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數(shù)列通項(xiàng)公式的求法
幾種常見(jiàn)的數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法
觀(guān)察法
例1：根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)，寫(xiě)出它的一個(gè)通項(xiàng)公式：
（1）9，99，999，9999，…（2）（3）（4）
解：（1）變形為：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通項(xiàng)公式為：
（2） （3） （4）.點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵是找出各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系。
二、公式法
例2： 已知數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是公比為q的(q∈R且q≠1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f (x) = (x－1)2，且a1 = f (d－1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，(1)求數(shù)列{ a n }和{ b n }的通項(xiàng)公式；
解：(1)∵a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，∴a3－a1=d2－(d－2)2=2d，
∴d=2，∴an=a1+(n－1)d = 2(n－1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q－1)=(q－2)2，
∴=q2，由q∈R，且q≠1，得q=－2，∴bn=b·qn－1=4·(－2)n－1
例1. 等差數(shù)列是遞減數(shù)列，且=48，=12，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是（ ）
(A) (B) (C) (D)
解析：設(shè)等差數(shù)列的公差位d，由已知，
解得，又是遞減數(shù)列， ∴ ，，∴ ，故選(D)。
例2. 已知等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比，設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解析：由題意，，又是等比數(shù)列，公比為
∴，故數(shù)列是等比數(shù)列，，∴
點(diǎn)評(píng)：當(dāng)已知數(shù)列為等差或等比數(shù)列時(shí)，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，只需求得首項(xiàng)及公差公比。
三、??????疊加法
例3：已知數(shù)列6，9，14，21，30，…求此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。
解 易知∵ ……
各式相加得∴
點(diǎn)評(píng)：一般地，對(duì)于型如類(lèi)的通項(xiàng)公式，只要能進(jìn)行求和，則宜采用此方法求解。
例4. 若在數(shù)列中，，，求通項(xiàng)。
解析：由得，所以，，…，，
將以上各式相加得：，又所以 =
四、疊乘法
例4：在數(shù)列｛｝中， =1, (n+1)·=n·，求的表達(dá)式。
解：由(n+1)·=n·得，=··…= 所以
例4. 已知數(shù)列中，，前項(xiàng)和與的關(guān)系是 ，試求通項(xiàng)公式。
解析：首先由易求的遞推公式：
將上面n—1個(gè)等式相乘得：
點(diǎn)評(píng)：一般地，對(duì)于型如=(n)·類(lèi)的通項(xiàng)公式，當(dāng)?shù)闹悼梢郧蟮脮r(shí)，宜采用此方法。
五、Sn法利用 (≥2)
例5：已知下列兩數(shù)列的前n項(xiàng)和sn的公式，求的通項(xiàng)公式。（1）。 （2）
解： （1）===3
此時(shí)，。∴=3為所求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
（2），當(dāng)時(shí)
由于不適合于此等式 。 ∴
點(diǎn)評(píng)：要先分n=1和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一。
六、待定系數(shù)法：
例6：設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通項(xiàng)公式cn
解：設(shè)
例6. 已知數(shù)列中，，，
其中b是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，且。求出用n和b表示的an的關(guān)系式。
解析：遞推公式一定可表示為
的形式。由待定系數(shù)法知：

故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故
點(diǎn)評(píng)：用待定系數(shù)法解題時(shí)，常先假定通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式為某一多項(xiàng)式，一般地，若數(shù)列為等差數(shù)列：則，（b、ｃ為常數(shù)），若數(shù)列為等比數(shù)列，則，。
七、輔助數(shù)列法
例7：已知數(shù)的遞推關(guān)系為，且求通項(xiàng)。
解：∵ ∴令則輔助數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列
∴即 ∴
在數(shù)列中，，，，求。
解析：在兩邊減去，得
∴ 是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，∴，由累加法得
= =…===
例8： 已知數(shù)列｛｝中且（），，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。
解：∵∴ ， 設(shè)，則
故｛｝是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列 ∴ ∴
點(diǎn)評(píng)：這種方法類(lèi)似于換元法, 主要用于已知遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式。
利用遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的九種類(lèi)型及解法
1.形如型
（1）若f(n)為常數(shù),即：,此時(shí)數(shù)列為等差數(shù)列，則=.
（2）若f(n)為n的函數(shù)時(shí)，用累加法.
方法如下： 由 得：
時(shí)，，
，
所以各式相加得
即：.
為了書(shū)寫(xiě)方便，也可用橫式來(lái)寫(xiě)：
時(shí)，，
=.
例 1. （2003天津文） 已知數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足,
證明
證明：由已知得：
= .
例2.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案：
例3.已知數(shù)列滿(mǎn)足，，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案：
評(píng)注：已知,，其中f(n)可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng).
①若f(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;
②若f(n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;
③若f(n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;
④若f(n)是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。
例4.已知數(shù)列中, 且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
解:由已知得,
化簡(jiǎn)有,由類(lèi)型(1)有,
又得,所以,又,,
則
此題也可以用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)求解.
2.形如型
（1）當(dāng)f(n)為常數(shù)，即：（其中q是不為0的常數(shù)），此時(shí)數(shù)列為等比數(shù)列，=.
（2）當(dāng)f(n)為n的函數(shù)時(shí),用累乘法.
由得 時(shí)，，
=f(n)f(n-1).
例1.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（=1，2， 3，…），則它的通項(xiàng)公式是=________.
解：已知等式可化為：
()(n+1), 即
時(shí)，
==.
評(píng)注：本題是關(guān)于和的二次齊次式，可以通過(guò)因式分解（一般情況時(shí)用求根公式）得到與的更為明顯的關(guān)系式，從而求出.
例2.已知,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解：因?yàn)樗?br/>故又因?yàn)?即，
所以由上式可知,所以,故由累乘法得
=
所以-1.
評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把原來(lái)的遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為
若令,則問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為形式，進(jìn)而應(yīng)用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
3.形如型
（1）若（d為常數(shù)），則數(shù)列{}為“等和數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來(lái)討論;
（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時(shí)，可通過(guò)構(gòu)造轉(zhuǎn)化為型，通過(guò)累加來(lái)求出通項(xiàng);或用逐差法(兩式相減)得，，分奇偶項(xiàng)來(lái)分求通項(xiàng).
例1. 數(shù)列{}滿(mǎn)足,,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
分析 1：構(gòu)造 轉(zhuǎn)化為型
解法1：令
則.
時(shí),
各式相加:
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.
此時(shí)
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，
此時(shí),所以.
故
解法2：
時(shí)，，
兩式相減得：.
構(gòu)成以,為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列;
構(gòu)成以,為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列
.

評(píng)注：結(jié)果要還原成n的表達(dá)式.
例2.（2005江西卷）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足
Sn－Sn－2=3求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
解：方法一：因?yàn)?br/> 以下同例1，略
答案
4.形如型
（1）若(p為常數(shù))，則數(shù)列{}為“等積數(shù)列”，它是一個(gè)周期數(shù)列，周期為2，其通項(xiàng)分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)來(lái)討論;
（2）若f(n)為n的函數(shù)（非常數(shù)）時(shí)，可通過(guò)逐差法得，兩式相除后，分奇偶項(xiàng)來(lái)分求通項(xiàng).
例1. 已知數(shù)列,求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.
注：同上例類(lèi)似，略.
5．形如,其中)型
（1）若c=1時(shí)，數(shù)列{}為等差數(shù)列;
（2）若d=0時(shí)，數(shù)列{}為等比數(shù)列;
（3）若時(shí)，數(shù)列{}為線(xiàn)性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來(lái)求.
方法如下：設(shè),
得,與題設(shè)比較系數(shù)得
,所以
所以有：
因此數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，以c為公比的等比數(shù)列，
所以
即：.
規(guī)律：將遞推關(guān)系化為,構(gòu)造成公比為c的等比數(shù)列從而求得通項(xiàng)公式
有時(shí)我們從遞推關(guān)系中把n換成n-1有,兩式相減有從而化為公比為c的等比數(shù)列,進(jìn)而求得通項(xiàng)公式. ,再利用類(lèi)型(1)即可求得通項(xiàng)公式.我們看到此方法比較復(fù)雜.
例1．已知數(shù)列中，求通項(xiàng).
分析：兩邊直接加上,構(gòu)造新的等比數(shù)列。
解：由得,
所以數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列
所以,即 .
方法二：由
時(shí)，
兩式相減得
,
數(shù)列是以=為首項(xiàng)，以c為公比的等比數(shù)列.
=( .
方法三：迭代法
由 遞推式
直接迭代得
==
=.
方法四：歸納、猜想、證明.
先計(jì)算出,再猜想出通項(xiàng),最后用數(shù)學(xué)歸納法證明.
注：請(qǐng)用這三種方法來(lái)解例題，體會(huì)并比較它們的不同.
6.形如型
.(1)若(其中k,b是常數(shù)，且)
方法：相減法
在數(shù)列中，求通項(xiàng).
解：， ①
時(shí)，，
兩式相減得
.令,則
利用類(lèi)型5的方法知
即 ②
再由累加法可得.
亦可聯(lián)立 ① ②解出.
例2. 在數(shù)列中，,求通項(xiàng).
解：原遞推式可化為
比較系數(shù)可得：x=-6,y=9,上式即為
所以是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng),公比為.
即：
故.
(2)若(其中q是常數(shù)，且n0,1)
①若p=1時(shí)，即：，累加即可.
②若時(shí)，即：，
求通項(xiàng)方法有以下三種方向：i. 兩邊同除以.
即： ,令，則,
然后類(lèi)型1，累加求通項(xiàng).
ii.兩邊同除以 . 即： ,
令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類(lèi)型5來(lái)解，
iii.待定系數(shù)法：
設(shè).通過(guò)比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng).
例1.（2003天津理）
設(shè)為常數(shù)，且．
證明對(duì)任意≥1，；
證法1：兩邊同除以（-2）,得
令,則
=
=
=
.
證法2：由得 .
設(shè)，則b. 即：,
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
則=,
即：,
故 .
評(píng)注：本題的關(guān)鍵是兩邊同除以3，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為類(lèi)型5，構(gòu)造出新的等比數(shù)列，從而將求一般數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題.
證法3：用待定系數(shù)法
設(shè), 即:,
比較系數(shù)得：,所以 所以,
所以數(shù)列是公比為－2，首項(xiàng)為的等比數(shù)列.
即 .
方法4：本題也可用數(shù)學(xué)歸納法證.
（i）當(dāng)n=1時(shí)，由已知a1=1－2a0，等式成立；
( ii)假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）等式成立，則
那么

也就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立. 根據(jù)（i）和（ii），可知等式對(duì)任何n∈N，成立.
規(guī)律： 類(lèi)型共同的規(guī)律為：兩邊同除以，累加求和，只是求和的方法不同.
7.形如型
（1）即 取倒數(shù)法.
例1. 已知數(shù)列中，，，求通項(xiàng)公式。
解：取倒數(shù)：

例2.（湖北卷）已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過(guò)的最大整數(shù). 設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)為正，且滿(mǎn)足
（Ⅰ）證明
分析：本題看似是不等式問(wèn)題，實(shí)質(zhì)就是求通項(xiàng)問(wèn)題.
證：∵當(dāng)
即 于是有
所有不等式兩邊相加可得
由已知不等式知，當(dāng)n≥3時(shí)有，
∵
評(píng)注：本題結(jié)合不等式的性質(zhì)，從兩邊取倒數(shù)入手，再通過(guò)裂項(xiàng)求和即可證得.
2.形如型
方法：不動(dòng)點(diǎn)法:
我們?cè)O(shè),由方程求得二根x,y,由有
同理,兩式相除有,從而得,再解出即可.
例1. 設(shè)數(shù)列｛an｝滿(mǎn)足,求｛an｝的通項(xiàng)公式.
分析：此類(lèi)問(wèn)題常用參數(shù)法化等比數(shù)列求解.
解：對(duì)等式兩端同時(shí)加參數(shù)t,得：
,
令, 解之得t=1,-2 代入得
,,
相除得,即{}是首項(xiàng)為，
公比為的等比數(shù)列, =, 解得.
方法2：
，
兩邊取倒數(shù)得，
令b，則b,轉(zhuǎn)化為類(lèi)型5來(lái)求.
8.形如(其中p,q為常數(shù))型
（1）當(dāng)p+q=1時(shí) 用轉(zhuǎn)化法
例1.數(shù)列中，若,且滿(mǎn)足,求.
解：把變形為.
則數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，則
利用類(lèi)型6的方法可得 .
（2）當(dāng)時(shí) 用待定系數(shù)法.
例2. 已知數(shù)列滿(mǎn)足，且,且滿(mǎn)足,求.
解：令,即,與已知
比較，則有,故或
下面我們?nèi)∑渲幸唤M來(lái)運(yùn)算，即有,
則數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故
,即,利用類(lèi)型 的方法，可得
.
評(píng)注：形如的遞推數(shù)列,我們通常采用兩次類(lèi)型(5)的方法來(lái)求解,但這種方法比較復(fù)雜,我們采用特征根的方法:設(shè)方程的二根為,設(shè),再利用的值求得p,q的值即可.
9. 形如(其中p,r為常數(shù))型
（1）p>0， 用對(duì)數(shù)法.
例1. 設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿(mǎn)足，（n≥2）.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
解：兩邊取對(duì)數(shù)得：，，設(shè)，則 是以2為公比的等比數(shù)列， ，，，∴
練習(xí) 數(shù)列中，，（n≥2），求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 答案：
（2）p<0時(shí) 用迭代法.
例1.（2005江西卷）
已知數(shù)列，
（1）證明 （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.
解：（1）略
（2）
所以
又bn=－1，所以.
方法2：本題用歸納-猜想-證明，也很簡(jiǎn)捷，請(qǐng)?jiān)囈辉?
解法3：設(shè)c，則c,轉(zhuǎn)化為上面類(lèi)型（1）來(lái)解.

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