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立體幾何的向量解法
一、空間直角坐標系：
右手直角坐標系：
x軸、y軸和z軸兩兩垂直，
且滿足右手系.
單位正交基底：以x軸、y軸和z軸正方向的單位向量、和作為基底.
空間中任一向量可以在、和三個方向上作唯一的分解，即
存在唯一的有序實數組使得則稱為的坐標.
結論：起點為原點的向量的坐標與其終點的坐標相同.
二、空間向量的運算：
設，，則
1.加法與減法：：三角形法則（或平行四邊形法則）；：三角形法則
；
2.數乘運算：
3.內積：其中為向量與的夾角.
；向量在方向上的投影為；
.
4.外積： 表示一個向量：
①方向：用右手握從到時，大拇指所指的方向為的方向；
②大小：其中.
的坐標：，其中計算規則為：.
5.有向線段所表示的向量的坐標：
若、，則.
例1.已知：，，求、、、和.
三、平行和垂直的充要條件：若，
1.；
2.（其中）存在唯一的實數，使得即.
例2.如圖，在正方體中，、分別是和的中點，
求證：平面.
四、角和距離：
1.夾角公式：設，，
則，，，
從而.
2.兩點間的距離：若、，則，
從而.
3. 直線的方向向量和平面的法向量：
1）直線上的有向線段所表示的向量稱為直線的方向向量.
2）如果表示向量的有向線段垂直于平面，則稱向量垂直于平面，記作，又稱為平面的法向量.
思考：如何計算平面的法向量？
如圖，在平面內找兩條有向線段分別記為向量、，
則平面的法向量可以是.
例3.已知：在空間直角坐標系中，、、，求平面的法向量.
例4. 已知：在空間直角坐標系中，、.
求：（1）的中點坐標及長度；
（2）到、兩點的距離相等的點所滿足的條件.
例5. 如圖，在正方體中，.
求與所成角的余弦值.
五、如何用向量求空間角：
1.異面直線所成的角：兩直線的方向向量的夾角；
2.直線與平面所成的角：直線的方向向量與平面的法向量所成角的余角；
3.二面角：兩個平面的法向量所成角；
六、如何用向量求空間距離：
1.點到直線的距離：
如圖，直線l方向向量為，P為直線l外一點，
如何求P到直線l的距離？
設Q為直線l上一點，則在上的投影的絕
對值，從而P到直線l的距離
.
2.點到平面的距離：
如圖，平面法向量為，P為平面外一點，
如何求P到平面的距離？
設Q為平面內一點，則P到平面的距離為
在上的投影的絕對值.即.
3.其它距離：都要轉化為點到直線的距離和點到平面的距離去求解.
例6.如圖，在四棱錐中，底面四邊長為1的菱形，,
, ,為的中點，為的中點.
(1)證明：直線平面；
(2)求異面直線AB與MD所成角的大小；
(3)求點B到平面的距離.
解：作于點P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線
為軸建立坐標系，則，，，
，，，
(1)
設平面OCD的法向量為,則
即
取,解得
.
(2)設與所成的角為,.
, 與所成角的大小為.
(3)設點B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對值，
由 , 得.所以點B到平面OCD的距離為.
六、如何證明空間中的平行和垂直：
1.直線和直線平行：兩直線的方向向量平行（又稱為共線）；
直線和直線垂直：兩直線的方向向量垂直；
2.直線和平面平行：直線在平面外，且直線的方向向量與平面的法向量垂直；
直線和平面垂直：直線的方向向量與平面內不共線的兩個向量垂直；
3.平面和平面平行：兩平面的法向量平行（又稱為共線）；
平面和平面垂直：兩平面的法向量垂直.

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