a3＝a3，故D錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查同底數(shù)的冪的乘除，冪的乘方與積的乘方，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)運(yùn)算的法則．
8．（2023 臺(tái)州）下列運(yùn)算正確的是（　　）
A．2（a﹣1）＝2a﹣2 B．（a+b）2＝a2+b2 C．3a+2a＝5a2 D．（ab）2＝ab2
【考點(diǎn)】完全平方公式；整式的加減；冪的乘方與積的乘方．
【答案】A
【點(diǎn)撥】根據(jù)去括號(hào)法則，完全平方公式，合并同類項(xiàng)法則，積的乘方法則將各項(xiàng)計(jì)算后進(jìn)行判斷即可．
【解析】解：A．2（a﹣1）
＝2a﹣2×1
＝2a﹣2，
則A符合題意；
B．（a+b）2＝a2+2ab+b2，
則B不符合題意；
C．3a+2a
＝（3+2）a
＝5a，
則C不符合題意；
D．（ab）2＝a2b2，
則D不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的運(yùn)算，其相關(guān)運(yùn)算法則是基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．
9．（2021 寧波模擬）下列因式分解正確的是（　　）
A．﹣x2+4x＝﹣x（x+4） B．x2+xy+x＝x（x+y）
C．x2﹣4x+4＝（x+2）（x﹣2） D．x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2
【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．
【答案】D
【點(diǎn)撥】直接利用提取公因式法以及公式法分解因式分別判斷得出答案．
【解析】解：A．﹣x2+4x＝﹣x（x﹣4），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B．x2+xy+x＝x（x+y+1），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C．x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D．x（x﹣y）+y（y﹣x）
＝x（x﹣y）﹣y（x﹣y）
＝（x﹣y）2，故此選項(xiàng)正確；
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運(yùn)用乘法公式分解因式是解題關(guān)鍵．
10．（2022 金華模擬）下列各式能用公式法因式分解的是（　　）
A．x2﹣xy+y2 B．x2+2xy﹣y2 C．x2+xy+y2 D．﹣x2﹣y2
【考點(diǎn)】因式分解﹣運(yùn)用公式法．
【答案】A
【點(diǎn)撥】根據(jù)平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2，進(jìn)行分析即可．
【解析】解：A、x2﹣xy+y2可以用完全平方公式分解，故此選項(xiàng)符合題意；
B、x2+2xy﹣y2不能用完全平方分解，故此選項(xiàng)不符合題意；
C、x2+xy+y2不能用完全平方分解，故此選項(xiàng)不符合題意；
D、﹣x2﹣y2不能用平方差分解，故此選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了公式法分解因式，關(guān)鍵是掌握平方差公式和完全平方公式．
11．（2023 湖州）計(jì)算：（a+1）（a﹣1）＝　a2﹣1　．
【考點(diǎn)】平方差公式．
【答案】a2﹣1．
【點(diǎn)撥】直接利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【解析】解：（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1，
故答案為：a2﹣1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，解題的關(guān)鍵是熟記平方差公式．
12．（2023 濱江區(qū)一模）以下是小明化簡(jiǎn)整式3x﹣2（x+y）的解答過(guò)程：
解：3x﹣2（x+y）＝3x﹣2x+y＝1+y，
小明的解答過(guò)程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請(qǐng)寫(xiě)出正確的解答過(guò)程．
【考點(diǎn)】整式的加減．
【答案】小明的解答過(guò)程有誤，正確過(guò)程見(jiàn)解析．
【點(diǎn)撥】觀察小明的解答過(guò)程，發(fā)現(xiàn)去括號(hào)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，運(yùn)用去括號(hào)法則即可計(jì)算．
【解析】解：小明的解答過(guò)程有誤，
正確的解答為：
3x﹣2（x+y）
＝3x﹣2x﹣2y
＝x﹣2y．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，熟練掌握去括號(hào)要注意符號(hào)的變化是解題的關(guān)鍵．
13．（2023 金華）已知，求（2x+1）（2x﹣1）+x（3﹣4x）的值．
【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算—化簡(jiǎn)求值．
【答案】0．
【點(diǎn)撥】先根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則和平方差公式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，最后代入求出答案即可
【解析】解：原式＝4x2﹣1+3x﹣4x2
＝3x﹣1
當(dāng)時(shí)，原式＝3×﹣1＝0．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，能正確根據(jù)整式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．
14.（2023 嘉興市、舟山市）觀察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…
（1）寫(xiě)出192﹣172的結(jié)果；
（2）按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）；
（3）請(qǐng)運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，推理說(shuō)明這個(gè)結(jié)論是正確的．
【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；有理數(shù)的混合運(yùn)算；列代數(shù)式．
【答案】（1）72；
（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）見(jiàn)解析．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題目中的例子，可以寫(xiě)出192﹣172的結(jié)果；
（2）根據(jù)題目中給出的式子，可以得到（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）將（2）中等號(hào)左邊的式子利用平方差公式計(jì)算即可．
【解析】解：（1）∵17＝2×9﹣1，
∴192﹣172＝8×9＝72；
（2）由題意可得，
（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；
（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]
＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）
＝4n×2
＝8n，
∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正確．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化類、有理數(shù)的混合運(yùn)算、列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)．
15．（2023 麗水）如圖，分別以a，b，m，n為邊長(zhǎng)作正方形，已知m＞n且滿足am﹣bn＝2，an+bm＝4．
（1）若a＝3，b＝4，則圖1陰影部分的面積是 　25　；
（2）若圖1陰影部分的面積為3，圖2四邊形ABCD的面積為5，則圖2陰影部分的面積是 　　．
【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．
【答案】（1）25；
（2）．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)正方形的面積公式列得代數(shù)式，然后代入數(shù)值計(jì)算即可；
（2）結(jié)合已知條件可得a2+b2＝3，利用梯形面積公式可得（m+n）2＝10，然后將題干中的兩個(gè)等式分別平方再相加并整理可得（a2+b2）（m2+n2）＝20，繼而求得m2+n2＝，再結(jié)合（m+n）2＝10可求得mn＝，根據(jù)正方形性質(zhì)可得圖2中陰影部分是一個(gè)直角三角形，利用勾股定理求得其兩直角邊長(zhǎng)，再根據(jù)三角形面積公式可得其面積為mn＝．
【解析】解：（1）由題意可得圖1陰影部分面積為：a2+b2，
∵a＝3，b＝4，
∴a2+b2＝32+42＝25，
故答案為：25；
（2）由題意可得a2+b2＝3，圖2中四邊形ABCD是直角梯形，
∵AB＝m，CD＝n，它的高為：（m+n），
∴（m+n）（m+n）＝5，
∴（m+n）2＝10，
∵am﹣bn＝2，an+bm＝4，
∴將兩式分別平方并整理可得：a2m2﹣2abmn+b2n2＝4①，a2n2+2abmn+b2m2＝16②，
①+②整理得：（a2+b2）（m2+n2）＝20，
∵a2+b2＝3，
∴m2+n2＝，
∵（m+n）2＝10，
∴（m+n）2﹣（m2+n2）＝10﹣，
整理得：2mn＝，
即mn＝，
∵圖2中陰影部分的三角形的其中兩邊是兩正方形的對(duì)角線，
∴這兩邊構(gòu)成的角為：45°+45°＝90°，
那么陰影部分的三角形為直角三角形，其兩直角邊的長(zhǎng)分別為：＝m，＝n，
故陰影部分的面積為：×m×n＝mn＝，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查整式運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，（2）中將題干中的兩個(gè)等式分別平方再相加并整理后得出（a2+b2）（m2+n2）＝20是解題的關(guān)鍵．
1．（2021 麗水）計(jì)算（﹣a）2 a4的結(jié)果是（　　）
A．a(chǎn)6 B．﹣a6 C．a(chǎn)8 D．﹣a8
【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的乘法．
【答案】A
【點(diǎn)撥】先化簡(jiǎn)為同底數(shù)冪的乘法，然后根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算即可．
【解析】解：原式＝a2 a4＝a6，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法法則，解題時(shí)注意：必須化為同底數(shù)冪的乘法，才可以用同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算．
2．（2023 鄂倫春自治旗一模）下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．0不是單項(xiàng)式 B．﹣abc的系數(shù)是﹣1，次數(shù)是3
C．﹣的系數(shù)是﹣ D．x2y的系數(shù)是0，次數(shù)是2
【考點(diǎn)】單項(xiàng)式．
【答案】B
【點(diǎn)撥】根據(jù)單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的概念判斷即可．
【解析】解：A、0是單項(xiàng)式，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
B、﹣abc的系數(shù)是﹣1，次數(shù)是3，說(shuō)法正確，符合題意；
C、﹣的系數(shù)是﹣，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
D、x2y的系數(shù)是1，次數(shù)是3，故本選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查的是單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)，單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做單項(xiàng)式的系數(shù)，一個(gè)單項(xiàng)式中所有字母的指數(shù)的和叫做單項(xiàng)式的次數(shù)．
3．（2023 甌海區(qū)二模）某企業(yè)今年1月份產(chǎn)值為a萬(wàn)元，2月份比1月份減少了10%，3月份比2月份增加了15%，則3月份的產(chǎn)值是（　　）
A．（a﹣10%）（a+15%）萬(wàn)元 B．a(chǎn)（1﹣90%）（1+85%）萬(wàn)元
C．a(chǎn)（1﹣10%）（1+15%）萬(wàn)元 D．a(chǎn)（1﹣10%+15%）萬(wàn)元
【考點(diǎn)】列代數(shù)式．
【答案】C
【點(diǎn)撥】根據(jù)3月份、1月份與2月份的產(chǎn)值的百分比的關(guān)系列式計(jì)算即可得解．
【解析】解：∵1月份產(chǎn)值為a萬(wàn)元，2月份比1月份減少了10%，3月份比2月份增加了15%，
∴3月份的產(chǎn)值為：a（1﹣10%）（1+15%）萬(wàn)元．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，理解各月之間的百分比的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
4．（2023 蕭山區(qū)一模）植樹(shù)節(jié)，某校需完成一定的植樹(shù)任務(wù)，其中九年級(jí)共種了任務(wù)數(shù)的一半，八年級(jí)種了剩下任務(wù)數(shù)的，七年級(jí)共種了a棵樹(shù)苗．則該校植樹(shù)的任務(wù)數(shù)為（　　）棵．
A．6a B．5a C．4a D．3a
【考點(diǎn)】列代數(shù)式．
【答案】A
【點(diǎn)撥】該校植樹(shù)的任務(wù)數(shù)為a÷（1﹣﹣×），據(jù)此求解即可．
【解析】解：該校植樹(shù)的任務(wù)數(shù)為a÷（1﹣﹣×）＝a÷＝6a，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查列代數(shù)式，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意列出植樹(shù)任務(wù)的總棵數(shù)的算式．
5．（2023 南通）若a2﹣4a﹣12＝0，則2a2﹣8a﹣8的值為（　　）
A．24 B．20 C．18 D．16
【考點(diǎn)】代數(shù)式求值．
【答案】D
【點(diǎn)撥】由已知條件可得a2﹣4a＝12，然后將2a2﹣8a﹣8變形后代入數(shù)值計(jì)算即可．
【解析】解：∵a2﹣4a﹣12＝0，
∴a2﹣4a＝12，
∴2a2﹣8a﹣8
＝2（a2﹣4a）﹣8
＝2×12﹣8
＝24﹣8
＝16，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，將2a2﹣8a﹣8變形為2（a2﹣4a）﹣8是解題的關(guān)鍵．
6．（2022 紹興）下列計(jì)算正確的是（　　）
A．（a2+ab）÷a＝a+b B．a(chǎn)2 a＝a2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（a3）2＝a5
【考點(diǎn)】整式的除法；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方；完全平方公式．
【答案】A
【點(diǎn)撥】根據(jù)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式判斷A選項(xiàng)；根據(jù)同底數(shù)冪的乘法判斷B選項(xiàng)；根據(jù)完全平方公式判斷C選項(xiàng)；根據(jù)冪的乘方判斷D選項(xiàng)．
【解析】解：A選項(xiàng)，原式＝a2÷a+ab÷a＝a+b，故該選項(xiàng)符合題意；
B選項(xiàng)，原式＝a3，故該選項(xiàng)不符合題意；
C選項(xiàng)，原式＝a2+2ab+b2，故該選項(xiàng)不符合題意；
D選項(xiàng)，原式＝a6，故該選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的除法，同底數(shù)冪的乘法，冪的乘方與積的乘方，完全平方公式，掌握（a+b）2＝a2+2ab+b2是解題的關(guān)鍵．
7．（2022 錢(qián)塘區(qū)二模）下列說(shuō)法中：（1）整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；（2）如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)相等；（3）多項(xiàng)式2x2y﹣xy是五次二項(xiàng)式；（4）倒數(shù)等于它本身的數(shù)是±1；（5）3m2n與﹣nm2是同類項(xiàng)，其中正確的有（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【考點(diǎn)】同類項(xiàng)；多項(xiàng)式；有理數(shù)；絕對(duì)值；倒數(shù)．
【答案】C
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)有理數(shù)的定義判斷即可；（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)判斷即可；（3）根據(jù)多項(xiàng)式的定義判斷即可；（4）根據(jù)倒數(shù)的定義判斷即可；（5）根據(jù)同類項(xiàng)的定義判斷即可，所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也相同，這樣的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)．
【解析】解：（1）整數(shù)與分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，說(shuō)法正確；
（2）如果兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，那么這兩個(gè)數(shù)相等或互為相反數(shù)，故原說(shuō)法錯(cuò)誤；
（3）多項(xiàng)式2x2y﹣xy是三次二項(xiàng)式，故原說(shuō)法錯(cuò)誤；
（4）倒數(shù)等于它本身的數(shù)是±1，說(shuō)法正確；
（5）3m2n與﹣nm2是同類項(xiàng)，說(shuō)法正確．
故其中正確的有3個(gè)．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)，倒數(shù)，有理數(shù)，同類項(xiàng)以及絕對(duì)值，掌握相關(guān)定義是解答本題的關(guān)鍵．
8．（2023 玉溪三模）探索規(guī)律：觀察下面的一列單項(xiàng)式：x、﹣2x2、4x3、﹣8x4、16x5、…，根據(jù)其中的規(guī)律得出的第8個(gè)單項(xiàng)式是（　　）
A．﹣64x8 B．64x8 C．128x8 D．﹣128x8
【考點(diǎn)】單項(xiàng)式．
【答案】D
【點(diǎn)撥】根據(jù)符號(hào)的規(guī)律：n為奇數(shù)時(shí)，單項(xiàng)式為正號(hào)，n為偶數(shù)時(shí)，符號(hào)為負(fù)號(hào)；系數(shù)的絕對(duì)值的規(guī)律：第n個(gè)對(duì)應(yīng)的系數(shù)的絕對(duì)值是2n﹣1．指數(shù)的規(guī)律：第n個(gè)對(duì)應(yīng)的指數(shù)是n解答即可．
【解析】解：根據(jù)題意得：
第8個(gè)單項(xiàng)式是﹣27x8＝﹣128x8．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的知識(shí)，確定單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)時(shí)，把一個(gè)單項(xiàng)式分解成數(shù)字因數(shù)和字母因式的積，是找準(zhǔn)單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的關(guān)鍵．分別找出單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律也是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．
9．（2023 河北）若k為任意整數(shù)，則（2k+3）2﹣4k2的值總能（　　）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【考點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用．
【答案】B
【點(diǎn)撥】先根據(jù)完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，再合并同類項(xiàng)，分解因式后再逐個(gè)判斷即可．
【解析】解：（2k+3）2﹣4k2
＝4k2+12k+9﹣4k2
＝12k+9
＝3（4k+3），
∵k為任意整數(shù)，
∴（2k+3）2﹣4k2的值總能被3整除，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，能求出（2k+3）2﹣4k2＝3（4k+3）是解此題的關(guān)鍵．
10．（2023 平遠(yuǎn)縣一模）單項(xiàng)式的系數(shù)是　　．
【考點(diǎn)】單項(xiàng)式．
【答案】．
【點(diǎn)撥】利用單項(xiàng)式的次數(shù)的確定方法分析得出答案．
【解析】解：?jiǎn)雾?xiàng)式的系數(shù)是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了單項(xiàng)式的有關(guān)定義，正確把握單項(xiàng)式的次數(shù)的確定方法是解題的關(guān)鍵．
11．（2023 鄞州區(qū)模擬）分解因式：﹣x2y+6xy﹣9y＝　﹣y（x﹣3）2　．
【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．
【答案】﹣y（x﹣3）2．
【點(diǎn)撥】先提公因式﹣y，再應(yīng)用完全平方公式．
【解析】解：原式＝﹣y（x2﹣6x+9）＝﹣y（x﹣3）2．
故答案為：﹣y（x﹣3）2．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確應(yīng)用乘法公式是解題關(guān)鍵．
12．（2023 遼寧）分解因式：2m2﹣18＝　2（m+3）（m﹣3）　．
【考點(diǎn)】提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用．
【答案】2（m+3）（m﹣3）
【點(diǎn)撥】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．
【解析】解：原式＝2（m2﹣9）
＝2（m+3）（m﹣3）．
故答案為：2（m+3）（m﹣3）．
【點(diǎn)睛】此題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解本題的關(guān)鍵．
13．（2023 天臺(tái)縣一模）如表是某同學(xué)對(duì)式子6（x﹣2）﹣（2x+2）的化簡(jiǎn)過(guò)程：
解：原式＝6x﹣12﹣2x﹣2 ① ＝4x﹣14 ② ＝2x﹣7 ③
上面的化簡(jiǎn)過(guò)程中開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的是第 　③　步，正確答案應(yīng)該是 　4x﹣14　．
【考點(diǎn)】整式的加減．
【答案】③；4x﹣14．
【點(diǎn)撥】根據(jù)去括號(hào)法則以及合并同類項(xiàng)法則解答即可．
【解析】解：6（x﹣2）﹣（2x+2）
＝6x﹣12﹣2x﹣2
＝4x﹣14，
∴上面的化簡(jiǎn)過(guò)程中開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的是第③步，正確答案應(yīng)該是4x﹣14．
故答案為：③；4x﹣14．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．
14．（2021 衡陽(yáng)）計(jì)算：（x+2y）2+（x﹣2y）（x+2y）+x（x﹣4y）．
【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．
【答案】3x2．
【點(diǎn)撥】根據(jù)完全平方公式、平方差公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式展開(kāi)再合并同類項(xiàng)即可．
【解析】解：原式＝(x2+4xy+4y2)+(x2﹣4y2)+(x2﹣4xy)
＝x2+4xy+4y2+x2﹣4y2+x2﹣4xy
＝3x2．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，熟練掌握完全平方公式、平方差公式和單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式是解題關(guān)鍵．
15．（2022 金華）如圖1，將長(zhǎng)為2a+3，寬為2a的矩形分割成四個(gè)全等的直角三角形，拼成“趙爽弦圖”（如圖2），得到大小兩個(gè)正方形．
（1）用關(guān)于a的代數(shù)式表示圖2中小正方形的邊長(zhǎng)．
（2）當(dāng)a＝3時(shí)，該小正方形的面積是多少？
【考點(diǎn)】列代數(shù)式；代數(shù)式求值．
【答案】（1）a+3；
（2）36．
【點(diǎn)撥】（1）觀察圖形，用直角三角形較長(zhǎng)的直角邊減去較短的直角邊即可；
（2）根據(jù)正方形的面積＝邊長(zhǎng)的平方列出代數(shù)式，把a(bǔ)＝3代入求值即可．
【解析】解：（1）∵直角三角形較短的直角邊＝×2a＝a，
較長(zhǎng)的直角邊＝2a+3，
∴小正方形的邊長(zhǎng)＝2a+3﹣a＝a+3；
（2）小正方形的面積＝（a+3）2，
當(dāng)a＝3時(shí)，面積＝（3+3）2＝36．
【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，代數(shù)式求值，觀察圖形，用直角三角形較長(zhǎng)的直角邊減去較短的直角邊求出小正方形的邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．
16．（2022 麗水二模）如圖1，將一個(gè)邊長(zhǎng)為10的正方形紙片剪去兩個(gè)全等小長(zhǎng)方形，得到圖2，再將剪下的兩個(gè)小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（圖3），若圖3的長(zhǎng)方形周長(zhǎng)為30，則b的值為 　　．
【考點(diǎn)】整式的加減．
【答案】．
【點(diǎn)撥】根據(jù)圖形給出的已知條件列出算式，進(jìn)行整式加減即可得結(jié)論．
【解析】解：觀察圖形可得：
圖3的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)30＝2（10﹣b）+2（10﹣3b），
解得b＝．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的加減，解決本題的關(guān)鍵是觀察圖形正確列出算式．
17．（2023 金華）如圖是一塊矩形菜地ABCD，AB＝a（m），AD＝b（m），面積為s（m2），現(xiàn)將邊AB增加1m．
（1）如圖1，若a＝5，邊AD減少1m，得到的矩形面積不變，則b的值是　6　．
（2）如圖2，若邊AD增加2m，有且只有一個(gè)a的值，使得到的矩形面積為2s（m2），則s的值是　6+4　．
【考點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算．
【答案】（1）6；
（2）6+4．
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)邊AD減少1m，得到的矩形面積不變，得5b＝（5+1）×（b﹣1），可解得答案；
（2）由邊AB增加1m，邊AD增加2m，得到的矩形面積為2s（m2），知（a+1）（b+2）＝2s，故（a+1）（+2）＝2s，2a2+（2﹣s）a+s＝0，又有且只有一個(gè)a的值使得到的矩形面積為2s，可得（2﹣s）2﹣8s＝0，可解得答案．
【解析】解：（1）∵邊AD減少1m，得到的矩形面積不變，
∴5b＝（5+1）×（b﹣1），
解得：b＝6，
故答案為：6；
（2）根據(jù)題意知b＝，
∵邊AB增加1m，邊AD增加2m，得到的矩形面積為2s（m2），
∴（a+1）（b+2）＝2s，
∴（a+1）（+2）＝2s，
整理得：2a++2﹣s＝0，
∴2a2+（2﹣s）a+s＝0，
∵有且只有一個(gè)a的值使得到的矩形面積為2s，
∴Δ＝0，即（2﹣s）2﹣8s＝0，
解得s＝6﹣4（不符合題意舍去）或s＝6+4，
故答案為：6+4．
【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，涉及矩形面積，一元二次方程的判別式等，解題的關(guān)鍵是由有且只有一個(gè)a的值，使得到的矩形面積為2s列出關(guān)于s的方程．
18．（2022 嘉興）設(shè)是一個(gè)兩位數(shù)，其中a是十位上的數(shù)字（1≤a≤9）．例如，當(dāng)a＝4時(shí)，表示的兩位數(shù)是45．
（1）嘗試：
①當(dāng)a＝1時(shí)，152＝225＝1×2×100+25；
②當(dāng)a＝2時(shí)，252＝625＝2×3×100+25；
③當(dāng)a＝3時(shí)，352＝1225＝　3×4×100+25　；
…
（2）歸納：與100a（a+1）+25有怎樣的大小關(guān)系？試說(shuō)明理由．
（3）運(yùn)用：若與100a的差為2525，求a的值．
【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類．
【答案】見(jiàn)解析
【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)規(guī)律直接得出結(jié)論即可；
（2）根據(jù)＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)題意列出方程求解即可．
【解析】解：（1）∵①當(dāng)a＝1時(shí)，152＝225＝1×2×100+25；②當(dāng)a＝2時(shí)，252＝625＝2×3×100+25；
∴③當(dāng)a＝3時(shí)，352＝1225＝3×4×100+25，
故答案為：3×4×100+25；
（2）＝100a（a+1）+25，理由如下：
＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25；
（3）由題知，﹣100a＝2525，
即100a2+100a+25﹣100a＝2525，
解得a＝5或﹣5（舍去），
∴a的值為5．
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的變化規(guī)律得出＝100a（a+1）+25的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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