資源簡介 第一篇 三角函數與解三角形專題07 三角形中的組合圖形問題 答案類型 對應典例以兩個三角形組合考查解三角形問題 典例1以兩個三角形組合的考查解三角形的開放性問題 典例2以梯形為背景考查解三角形 典例3以平面四邊形為背景考查解三角形的最值問題 典例4以半圓和四邊形組合而成考查解三角形 典例5以三角形嵌套三角形為背景考查解三角形 典例6以五邊形為背景考查解三角形 典例7【典例1】【2020屆安徽省池州市高三上學期期末考試】如圖所示,在中,的對邊分別為a,b,c,已知,.(1)求b和;(2)如圖,設D為AC邊上一點,,求的面積.【思路引導】(1)通過正弦定理邊化角,整理化簡得到的值,再利用余弦定理,求出,根據正弦定理,求出;(2)根據正弦定理得到,即,根據勾股定理得到,根據三角形面積公式,求出的面積.解:(1)因為,所以在中,由正弦定理,得,因為,所以,所以,又,所以,由余弦定理得,,所以,在中,由正弦定理,所以;(2)在中,由正弦定理得,,因為,所以,因為,所以,而所以,由,設,所以,所以,所以,因為,所以.【典例2】【山東省日照市2019-2020學年高三下學期1月校際聯考】在①面積,②這兩個條件中任選一個,補充在下面問題中,求.如圖,在平面四邊形中,,,______,,求.【思路引導】選擇①:利用三角形面積公式和余弦定理可以求接求出的長;選擇②:在,中,分別運用正弦定理,可以求接求出的長;解:選擇①:所以;由余弦定理可得所以選擇②設,則,,在中,即所以在中,,即所以.所以,解得,又,所以,所以.【典例3】【河北省唐山市2019屆高三上學期期末考試】如圖,在梯形中,,為上一點,,.(1)若,求;(2)設,若,求.【思路引導】(1)先由題中條件求出,再由余弦定理即可求解;(2)先由,表示出,進而可用表示出,,再由,即可求解.解:(1)由,,得.在中,;在中,.在中,由余弦定理得,,.(2)因為,所以,.在中,;在中,,由得,,所以,即,整理可得【典例4】【廣東省2019屆高三上學期期末聯考】如圖,在中,角,,的對邊分別為,,,且.(1)求的大??;(2)若,點、在的異側,,,求平面四邊形面積的最大值.【思路引導】(1)由正弦定理將化為,再由兩角和的正弦公式化簡,即可求出結果;(2)先由余弦定理求出的長,將平面四邊形的面積轉化為兩三角形與面積之和,即可求解.解:(1)因為,且,所以在中,所以 所以所以 因為在中,所以 因為是的內角所以.(2)在中,因為是等腰直角三角形,所以所以平面四邊形的面積因為,所以所以當時,,此時平面四邊形的面積有最大值【典例5】【2020屆重慶市高三11月調研測試卷】如圖,半圓O的直徑,點C,P均在半圓周上運動,點P位于C,B兩點之間,且.(1)當時,求的面積.(2)求四邊形ABPC的面積的最大值.【思路引導】(1)根據已知條件求出,再利用面積公式即可;(2)將四邊形拆成三個三角形,將面積轉化為三角函數求再求最值.解:(1)由題知,,,;(2)由題知,根據同弧所對的圓心角是圓周角的二倍,可得,設半徑,,則,,,當時等號成立.【典例6】【2019屆河北省衡水中學高三上學期三調考】如圖所示,正三角形的邊長為2,分別在三邊和上,為的中點,.(Ⅰ)當時,求的大??;(Ⅱ)求的面積的最小值及使得取最小值時的值.【思路引導】第一問,在中,,①,而在中,利用正弦定理,用表示,在中,利用正弦定理,用表示,代入到①式中,再利用兩角和的正弦公式展開,解出,利用特殊角的三角函數值求角;第二問,將第一問得到的和代入到三角形面積公式中,利用兩角和的正弦公式和倍角公式化簡表達式,利用正弦函數的有界性確定的最小值.解:在中,由正弦定理得,在中,由正弦定理得.由,得,整理得,所以.(2)=.當時,取最小值.【典例7】【陜西省2019屆高三第二次教學質量檢測數學】某市規劃一個平面示意圖為如下圖五邊形的一條自行車賽道,,,,,為賽道(不考慮寬度),為賽道內的一條服務通道,,,.(1)求服務通道的長度;(2)當時,賽道的長度?【思路引導】(1)連接,在中,由余弦定理可得,由等腰三角形的性質結合可得,再由勾股定理可得結果;(2)在中,,,,直接利用正弦定理定理可得結果.解:(1)連接,在中,由余弦定理得:,.,,又,,在中,.(2)在中,,.由正弦定理得,即:,得,當時,賽道的長度為.【針對訓練】1. 【2020年陜西省高三教學質量檢測卷(一)】如圖,在中,,,,,D在邊上,連接.(1)求角B的大?。?br/>(2)求的面積.【思路引導】(1)由及兩角差的正弦公式,結合正余弦值求得的正弦值,即可得角B的大?。唬?)先在中,由余弦定理求出的長度,再利用三角形的面積公式即可求解.解:(1)在中,,所以,所以∵,,∴,∴.因為,所以,∴.(2)在中,由余弦定理得,∴,解得,∴.2. 【天一大聯考皖豫聯盟2019-2020學年高中畢業班第二次考試】如圖所示,在平面四邊形中,.(1)若,,求的長;(2)若,,求的面積.【思路引導】(1)由,可求出,結合,可求得,在中,由余弦定理可求出的長;(2)先求得,則,然后利用正弦定理,可求出,進而可求出的面積.解:(1),則是鈍角,,可求得.因為,所以.因為,所以.在中,由余弦定理得,即.解得,或(舍去).所以.(2)由(1)可知,.在中,因為,所以.由正弦定理得,所以.故的面積.3. 【2020屆江西省南昌市第十中學高三上學期期末】在中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且滿足.(1)求的值;(2)如圖,點D在線段AC上,且,若,求面積的最大值.【思路引導】(1)利用正弦定理角化邊,再利用余弦定理即可求解.(2)由(1)以及余弦定理、基本不等式可得,由即可求解.解:(1),由正弦定理,可得,則(2)由(1)知,可得:,(當且僅當時取等號),由,可得:,的面積最大值為.4. 【福建省德化一中、永安一中、漳平一中2020屆高三上學期三校聯考】如圖,在四邊形 中,,平分,,,的面積為,為銳角.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求.試題分析: (I)在中,由三角形的面積公式可求得,再利用余弦定理求出;(Ⅱ)在中,由正弦定理求出和,根據題意 平分 , ,在和 中分別寫出正弦定理,得出比例關系,求出.解:(I)在中,.因為 ,所以.因為為銳角,所以.在 中,由余弦定理得所以CD的長為.(II)在中,由正弦定理得即 ,解得, 也為銳角..在 中,由正弦定理得即 ①在 中,由正弦定理得即②平分 ,由①②得 ,解得因為為銳角,所以 .5. 【2020屆山東省濰坊市高三上學期期末考試】在①;②這兩個條件中任選-一個,補充在下面問題中,然后解答補充完整的題.在中,角的對邊分別為,已知,.(1)求;(2)如圖,為邊上一點,,求的面積【思路引導】(1)結合正弦定理,條件選擇①,則,再利用公式求;若選擇條件②,由正弦定理和誘導公式可得,再根據二倍角公式求得,再根據求解.(2)解法1:設,在中由余弦定理,解得,再由(1),解得邊長,最后求得到的面積;解法2:由 可知,,,再根據正弦定理和面積公式.解:解:若選擇條件①,則答案為:(1)在中,由正弦定理得,因為,所以,所以,因為,所以.(2)解法1:設,易知在中由余弦定理得:,解得.所以在中,所以,所以,所以解法2:因為,所以,因為所以,所以因為為銳角,所以又所以所以若選擇條件②,則答案為:(1)因為,所以,由正弦定理得,因為,所以,因為,所以,則,所以.(2)同選擇①6. 【2020屆廣東省韶關市高三上學期期末調研】如圖,在平面四邊形中,,設.(1)若,求的值;(2)用表示四邊形的面積,并求的最大值.【思路引導】(1)由余弦定理得,再由正弦定理求得結論;(2)同(1)由余弦定理表示出,求出兩個三角形和的面積,可得,再由三角函數的公式變為一個角的一個三角函數形式,然后可得最大值.解:(1)在中,由余弦定理知由已知,代入上式得:,即又由正弦定理得:即:,解得:(2)在中,由余弦定理知故所以故.7. 【湖北省宜昌市2019-2020學年高三期末數學】已知分別為三個內角的對邊,且.(1)求;(2)在中,,為邊的中點,為邊上一點,且,,求的面積.【思路引導】(1)由余弦定理得,再由正弦定理得,進而得,即可求解(2)在中,求得,,再中由正弦定理得,結合三角形的面積公式,即可求解.解:(1)由余弦定理有,化簡得,由正弦定理得∵,∴,∵,∴,∴ ,又由,∴.(2)在中,為邊的中點,且,在中,,,所以,,中由正弦定理得,得,,,所以8. 【內蒙古呼和浩特市2019-2020學年高三上學期質量普查調研】(1)當時,求證:;(2)如圖,圓內接四邊形的四個內角分別為、、、.若,,,.求的值.【思路引導】(1)根據正余弦的二倍角公式從左邊向右邊即可化簡證明(2)為圓的內接四邊形可知,,,,由(1)結論原式可化為,連接、,設,由余弦定理即可求解.解:(1)證明.(2)因為為圓的內接四邊形,所以,,,,由此可知:連接、,設,由余弦定理可得:,,,,解得,,那么,,,.所以原式.9. 【山西省晉城市2019屆高三第三次模擬考試】如圖所示,銳角中,,點在線段上,且,的面積為,延長至,使得.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,求的值.【思路引導】(Ⅰ)在中,由面積公式得,進而得,再由余弦定理求解即可;(Ⅱ)由,得,在中,再由正弦定理求解即可解:(Ⅰ)在中,.所以.因為,所以.由余弦定理得,得.(Ⅱ)因為,所以.在中,由正弦定理得,即,所以.10. 【北京市房山區2019-2020學年高三上學期期末】如圖,在平面四邊形中,,,,,.(1)求的值;(2)求,的值.【思路引導】(1)由同角三角函數基本關系得,利用兩角和的正弦及內角和定理展開求解即可(2)利用正弦定理得,再利用余弦定理求解解:(1)∵,,∴在△中,,∴(2)在△中,由正弦定理得,即解得,∵,,∴,在△中,,根據余弦定理,解得11. 【2020屆福建省龍巖市高三上學期期末教學質量檢查】如圖,在平面四邊形中,,,且.(1)若,求的值;(2)求四邊形面積的最大值.【思路引導】(1)根據條件由正弦定理,求出,從而求出,即可求出結果;(2)設,根據余弦定理求出,將的面積和表示為的函數,由輔助角公式化簡面積表達式,再結合正弦函數的最值,即可求解.解:(1)在中,由正弦定理得,∴,∵,∴,∴.(2)設,在中,由余弦定理得.∴.當時,四邊形面積的最大值.12.【2020屆廣東省東莞市高三期末調研測試】如圖,在中,內角所對的邊分別為,且.(1)求角A的大小;(2)若,邊上的中線的長為7,求的面積.【思路引導】(1)利用正弦定理化邊為角可得,則,進而求得角即可;(2)由(1)可得,則,設,則,在中,根據余弦定理得,可得,進而求得的面積即可解:(1)因為,根據正弦定理,得,即,所以,整理得,因為,所以,又因為,則(2)由(1)知,又因為,所以,所以,因為是中點,設,則,在中,根據余弦定理,得,即即,解得,故的面積1第一篇 三角函數與解三角形專題07 三角形中的組合圖形問題例1:如圖所示,在中,的對邊分別為a,b,c,已知,.(1)求b和;(2)如圖,設D為AC邊上一點,,求的面積.例2:在①面積,②這兩個條件中任選一個,補充在下面問題中,求.如圖,在平面四邊形中,,,______,,求.例3:如圖,在梯形中,,為上一點,,.(1)若,求;(2)設,若,求.例4:如圖,在中,角,,的對邊分別為,,,且.(1)求的大?。唬?)若,點、在的異側,,,求平面四邊形面積的最大值.例5:如圖,半圓O的直徑,點C,P均在半圓周上運動,點P位于C,B兩點之間,且.(1)當時,求的面積;(2)求四邊形ABPC的面積的最大值.例6:如圖所示,正三角形的邊長為2,分別在三邊和上,為的中點,.(Ⅰ)當時,求的大??;(Ⅱ)求的面積的最小值及使得取最小值時的值.例7:某市規劃一個平面示意圖為如下圖五邊形的一條自行車賽道,,,,,為賽道(不考慮寬度),為賽道內的一條服務通道,,,.(1)求服務通道的長度;(2)當時,賽道的長度?【針對訓練】1.如圖,在中,,,,,D在邊上,連接.(1)求角B的大小;(2)求的面積.2.如圖所示,在平面四邊形中,.(1)若,,求的長;(2)若,,求的面積.3.在中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且滿足.(1)求的值;(2)如圖,點D在線段AC上,且,若,求面積的最大值.4.如圖,在四邊形 中,,平分,,,的面積為,為銳角.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求.5. 在①;②這兩個條件中任選-一個,補充在下面問題中,然后解答補充完整的題.在中,角的對邊分別為,已知,.(1)求;(2)如圖,為邊上一點,,求的面積.6.如圖,在平面四邊形中,,設.(1)若,求的值;(2)用表示四邊形的面積,并求的最大值.7. 已知分別為三個內角的對邊,且.(1)求;(2)在中,,為邊的中點,為邊上一點,且,,求的面積.8.(1)當時,求證:;(2)如圖,圓內接四邊形的四個內角分別為、、、.若,,,.求的值.9.如圖所示,銳角中,,點在線段上,且,的面積為,延長至,使得.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,求的值.10.如圖,在平面四邊形中,,,,,.(1)求的值;(2)求,的值.11.如圖,在平面四邊形中,,,且.(1)若,求的值;(2)求四邊形面積的最大值.如圖,在中,內角所對的邊分別為,且.(1)求角A的大小;(2)若,邊上的中線的長為7,求的面積.1 展開更多...... 收起↑ 資源列表 專題07 三角形中的組合圖形問題 答案.docx 專題07 三角形中的組合圖形問題 試題.docx 縮略圖、資源來源于二一教育資源庫