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平面向量的概念
基礎知識
1.向量的定義：既有大小，又有方向的量叫做向量.
2.向量的模：向量的大小稱為向量的長度（或稱模），記作.
3.零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作（或）.
4.單位向量：長度等于1個單位長度的向量，叫做單位向量.
5.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共線向量.
6.相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
1.如圖，在正六邊形ABCDEF中，與向量相等的向量是( )
A. B. C. D.
2.設點O是正三角形ABC的中心，則向量，，是( ).
A.相同的向量 B.模相等的向量 C.共線向量 D.共起點的向量
3.下列關于零向量的說法正確的是( )
A.零向量沒有大小 B.零向量沒有方向
C.兩個反方向向量之和為零向量 D.零向量與任何向量都共線
4.如圖,在圓O中,向量是( )
A.有相同起點的向量 B.共線向量
C.模相等的向量 D.相等向量
5.下列命題中正確的是( )
A.兩個有共同起點且相等的向量，其終點必相同
B.兩個有公共終點的向量，一定是共線向量
C.兩個有共同起點且共線的向量，其終點必相同
D.若與是共線向量，則點A，B，C，D必在同一條直線上
6.下列說法正確的是( )
A.單位向量均相等 B.單位向量
C.零向量與任意向量平行 D.若向量，滿足，則
7.（多選）下列說法中錯誤的是( )
A.單位向量都相等
B.向量與是共線向量,則點A,B,C,D必在同一條直線上
C.若為非零向量,則表示為與同方向的單位向量
D.若,,則
8.（多選）下列敘述中錯誤的是( )
A.若，則 B.若，則與的方向相同或相反
C.若，，則 D.對任一向量，是一個單位向量
9.如圖ABCD是菱形，則在向量和中，相等的有______對.
10.中國象棋中規(guī)定：馬走“日”字，象走“田”字.如圖，在中國象棋的半個棋盤(4×8的矩形中每個小方格都是單位正方形)中，若馬在A處，可跳到處，也可跳到處，用向量表示馬走了“一步”.若馬在B處或C處，則以B，C為起點表示馬走了“一步”的向量共有____________個.
11.在等腰梯形ABCD中，，則下列結論中正確的是________.(寫出所有正確結論的序號)
①；②；③；④.
12.根據(jù)下列各小題中的條件，分別判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明.
（1）；
（2）；
（3），且.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由圖可知六邊形ABCDEF是正六邊形，所以，與方向相同的只有；而，，與長度相等，方向不同，所以選項A，C，D，均錯誤；
故選：B
2.答案：B
解析：O是正的中心，
向量，，分別是以三角形的中心和頂點為起點和終點的，
O是正三角形的中心，
O到三個頂點的距離相等，
即，
故選：B.
3.答案：D
解析：根據(jù)零向量的概念可得零向量的長度為零，方向任意，故A、B錯誤；
兩個反方向向量之和不一定為零向量，只有相反向量之和才是零向量，C錯誤；
零向量與任意向量共線，D正確.
故選：D.
4.答案：C
解析：由題圖可知是模相等的向量，其模均等于圓O的半徑，故選C.
5.答案：A
解析：兩個相等的向量方向相同且長度相等，因此起點相同時終點必相同，故A正確；
兩個有公共終點的向量，可能方向不同，也可能模長不同，故B錯誤；
兩個有共同起點且共線的向量可能方向不同，也可能模長不同，終點未必相同，故C錯誤；
與是共線向量，也可能是AB平行于CD，故D錯誤.
故選：A.
6.答案：C
解析：對于A：單位向量的模相等，但是方向不一定相同.故A錯誤；
對于B：單位向量.故B錯誤；
對于C：零向量與任意向量平行.正確；
對于D：若向量，滿足，但是，的方向可以是任意的.
故選：C.
7.答案：ABD
解析：對A,單位向量方向不一定相同,故A錯誤;
對B,向量與是共線向量,A,B,C,D不一定在一條直線上,故B錯誤;
對C,為非零向量,則模長為1,方向與同向,故C正確;
對D,若時,,,但推不出,故D錯誤.
故選:ABD
8.答案：ABCD
解析：因為是既有大小又有方向的量，所以向量不能比較大小，故A錯誤；
由于零向量與任意向量共線，且零向量的方向是任意的，故B錯誤；
對于C，若為零向量，則與可能不是共線向量，故C錯誤；
對于D，當時，無意義，故D錯誤.
故選：ABCD.
9.答案：2
解析：，其余不等.
10.答案：11
解析：此題中，馬在A處有兩條路可走，在B處有三條路可走，在C處有八條路可走，如圖，以B點為起點作向量，共3個；以C點為起點作向量，共8個.所以共有11個.
11.答案：③
解析：如圖，四邊形ABCD為等腰梯形，
與的大小相等，但方向不同，
故.
12.答案：（1）平行四邊形，證明見解析
（2）梯形，證明見解析
（3）菱形，證明見解析
解析：（1）四邊形ABCD是平行四邊形，證明如下：
，且，
且四邊形ABCD是平行四邊形.
（2）四邊形ABCD是梯形，證明如下：
，，.又，
，即.四邊形ABCD是梯形.
（3）四邊形ABCD是菱形，證明如下：
，且，
且，四邊形ABCD是平行四邊形.
又，，四邊形ABCD是菱形.

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