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平面向量基本定理及坐標表示
基礎(chǔ)知識
1.平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使.
2.基底：若不共線，則把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.
3.平面向量的正交分解：把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
4.平面向量的坐標運算：
設(shè)向量，則有下表：
運算 文字描述 符號表示
加法 兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的和
減法 兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標的差
數(shù)乘 實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標
向量坐標公式 一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標 已知， 則
5.平面向量共線的坐標表示
（1）設(shè)，其中共線的充要條件是存在實數(shù)，使.
（2）如果用坐標表示，向量共線的充要條件是.
6.平面向量數(shù)量積的坐標表示：設(shè)向量，則.
這就是說，兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標的乘積的和.
7.向量模的坐標表示：（1）若向量，則；（2）若點，向量，則.
由此可知，向量的模的坐標運算的實質(zhì)是平面直角坐標系中兩點間的距離的運算.
8.向量夾角的坐標表示：設(shè)都是非零向量，，是與的夾角，則.
9.向量垂直的坐標表示：設(shè)向量，則.
1.已知向量,,則( )
A. B. C. D.
2.在中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則( )
A. B.
C. D.
3.若向量，，且，則( )
A.1 B.5 C. D.
4.已知向量,滿足,,則( )
A.-2 B.-1 C.0 D.1
5.已知平面向量,,且,則( )
A. B. C. D.
6.已知向量，，.若，且，則( )
A. B. C. D.
7.（多選）已知向量，，則( )
A.若，則 B.若，則
C.若，則 D.若，則a與b的夾角為
8.（多選）已知向量，，則( )
A.若與垂直，則 B.若，則m的值為
C.若，則 D.若，則與的夾角為45°
9.已知,,則_______________.
10.已知向量,若,則________________.
11.已知向量，，且與方向相反，則_________.
12.（1）已知,,求向量在上的投影向量的坐標.
（2）已知,,若,的夾角為銳角,求的取值范圍.
答案以及解析
1.答案：B
解析:根據(jù)平面向量線性運算的坐標表示可得,
.
故選:B
2.答案：A
解析：如圖所示，
，
故選A
3.答案：D
解析：由向量，，可得，
因為，可得，解得，
所以，可得.
故選：D.
4.答案：B
解析:向量,滿足,,
所以.
故選：B.
5.答案：B
解析:因為,,且,所以,,,故選B.
6.答案：C
解析：因為，，由可得，，即，整理得.又因為，所以，聯(lián)立解得或故.故選C.
7.答案：BC
解析：A項，若，則，即，故A項錯誤；
B項，若，則，即，，故B項正確；
C項，若，則，所以，故C項正確；
D項，，則，，，，所以a與b的夾角不是，故D項錯誤.
8.答案：ABD
解析：因為，，對于A：若與垂直，則，解得，故A正確；
對于B：若，則，解得，故B正確；
對于C：若，則，解得，故C錯誤；
對于D：若，則，設(shè)與的夾角為，則，因為，所以，故D正確；
故選：ABD
9.答案：
解析：由題意得,,所以.
故答案為：.
10.答案：-2
解析：由題意可知,,
因為,所以,得.
故答案為：-2.
11.答案：
解析：由題意知與平行，得，，當時，，，，與方向相反；當時，，，
，與方向相同.所以，因此.
12.答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）由題意可得:,,
向量在方向上的投影向量為:;
（2）因為,的夾角為銳角,所以,解得:,
又當與共線時,可得:,解得:,
此時,此時與同向,需排除,
所以的取值范圍是:.

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