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專題07 三角形中的組合圖形問題 學案 (原卷版+解析版)

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專題07 三角形中的組合圖形問題 學案 (原卷版+解析版)

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第一篇 三角函數與解三角形
專題07 三角形中的組合圖形問題 答案
類型 對應典例
以兩個三角形組合考查解三角形問題 典例1
以兩個三角形組合的考查解三角形的開放性問題 典例2
以梯形為背景考查解三角形 典例3
以平面四邊形為背景考查解三角形的最值問題 典例4
以半圓和四邊形組合而成考查解三角形 典例5
以三角形嵌套三角形為背景考查解三角形 典例6
以五邊形為背景考查解三角形 典例7
【典例1】【2020屆安徽省池州市高三上學期期末考試】
如圖所示,在中,的對邊分別為a,b,c,已知,.
(1)求b和;
(2)如圖,設D為AC邊上一點,,求的面積.
【思路引導】
(1)通過正弦定理邊化角,整理化簡得到的值,再利用余弦定理,求出,根據正弦定理,求出;(2)根據正弦定理得到,即,根據勾股定理得到,根據三角形面積公式,求出的面積.
解:(1)因為,
所以在中,由正弦定理,
得,
因為,所以,
所以,又,所以,
由余弦定理得,,
所以,在中,由正弦定理,
所以;
(2)在中,由正弦定理得,,
因為,所以,
因為,所以,而
所以,由,設,
所以,所以,所以,
因為,
所以.
【典例2】【山東省日照市2019-2020學年高三下學期1月校際聯考】
在①面積,②這兩個條件中任選一個,補充在下面問題中,求.
如圖,在平面四邊形中,,,______,,求.
【思路引導】
選擇①:利用三角形面積公式和余弦定理可以求接求出的長;
選擇②:在,中,分別運用正弦定理,可以求接求出的長;
解:選擇①:
所以;由余弦定理可得
所以
選擇②
設,則,,
在中,即
所以
在中,,即
所以.
所以,解得,
又,所以,
所以.
【典例3】【河北省唐山市2019屆高三上學期期末考試】
如圖,在梯形中,,為上一點,,.
(1)若,求;
(2)設,若,求.
【思路引導】
(1)先由題中條件求出,再由余弦定理即可求解;
(2)先由,表示出,進而可用表示出,,再由,即可求解.
解:(1)由,,得.
在中,;
在中,.
在中,由余弦定理得,,

(2)因為,所以,.
在中,;
在中,,
由得,,
所以,即,
整理可得
【典例4】【廣東省2019屆高三上學期期末聯考】
如圖,在中,角,,的對邊分別為,,,且.
(1)求的大??;
(2)若,點、在的異側,,,求平面四邊形面積的最大值.
【思路引導】
(1)由正弦定理將化為,再由兩角和的正弦公式化簡,即可求出結果;
(2)先由余弦定理求出的長,將平面四邊形的面積轉化為兩三角形與面積之和,即可求解.
解:(1)因為,且,
所以在中,
所以 所以
所以 因為在中,
所以 因為是的內角所以.
(2)在中,
因為是等腰直角三角形,
所以
所以平面四邊形的面積
因為,所以
所以當時,,
此時平面四邊形的面積有最大值
【典例5】【2020屆重慶市高三11月調研測試卷】
如圖,半圓O的直徑,點C,P均在半圓周上運動,點P位于C,B兩點之間,且.
(1)當時,求的面積.
(2)求四邊形ABPC的面積的最大值.
【思路引導】
(1)根據已知條件求出,再利用面積公式即可;
(2)將四邊形拆成三個三角形,將面積轉化為三角函數求再求最值.
解:(1)由題知,,
,
;
(2)由題知,根據同弧所對的圓心角是圓周角的二倍,可得,
設半徑,,則,


當時等號成立.
【典例6】【2019屆河北省衡水中學高三上學期三調考】
如圖所示,正三角形的邊長為2,分別在三邊和上,為的中點,.
(Ⅰ)當時,求的大??;
(Ⅱ)求的面積的最小值及使得取最小值時的值.
【思路引導】第一問,在中,,①,而在中,利用正弦定理,用表示,在中,利用正弦定理,用表示,代入到①式中,再利用兩角和的正弦公式展開,解出,利用特殊角的三角函數值求角;第二問,將第一問得到的和代入到三角形面積公式中,利用兩角和的正弦公式和倍角公式化簡表達式,利用正弦函數的有界性確定的最小值.
解:在中,由正弦定理得,在中,由正弦定理得.由,得,整理得,所以.
(2)=

當時,取最小值.
【典例7】【陜西省2019屆高三第二次教學質量檢測數學】
某市規劃一個平面示意圖為如下圖五邊形的一條自行車賽道,,,,,為賽道(不考慮寬度),為賽道內的一條服務通道,,,.
(1)求服務通道的長度;
(2)當時,賽道的長度?
【思路引導】
(1)連接,在中,由余弦定理可得,由等腰三角形的性質結合可得,再由勾股定理可得結果;(2)在中,,,,直接利用正弦定理定理可得結果.
解:(1)連接,在中,由余弦定理得:,
.,,又,,
在中,.
(2)在中,,.由正弦定理得,即:,得,當時,賽道的長度為.
【針對訓練】
1. 【2020年陜西省高三教學質量檢測卷(一)】
如圖,在中,,,,,D在邊上,連接.
(1)求角B的大?。?br/>(2)求的面積.
【思路引導】(1)由及兩角差的正弦公式,結合正余弦值求得的正弦值,即可得角B的大?。唬?)先在中,由余弦定理求出的長度,再利用三角形的面積公式即可求解.
解:(1)在中,,
所以,所以
∵,,∴,

.
因為,所以,∴.
(2)在中,由余弦定理得
,
∴,
解得,∴
.
2. 【天一大聯考皖豫聯盟2019-2020學年高中畢業班第二次考試】
如圖所示,在平面四邊形中,.
(1)若,,求的長;
(2)若,,求的面積.
【思路引導】
(1)由,可求出,結合,可求得,在中,由余弦定理可求出的長;
(2)先求得,則,然后利用正弦定理,可求出,進而可求出的面積.
解:
(1),則是鈍角,,可求得.
因為,所以.
因為,所以.
在中,由余弦定理得,即.
解得,或(舍去).
所以.
(2)由(1)可知,.
在中,因為,所以.
由正弦定理得,
所以.
故的面積.
3. 【2020屆江西省南昌市第十中學高三上學期期末】
在中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且滿足.
(1)求的值;
(2)如圖,點D在線段AC上,且,若,求面積的最大值.
【思路引導】
(1)利用正弦定理角化邊,再利用余弦定理即可求解.
(2)由(1)以及余弦定理、基本不等式可得,由即可求解.
解:(1),
由正弦定理,可得,

(2)由(1)知,
可得:
,(當且僅當時取等號),
由,可得:

的面積最大值為.
4. 【福建省德化一中、永安一中、漳平一中2020屆高三上學期三校聯考】
如圖,在四邊形 中,,平分,,
,的面積為,為銳角.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)求.
試題分析: (I)在中,由三角形的面積公式可求得,再利用余弦定理求出;(Ⅱ)在中,由正弦定理求出和,根據題意 平分 , ,在和 中分別寫出正弦定理,得出比例關系,求出.
解:(I)在中,.
因為 ,所以.
因為為銳角,所以.
在 中,由余弦定理得
所以CD的長為.
(II)在中,由正弦定理得
即 ,解得
, 也為銳角.
.
在 中,由正弦定理得
即 ①
在 中,由正弦定理得
即②
平分 ,
由①②得 ,解得
因為為銳角,所以 .
5. 【2020屆山東省濰坊市高三上學期期末考試】在①;②這兩個條件中任選-一個,補充在下面問題中,然后解答補充完整的題.
在中,角的對邊分別為,已知,.
(1)求;
(2)如圖,為邊上一點,,求的面積
【思路引導】
(1)結合正弦定理,條件選擇①,則,再利用公式求;
若選擇條件②,由正弦定理和誘導公式可得,再根據二倍角公式求得,再根據求解.
(2)解法1:設,在中由余弦定理,解得,再由(1),解得邊長,最后求得到的面積;解法2:由 可知,,,再根據正弦定理和面積公式.
解:
解:若選擇條件①,則答案為:
(1)在中,由正弦定理得,
因為,所以,
所以,因為,所以.
(2)解法1:設,易知
在中由余弦定理得:,解得.
所以
在中,
所以,所以,
所以
解法2:因為,所以,
因為所以,
所以
因為為銳角,所以

所以
所以
若選擇條件②,則答案為:
(1)因為,所以,
由正弦定理得,
因為,所以,
因為,所以,
則,所以.
(2)同選擇①
6. 【2020屆廣東省韶關市高三上學期期末調研】
如圖,在平面四邊形中,,設.
(1)若,求的值;
(2)用表示四邊形的面積,并求的最大值.
【思路引導】
(1)由余弦定理得,再由正弦定理求得結論;
(2)同(1)由余弦定理表示出,求出兩個三角形和的面積,可得,再由三角函數的公式變為一個角的一個三角函數形式,然后可得最大值.
解:(1)在中,由余弦定理知
由已知,
代入上式得:,即
又由正弦定理得:
即:,解得:
(2)在中,由余弦定理知

所以
故.
7. 【湖北省宜昌市2019-2020學年高三期末數學】已知分別為三個內角的對邊,且.
(1)求;
(2)在中,,為邊的中點,為邊上一點,且,,求的面積.
【思路引導】
(1)由余弦定理得,再由正弦定理得,進而得,即可求解
(2)在中,求得,,再中由正弦定理得,結合三角形的面積公式,即可求解.
解:(1)由余弦定理有,
化簡得,
由正弦定理得
∵,∴,
∵,∴,∴ ,又由,∴.
(2)在中,為邊的中點,且,
在中,,,所以,,
中由正弦定理得,得,,,
所以
8. 【內蒙古呼和浩特市2019-2020學年高三上學期質量普查調研】
(1)當時,求證:;
(2)如圖,圓內接四邊形的四個內角分別為、、、.若,,,.求的值.
【思路引導】
(1)根據正余弦的二倍角公式從左邊向右邊即可化簡證明(2)為圓的內接四邊形可知,,,,由(1)結論原式可化為,連接、,設,由余弦定理即可求解.
解:
(1)證明.
(2)因為為圓的內接四邊形,所以,,,,由此可知:
連接、,設,由余弦定理可得:
,,,,
解得,,那么,,,.
所以原式.
9. 【山西省晉城市2019屆高三第三次模擬考試】
如圖所示,銳角中,,點在線段上,且,的面積為,延長至,使得.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求的值.
【思路引導】
(Ⅰ)在中,由面積公式得,進而得,再由余弦定理求解即可;(Ⅱ)由,得,在中,再由正弦定理求解即可
解:
(Ⅰ)在中,.
所以.
因為,所以.
由余弦定理得,得.
(Ⅱ)因為,所以.
在中,由正弦定理得,
即,所以.
10. 【北京市房山區2019-2020學年高三上學期期末】
如圖,在平面四邊形中,,,,,.
(1)求的值;
(2)求,的值.
【思路引導】
(1)由同角三角函數基本關系得,利用兩角和的正弦及內角和定理展開求解即可
(2)利用正弦定理得,再利用余弦定理求解
解:(1)∵,,∴
在△中,,

(2)在△中,由正弦定理得,即
解得,∵,,∴,
在△中,,根據余弦定理,
解得
11. 【2020屆福建省龍巖市高三上學期期末教學質量檢查】
如圖,在平面四邊形中,,,且.
(1)若,求的值;
(2)求四邊形面積的最大值.
【思路引導】
(1)根據條件由正弦定理,求出,從而求出,即可求出結果;
(2)設,根據余弦定理求出,將的面積和表示為的函數,由輔助角公式化簡面積表達式,再結合正弦函數的最值,即可求解.
解:(1)在中,由正弦定理得,
∴,
∵,∴,

.
(2)設,在中,由余弦定理得
.

.
當時,四邊形面積的最大值.
12.【2020屆廣東省東莞市高三期末調研測試】
如圖,在中,內角所對的邊分別為,且.
(1)求角A的大小;
(2)若,邊上的中線的長為7,求的面積.
【思路引導】
(1)利用正弦定理化邊為角可得,則,進而求得角即可;
(2)由(1)可得,則,設,則,在中,根據余弦定理得,可得,進而求得的面積即可
解:
(1)因為,
根據正弦定理,得,
即,
所以,
整理得,
因為,所以,
又因為,則
(2)由(1)知,又因為,所以,所以,
因為是中點,
設,則,
在中,根據余弦定理,得,

即,解得,
故的面積
1第一篇 三角函數與解三角形
專題07 三角形中的組合圖形問題
例1:如圖所示,在中,的對邊分別為a,b,c,已知,.(1)求b和;(2)如圖,設D為AC邊上一點,,求的面積.
例2:在①面積,②這兩個條件中任選一個,補充在下面問題中,求.
如圖,在平面四邊形中,,,______,,求.
例3:如圖,在梯形中,,為上一點,,.
(1)若,求;(2)設,若,求.
例4:如圖,在中,角,,的對邊分別為,,,且.
(1)求的大?。唬?)若,點、在的異側,,,求平面四邊形面積的最大值.
例5:如圖,半圓O的直徑,點C,P均在半圓周上運動,點P位于C,B兩點之間,且.
(1)當時,求的面積;(2)求四邊形ABPC的面積的最大值.
例6:如圖所示,正三角形的邊長為2,分別在三邊和上,為的中點,.(Ⅰ)當時,求的大??;(Ⅱ)求的面積的最小值及使得取最小值時的值.
例7:某市規劃一個平面示意圖為如下圖五邊形的一條自行車賽道,,,,,為賽道(不考慮寬度),為賽道內的一條服務通道,,,.(1)求服務通道的長度;(2)當時,賽道的長度?
【針對訓練】
1.如圖,在中,,,,,D在邊上,連接.
(1)求角B的大小;(2)求的面積.
2.如圖所示,在平面四邊形中,.(1)若,,求的長;(2)若,,求的面積.
3.在中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且滿足.
(1)求的值;(2)如圖,點D在線段AC上,且,若,求面積的最大值.
4.如圖,在四邊形 中,,平分,,,的面積為,為銳角.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求.
5. 在①;②這兩個條件中任選-一個,補充在下面問題中,然后解答補充完整的題.在中,角的對邊分別為,已知,.
(1)求;(2)如圖,為邊上一點,,求的面積.
6.如圖,在平面四邊形中,,設.
(1)若,求的值;(2)用表示四邊形的面積,并求的最大值.
7. 已知分別為三個內角的對邊,且.(1)求;(2)在中,,為邊的中點,為邊上一點,且,,求的面積.
8.(1)當時,求證:;(2)如圖,圓內接四邊形的四個內角分別為、、、.若,,,.求的值.
9.如圖所示,銳角中,,點在線段上,且,的面積為,延長至,使得.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,求的值.
10.如圖,在平面四邊形中,,,,,.
(1)求的值;(2)求,的值.
11.如圖,在平面四邊形中,,,且.(1)若,求的值;(2)求四邊形面積的最大值.
如圖,在中,內角所對的邊分別為,且.(1)求角A的大小;(2)若,邊上的中線的長為7,求的面積.
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