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平面向量的應用
基礎知識
1.向量法解決平面幾何問題的“三步曲”：
（1）建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；
（2）通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；
（3）把運算結果“翻譯”成幾何關系.
2.余弦定理：在中，角的對邊分別為，則：
，，.
三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.
3.余弦定理的推論：，，.
4.正弦定理：在中，角的對邊分別為，則：.
在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.
5.正弦定理的常見變形：
（1）（邊角互化）.
（2）.其中，為外接圓的半徑.
（3）（邊化角）.
（4）（角化邊）.
6.三角形的面積公式
（1）.（為外接圓的半徑）
（2），其中為的一邊長，而為該邊上的高的長.
（3），其中分別為的內切圓半徑及的周長.
（4）海倫公式：，其中.
（5），其中.
（6），其中，.
1.在中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,,則( )
A. B. C. D.
2.在中,,,,則最長邊( )
A.6 B.12 C.6或12 D.
3.已知a,b,c為的三個內角A,B,C的對邊,向量,.若,且,則角A,B的大小分別為( )
A., B., C., D.,
4.已知向量,,若在上的投影向量,則向量與的夾角為( )
A. B. C. D.
5.在中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,且滿足,則的形狀為( )
A.直角三角形 B.等邊三角形
C.直角三角形或等腰三角形 D.等腰直角三角形
6.設a,b,c分別是中內角A,B,C的對邊,且,則( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.（多選）下列說法正確的有( )
A.在中,
B.在中,若,則為等腰三角形
C. 中,是的充要條件
D.在中,若,則
8.（多選）甲,乙兩樓相距20m,從乙樓底仰望甲樓頂的仰角為,從甲樓頂望乙樓頂的俯角為,則下列說法正確的有( )
A.甲樓的高度為 B.甲樓的高度為
C.乙樓的高度為 D.乙樓的高度為
9.在中，已知，，，則的面積為_______.
10.的內角的對邊分別為.若的面積為，則____________.
11.在中，若，，，則AB邊上的高是___________.
12.記的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且.
（1）求A的大小;
（2）若A的角平分線交BC于D,且,求面積的最小值.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由正弦定理得,,
故選：A.
2.答案：B
解析：在中,,,,
由余弦定理得,,
化簡得,解得或,
因為c是最長的邊,所以,
故選:B
3.答案：C
解析：根據題意,,可得,
即,
,又由正弦定理可得,,,
,．
故選C．
4.答案：C
解析:設向量與的夾角為,與同向的單位向量為,
在上的投影向量為,,
,
,,
所以,
,,
與的夾角為,
故選:C.
5.答案：A
解析：由題知,,
所以,
所以,得,
所以,得,
所以的形狀為直角三角形,
故選：A.
6.答案：B
解析：由得,所以,
由正弦定理得,
,
所以2.
故選:B.
7.答案：AC
解析：由正弦定理
可得：
即成立,
故選項A正確；
由可得或,
即或,
則是等腰三角形或直角三角形,
故選項B錯誤；
在中,由正弦定理可得
,
則是的充要條件,
故選項C正確；
在中,若,則或,
故選項D錯誤.
故選：AC.
8.答案：AC
解析：解：如圖所示,中,,,
,,中,
,,,,
由正弦定理得,
所以故選：AC．
9.答案：
解析：因為，，，則.
10.答案：（或）
解析：解：由余弦定理可得a2﹣b2﹣c2＝﹣2bccosA，
的面積為＝﹣，
又因為＝，
所以，
由可得A＝．
故答案為：.
11.答案：1或2
解析：由正弦定理，得.又，或.
當時，，AB邊上的高為2；
當時，，AB邊上的高為.
12.解析：（1）由正弦定理,得,
得,
得,
因為A,,,所以,即.
（2）因為,
所以.
因為,即(當且僅當時,等號成立),
所以.故面積的最小值為.

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