資源簡介

　　　　　　　　超越思維定勢，優化解題過程
　　　　　　　　內蒙古包頭土右旗薩拉齊第一中學　陳明小
【摘要】：思維的本身是人的意識對客觀事物的本質屬性和內部規律的概括和間接的反映，數學思維則是人腦和數學對象（空間形式、數量關系）交互作用并按照一般思維規律認識數學內容的過程和活動，而數學內容具有“動”與“靜”，“變”與“不變”等特點，因此對于一個數學問題從辯證的角度，靈活的去觀察、分析并處理，針對思維活動中的關鍵環節和薄弱活動，有意識的進行訓練可突破思維定勢，改善和優化思維品質，提高思維能力，以尋求最優化的解題途徑。
【關鍵詞】：靈活　變通 優化　審題 關鍵　思維　全局　　　　　　　
　　
在數學解題過程中，人們常常會受到一些思維定勢的影響，從而導致解題過程繁瑣或解題障礙。如何才能超越思維定勢的束縛，優化解題過程呢？
１．把握本質，靈活變通。
在解題過程中，不要一味強化解題模式，而應把握解題本質，靈活地進行變通，以優化解題過程。
例１．已知分別是橢圓的左右頂點，P1，
P2是橢圓上的動點，且，求直線Ａ１Ｐ１與Ａ２Ｐ２的
交點Ｑ的軌跡方程．
分析：兩動直線的交點的軌跡方程，可采用參數法或交軌法。
　解：令Ｑ（x,y）A1(-a,0) A2(a,0) . P(m,n ) , P(m,-n) (n≠0) 則直線　　　?、?　　　　　 　　　　　　　　　　
　　 直線： 　　　　② . 　　　　
　　?、佟立诘茫? ?、?
又 ,從而代入③ 　
∴ ∴
評析：若用參數將動點坐標表示出來，然后再進行消參，這樣相當于繞了一個彎子，增加了運算量?！?br/>２．仔細審題，抓住關鍵。
　　解題時不僅注意通性通法的運用，還應通過仔細審題，
充分與把握問題中蘊含的信息與關鍵信息，積極探索最優化
的解題過程。
例２．已知的值域，求的值?！　?br/>　分析：為函數的值域的子集．
　　　解：當時，值域．∴，， ．　　　　　
　　　　又對稱軸，∴在上為增函數．
　　　　　，又＜　∴　m,n為方程的兩個根.　　　即為的兩個根．∴
　　評析：若分類討論：①，②＜，③＜１＜，④．這樣顯然很麻煩．
例３．已知函數，數列滿足，求數列的通項，并比較與的大?。　?br/>　　分析：由的結構，聯想到二倍角公式，可通過三角換元來求解．
　　　解　∵，∴．令， ∴，又，∴．即，得 ∴
∴.又對任意的，都有 .由三角函數線知 ∴.
評析：通過代數變形來構造數列或進行遞推，無法找到解題的突破口，導致解題障礙．若能注意到函數的結構特征，解題思路將豁然開朗。
3.放眼全局，合理選擇。
　 不同思路的選擇決定著能否快速實現解題目標和繁簡程度。不論是解題之前對解題思路的選擇，還是在解題過程對一些解題程序和運算途徑的選擇，都應根據問題的特點，放眼全局，立足優化，慎重選擇。
例4.已知，且當時，恒成立，求實
　　數的范圍。
分析：本題為不等式恒成立問題，可利用分離變量的方法來求解.
解：當時，顯然成立.
當時，由，，，令，.則.
　　　　由，∴在上為增函數.由，　　　　　　　　　　　　　　　　　∴在上為減函數. 從而 ，
∴.
評析：本題的另一種常規思路是直接對參數進行分類，但需分作如下四種情形：①；②；③；④，該思路解題繁瑣；而前一種思路將參數與變量分離開來，回避了對參數的分類討論，從而簡化了解題過程，這種處理策略也是解決不等式恒成立問題的常用策略.
4.注重反思，優化思維.
　 荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾指出：數學學習是一種再創造學習，反思是數學思維活動的核心和動力.因此，在解題教學中，若能經常地引導學生進行反思，可有效地優化學生的思維品質，提高學生的數學素養.
例５．過的直線與橢圓交于兩點，，求的斜率．
　　分析：先利用條件構造關于的方程。
　　　解：設，顯然的斜率存在，故可設的方程為．由，消得．　∴??；　．　又因，所以，從而．　∴　，　．消得　解得　．代入＊式．即直線的斜率為．
　　　評析：上述求解過程運算量較大，合理的反思深挖題目中的條件，由的縱坐標為０，且由得　，這一關系比簡單，因此采用先消來求解的思路是更好的選擇．
　　例６．已知直線過且與軸交于A，直線過點且與y軸交于點B，若，且，求點M的軌跡方程．
　　　分析：可用參數法求解．
　　　　解：設M(x,y)，若不垂直于x軸． 令的方程為y-5=k(x-1)， 則A(1-,0)．由于， 可得直線的斜率為-， 故的方程為y+7=-(x-2)． 則B(0,-7)， 又． ∴x=　，y=?。? 消去k得4x+5y+22=0 ＊?。?br/>　　若直線垂直于x軸，則垂直于y軸，易得A(1,0)，B(0,-7)．此時M也適合*式．
綜上所述，點M的軌跡：4x+5y+22=0．
　　　評析：上述求解的方法采用了參數法，且需要分類討論．若采用向量法求解可使解題過程更為優化：設M(x,y)， 由 可得 A(3x,0)， B(0，), 由知，從而可得M的軌跡方程．
　　總之，在數學教學中，應重視對數學本質的揭示，引導學生靈活的運用有關的數學知識與方法解決問題．在解題過程中，應引導學生認真審題，抓住問題中的關鍵信息，具體問題具體分析，放眼全局合理選擇，以尋求最優化的解題途徑．在解題之后，應通過反思教學，深化學生對數學本質的理解，優化學生的思維品質，這樣才可以擺脫思維定勢的束縛，達到快速解題的目的．　　　　　　　
【參考文獻】：高中數學教與學　　中學數學教研　　　　初等數學輪

展開更多......

收起↑