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6.2 平面向量的運算 學案——2023-2024學年高一數學人教A版(2019)(含答案)

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6.2 平面向量的運算 學案——2023-2024學年高一數學人教A版(2019)(含答案)

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平面向量的運算
基礎知識
1.向量加法的法則:三角形法則和平行四邊形法則.
三角形法則 如圖,已知非零向量,,在平面內取任意一點A,作,,則向量叫做與的和,記作,即.
平行四邊形法則 已知兩個不共線向量,,作,,以,為鄰邊作,則對角線上的向量.
2.對于零向量與任意向量a,有.
3.向量加法的運算律:交換律:;結合律:.
4.向量形式的三角不等式:,當且僅當,方向相同時等號成立.
5.相反向量:
①定義:與長度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量,記作-a,并且規定,零向量的相反向量仍是零向量.
②性質:零向量的相反向量仍是零向量;
和互為相反向量,于是;
若互為相反向量,則,,.
6.向量數乘的定義:規定實數與向量的積是一個向量,這種運算叫做向量的數乘,記作:,它的長度與方向規定如下:①;②當時,的方向與的方向相同;當時,的方向與的方向相反.當或時,.
7.向量數乘的運算律:設為任意實數,則有:
①;②;③.
特別地,有;.
8.向量的線性運算:向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算,向量線性運算的結果仍是向量.對于任意向量,以及任意實數,恒有.
9.向量共線(平行)定理:向量與共線的充要條件是:存在唯一一個實數,使.
10.向量的夾角:已知兩個非零向量,如圖,是平面上的任意一點,作,則叫做向量與的夾角.記作.
當時,向量同向;當時,向量垂直,記作;當時,向量反向.
11.平面向量數量積的定義:已知兩個非零向量與,它們的夾角為,把數量叫做向量與的數量積(或內積),記作,即.
12.投影向量:如圖,設是兩個非零向量,,過的起點和終點,分別作所在直線的垂線,垂足分別為,得到,這種變換稱為向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.
13.向量數量積的性質:設是非零向量,它們的夾角是是與方向相同的單位向量,則(1);
(2);
(3)當與同向時,;當與反向時,,特別地,或;
(4)由可得,;
(5)
14.向量數量積的運算律
(1)交換律:;
(2)數乘結合律:;
(3)分配律:.
1.如圖,正六邊形ABCDEF中,( )
A. B. C. D.
2.如圖,平行四邊形ABCD的對角線交于M,若,,用,表示為( )
A. B. C. D.
3.正方形ABCD邊長為4,M為CD中點,點N在AD上,,則( )
A. B. C.5 D.10
4.已知矩形ABCD中,E為AB邊中點,線段AC和DE交于點F,則( )
A. B.
C. D.
5.已知平面向量,滿足,,,則向量與的夾角為( )
A. B. C. D.
6.已知平面單位向量,,滿足,則( )
A. B. C. D.
7.(多選)已知實數m、n和向量、,下列結論中正確的是( )
A. B.
C.若,則 D.若,則
8.(多選)已知向量,滿足且,則下列結論正確的是( )
A. B. C. D.
9.在中,D是BC邊上的點且,若則________.
10.已知,,且,則在上的投影向量為________.
11.已知向量,的夾角為,且,,則___________.
12.已知非零向量,,滿足,,且.
(1)求向量,的夾角;
(2)求.
答案以及解析
1.答案:D
解析:ABCDEF為正六邊形,所以,,
所以.
故選:D.
2.答案:D
解析:.
故選:D.
3.答案:C
解析:設,
因為,,
因為正方形ABCD邊長為4,,
所以,解得,
所以,
故選:C
4.答案:D
解析:取CD中點G,連接BG,交AC于點H,
,,四邊形BEDG為平行四邊形,
,又E為AB中點,,同理可得:,
,
.
故選:D.
5.答案:C
解析:,所以,
,而,所以.
故選:C.
6.答案:D
解析:由可知,兩邊同時平方得,,
故.
故選:D.
7.答案:ABD
解析:對于A選項,,A對;
對于B選項,,B對;
對于C選項,若,則,所以,或,C錯;
對于D選項,若,則,所以,,即,D對.
故選:ABD.
8.答案:AD
解析:因為,所以;
因為,所以,所以,故C錯誤,D正確;
因為,所以,A正確;
因為,所以,B錯誤;
故選:AD.
9.答案:
解析:由題可知,,又,所以
10.答案:
解析:由題可得:,設,
,則在上投影向量為.
11.答案:
解析:因為向量,的夾角為,,,
所以,
所以,
所以.
故答案為:.
12.答案:(1)
(2)
解析:(1),
,即,
又,,設向量,的夾角為,
,
,
,
,
,即向量,的夾角為;
(2)
.

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